河南省南阳2024届高三年级下册模拟预测数学试题（含答案与解析）

2024年普通高等学校招生全国统一考试

数学

本试卷共8页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在

答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上

角“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应

位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按

以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知由小到大排列的5个样本数据”,19,21,22,光的极差是“，则x的值为（）

A.23B.24C.25D.26

2.若圆C:（x—4下+0―4a）2=4被直线/:3x—y+2=0平分，则。=（）

i3

AgB.1C.-D.2

22

3.如图，已知AC3。为圆锥so底面圆两条互相垂直的直径，若so=6,四棱锥S-MCD的体积

为友，则圆锥so的轴截面面积为（）

3

s

A石B.V6C.2A/3D.2A/6

4.记等差数列｛〃〃｝的前〃项和为S〃，已知--J--------=不，则$1=()

“62

A.33B.44C.55D.66

QfTVTV

5.已知。+3/?=兀，设p:3tan—Tan〃=l，4：a=—,Q=—,则，是4的（）

326

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

兀

6.已知过抛物线C：V=2px（p>0）的焦点尸且倾斜角为一的直线交C于A3两点，/是A3的中点，

4

点尸是。上一点，若点/的纵坐标为1,直线/:3光+2y+3=0,则尸到C的准线的距离与P至打的距离

之和的最小值为（）

&3A/13口5A/13r3713n9旧

26261326

7.若函数/（%）=（：05（8+0“0〉0,|9区3）的图象关于点《,0）中心对称，且x=—1是/（%）的极

值点，/（%）在区间内有唯一的极大值点，则。的最大值为（)

T125

A.8B.7C.—D.——

44

;5c

8.设In卫=0.21=0.96,e3=5,则()

4

A.c<b<aB.c<a<b

C.a<c<bD.a<b<c

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知复数2=。一”。€区)，且一的虚部为3,贝1|()

Z

A.a=l

B.日=2五

C.(2+2).(1—3i)为纯虚数

D."L在复平面内对应的点在第二象限

z+2

10.已知椭圆W:亍+/=1,点耳心分别为W左、右焦点，点分别为W的左、右顶点，过原点

且斜率不为。的直线/与w交于A,3两点，直线AK与W交于另一点则()

A.卬的离心率为立

2

B.|A段的最小值为2-有

2兀

c.W上存在一点P,使NCPD=—

3

D.ABM面积的最大值为2

11.已知函数/(x)=%2-2疝氏一1,则()

A.若曲线丁=/(力在。，/⑴)处的切线方程为y=2x—2,则“=2

B.若a=l,则函数/(%)的单调递增区间为(1,内)

C.若a>0,则函数/(x)在区间[1,+8)上的最小值为上一2alna-l

D.若xe[l,4w)J(x)N0,则a的取值范围为(—8,1]

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合4={0,1,2,3,4},3={%|-/+2%+3>0},则AcB中的元素个数为.

13.北京时间2023年10月26日，驾乘神舟十七号载人飞船的三名航天员成功人驻中国空间站，与神舟十

六号航天员乘组聚首，浩瀚宇宙再现中国人太空“会师”的经典场面.某校计划开展“学习航天精神”的讲座，

讲座内容包括航天史讲解、航天精神的形成与发展、现代前沿科学技术知识的普及、“我”的航天梦四个方面,

根据安排讲座分为三次（同一次讲座不分先后顺序，每个方面只讲解一次），其中航天史讲解必须安排在

第一次讲座，则不同的安排方案共有种

14.如图，在棱长为2a的正方体A5CD—A'5'C'D'中，分别为的中点，过三点

的截面将正方体分为两部分，则这两部分几何体的体积比（小于1）为,

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.为贯彻落实2024年中央一号文件，甲地现推进农产品转型升级，对农产品进行深加工以提高产品附加

值.某帮扶单位考察甲地的加工方式后随机抽取某生产线上一段时间内生产的500件产品，对其质量指标值

进行打分并整理，得到如下频率分布直方图:

规定：该产品的质量指标值在［125,175）内的为合格品，其余为不合格品.

（1）当不合格品所占比例超过3%时，该生产线需要停机调试用样本估计总体，试判断该生产线是否需

要停机调试；

（2）用频率估计概率，从该生产线上随机抽取3件产品，求抽取到的产品中至少有2件合格品的概率.

（精确到0.001）

16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A3CD为平行四边形，E为尸3的中点，

AB=AP=4,sin^BPD=sin^DBP.

p

(1)证明：平面ADE；

(2)若A5,5C,/R43=60°,直线PC与平面A3CD所成角为30°,求二面角A—80—E的正弦

值.

17.已知双曲线CW—E=1(稣0,6>。)的离心率为好，点呼4,百)是。上一点.

a-b22v7

(1)求。的方程；

(2)设M是直线1=1上动点，A3分别是。的左、右顶点，且直线MA,MB分别与。的右支交于

氏Q两点(均异于点8),证明：直线火。过定点.

18.若正整数数列｛%｝满足：①｛4｝为有穷数列：4,名，,4；②Eq=m；③当以效〈)"时，满足

«,>%的正整数对(z,J)有且仅有k个.称该数列｛4｝为用的左减数列.

(1)写出5的2减数列的所有情况；

(2)若存在100的左减数列，求正整数左的最大值.

19.已知函数/(x)=［卜"+ae*—x+1卜.

(1)设g(x)=/(x)+(xT)e”,讨论函数g(x)的单调性；

⑵若函数〃%)有两个极值点石,毛(石<%)，证明：西+々+6"+”>1.

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知由小到大排列5个样本数据13,19,21,22,“的极差是“，则x的值为()

A.23B.24C.25D.26

【答案】B

【解析】

【分析】由极差的定义即可求解.

【详解】由题知最小的数据是13,最大的数据是无，则极差为x-13=11,解得x=24.

故选：B.

2.若圆C:(x—4/+①―4a)2=4被直线/:3x—y+2=0平分，则。=()

i3

A.3B.1C.-D.2

22

【答案】D

【解析】

【分析】由题设，将圆心坐标代入直线方程即可求解.

【详解】由题意得圆心(。得。)在直线/：3x-y+2=0上,

则3a—4。+2=0,解得a—2.

故选：D.

3.如图，已知ACM为圆锥SO底面圆的两条互相垂直的直径，若50=百，四棱锥S-/1BCD的体积

C.2MD.2A/6

【答案】A

【解析】

【分析】设圆锥底面圆的半径为A,利用体积可求得底面圆半径R,根据轴截面是等腰三角形可求其面积.

【详解】设圆锥底面圆的半径为R,

因为AC,8。为圆锥SO底面圆的两条互相垂直的直径,

易知四边形ABCD为正方形，且边长为女R,

则四棱锥S-ABCD的体积为1x(aR)2x石=受

解得尺=1或R=—1(舍去),

所以圆锥SO的轴截面面积为工x2ExJ^=J§.

2

故选：A.

,、2%+。141

4.记等差数列｛为｝的前〃项和为S,,已知一2—则%=()

a6/

A.33B.44C.55D.66

【答案】D

【解析】

3d1

【分析】设等差数列｛4｝的首项为4，公差为d，由已知可得一一—-----=-)可求得应，利

用s“=ii（q;qJ=ii%,可求值•

【详解】设等差数列｛4｝的首项为％,公差为d,

2（%+d）+q+13d1

由—二5,得

2

3a.+15d

即一^一

2

3a61,

则F=",解得4=6,

42

11（。］+6］）

故Su=----------=11%=66•

故选：D.

(7兀兀

5.已知。+3，=兀，设p:3tan—tan尸=l,q:a=,则。是4的()

326

A,充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】利用两角和的正切公式结合两个条件之间的推出关系可得正确的选项.

0(7T

【详解】充分性：由a+3夕=兀得一+£=—,

33

a门

(\tan——I-tan//

因为3tang•tan/?=1,所以tan[£+/J=-----------=6,

1-3

cAt011_2G

I.；ctc2,3ir.tan—i-------=----

故tan——btan"=----，故3c°3，

333tan-)

故Stan?---2y/3tan—i-1=0,tan—=>故tan/7=^^，

3333-3

(X7171

故———F左]兀,GZ,(3——F42兀,42eZ,

366

兀7C

(Z+3尸=万+3k[Ti+—+3k2兀=7i+3兀(左]+kJ,k、,kzeZ,

又a+3尸=兀，即只需要匕+左2=0,匕,4262即可，充分性不成立;

717ra

必要性：当&=—,/=—时，代入可得3tan一寸211夕=1,必要性成立.

263

故0是q必要不充分条件.

故选：B.

71

6.已知过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点歹且倾斜角为一的直线交。于A,B两点，又是A3的中点，

4

点尸是。上一点，若点/的纵坐标为1,直线/:3尤+2y+3=0,则P到。的准线的距离与P到7的距离

之和的最小值为()

&3713口5V13「3V13n95

26261326

【答案】D

【解析】

【分析】首先联立A3与抛物线方程，结合已知、韦达定理求得P,进一步通过抛物线定义、三角形三边

关系即可求解，注意检验等号成立条件.

【详解】由题得C的焦点为口仁,0:设倾斜角为:的直线A3的方程为y=工-4

与C的方程/=2px(联立得y2-2py-p2=0,

设4(%,%),%)，则%+%=27?=2,0=1,故C的方程为V=2x,b[g,0)

由抛物线定义可知点尸到准线的距离等于点尸到焦点F的距离，

联立抛物线C：V=2x与直线/:3x+2y+3=0,化简得9炉+10%+9=0,

由△=100—4x9x9=—224<0得。与/相离.

Q,S,R分别是过点p向准线、直线/:3x+2y+3=0以及过点产向直线/:3工+2丁+3=0引垂线的垂

足，连接ERFS,

所以点P到C的准线的距离与点P到直线/的距离之和|Pe|+|PS|=|PF|+|PS|>\FS\>17^|,等号成立当

且仅当点尸为线段用与抛物线的交点，

所以P到C的准线的距离与P到I的距离之和的最小值为点/,0)到直线/:3x+2y+3=0的距离，即

3x-+0+3

9万.

阿=2

"+2226

故选：D.

7.若函数/(%)=(：05(8+0“0>0,|9区3)的图象关于点]|>0)中心对称，且x=—1是/(%)的极

值点，/（%）在区间0,彳内有唯一的极大值点，则。的最大值为（）

25

A.8B.7D.T

【答案】C

【解析】

3(2左+1)

(0---------

【分析】根据题意，结合三角函数的图象与性质，得到〈〃4，进而得到求得

攵兀兀

0=一+—

24

137

——<k<—,分类讨论，即可求解.

26

【详解】由函数”力的图象关于点，,0）中心对称，且x=q是〃力的极值点,

兀,713(2左+1)

-CD(p—K|7lH---------a)=-------

32

(^,^2eZ),gp<4

可得《(k,k，eZ),其中k=kx-k2.k'=kx+k2=2kx-k,

f

兀7kTl71

---CD(p—左2兀(D=--------1——

、324

因照工,，当A7=—1时0=—z，%=241+1,左］£Z,当左=0时0=z，左=2左］,K£Z,

2兀、2兀2冗/|JT

［。，一不J内有唯一的极大值点，所以彳-0=-^-<27=—,

解得0<G<10,即0<--------<10»所以—<kQ—，

426

3971397t（7t83JI］

当左=6时，a）--.（p--,此时二-九+7£，此时有两个极大值点，舍去；

4444<420J

当k=5时，@=孚,0=一：，止匕时¥%一?£■，鼻/］，此时有两个极大值点，舍去;

44441420J

2771277t（7159兀）

当左=4时，co——,（p=一,此时1+，此时有一个极大值点，

4444（420J

27

所以。的最大值为了

故选：C.

S5c

8.设In吧=0.2力=0.96,e5=5,则()

4

A.c<b<aB.c<a<b

C.a<c<bD.a<b<c

【答案】A

【解析】

【分析】表示出。，仇c,并适当变形，观察式子，构造函数=21n%(0<x<l),

X

g(x)=e*—x—1(0<%<1),利用导数即可证明当0cx<1时，有—2Mnx<l—/，(l-^)e'>1-^2,

从而即可比较大小.

【详解】In曰=0.2得a=0.8e°，2=(1-O.2)e02.

由e万_5得c=—2x0.21n0.2,

X/7=0.96=l-0.22.

取尤=0.2,则a=(l-x)eX,Z2=l-x2,c=-2xliu.

设/'(x)=x-L-21n%(0<%<1),

X

则>o,

所以〃龙)在区间(0,1)内单调递增，

又/(1)=0,则x—L—21nx<0,

即一2%lnx<1—%2,所以c<Z?.

4-g(x)=er-%-l(0<x<l),

贝1Jg(x)=eX-l>0,

所以g(x)在区间(0,1)内单调递增，

贝iJg(x)>g(O)=。,

故e*>x+l，则(1—>1—*,即〃<a,

所以c<b<a.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：关键是构造适当的函数，利用导数证明当0<x<l时，有—2dnx<l—V，

(l-x)ex>l-x2,由此即可顺利得解.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数2=。一”。€区)，且一的虚部为3,贝1|()

Z

A.a=l

B"卜2五

C.(z+2)(l—3i)为纯虚数

D."L在复平面内对应的点在第二象限

z+2

【答案】AC

【解析】

【分析】利用向量的除法运算和虚部为3,即可求出。=1,再利用复数乘除运算和模的运算以及复平面内

对应点的表示，就能作出选项判断.

【详解】由6i==6i'=岛6i(a+晨i)66a的虚部为3,则孚一=3,

—；----19----

d+1Cl+1a+1

解得〃=1,所以选项A正确.

Z=l-i,-=

z.•(l-i)(l+i)22

3

所以士=,所以选项B错误.

z

由(z+2>(l—3i)=(3—3i)=—lOi为纯虚数，所以选项C正确.

2+i_2+i_（2+i）（3+i）_l1

z+23-i（3-i）（3+i）22'

所以复数2匚在复平面内对应的点为位于第一象限，所以选项D错误，

z+2122）

故选：AC.

10.已知椭圆W:、+y2=i,点耳，鸟分别为W的左、右焦点，点分别为W的左、右顶点，过原点

且斜率不为。的直线/与w交于A,3两点，直线AK与W交于另一点M,则（）

A.卬的离心率为

2

B.|隹|的最小值为2-石

C.W上存在一点P,使NCPD=如

3

D.面积的最大值为2

【答案】ACD

【解析】

【分析】熟悉椭圆的离心率公式;，椭圆焦半径取值范围为[a-c,a+c],焦半径三角形顶角在上顶点时取

最大，先对选项A、B、C作出判断，对于选项D,就需要设出直线40的方程为x=/wy+百，与椭圆方

程联立，再把三角形面积计算公式转化到两根关系上来，最后代入韦达定理得到关于m的函数式，从而求

出最值.

【详解】由题知，该椭圆中。=21=l,c=g",所以离心率为走,A正确；

2

根据椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点得，距离最大为a+c,距离最小为a-c,

又直线A3的斜率不为。，所以|A耳|＞。一。=2-6，B错误;

当椭圆的对称可知当尸为短轴顶点时，NCP。取得最大值，此时10pl=|。0|=柄,|8|=4,

CP\2+\DP\2-1CD|2

由余弦定理得cosNCPD=

2\CP\-\DP\523

即W上存在一点尸，使/CP0=2,C正确;

3

设直线AM的方程为％=年+石，联立直线40与W的方程得（加+4）产+2百伏y—1=0,

m

设人（石，乂），/（X2，%），则X+%=_2t4%=----21

m+4m+4

2

I-----------|12m4—4画+1)

所以|四|=^/17硬弘一引=^/^版《"+4)2+标著=77丁

A/3

又点。到直线AM的距离为d=

Vm2+1

所以S=25=|AMp=

ABMOAMm2+4

4yf^t4-\/3/、3G

―，贝/,泌=7^=下(“1)/+7‘26

3

当且仅当/=?,即/=6时，等号成立,

所以ABM面积的最大值为2,D正确；

故选：ACD

11.已知函数=—2alnx—l,则（）

A.若曲线y=/（x）在。，/⑴）处的切线方程为y=2x—2,则〃=2

B.若。=1,则函数/（%）的单调递增区间为（L”）

C.若a>0,则函数/（x）在区间[1,+8）上的最小值为上一2allia-1

D.若xe[l,4w）J（x）N0,则。的取值范围为（—8』

【答案】BD

【解析】

【分析】由/'（1）=2,可判定A错误；当a=l,利用导数求得/（力的单调递增区间，可判定B正确;

当a〉0,利用导数求得函数的的单调性，求得了(九)在［1,”)上的最小值为/(6),可判定C错误;

根据题意，分aWO和0<aWl、a>l,结合函数的单调性，以及/。)=0,可判定D正确.

【详解】对于A中，因为函数/(x)=f—为如；—1,可得/■'(x)=2x--

则/'(1)=2—2a,所以2-2〃=2,解得〃=0,所以A错误；

对于B中，若〃=1,则/⑴=2(x+l)(x11,%>。，

X

当XG(l,+8)时，可得/'(刈>0,所以“X)的单调递增区间为(1,+。)，所以B正确；

对于C中,若。>。,则,(%)=生_@,x>0，

令/'(X)=。,解得玉=JZ或i=—C(舍去)，

当JZ<1，即0<aWl时，在［1,+8)上，可得/'(%)20,/(九)在［1,4W)上是增函数，

所以函数〃九)在［L住)上的最小值为/(1)=0；

当&〉1，即a>l时，当时，f'(x)<Q,/(%)单调递减；

当xe(6,+8)时，/'(x)>0,/(X)单调递增，

所以函数〃龙)在［1,y)上的最小值为/(6)="alna—1,所以c错误；

对于D中，因为当aWO时，f(x)>0,所以函数/(九)在［1,y)上是增函数，

则/(x)2/(l)=0,所以aWO成立；

当a〉0时，由C项知：当0<aWl时，/(%)>/(1)=0,则0<aWl成立；

当a>l时，/(^)</(1)=0,即在区间［1,y)上存在％=&使得

则Q>1不成立，

综上，实数a的取值范围为(-8,1］,所以D正确.

故选：BD.

【点睛】方法技巧：利用导数研究函数的极值、最值等问题的求解策略：

1、求函数”力在闭区间可上的最值时，在得到函数的极值的基础上，结合区间端点的函数值

于（a）」（b）与f（x）的各极值进行比较得到函数的最值；

2、若所给函数“X）含有参数，则需通过对参数分离讨论，判断函数的单调性，从而的函数外力的最值；

3、若函数/（九）在区间（。力）上有唯一的极值点，这个极值点就是函数的最值点，此结论在导数的实际问题

中经常使用.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合4={0,1,2,3,4},3={%]—%2+2%+3>0},则中的元素个数为.

【答案】3

【解析】

【分析】求解一元二次不等式解得集合8,再求即可求得其元素个数.

【详解】由—必+2%+3>0,得—l<x<3,所以6={x|—l<x<3},

A5={0,1,2},故中的元素共有3个.

故答案为：3.

13.北京时间2023年10月26日，驾乘神舟十七号载人飞船的三名航天员成功人驻中国空间站，与神舟十

六号航天员乘组聚首，浩瀚宇宙再现中国人太空“会师”的经典场面.某校计划开展“学习航天精神”的讲座，

讲座内容包括航天史讲解、航天精神的形成与发展、现代前沿科学技术知识的普及、“我”的航天梦四个方面，

根据安排讲座分为三次（同一次讲座不分先后顺序，每个方面只讲解一次），其中航天史讲解必须安排在

第一次讲座，则不同的安排方案共有种

【答案】12

【解析】

【分析】由计数原理以及排列数、组合数计算即可求解.

【详解】由题意若第一次讲座讲解一个内容，则一定为航天史讲解，共有C；A：=6种不同的安排方案，

若第一次讲座讲解两个内容，则其中有一个内容为航天史讲解，共有A；=6种不同的安排方按，

综上，共有12种不同的安排方案.

故答案为：12.

14.如图，在棱长为2a的正方体A5CD—中，分别为4。',。'。'的中点，过三点

的截面将正方体分为两部分，则这两部分几何体的体积比（小于1）为.

D'Q

【答案】—

47

【解析】

【分析】根据题意，作出完整的截面BGQPH,由PA'E空PD'Q,求得AE=a,再由AB//4£,

2

得到A'H=-a,得到过点B,P,Q的截面上方的体积K=VB_B,EF-2VH_EPA,,进而求得另一部分的体

积，即可求解.

【详解】如图所示，延长与45'的延长线交于点E,与3'C'的延长线交于点E，连接

分别交A4',CC'于点H,G,由此作出完整的截面BGQPH,

因为正方体的棱长为2a,P,Q分别为4。',。'。'的中点，所以AP=D'P=a,

由.PAgPD'Q,则AE=a,

A'HA'E2

又因为AB//4E,可得——----,则A"=-a,

AHAB3

ii25

3

则过点用尸,Q的截面上方的体积K=VB_B,EF-2VH_EPA,=-SB,EFXBB'-2X-SEPA,xA'H=—a,

a25a47[V；25

则另一部分体积为％=(2a)3--d=-R所以”=行.

2

99V247

25

故答案为：—.

47

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.为贯彻落实2024年中央一号文件，甲地现推进农产品转型升级，对农产品进行深加工以提高产品附加

值.某帮扶单位考察甲地的加工方式后随机抽取某生产线上一段时间内生产的500件产品，对其质量指标值

进行打分并整理，得到如下频率分布直方图：

规定：该产品的质量指标值在［125,175）内的为合格品，其余为不合格品.

（1）当不合格品所占比例超过3%时，该生产线需要停机调试用样本估计总体，试判断该生产线是否需

要停机调试；

（2）用频率估计概率，从该生产线上随机抽取3件产品，求抽取到的产品中至少有2件合格品的概率.

（精确到0.001）

【答案】（1）该生产线需要停机调试；

（2）0.995.

【解析】

【分析】（1）计算产品的质量指标值在［115,125）和［175,185］内的频率，即不合格品所占比例，并与3%作

比较，确定生产线是否需要停机调试.

（2）计算样本中合格品和不合格品的频率，并采用二项分布计算至少有2件合格品的概率.

【小问1详解】

由题知，质量指标值在［125,175）内的为合格品，

样本中质量指标值在［115,125）和［175,185］内的为不合格品，

由频率分布直方图可知质量指标值在［115,125）和［175,185］内的频率为（0.002+0.002）x10=0.04,

故不合格品所占比例超过3%,该生产线需要停机调试.

【小问2详解】

设事件A为从该生产线上随机抽取的产品为合格品，

事件3为从该生产线上随机抽取的产品为不合格品.

由（1）知,尸⑻=0.04,

P（A）=1-P⑻=0.96,

则从该生产线上随机抽取3件产品，抽取到的产品中至少有2件合格品的概率为：

P=C；x0.962x0.04+C；x0.963x0.04°。0.995.

16.如图，在四棱锥P-A6CD中，底面A3CD为平行四边形，E为总的中点,

AB=AP=4,sin^BPD=sin^DBP.

（1）证明：平面ADE；

⑵若ABLBC/PABuGO。，直线PC与平面A3CD所成角为30°,求二面角A—80—石的正弦

值.

【答案】（1）证明见解析；

⑵"

11

【解析】

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；

（2）方法一：建系，利用空间向量求解二面角的正弦值，方法二：根据二面角定义，找到二面角

A—8D—石的平面角求解.

【小问1详解】

因为sin/BPD=sin/DBP,ZBPD,NDBP为APBD的内角，

所以得NBPD=NDBP,DP=DB,

又E为尸3的中点，

故DE工BP,

而AB=AP，则

因为QEu平面ADE,AEu平面ADE,AEcDE=E,

所以平面ADE.

【小问2详解】

解法一如图①，取AB中点H,连接PH,CH,

由题知AP=AB=4，又NB45=60°,

则一AB尸为等边三角形，故？HLAB.

由（1）知平面ADE,ADu平面A£>E,

所以

因为底面A3CD为平行四边形，且

则四边形A3CD为矩形,

则AB_LAD.

因为BPu平面ABP,AB<=平面ABP,BPcAB=8,

所以平面ABP，

因为PHu平面A3P，

则AC，

又因为PH，A3,且ADu平面A3CRA5U平面ABCZ),AOcA5=A,

所以W平面A3CD,

则ZPCH为直线PC与平面A3CD所成角,

设BC=a,PH=PAsin60°=26，

则sin30°=当273

PCa2+16

解得a=4&-

过点“作小LAB,故以点”为坐标原点，分别以HA,〃y,m5所在直线为X轴，y轴，z轴建立如图①

所示的空间直角坐标系Hxy,

p

A

DX/

图①

则5（-2,0,0）,D（2,-4立,0）,网-l,0,®,

故加=（4,-4后,0）,8E=（l,0,百），

设平面BDE的法向量为m=（羽y,z）,

m-BD=0[4x-4-yf2y=0

则1.，即〈广，

m-BE-0[X+A/3Z=0

取l=n，得y=6,z=—A/2,

则m二（n,0,-0）,

易知平面ABD的一个法向量为n=（0,0,1）,

设二面角A-BD-E的大小为9,

.川\m-n\V22

贝U

|m||n|11

则sin。=

所以二面角A—5D—E的正弦值为题.

11

解法二如图②，过点E作上A3于点产，

P

由（1）知5。，平而ADE,ADu平面ADE,

所以

因为底而A3CD为平行四边形，且

则四边形A3CD为矩形，则

因为3尸u平面ABP,AB<=平面ABP,BPcAB=8,

所以平面A3P，

又Mu平面A3P，则ADJ_E/L

又ABcAD=A，A3,ADu平面ABD,

故麻工平面ARD,

过点P作EGJ_于点G,连接EG.

因为50u平面ABD,

所以50,石尸，又FGEF=F,FG,EFu平面EFG,

所以8D/平面E尸G,

因为EGu平面E尸G,

故BD工EG,

则/EGF为二面角A—5D—石的平面角，

取AB中点H,连接PH,CH,

由题知AP=AB=4，又NQ45=60°,

则.ABP为等边三角形，

故

又AD上PH,

因为ADu平面A3CD,A3U平面ABCD,AZ)cAB=A,

所以W平面A3CD,

则ZPCH为直线PC与平面ABCD所成角,

PH2J3

设5C=a,则sin30°=—=「，

PC6+16

解得a=3C=4夜，易知AE=2JJ,

故在RtzXABZ）中，BD=y/ADr+AB-=4^3-

在RtVADE中，DE=VAD2+AE2=2^/11-

在BDE中,由余弦定理得cos/BDE=叱+一=」身,

2BDDE6

则sin/BDE=®

6

在RtZXEDG中，sia^BDE=—=—，

DE6

解得EG=立弓，易知EF=内，

3

FF3、斤.

在RtEFG中,sinNEGF=—=^—>

EG11

所以二面角A—8D—E的正弦值为主叵.

11

17.己知双曲线。:《一（=1（。>0,6>0）的离心率为好，点。（4,、国是。上一点.

a2b22v7

（1）求C的方程；

（2）设M是直线x=l上的动点，A3分别是。的左、右顶点，且直线MA,MB分别与。的右支交于

尺。两点（均异于点8）,证明：直线RQ过定点.

【答案】（1）—-y2=l

4

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由题意可得£■=[,3-斗=1，计算可求。的方程；

a24«b2

（2）设河（1,%）,尺（石,乂）,。（％2，%），设直线AQ：X=）+小。W±2,加w±2,o）,联立方程组可得

~2tmm2一4一打m曰%_乂、，_%、止上ZR

y+%2=72,y^2--27---,利用点共线可得G~一二，一%一消去为,得

1t-4t-43玉+2X2-2

%（%+2）+3%（犬2-2）=0,计算可得a=4或（根—2）%—（加+2）%=。，进而判断可得m=4,可

得直线HQ过定点.

【小问1详解】

c25

易知e=£=,所以二=三

a2a24

A21

贝！)F=—,〃2=4/①,

a4

联立①②，解得4=2力=1,则C的方程为工—y2=l.

4-

【小问2详解】

如图，由(1)知，4(-2,0),5(2,0),设“(1,%),7?(菁,％),。(如％),

根据题意，直线火。不垂直于y轴,

设直线RQ：%="+机(/*±2,znw±2,0),

2—4=0,

>0,

-2tmm~-4T日c加2一4

则%+%=，于是2tyy=----------

{2~m

由&AM三点共线得直线MA,RA的斜率满足3=点

y

同理,由M&Q三点共线得-%=占9

消去%,得%(%+2)+3%(%2-2)