广东省惠州市某中学2023-2024学年高一年级下册第一次阶段考试数学试题（含答案解析）

广东省惠州市第一中学2023-2024学年高一下学期第一次阶

段考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知向量<2=（1,〃2）,6=（-1,2）,若％_1_6，则实数相等于（）

A.—B.—C.-2D.2

22

2.复数z满足（1—i）2z=l+i,（i为虚数单位），则目=（）

A.-B.JC.正D.1

422

3.已知sin[w+a）="则以《（/+651110：的值为（）

A.—B.■-C.2D.—1

42

4.设〃力=丁+电1+77石），则对任意实数a、b,““+620”是“〃。）+/仅）20”

的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不

必要

5.已知是夹角为120。的两个单位向量，若向量°+助在向量a上的投影向量为2“，

则2=（）

A.-2B.2C.一型D.这

33

6.在ABC中，AB,C的对边分别是。力,。，若A=120,a=l,则6+c的最大值为（）

A.友B.垣C.2D.1

33

,、2X-a,x<l,

7.若函数="、1恰有两个零点,则实数。的取值不可能为（）

A.0B.yC.2D.3

8.已知是定义在R上的函数，且/（x+1）关于直线％=-1对称.当x2O时，

--x2+l

〃X）=24，°4x<2,若对任意的X目狐帆+1],不等式〃2-2x）2〃x+M恒成立,

2-log2x,x>2

则实数加的取值范围是（）

1

A.B.c.[L+00)D.—,+oo

2

二、多选题

9.已知复数4,Z2，则下列结论正确的有

A.z；=z；-B(Z]*z?­Z]'z]c.|卒2|=团忆|

D.k+Z2|=|zJ+闯

,UUIUULUWUULUIUIU11r,一一….一,,,„

10.已知点。为ABC所在平面内一点,且LA0+203+30C=0，则下列选项正确的是

)

uum1uun3ULnfl

A.AO=-AB+-AC

24

B.直线A0必过3C边的中点

C.^△AOB：^AAOC=3：2

呼lUiun,山山贝您卜而

D.若pq="q=i,且oB’oc,

7TT5TI

H.已知函数/(X)=$皿⑷；+0)3>0,夕£可在区间上单调，且满足

~L29~6

C.关于X的方程/(X)=1在区间［。，2万)上最多有4个不相等的实数解

2乃13»

D.若函数了(%)在区间上恰有5个零点，则。的取值范围为第

36

三、填空题

12.若集合A={(x,y)|y=2f—3x+l},8={(x,y)|y=x},则集合AcB的真子集个

数为.

13.山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1),其主体建筑采用与地形吻

合的矩形设计，将数学符号“8”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无

限的科技创新.如图2,为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶8之间的距离,

无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°,30°,随后无人机沿水平方向飞行600

米到点。，此时测得点A和点8的俯角分别为45。和60。(A,B,C,。在同一铅垂面

试卷第2页，共4页

内)，则A,B两点之间的距离为米.

14.某同学向王老师请教一题：若不等式+l对任意xeGE)恒成立,

求实数。的取值范围.王老师告诉该同学：“e，2x+l恒成立，当且仅当x=0时取等号,

且g(x)=x-41nx在(L+8)有零点，，.根据王老师的提示，可求得该问题中。的取值范围

是.

四、解答题

15.已知c是同一平面内的三个向量，其中。=(1,2).

⑴若同=26,且工//a，求c向量；

⑵若忖=苧，且a+26与2a-6垂直，求a与b的夹角的余弦值.

16.如图，在3ABe中，已知点。在边BC上，且A»AC=0,sinNBAC=半，AB=3y/2,

BD=6

⑴求AD的长;

(2)求cosC.

17.已知.ASC的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,向量机=S,a+c),

n=(Jb-c,c-d),mln.

(1)若己=8,ABAC=S，。为边3C的中点，求中线AD的长度；

⑵若E为边BC上一点，且AE=1,BE:EC=2c:b,求26+c的最小值.

18.已知函数〃x)=2：g(x)=(2-lnx〉lnr+/3eR),记〃(x)=.

⑴若"(%)=Q[,求实数%的值;

⑵若存在%,%«1,+8),使得％a)=g(x2),求实数》的取值范围;

⑶若g(x)＜。对于xe(O,y)恒成立，试问是否存在实数X,使得“g(x)]=-6成立？

若存在，求出实数x的值；若不存在，说明理由.

19.对于集合4={40,…,4}和常数外,定义：

〃=8s2(4-％)+cos?(%-4)+•••+cos?(a-④为集合A相对为的“余弦方差，，.

n

⑴若集合A=仇=0,求集合A相对4的“余弦方差”；

(2)求证：集合A=《,g，d，相对任何常数。。的“余弦方差”是一个与无关的定值，

并求此定值；

(3)若集合A=g,a，s},ae[O,7t),y0G[71,271),相对任何常数4的“余弦方差”是一个与

为无关的定值，求出。、P.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.A

【分析】根据向量垂直列方程，化简求得用的值.

【详解】由于

所以Q・A=-1+2m=0,m=—.

2

故选：A

2.C

【分析】根据复数的运算求出复数z,再求模长即可求解.

1+i1+i(l+i)i11.

【详解】由已知得：Z=-.口=F=―三+

所以，0=J(_gy+(；)2=日.

故选：C.

3.B

【分析】利用辅助角公式求得正确答案.

【详解】cosor+sin=2^^-sin<7+—coscir=2sin^<7+.

故选：B

4.C

【分析】先判断函数为奇函数且单调递增，再分别判断充分性和必要性得到答案.

【详解】〃力二三+lg[+J?石)定义域为R,"—%)=—/+.—x+J71)

/(X)+/(一%)=/+3(x+J尤>+1)—+馆(一%+J%2+l)=lgl=0,函数为奇函数

易知：y=尤3,y=x+dX2+1,y=Igx在(0,+8)上单调递增,

>/(0)=03+^(0+7(7+1)=0

故/(X)在R上单调递增

当时，a>-b:.f(a)>f(-b)=-f(b):.f(a)+f(b)>0,充分性；

当/'(a)+/(b)20时，BPf[a)>-f(l>)=/(-&).'.a>-b:.a+b>0,必要性；

故选：C

答案第1页，共13页

【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，充分必要条件，意在考查学生的综合应用能力.

5.A

【分析】由投影向量计算公式可得答案.

\d+Ab]-a\a+Ab]-a

【详解】〃+%在向量〃上的投影向量为l।运1以=J=2.

=>(〃+劝)•〃=同2+2同•Wcosl20°=l—^A=2=>A=—2.

故选：A

6.B

【分析】利用余弦定理，结合基本不等式即可得解.

【详解】由A=120,〃=l,带入余弦定理可得:

l=b2+c2+bc=(b+c)2-bc>(&+c)2-("‘)=-(b+c)2,

44

当且仅当6=c=立时取等，所以b+c42回,

33

故选：B

7.A

【详解】根据零点定义，逐个带入分析判断即可得解.

2x,x<l

【点睛】若〃=0,可得/(%)二

4X2,X>1'

此时令〃%)=0可得x=0,只有一个零点，故A不符合;

2x--,x<\

若a=g,可得〃尤)=<2

4(x-^)(x-l),x>l

此时令〃%)=0可得x=±l,恰有两个零点，故B符合;

2x-2,x<l

若如=2,可得/(%)=

4(x-2)(x-4),x>l>

此时令/(%)=0可得％=2,4,恰有两个零点，故C符合;

2x-3,x<l

若，=3,可得/(%)=

4(x-3)(x-6),x>l*

此时令〃元)=0可得x=3,6,恰有两个零点，故D符合;

故选：A

答案第2页，共13页

8.D

【分析】结合复合函数的单调性，可知在［0,+8）上单调递减，由/（x+l）关于直线x=-1

对称，可知/（X）为偶函数，从而可将题中不等式转化为|2-2才<卜+时，整理得

3/-（8+2利）了+4-/2W0对任意的工目“加+日恒成立，进而结合二次函数的性质，可求出

m的取值范围.

121

【详解】当0<x<2时，/（尤）=2々，

函数>=无2+1在［0,2）上单调递减，且y=2工是R上的增函数，

根据复合函数的单调性可知，函数〃尤）在［0,2）上单调递减，且〃X）>2T2%=1；

当x22时，/（x）=2-k>g?x,易知函数〃x）在已用）上单调递减，且

/（x）</（2）^2-log22=l.

函数/（x）在［0,y）上单调递减.

♦."（x+1）关于直线尸-1对称，.•"（X）关于x=0对称，即〃x）为偶函数，

•••不等式）（2—2*）2/（彳+根）可化为/（|2—2%|）2/（卜+〃力，

|2-2x|<|x+m|恒成立，

即|2—2x|2<|x+m|2,整理得3/-（8+2m）x+4-m2<0,

令g（%）=3%2—（8+2m）x+4-m2,

・•・对任意的%£［桃/+1］,g⑺W0恒成立,

\g(jn)=3m2-(8+2m)m+4-m2<0

1g(m+l)=3(根+1)2-(8+2m)(m+1)+4—m2<0

-8m+4<0解得m>^.

-4m-l<0

故选：D.

【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查学生的推理

能力与计算能力，属于较难题.

9.BC

答案第3页，共13页

【分析】根据复数的运算性质以及模的运算公式对应各个选项逐个判断即可求解.

【详解】设4=。+历，z2=c+di,其中a,仇gdwR.

对于选项A:z；=(^a+bif=a2-b2+2abi,zf=a2-b2-2abi,所以2aZ?与一2ab不一定相等，

故选项A错误；

对于选项B:因为马乌=(。+历)(。+溃)=(ac-Z7d)+(〃+Z?c)i,

所以Z1-z2=(ac-bd)-(ad+bc)i,

因为4乌=(a-Z?i)(c-6fi)=(ac-Z?d)-(6^+bc)i,

所以4・Z2=Z]•Z2，故选项B正确；

对于选项C:因为马乌=(a+历)(。+溃)=(ac-Z7d)+(〃+Z?c)i,

所有14Z21=-MJ+(ad+be?=yja2c2+b2d2+a2d2+b2c2

因为J4H4J=y/a2+b2\jc2+d2=+b2d2+a2d2+b1c1,

所以,也闫讣闫,故选项C正确；

对于选项D:因为4+Z2=(a+c)+(>+d)i,所以苗+z2|=J(〃+c)2+e+4

22221

\z}\+\z2\=yja+b+^c+d,而J(a+c『+7+))2与「片+52Mc十屋不一定相等，故选

项D错误；

故选：BC.

10.ACD

【分析】根据题设条件，化简得至I」4明=+2蒜+3品，可判定A是正确的；根据向量的线

性运算法则，化简得至!JAC=—2(05+0。)=—40。，可判定B不正确；根据AC=—48，

得到B器F二3;'结合三角形的面积公式，可判定C正确；根据向量的数量积和模的运算公式，

可判定D是正确的.

【详解】如图所示，点。为ABC所在平面内-点，且明+2流+3泥=6，

,UUUlUULLULIUUU1UULUUL1，/一/―一分/八一八；\

可得AO+2OB-2OA+3OC-3OA+50A=O，即A。=2(。8-OA)+3(OC-OA),

uuniuun31M

即4Ao=2AB+3AC，所以4。=彳48+了AC,所以A是正确的；

24

答案第4页，共13页

在ABC中，设。为3C的中点，

UUIUUL1UUUIU1UUIUULUUUL1UULUU1

由A0+20B+30C=0，可得(AO+OC)+2(O3+OC)=0,

所以AC=-2（OB+OC）=-4OD,所以直线AO不过8C边的中点，所以B不正确;

由AC=YOO，可得，。卜小。"且AC//OD,

所以类=M=1,所以可得EC=^BC,所以萼=:

ECAC445EC2

s-ADxBEsinZAEB

所以既也=#----------------所以C正确；

Loc-ADxECsinZOECEC2

2

UUUlUUUULHU1UULUUUULW1

由A0+20B+30C=0，可得OA=2OB+3OC

,尸||ULUU|UL.UUUL>

因为pq="q=i,且OBLOC,

|UUT|2Iurnuumpuutt2uunuumuun?

可得OA=2OB+3OC=405+UOBOC+9OC=13,

所以阿=抽，所以D是正确的.

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查了平面向量的基本概念，向量的线性运算，以及向量的数量积和向量

的模的运算及应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及平面向量的数量积和模的计

算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

11.ABD

【分析】A：“X）在上单调，f

745〃右端点尤=¥关于X=多的对称点x=3,由题可知/'（尤）在（g，磐］

B：求出区间

~129~6~632oy

=〃叼知户||

上单调，据此可求出y（元）周期的范围，从而求出。的范围.再根据了

答案第5页，共13页

-Ui

是Kx）的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的吟一（GeZ）倍即可求出。，从而求

出其周期;

C：根据。的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解;

D：由/丁=0知，彳是函数〃尤）在区间丁，丁上的第1个零点，而“X）在区间

\JJ33o7

2%13万上恰有5个零点，则2T卡音4,据此即可求。的范围-

77r3）（\

H+T_2^..,•/-?=o-故A正确；

7万57r右端点X=孚关于x=V的对称点为x=J,V/f^=0,危）在

B,区间

126632I3，

7457r上单调，根据正弦函数图像特征可知〃力在［全得）上单调，二

126

5兀兀冗T\2兀.

%~-5=1”5=5,同（T为“X）的最小正周期），即冏”3,又0>0,0<例,3.若

=则的图象关于直线x=1j对称，结合葺］=0,得

=?==左eZ）,即0=4左+2住eZ）,故左=0,<o=2,T=兀,故

B正确.

0

C,由0<@,3,得T..看7T，••.”X）在区间［0,2乃）上最多有3个完整的周期,而〃X）=1在

1个完整周期内只有1个解，故关于X的方程/（x）=l在区间［0,2%）上最多有3个不相等的

实数解，故C错误.

D,由/丁=。知，彳是函数/（X）在区间丁，丁上的第1个零点，而〃无）在区间

2兀2%)上恰有5个零点，则2T〈詈13TT-彳27r?结合T吟，得|<。¥又。<“，

o3

的取值范围为（|，3］,故D正确.

故选：ABD.

【点睛】本题综合考察了（xhsiMox+oX^y〉。）的周期、单调性、对称中心、对称轴等特

性，解题的关键是熟练掌握正弦型函数对称轴，对称中心的位置特征，掌握正弦型函数单调

性与周期的关系.常用结论：（1）单调区间的长度最长为半个周期；（2）一个完整周期内只有一

答案第6页，共13页

2后+1

个最值点；（3）对称轴和对称中心之间的距离为周期的(keZ)倍.

4

12.3

y—2x2—3x+l_

【分析】首先联立由可得2/_4尤+1=0有两解，即AcB有两个元素即可

y=x

得解.

y=2%2—3x+l

【详解】由可得2%2-4%+1=0,

y=x

八=16—8=8>0,所以有两解,

即有两个元素，共有2?-1=3个真子集,

故答案为：3

13.100V15

【分析】根据已知角的关系，在三角形中，利用正余弦定理求解即可.

【详解】由题意，ZDCB=30,ZCDB=60,所以NCB£)=90,

所以在Rt^CBD中，BD=-CD=300,BC=—CD=300y/3,

22

XZZ)CA=75,ZCDA=45,所以NC4D=60°,

ACCD济aAC=^2x—=20076

在.ACD中，由正弦定理得,,所以62

sin45sin60

2

在，ABC中，ZACB=ZACD-NBCD=75-30=45,

由余弦定理得，AB2=AC2+BC2-2AC-BC-cosAACB

=(200府+(300后一2x200&x300百x与=150000,

所以AB=100jI?.

故答案为：100岳

14.(-oo,-4]

_（fX—x—1ex—x一1五

【解析】由参变量分离法可得出aV,利用已知条件求出函数>=—;------在

InxInx

（1，+8）上的最小值，由此可得出实数。的取值范围.

4Xx-41nA__

X~P—r-1e%1

【详角军】Qx>l,/.lnx>0,由^.产一⑶口%之%+1可得----------

InxInx

答案第7页，共13页

由于不等式，2尤+1恒成立，当且仅当x=0时取等号，且存在%>1,使得

g[)=xo_41nxo=0,

所以，ei—Tjllnx+l)"」,当且仅当x=x。时，等号成立，.xWY.

InxInx

因此，实数a的取值范围是(y,T].

故答案为：(-℃>,-4].

【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行

求解：

(1)VxeD,

(2)VxeD,

(3)3x6D,"24/(了)。机4/(了)a；

(4)BxeD,

15.⑴1=(2,4)或4=(-2,-4)；

(2)-.

9

【分析】(1)根据题意可设c=2a=X(l,2)=(4,24),|c|2—A2+422=20,求出4即可得解；

(2)由a+20与2a-。垂直可得3+26)(2。一力=21+3。力一2/=0，带入计算求得

251a，b

a-b=^,再由cos凡6=即可得解.

6间判

【详解】(1)由c//a可设c=2。=2(1,2)=(42X),,

|c『=分+42?=20,即无=4,

所以X=±2,

1=(2,4)或2=(-2,-4)

(2)由a=(l,2)可得同=君，

由a+26与2a-〃垂直可得:

答案第8页，共13页

(Q+26)[〃一份)=3z2+alb-02=,

4525

10+3。2——二0,所以〃2=—

26

25

a-b

所以cos(〃,Z?

\a\]b\八处9

所以“与。的夹角的余弦值，

16.(1)AD=3

⑵当

【分析】(1)由向量数量积可知AD,AC,结合诱导公式可得cosZBAD,在△ABD中利用

余弦定理可构造方程求得AO,结合三角形大边对大角的性质可得最终结果；

(2)由同角三角函数关系可得sin/RW,在△ABD中利用正弦定理可求得sinNA/M,结

合诱导公式可求得结果.

【详解】(1)ADAC=0>:.AD±AC,sinZBAC=sin^+ZBAD^=cosZBAD=^^,

在△ABD中，由余弦定理得：BD2AB2+AD2-2AB-ADcosABAD,

即18+452-6"4»^^=3,AD2-SAD+15=0,

3

解得：4)=3或4)=5；

TTTT

ZADC<~,:.ZADB>-.\AB>AD,.\AD=3.

22f

(2)由(1)知：cosNBAD=2\/^,.sin/BAD=Jl—cos?/BAD=—,

33

在△AB。中，由正弦定理得：sinZADB=ABsinZBAD=___五="，

BD733

ZC+ADAC=ZC+—=ZADB,cosC=cosfZADB一二]=sinZADB=.

2{2J3

17.(1)276:

⑵电.

7

答案第9页，共13页

【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示可得k+/-片=儿，然后利用余弦定理可得&=q，

利用向量的表示可得AO=；（AB+AC）,进而可得"）2=51+2X8+62）,即得；

Deh

（2）利用向量的线性表示可得AE=^7AC+^--AB,结合条件可得2c+b=J2c,即

2c+b2c+b

：4=币,再利用基本不等式即得.

bc

【详解】（1）•.•向量相=S,a+c）,n=（b-c,c-d）,mln,

**•m'n=b2—bc+c1—a1=0BPb2+c2—a2=bc,

b2+c2-a2=；,A£(0,»),

cosA=

2bc

为边3。的中点，w=8,ABAC=8,

AD=—(AB+AC\,AB-AC=bccosA=—be=8

2、)2

21/-2-2

Ab"=1(AB+AC|=-jAB+2ABAC+AC

3^b?+1?2—々2—be,be=16,a=8,

***/?2+c2=+fee=64+16=80,

AD2=1(c2+2x8+Z?2)=^-(80+16)=24,即,4=2",

中线AD的长度为2而；

(2):E为边8C上一点，BE:EC=2c:b,

2c

：.BE=-------BC,

2c+b

AE-AB=^^-(AC-AB\,

2c+小)

2ch

：.AE=-------AC+-------AB,(2c+b\AE=2cAC+bAB,

2c+b2c+b')

：.(2c+b)2AE2=(2cAC+bAB^,又AE=1,

22

(2c+=(2cAC+bAB^=4cb+262c2+62c2=762c2,

21

2c+b=Jibe，即7+—=用，

bc

/

1

/.2b+c=+1+殳+小5+2

cb)近

答案第10页，共13页

当且仅当竺=华，即6=°=士夕取等号，

cb7

故26+c的最小值为％夕.

7

18.(l)x0=log23

(2»4

(3)不存在，理由见解析

1Q

【分析】(1)令"2,则解方程即可得出答案；

(2)设函数〃x),g(x)在区间[1,+口)上的值域分别为A,B,存在&/目1,+8)，使得

/(^)=g(x,),等价于根据单调性求出两个函数的值域，利用交集的定义列不

等式求解即可；

(3)由g(x)<0对于xe(O,+e)恒成立，可得6<-1,且g(x)e(fb+l],结合函数/(%)

的单调性可得，h[g(x)]+b<0,从而可得结果.

1Q1

【详解】(1)令，=2",.」—3^2—8t—3=0,.\t=3^t=——(舍去)，

t33

.2殉=3,/.XQ=log23.

(2)设函数以x),g(x)在区间[1,+8)上的值域分别为A3,由题意可得ACBW0,

/?(%)=2'-]在[1,+8)上为增函数，/.4=+8)，

g(x)=-(Inx-1)2+Z?+1,XG[1,+O?),g(x)G(一8,Z7+l],

oi

8=(-8,6+1],:.b+l>^b>-.

(3),8(元)=一(111x-1)2+6+1<0对于%€(0,+8)恒成立，

JLg(x)e(-oo,&+l].

/心)=2工-襄为增函数，.如g(x)]+力3+l)+b=2对-击+6,

易知。(6)=h(b+\)+b=一击+6(6<-1)为增函数，

/.OS)<°(-1)=-1<0,/i[gW]+/?<0,

答案第11页，共13页

所以不存在实数X,使得〃[g(x)]=-b成立.

【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数a2/(x)恒成立(a2/(x)1mx

即可)或aV/(x)恒成立即可)；②数形结合(y=/(x)图象在y=g(x)上方即

可)；③讨论最值〃"神20或7⑴侬4。恒成立.

19.(1)-

8

(2)证明见解析，!

723、1119

(3)a=——71,/?=—兀或a=—兀，/3=­—71

12121212

【分析】(1)根据余弦方差的定义代入即可求解,

(2)根据余弦差定义可得化简分子，根据和差角公式以及同角平方关系即可求解,

(3)根据余弦差定义列出关系式，利用和差角公式以及二倍角公式化简，根据题意可得

cos2a+cos2p=0

,即可结合三角函数的性质求解.

l+sin2a+sin2/7=0

84表0卜3个一0)|1

【详解】(1)依题意得,+5；

u—-----------------------------——

228

⑵证明：由“余弦方差”定义得：屋NP