圆的方程（八大题型）（讲义）-2024年高考数学复习（新教材新高考）（解析版）

第03讲圆的方程

目录

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考点要求考题统计考情分析

(1)理解确定圆的几何要素，高考对圆的方程的考查比较稳定，考

在平面直角坐标系中，掌握圆2023年乙卷(文)第11题，5分查内容、频率、题型难度均变化不大，

的标准方程与一般方程.2023年上海卷第7题，5分备考时应熟练掌握圆的标准方程与一

(2)能根据圆的方程解决一2022年甲卷(文)第14题，5分般方程的求法，除了待定系数法外，

些简单的数学问题与实际问2022年乙卷(文)第15题，5分要特别要重视利用几何性质求解圆的

题.方程.

平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆

圆的标准方程：(c—a)2+®—b)2=/

*2

圆的方程圆的一般方程："+1/2+_Da；+Ey+F=0(。2+E-4F>0)

圆外

圆上

点与圆的位置关系

圆内

・夯基•必备甚础知识辅理

知识点一：基本概念

平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆.

知识点二：基本性质、定理与公式

1、圆的四种方程

(1)圆的标准方程：(x-a)2+{y-b'y=r2,圆心坐标为(a,b),半径为r(r>0)

(2)圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=O(D2+E2-4F>0),圆心坐标为［，半径

^D2+E2-4F

r=-------------

2

(3)圆的直径式方程：若4&%),8(尤2，%)，则以线段AB为直径的圆的方程是

(x-%1)(x-x2)+(j-371)(y-y2)=0

(4)圆的参数方程：

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①Y+丁=/（厂>0）的参数方程为[尤=rcos"为参数）；

[y=rsmO

②（x-a>+（y-b）2=r2（r>0）的参数方程为[“一"十江。'"（©为参数）.

[y=b+rsm3

注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（a+rcosab+rsin。）（夕为

参数，（a,6）为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题,

然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.

2、点与圆的位置关系判断

⑴点P（x0,%）与圆（x-4+。一6）2=户的位置关系：

①（尤-a）?+（y-b）2>,o点尸在圆外；

②（无一°）2+0-6）2=产0点尸在圆上；

③（无一。）2+。-6）2</0点尸在圆内.

（2）点P（x。,%）与圆好+产+小+或+尸=0的位置关系：

①考+y；+Dx0+Ey0+尸>00点P在圆外；

②X;+y；+£>修+E%+/=0=点P在圆上；

③片+y；+£>Xo+£y（）+尸<Oo点P在圆内.

.提升•必考题型归纳

题型一：求圆多种方程的形式

例1.（2023•贵州铜仁•统考模拟预测）过4（0,1）、8（0,3）两点，且与直线>=工-1相切的圆的方程可以是

A.(^+l)2+(y-2)2=2B.(x-2)+(y—2)=5

C.(x-l)2+(y-2)2=2D.(尤+2『+(y-2)2=5

【答案】C

【解析】因为4（0,1）、3（0,3）,则线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y=2,

设圆心为C&2）,则圆c的半径为7=七£3=号，

又因为7=|阳=』2+（2一1）2=炉门，所以，=#TT,

72

整理可得』+6，-7=0,解得，=1或，=—7,

当f=l时，r=\AC\=y/2,此时圆的方程为（彳—1）2+（，-2）2=2；

当/=-7时,r=\AC\=5s/2,此时圆的方程为(x+71+(y-2)2=50.

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综上所述，满足条件的圆的方程为(》一1)2+(＞一2)2=2或(尤+7)2+(、-2)2=50.

故选：C.

例2.(2023•全国•高三专题练习)已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则

这个圆的方程是()

A.x2+y2+4x-2y=0B.x2+y2-4x+2y-5=0

C.x2+y2+4x-2y-5=0D.x2+y2-4x+2y=0

【答案】A

【解析】设直径的两个端点分别A(〃,0),5(。力)，

圆心C为点(-2,1),由中点坐标公式，得二2=一2，上心=1,解得。=T,6=2.

22

22

半径r=^(-2+4)+(1-0)=&,

圆的方程是(x+2)2+(y-1)2=5,即x2+y~+4x—2y=0.

故选：A.

例3.(2023嚏国•高三专题练习)己知圆心为(-2,3)的圆与直线x-y+l=0相切，则该圆的标准方程是()

A.(x+2『+(y-3)2=8B.(x-2)2+(y+3)2=8

C.(x+2)2+(y-3)2=18D.(x-2)2+(y+3)2=18

【答案】A

【解析】因为圆心为(-2,3)的圆与直线彳-、+1=。相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即

r="J”+1|=2近,

V2

所以该圆的标准方程是(x+2)2+(y-3)2=8.

故选：A

变式1.(2023•河北邢台•高三统考期末)已知圆C:尤?+丁=25与直线/:3x-4y+租=0(冽＞0)相切，则

圆C关于直线/对称的圆的方程为()

A.(x+3)2+(y-4)2=16B.(x+3)2+(y-4)2=25

C.(x+6)2+(y-8)2=16D.(%+6)2+(y-8)2=25

【答案】D

【解析】由圆C:f+V=25的圆心为原点。，半径为5,

又圆C与直线/相切，

则。到直线/的距离为d=5,

贝而WT=5，解得m=25,

设过。且与/垂直的直线为4,

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贝l"o：4%+3y=0,

4x+3y=0x=-3

联立

3x-”+25=00y=4

得直线/与4的交点为(-3,4),

设圆心0(。，0)关于点(-3,4)的对称点为(p,〃),

0+p

p=-6

由中点公式有2n

4=业〃二8

2

所以圆心0(。,。)关于点(-3,4)的对称点为(-6,8),

因此圆C关于直线/对称的圆的方程为：(x+6)2+(y-8)2=25,

故选：D.

变式2.(2023•山东东营•高三广饶一中校考阶段练习)过抛物线＞2=4x的焦点/的直线交抛物线于A、

B两点，分别过&、3两点作准线的垂线，垂足分别为A，4两点，以线段Ag为直径的圆C过点(-2,3),则

圆C的方程为()

A.(x+l)2+(y-2)2=2B.(^+l)2+(y-l)2=5

C.(x+l)2+(y+l)2=17D.(X+1)2+(J+2)2=26

【答案】B

准线44：x=-l,设A(X1,%),B(尤2，%)，令弦AB的中点为E,

而圆心C是线段44的中点，又明，44,8月，A4，即有EC〃/里//8与，ECIA^B,,

x=ty+lc

显然直线AB不垂直于y轴，设直线A8:x="+1,由j消去X得：li。，

则%+%=4,y1%=-4,|%%|=+%)2-4乂%=4〃+1，点E的纵坐标为X+%=2t,

2

于是得圆C的半径〃=与1=5%-%1=2犷71,圆心C(—l,2。，而圆C过点”(—2,3),

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则有|MC|=r,即J(-l+2)2+(2-2ET,解得t=g,

因此圆C的圆心C(-M),半径r=百，圆C的方程为(x+l)2+(y-l)2=5.

故选：B

变式3.(2023•全国•高三专题练习)求过两点4(0,4),3(4,6),且圆心在直线彳-2〉-2=0上的圆的标准

方程是()

A.(x+4)2+(y+1)2=25B.(尤+4y+(>-1)?=25

C.-4)2+(>+1)2=25D.(x-4)2+(y-l)2=25

【答案】D

【解析】设圆心坐标为C(2b+2,b),由圆过两点A(0,4),B(4,6),可得|AC|=|BC|,

HP[(2Z?+2)-0]2+(Z?-4)2=[(2Z?+2)-4]2+(Z?-6)2,解得2=1,

可得圆心为(4,1),半径为5,则所求圆的方程为(x-4)2+(y-l)2=25.

故选：D.

变式4.(2023•吉林四平•高三四平市第一高级中学校考阶段练习)已知直线(3+2㈤尤+(3X-2)y+5Y=0

恒过定点尸，则与圆C：(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点尸的圆的标准方程为()

A.(尤-2)2+(y+3)2=36B.(x-2)2+(j+3)2=25

C.(无一2>+(y+3)2=18D.(%-2)2+(y+3)2=9

【答案】B

【解析】直线(3+24)x+(34-2)y+5-/l=0,即(2x+3y-l)4+(3x-2y+5)=0,

[2x+3y-l=0,fx=-l.、

由c/u八解得I，即尸(Tl)，圆c(%—2)2+(y+3)2=16的圆心C(2,—3)，\PC\=5,

[3x-2y+5=0[y=l

所以所求圆的标准方程为(％-2/+(y+3>=25.

故选：B

变式5.(2023•全国•高三专题练习)圆C：(》-1)2+。-2)2=2关于直线》-了=。对称的圆的方程是()

A.(x-l)2+(y+2)2=2B.(x+1)2+(y+2)2=2

C.(x-2)2+(y-l)2=2D.(x+2)2+(y+l)2=2

【答案】C

【解析】由圆C：(Aiy+(y-2)2=2,可知圆心坐标：(1,2),半径为近，

因为点d，2)关于直线>=x的对称点为(2,1),

所以圆C：(彳-1)2+。-2)2=2关于直线尤-尸。对称的圆的方程是

(x-2)2+(y-l)2=2,

故选：C

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变式6.(2023•重庆•高三重庆一中校考阶段练习)德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”(也

称“米勒定理”)：若点A,8是NMON的边上的两个定点，C是ON边上的一个动点，当且仅当ABC的

外接圆与边ON相切于点C时，-4CB最大.在平面直角坐标系中，已知点0(2,0),矶4,0),点尸是y轴

负半轴的一个动点，当"EE最大时，QM的外接圆的方程是().

A.(x-3)2+(y+2^)2=9B.(x-Sj+卜一2何=9

C.(尤+2&『+"3『=8D.(x_20『+(y_3)2=8

【答案】A

【解析】由米勒定理知当NDEE最大时，砂的外接圆与＞轴负半轴相切，此时圆心位于第四象限，

因为点0(2,0),£(4,0),

所以圆心在直线x=3上，

又圆与〉轴负半轴相切，

所以圆的半径为3,

设圆心为P(3,))，bvO,

则|尸。|="万=3,解得人=±20,

又bV。，

所以b=-2近，

所以_DEF的外接圆的方程是3)?+(y+2应＞=9，

变式7.(2023•陕西西安•高三校考阶段练习)过点*4,2)作圆/+丁=4的两条切线，切点分别为A,B,

则的外接圆方程是()

A.(x-2)2+(y-l)2=5B.(x-4)2+(y-2)2=20

C.(%+2)2+(y+l)2=5D.(%+4)2+(y+2)2=20

【答案】A

【解析】由圆尤2+y2=4,得到圆心0(0,0),由题意知。、48、P四点共圆，加的外接圆即四边形

的外接圆，又尸(4,2),从而O尸的中点坐标(2,1)为所求圆的圆心，：|0尸|=石为所求圆的半径，所以所求

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圆的方程为0-2产+0-1）2=5.

故选:A

变式8.（2023•四川成都•高三成都校考开学考试）已知君,0）,8（石,0）,C（0,3）,贝IABC外接圆

的方程为（）

A.(x-l)2+y2=2B.(x-l)2+y2=4C.x2+(y-l)2=2D.X2+(J-1)2=4

【答案】D

【解析】设：ABC外接圆的方程为（尤-4+（y4丫=产

222

(-V3-o)+(0-Z?)=ra=0

则有〈(百-a)2+(O-b)2=,,解之得.b=l

(0-o)2+(3-Z?)2=r2r=2

则ABC外接圆的方程为/+（丫-1）2=4

故选：D

【解题方法总结】

（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标（a,6）

和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点.因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法.

（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半

径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等.

题型二：直线系方程和圆系方程

例4.（2023•全国•高三专题练习）圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0

的交点的圆的方程为（）

A.N+y2_%+7y-32=0B.x2+y2-x+ly-16=0

C.N+y2-4x+4y+9=0D.N+y2-4x+4y-8=0

【答案】A

【解析】根据题意知，所求圆经过圆入2+产+6%-4=0和圆x2+y2+6y-28=0的交点,

设其方程为a2+y2+6x_4)+Z(x2+y2+6y_28)=0,

即(1+2)/+(1+A)y2+6x+6Ay-4-28A=0,其圆心坐标为1+lJ

-3-32

又由圆心在直线x-y-4=0上，所以-4=0,

1+A11+4

解得2=-7,

所以所求圆的方程为：（-6）/+（-6）>2+6工-42>+192=0,即x2+y2-x+7y-32=0,

故选：A.

例5.（2023•高二课时练习）过圆/+丁―2丁—4=0与炉+,2一4%+2y=0的交点，且圆心在直线

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/:2%+4y—1=0上的圆的方程是.

【答案】f+,2_3%+,—1=。

【解析】设圆的方程为d+丁—4x+2y+X（f+y2—2^—4）=0（丸。—0,

贝1］（1+小2_4%+（1+a2+（2_2小_4；1=0,

即f+y2_\x+=—争广4；=0,所以圆心坐标为（"j,

1+Z1+Z1+411+21+zJ

把圆心坐标［三，乌］代入2x+4y-l=0,可得2=

所以所求圆的方程为/+9一3尤+y-l=0.

故答案为：Y+y2-3尤+y-l=0.

例6.（2023•江苏•高二专题练习）曲线3/_必=3与y=尤2-2工一8的四个交点所在圆的方程是.

【答案】4）2+（>-2）2=49

222

【解析】根据题意得到：3x-/-4（x-2x-8）=3-4y,化简得到答案.3/_/=3,y=x-2x-8,故

3x2-y2-4（x2-2x-8）=3-4y,

化简整理得到：一+丁-8尤-4y-29=0,即（工-疗+（,-2）?=49.

故答案为：（x-4）2+（y-2>=49.

变式9.（2023•安徽铜陵•高二铜陵一中校考期中）经过直线x-2y=0与圆尤2+,2-4x+2y-4=0的交点，

且过点（1,0）的圆的方程为.

【答案】尤2+/+312、-4=0

【解析】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：

x~+y~—4x+2y-4+2（x—2y）=0

•••所求圆过点（1,0）

-7+2=0

解得4=7

所以圆的方程为炉+/-4x+2y-4+7（x-2y）=0,化简得尤2+丁+3了_12丫一4=0.

故答案为：尤2+y2+3x-i2y-4=0.

变式10.（2023•高二校考课时练习）过两圆V+V一x-y-2=0与炉+V+4工-4y-8=0的交点和点（3,1）

的圆的方程是.

13

【答案】X2+y^--,r+y+2=0

【解析】设所求圆的方程为：（炉+/一x-y-2）+2（/+/+4工一4、-8）=。

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将(3,1)代入得：2=-1

13

二所求圆的方程为：尤2+/_］尤+/+2=0

13

本题正确结果：尤2+>~——x+y+2=0

变式11.(2023•浙江杭州•高二校考期末)已知一个圆经过直线，：2x+y+4=。与圆C：/+y2+2x-4y=0

的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为.

［答案］+y+—x-■—y+—=0

【解析】可设圆的方程为f+y2+2%-4y+/l(2x+y+4=0)=0,

即％2+/+2(1+团》+(2-4)7+4/1=0,

(4-2^

此时圆心坐标为卜1-%—--I,

当圆心在直线2x+y+4=0上时，圆的半径最小，从而面积最小，

4-2

/.2(-l-2)+-y^+4=0,

Q

解得a'.

贝U所求圆的方程为f+V+gx—9>+弓=0，

故答案为『+y2+-^--x--^-y+-^-=^-

变式12.(2023•江西九江•高一统考期中)经过两圆/+/+6X-4=0和/+；/+6,-28=0的交点，且

圆心在直线X-y-4=o上的圆的方程为

【答案】x2+/-x+7y-32=0

【解析】由题可先设出圆系方程；X2+/+6%-4+2(x2+y2+6y-28)=0,则圆心坐标为；(一：；-~~~-),

1+21+2

又圆心在直线x—y—4=0上，可得；—二+二—4=0,解得之=—7.

1+21+2

所以圆的方程为：x2+y2-x+ly-32=0.

故答案为：尤2+/—x+7y—32=0.

变式13.(2023•浙江绍兴•高二统考期中)己知圆C过直线2x+y+4=0和圆/+9+2工一4、+1=0的交

点，且原点在圆C上.则圆C的方程为.

317

【答案】x2+y2+—X---y=0

24

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【解析】根据题意可设圆C的方程为：x2+/+2x-4y+l+2（2x+y+4）=0,因为原点在圆C上，故彳=-：

所以所求圆的方程为炉+丁+三a元-1：7y=0.

24

考点：直线与圆的位置关系，圆的标准方程.

【解题方法总结】

求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用

它们的直线系方程（圆系方程）.

（1）直线系方程：若直线4：Ax+耳y+G=o与直线/2：4x+B2y+C2=o相交于点p，则过点尸的直

线系方程为：4（A尤+y+Cj）+A,（4x+与〉+C?）=0（4~+石w0）

简记为：第+44=。（看+若力。）

当4wo时，简记为：4+勿2=0（不含4）

（2）圆系方程：若圆C1：x2+y2+Rx+£；y+耳=0与圆C2：x2+y2+4x+E2y+&=0相交于A,2两

点，则过A,8两点的圆系方程为：f+丁+。/+£^+月+2（无2+^+3无+£2丫+工）=。（2#一1）

简记为：£+力。2=0（力力一1），不含G

当4=—1时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）I:（2一DJx+（4—E?）y+4一F?=0

注意：与圆C共根轴/的圆系Q:C+〃=O

题型三：与圆有关的轨迹问题

例7.（2023•全国•高三专题练习）点P（LO）,点。是圆/+/=4上的一个动点，则线段尸。的中点/的

轨迹方程是（）

【答案】A

【解析】设点/的坐标为〃（x,y）,因为/点是线段PQ的中点，

可得。（2x-l,2y）,点。在圆上，

贝lj（2x-l）2+（2y）2=4,即］无一£|+y2=l-

故选：A.

例8.（2023•湖南郴州•统考模拟预测）已知A,B是C：（尤-2）2+（y-4『=25上的两个动点，尸是线

段的中点，若|AB|=6,则点尸的轨迹方程为（）

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A.(x-4)2+(y-2)2=16B.(A:-2)2+(y-4)2=11

C.(x-2)2+(y-4)2=16D.(x-4)2+(y-2)2=11

【答案】C

【解析】因为A3中点为尸，所以又|AB|=6,所以|”|=(5-[12=4,

所以点P在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为(x-2)2+(y-4)2=16.

故选：C.

例9.(2023•全国•高三专题练习)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另

一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数九(九＞0，九*1)的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥

斯圆.已知点P到4(-2,0)的距离是点尸到8(1,0)的距离的2倍.求点尸的轨迹方程；

【解析】设点P(%y),

点P到A(-2,0)的距离是点P到8(1,0)的距离的2倍，可得|上4|=2|PB|,

即J(x+2『+y2=2ax-l)”,整理得(左一2)2+V=4,

所以点尸的轨迹方程为(尤-2)2+9=4；

变式14.(2023•全国•高三专题练习)已知尸(4,0)是圆/+/=36内的一点,A,B是圆上两动点，且满足

ZAPB=90°，求矩形APBQ顶点Q的轨迹方程.

【解析】连接AB,PQ,设A2与交于点如图所示.

因为四边形AP8。为矩形，所以M为43,PQ的中点，连接。

由垂径定理可知。知，4氏

设加0",加)，

由此可得|AM「=1-1OM『=36-(扁+/).①

又在RtAP3中，

有|侧=|PM|=7（^-4）2+^.②

由①②得4+yj-4如T0=0,

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故点M的轨迹是圆.

因为点M是尸。的中点，设QO,y),

niIx+4y

则XM=--%二万,

代入点M的轨迹方程中得，

(空2+(/4X啜1。=0,

整理得d+V=56,即为所求点。的轨迹方程.

变式15.(1977•福建・高考真题)动点尸(x,y)到两定点A(-3,0)和8(3,0)的距离的比等于2,求动点尸的轨

迹方程，并说明这轨迹是什么图形.

到一2

【解析】由题意可知：

PB\'

又P(x,y),A(-3,0)和5(3,0),

J(尤+3丫+了,2

所以==2，

,2

化简得Y-10x+丁+9=。即(*-5)2+/=16,

所以动点P的轨迹是以(5,0)为圆心，半径是4的圆

变式16.(2023•安徽合肥•高三合肥一中校考阶段练习)已知圆C：x2+/+2x-4y+3=0.

(1)若不过原点的直线/与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线/的一般式方程；

(2)从圆C外一点尸(x,y)向圆引一条切线，切点为。为坐标原点，且有1PMi=|尸。］,求点尸的轨迹方程.

【解析】(1)由炉+/+2工一4、+3=0配方得(x+lf+Q-2>=2,所以圆C的圆心。(一1,2),半径为近，

因为直线/在x轴，y轴上的截距相等，所以设直线/为尤+y=6,即x+y-6=0,

卜1+2

则由直线/与圆C相切得解得6=-1或6=3,

7T+T=C,

二直线/的方程为x+y+l=0或x+y-3=0.

(2)由圆上切点的性质知1PMf=|PC.

又因为1PM=归。］,所以|尸O「=|PC「_/,

所以尤2+/=a+l)2+(y-2)2—2,整理得2x-4y+3=0,

故点P的轨迹方程为2x-4y+3=0.

变式17.(2023•全国•高三专题练习)由圆/+/=9外一点c5,12)引圆的割线交圆于A3两点，求弦

A8的中点M的轨迹方程.

【解析】［方法一］：【通性通法】【最优解】直接法

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设弦AB的中点A/的坐标为M(x,>),连接OP、OM，则OM±AB.

在中，由勾股定理有无2+产+0：-5)2+。-12)2=169,而"(3)在圆内,

所以弦的中点M的轨迹方程为犬+V-5x-12y=0(-3<x<3).

［方法2］：定义法

因为M是"的中点，所以加，血,所以点M的轨迹是以O尸为直径的圆，圆心为6)半径为=£,

所以该圆的方程为:，一£［+(y-4=1£j,化简得Y+V一5x-12y=0(-3<x<3)

［方法3］：交轨法

易知过尸点的割线的斜率必然存在，设过P点的割线的斜率为七

则过尸点的割线方程为:y-12=-x-5).

OA/_LAB且过原点,，OM的方程为>=x

k

这两条直线的交点就是M点的轨迹.两方程相乘消去上化简，得：V+V-5x-12y=0,

其中—3<x<3.

［方法4］：参数法

设过P点的割线方程为:了-12=左(》-5),它与圆/+)?=9的两个交点为人、B,

AB的中点为A/,设M(龙,丫),4(芯,另),3(尤2，%).

由1:可得，(1+公卜2+2%。2-5人)》+。2-5左丫-9=0,所以，士+%=-当也，即有

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%（12-5左）12-5k

"=一]+Ly=^e消去上,

可求得M点的轨迹方程为：x2+y2-5x-12y=0,-3<x<3.

［方法5］：点差法

设”(工,丫),人(%,%),3(巧,%),则占+%=2羽%+%=2〉.

1=9,考+£=9.两式相减，整理得伍-3)(%+%)=。.

x

所以%二-』Vi=-%七」=一一,即为A3的斜率，

x2-xxyY+y2y

2222

而AB的斜率又可表示为=,••-==--，化简并整理，得x+y-5x-ny=0.

5-x5-xy

其中-3<x<3.

【整体点评】方法一：直接根据轨迹的求法，建系、设点、列式、化简、检验即可解出，是该类型题的常

规方法，也是最优解；

方法二：根据题设条件，判断并确定轨迹的曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程；

方法三：将问题转化为求两直线的交点轨迹问题；

方法四：将动点坐标表示成某一中间变量(参数)的函数，再设法消去参数；

方法五：根据曲线和方程的对应关系，点在曲线上则点的坐标满足方程，用点差法思想，设而不求.

变式18.(2023•全国•高三专题练习)已知圆6:炉+/-4了=0,平面上一动点尸满足：PM2+PN2^6^.

M(-l,0),N(l,0).求动点尸的轨迹方程；

【解析】设P(x,y),由尸”+尸储=6,

所以(X+1)2+/+(X-1)2+V=6,整理得尤2+y2=2,

即动点尸的轨迹方程f+y2=2.

变式19.(2023•全国•高三专题练习)在边长为1的正方形ABC。中，边AB、8C上分别有一个动点Q、

R,且忸0=|CR］.求直线AR与QQ的交点P的轨迹方程.

【解析】分别以AB，边所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系.

如图所示，则点40,0)、8(1,0)、C(l,l)、0(0,1),

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设动点p(x,y),ea,o)(o<z<i),

由忸Q|=|CR|知：阐=网,则R(1J).

xx

当时，直线AR：y=比①，直线。。：-+y=l,则1一>=—②，

tt

①x②得：y(l-y)=tt—,化简得/+/_'=0.

当f=0时，点P与原点重合，坐标(0,0)也满足上述方程.

故点尸的轨迹方程为+=

变式20.(2023•全国•高三专题练习)已知RtABC的斜边为A3,且A(-l,0),B(3,0).求:

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.

【解析】(1)设因为A,B,C三点不共线，所以y*0,

因为AC13C,所以KC-&C=T，

又因为Kc=忘，凝c=告'所以后,号=T

整理得一2X—3=0,即(尤一1)2+;/=4,

所以直角顶点C的轨迹方程为(x-lf+y?=4(y片0).

(2)设Af设,以以无。,％),

因为8(3,0),M是线段2C的中点,

由中点坐标公式得X=三》=若卫，所以x°=2x-3,%=2y,

由(1)知，点C的轨迹方程为(x-l)2+y2=4(ywO),

将升=2x-3,%=2y代入得(2x-4)2+(2y>=4,即(*-2)、/2=1

所以动点A/的轨迹方程为(尤-2)2

变式21.(2023•高二课时练习)如图，已知点A(-l,0)与点3(1,0),C是圆N+y2=l上异于A,2两点的

动点，连接BC并延长至。，使得|C0=|2C|,求线段AC与。。的交点尸的轨迹方程.

【解析】设动点尸(x,>),由题意可知尸是△A3。的重心，由A(-l,0),B(l,0),

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令动点C(xo,yo),则O(2xo-1,2yd),

—1+1+2JVQ—1

x=

3

由重心坐标公式得，

2%

y二

3x+l

xo=—%一

则代入f+y2=l,

Jo=y(>,0*°)

整理得,++y2=1(yw0)

故所求轨迹方程为(x+gj+y=箝力0).

变式22.(2023•高二课时练习)已知点A(2,o)是圆V+y2=4上的定点，点3(1,1)是圆内一点，P、。为

圆上的动点.

(1)求线段A尸的中点〃的轨迹方程.

⑵若NP8Q=90。，求线段尸。中点N的轨迹方程.

【解析】(1)设"中点为"(x，y),

由中点坐标公式可知，尸点坐标为(2x-2,2y)

：尸点在圆V+丁=4上，(2%-2)2+(2y>=4.

故线段AP中点的轨迹方程为(%-1)2+/=1.

(2)设PQ的中点为N(x,y),在RtAPB。中，|PN|=|3N|,

设O为坐标原点,则ONJ.PQ,所以|OP|2=|ON/+|PN|2=|ON|2+|8N『,

^fiy,x2+/+(x-l)2+(y-l)?=4.

故线段PQ中点的轨迹方程为Y+/一x-y-l=0.

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【解题方法总结】

要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标X,y的等量关系，根据题目条件，直接找到或

转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在.

题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件

例10.(2023•河南•高三阶段练习)"a<1”是“方程2/+2y2+2ax+6y+5a=0表示圆”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为方程2/+2/+2ax+6y+5a=0,即Y+y?+依+3>+¥=。表示圆，

等价于/+9-10。>0,解得。>9或av1.

故“a<1”是“方程21+2/+2办+6y+5。=0表示圆”的充分不必要条件.

故选：A

例11.(2023•上海奉贤•高三校考阶段练习)已知：圆C的方程为/Q,y)=0,点不在圆C上，

也不在圆C的圆心上，方程C，:/(x,y)-/(x°,%)=0,则下面判断正确的是()

A.方程。表示的曲线不存在

B.方程。表示与C同心且半径不同的圆

C.方程。表示与C相交的圆

D.当点P在圆C外时，方程。表示与C相离的圆

【答案】B

【解析】因为C为圆，设f(x,y)=/+y2T=o,点尸(1,1),其圆心为(0,0),半径为1,

而C的方程为了(羽丁)-/(%%)=。，gpx2+j2-l-l=O,x2+y2-2=0

因此上述方程中，圆心亦为(0,0),半径为虚，所以C与圆C是同心且半径不同的圆.

故选：B.

例12.(2023•高三课时练习)关于x、y的方程砂+。2+6+或+尸=0表示一个圆的充要条件是

A.B=0,且4=。片0

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B.B=l,RD2+E2-4AF>0

C.B=0,且4=。工0,D2+E2-4AF>0

D.B=0,MA=C^O,D2+E2-4AF>0

【答案】D

【解析】关于尤、y的方程瓜2+3盯+Cy2+Dx+Ey+//=0表示一个圆的充要条件是

即8=0,且A=cwo,D2+E2-4AF>0-

变式23.（2023•全国•高三专题练习）若方程f+丁+依+2»+2=0表示圆，则实数。的取值范围是（）

A.a<-2B.a>2

C.av—2或a>2D.a<-2^a>2

【答案】C

【解析】若方程龙2+丁+。％+2>+2=0表示圆，贝IJ〃2+22—4X2>0,

解得：〃>2或"-2.

故选：C

变式24.（2023•全国•高三专题练习）已知方程/+丁+J赢+2y+2=0表示圆，则实数相的取值范围

为（）

A.（l,+oo）B.（2,+oo）C.（3,+oo）D.(4,+oo)

【答案】D

【解析】因为方程Y+9+忻工+2丁+2=0表示圆，

所以（而Y+22-4X2>0,解得相>4.

故选：D

变式25.（2023•四川绵阳•高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）若圆C：

工2+〉2-2（〃2-1）了+2（机一1）〉+2加2-6机+4=0过坐标原点，则实数加的值为（）

A.2或1B.-2或-1C.2D.-1

【答案】C

【解析】X?+y~—2（机一l）x+2（机一1）y+2祖~—6〃?+4—。表不圆,

—1)丁+[2(〃z—1)丁-4(2m2—6m+4^>0

m>1.

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又圆。过原点，

***2m2—6m+4=0,

m=2^m=l(舍去)；

m=2.

故选:C.

变式26.(2023•全国•高三专题练习)若方程N+y2+2&+2⑪+2〃T+i=o表示圆，则2的取值范围

是()

「1「

A.(1,+oo)B.-J

C.(1,+oo)u(-°0.1)D.R

【答案】A

【解析】因为方程N+y2+22x+2初+2/1?—2+1=0表小圆，所以沙十岳—4/>0,

即4M+4丸2—4(2"—2+1)>0,解不等式得2>1,即A的取值范围是(1,+oo).

故选：A.

变式27.(2023•高二课时练习)若二£(0,2»),使曲线/cosa+Vsina+xcosa+ysini+luO是圆，则

【答案】A

【解析】由题意，cosa=sinaf

因为(ze(O,2;r),所以a=?或tz=7，

当夕=工时，方程为立/+立产+变x+立y+l=0,

422-22

化简得工+/+了+丫+0二。,

止匕时+炉一4P=2-4应<0，不表示圆；

当&=苧时，方程为-变入变变>变=°.

422-22'

化筒得炉+y2+%+y_5/2=0,

止匕时。2十月2—4尸=2+4后>0，表示圆.

所以&=苧.

4

故选：A

【解题方法总结】

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方程V+/+.+4+尸=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0,故在解决圆的一般式方程的有关问

题时，必须注意这一隐含条件.在圆的一般方程中，圆