2024广东省广州市普通高中毕业班冲刺训练题（二）数学及答案

2024年广州市普通高中毕业班冲刺训练题(二)数学本试卷共4页，19150分。考试用时120分钟。注意事项：12B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。22B3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相要求作答无效。48540求的。1x61.2x-的展开式中常数项是A.15B.160C.-60-1602.已知向量ab满足a=3,1b=λaλ∈Ra⋅b=1λ=1412A.B.C.243.等差数列a的首项为10．若a,a,aa的前5项和为nn236A.-15B.-3C.5254.下列命题为真命题的是b+cbaA.若a>b>B.若a>b,c>da-d>b-c；a+c11aC.若a<b<0a2<ab<b2若a>b>；a-bπ4π85.已知函数fx=sin2x+α=+kπk∈Zfx+αfx-αA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件既不充分也不必要条件6.如图所示,某同学制作了一个工艺品.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为8的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)．若其中一截面圆的周长为4π405π3805π31605π32005π3A.B.C.·数学试卷第14页）·y2b2x2a27.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为Fy=2xy=kx与C在第一象限内的交点为P．若PF=POk的值为5232255455A.B.C.bk8.已知直线y=kx+b恒在曲线y=ln(x+2)的取值范围是3445A.1,+∞B.,+∞C.0,+∞,+∞36分18选对的得60分。9.已知m,n为异面直线，m⏊平面αn⏊平面β．若直线l满足l⊥ml⊥nl⊄αl⊄β误的是A.α⎳βl⎳αC.α⊥βl⊥βB.α与βlα与βly2b2x2a27910.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F,FF的直线与E交于M,N两点.若122cos∠FMF=MN=MF112MF12A.△MN的周长为4aC.MN的斜率为±3B.2=NF233椭圆E的离心率为11.已知函数fxgx及导函数fxx的定义域均为R．若g(x+1)f'x=g'x+1，gx-1-f4-x=2A.f0=2B.fx是偶函数C.gn=0fn=-40481135分15分。12.已知1+iz=4iz是关于x的实系数方程x2+mx+n=0mn=．13.已知△ABCD在边AC上，∠B=60°sinA=3sinCAC=7△ABC的面积为AD=2DCBD=.14.O1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动5次．该质点在有且仅有一次经过-11位置的概率为．·数学试卷第24页）·57715.1314如图所示的空间几何体是以AD为轴的圆柱与以AD为G为弧的中点.(1)BDF⊥平面BCG；(2)当AB=4BDF与平面ABG夹角的余弦值为155E到直线BG的距离.16.15.某年级共有学生500300200(单)100169019.(1)25(2)已知总体划分为2方差分别为：n,x,s；2m,y,s2．记总的样本的均值为zs．121(i)证明：s2=ns2+x-z2+ms2+y-z2；21m+n(ii)(精确到1)；(3)假设全年级学生的阅读时长服从正态分布Nμ,σ2(ii)总样本的均值和标准差分别作为μ和σ的估计值．如果按照16%,34%,34%,16%的比例将阅读时长从高到低依次划分为A,B,C,D定各等级时长(精确到1)．附：Pμ-σ≤X≤μ+σ≈0.68,302≈17,322≈18,352≈19．·数学试卷第34页）·17.15已知函数fx=xeaxa>0．(1)求fx在区间-1,1上的最大值与最小值；(2)当a≥1fx≥lnx+x+1．18.17已知抛物线C:y2=4x(1)若直线AB过C的焦点F.(i)当△AOBAB的方程；(ii)当AB=8△AOB的外接圆Γ与C的另一个交点为POP；AB与抛物线交于，两点为坐标原点AB.C,O(2)设圆(x-7)2+(y-b)2=r2(b∈Rr>0)与C交于四点O,Q,A,B弦ABOQ的中点分别为MNMN.19.17nan+d,∉N*若无穷项数列an满足a1=t(d,q,t为常数，t∈N且t≥2)aM(t)n*nntqa,∈N*.(1)设d=1q=11的数列aM(3)数a2024；n(2)若首项为1的等比数列bM(t)b的通项公式及前n项和Sn；nn(3)设d=1q=21的数列cM(5)c的前n项和为nnnT=5n×c-10n的n值.nn·数学试卷第44页）·2024年广州市普通高中毕业班冲刺训练题(二)参考答案1.D1x1x6r2x-的展开式的通项公式为T=Cr2xr-=-1r2rCrxr，6r16令6-2r=0r=3-12C=-160.故选：D2.A14a⋅b=λa2=1,所以3.A即4λ=1,λ=an的公差为da=1+da=1+2da=1+5d，236由题意可知，1+2d=1+d1+5dd2=-2d，解得：d=-2或d=0(舍)，5×42则数列an的前5项和S=5a+d=5-20=-15.故选：A514.BA,可以取a=2,b=1,c=-1A错误.对于B∵c>d∴-d>-ca>ba-d>b-cB正确；对于Ca=-2b=-1a2=4ab=2b2=1a2>ab>b2C错误；，，112111a对于Da=1,b=-1时，=，=1<D错误；a-baa-b故选：B.5.Aπ4π4π2π8kπ2fx+α=2x++2α2α+=+kπk∈Z,即α=+πππ8kπ若fx-α=2x+-2α-2α=nπn∈Zα=+442π8α=+kπk∈Zfx+αfx-α.6.CRr2d，因为截面圆的周长为4π2πr=4πr=2，又因为该工艺品可以看成是一个球被一个棱为8的正方体的六个面所截后剩余的部分，所以两截面圆之间的距离为2d=8d=4，R2=r2+d2=22+42=20，4π31605π3所以球的体积为V=7.CE的两条渐近线方程分别为y=xy=-x，R3=.C.故选：babac2由PF=PO得：P,ac=5ac25a2点P在直线y=2x上a=k×=k×，255解得：k=,故选：C8.Ay=kx+t与曲线切于点x,x+2001x0x0+2切线方程为y=x+x0+2-，x0+2·第17页）·1x0x0+2bktk所以有k=t=x0+2-,所以>=x+2x+2-(x+2)+20x0+200bk设gx=xlnx-x+2gx≥g1=1,所以>1.故选：A．9.α⎳βm⊥平面α,n⊥平面βm⎳n，这与直线m,nA错误；假设l⊥βn⊥平面βn⎳ll⊥nC错误；设α∩β=ab⎳mb与nb与n构成平面γ因为m⊥平面αa⊂αm⊥ab⎳mb⊥a，同理：n⊥ab与n构成平面γa⊥γ；因为l⊥mb⎳ml⊥bl⊥nb与n构成平面γl⊥γ，故而l⎳aα与β的交线平行于lB正确，D错误；故选：10.ABDF关于∠FMF平分线的对称点N在直线MF上，1122又点F关于∠FMF平分线的对称点N也在椭圆E上，112所以点N为直线MF与椭圆E△FMN的周长为4aA正确；21π2设∠FMF的平分线交FN于点D∠NMD=α,α∈0,，12178223则cos2α=2cosα-1=⇒cosα=⇒cosα=，991NFNDNF1NM1132123所以sinα=1-cosα=sinα===⇒=，3NMNM设NF=2m,则NM=3m=MFNF+NM+MF=8m=4a，1111a232a2所以m=NF1=aNM=aNF=aMF=，22MF12所以2=B正确；NF2在△FMFFF2=MF2+MF2-2MFMFcos2α，21212121941432127933则4c2=a2+a2-2⋅a⋅a⋅a2=3c2e=D正确；显然MN的斜率为±2C错误.故选：ABDfx=x+1fx+a=gx+1+ba,b∈R．又因为f3-x+2=gxfx+2=g3-x．于是可得g3-x-2+a=gx+1+bx=1，则g3-1-2+a=g1+1+ba-2=b．所以f(x)=gx+1-2,所以f4-x=g5-x-2,因为gx-1-f4-x=2所以gx-1=g(5-x)gx=g4-x①因为gx+1g-x+1=-gx+1⇒g2-x+gx=0②，g1=0f0=g1-2=-2A错误.由①②得gx+4=gx,所以函数gx是周期为4的周期函数．因为f(x)=gx+1-2,因此函数fx也是周期为4的函数．又gx的图像关于点1,0fx的图像关于点0,-2B选项不正确．·第27页）·因为g2-x+gx=0x=1g1+g1=0g1=0g1=g3=0；令x=0g2+g0=0g2+g4=0g1+g2+g3+g4=0，所以gn=0C选项正确．1因为fx=g3-x-2f0=g3-2=-2f2=g1-2=-2f1=g2-2，f3=g0-2f4=f0=-2，则有f1+f2+f3+f4=g2-2+-2+g0-2+-2=-8，可得fn=-4048D选项正确．故选：．112.-324i1-i1+i1-i4i1+i1+iz=4iz===2+2iz=2-2i，z为实系数方程x2+mx+n=0的一个根，方法1z代入方程有2+2i2+m2+2i+n=0，2m+n=08+2m=0化简得2m+n+8+2mi=0m=-4,n=8m∙n=-32方法2z,zm=-z+z=-4n=z⋅z=8m⋅n=-32.33443313.,a=3c,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosBc=1,a=3,133423所以S=acsinB=2212132433方法1BD=+BCBD2=BD=+BCBD=33b2+c2-a22bc7142273方法2cosA==-AD=AC=△ABD3439433BD2=AB2+AD2-2AB×AD×cosA=,所以BD=214.5A件B.按到-1位置需要1步，3步，5步分类讨论.记L=向左,R=向右①若1步到位为事件A1LRRLRLRRR(第5步无关)LLLRL(LLLL(第5步无关)，316所以PA1=2PLRRLR+PLRRR=②若3步到位为事件A2RLLRR,RLLLL116所以PA2=2PRLLRR=③若5步到位为事件A3RRLLLRLRLL132132116所以PA3=+=516所以PA=PA1+PA2+PA3=18满足AB的情况有:LRRLR,LRRRLRLLRR,RLRLL,所以PAB=PABPA=25.所以PB|A=15.(1)过G作GH⎳BC交弧ABGB则G为弧ABGH⎳BC且GH=BC所以四边形HBCGHB⎳CG·第37页）·π4由题意可知，FB⊥BC,RtΔABF∠ABF=;π4因为G为弧ABRtΔABH∠ABH=π2所以∠FBH=FB⊥BH因为HB⎳GCFB⊥CG又因为BCCG⊂面BCGBC∩CG=C所以BF⊥平面BCG,因为BF⊂面BDF所以平面BDF⊥平面BCG.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分AD=aA(0,0,0),F(4,0,0),B(0,4,0),D(0,0,a),G(-2,2,a),则BD=(0,-4,a),BF=(4,-4,0),AB=(0,4,0),AG=(-2,2,a),BG=(-2,-2,a),设平面BDF的一个法向量为n=(x,y,z)1111则n⋅BD=0-4y+az=0141即11y=1n=1,1,1令，4x-4y=0an⋅BF=01112设平面ABG的一个法向量为n=(x,y,z)，222n⋅AB=04y2=02a2令，x=1n=1,0,22则即-2x+2y+az=0n⋅AG=02222设平面BDF与平面ABG的夹角为θ81+n⋅na2155cosθ=cos<n,n>=12==a=412nn164a2121+1+⋅+1a2所以G(-2,2,4),B(0,4,0),E(4,0,4)BG=(-2,-2,4),BE=(4,-4,4)d=BE2-BE⋅BG24213BG2=4213所以点E到直线BG的距离为.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分×90=95.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分16.(1)总样本的均值为=25×100+255050.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分nmnm11(2)(i)证明：s2=x-z2+y-z2=x-x+x-z2+y-y+y-z2m+niim+nii1111nm1=x-x2+(x-z)2+2x-x(x-z)+y-y2+(y-z)2+2y-y(y-z)im+niii11nn∵2x-x(x-z)=2(x-z)x-x=2(x-z)x+x+x+⋯+x-nx=0，ii123n11n同理2y-y(y-z)=0．i11所以s2=ns2+(x-z)2+ms2+(y-z)2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分yxm+n(ii)zs2，1则z=30×100+20×90=96，501所以s2=30256+(100-96)2+20361+(90-96)2=32250·第47页）·又322≈18s≈18．总样本的均值为9618分．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分(3)由(2)知μ=96,σ=18X服从正态分布N96,182，所以P96-18≤X≤96+18≈0.68,PX≥96=0.5．P(78≤X<96)=P(96≤X<114)≈0.34,PX≥114=P(X<78)≈0.16．故可将X≥114定为A等级，96≤X<114定为B等级，78≤X<96定为C等级，X<78定为D等级．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分17.(1)f(x)=e(1+ax)(x>0)(a>0)1令f(x)=0,则x=-a1a当0<a≤1时，-≤-1f(x)≥0在区间-11上恒成立，f(x)在区间-11以f(x)=f(-1)=-eaf(x)=f(1)=e.111a当a>1时，-1<-<1x∈-1,-时，f(x)<0f(x)在区间-1,-x∈aa1a1a-1时，f(x)>0f(x)在区间-1上单调递增，1a1所以f(x)=f-=-，ae而f(-1)=-ea<0f(1)=ea>0，f(x)=f(1)=ea综上所述,当0<a≤1时，f(x)=-ea，f(x)=e;1ae当a>1时,所以f(x)=-f(x)=e.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分(2)因为x>0,a≥1xe≥xexxe≥lnx+x+1xex≥lnx+x+11设g(x)=xex-lnx-x-1(x>0)(x)=(x+1)ex-，，x1x令ϕ(x)=ex-ϕ(x)(0,+∞)在上单调递增，12而ϕ=e-2<0ϕ(1)=e-1>0121x0x0∈,1使得ϕ(x)=0e0-=0，因此e，x=1x=-lnx00x0当x∈(0,x)时，(x)<0(x)<0g(x)在(0,x)上单调递减；00当x∈(x+∞)时，(x)>0(x)>0g(x)在(x+∞)上单调递增；00xx-lnx-x-1=1x--lnx-x-1=0所以g(x)=g(x)=e000000x0所以g(x)≥0f(x)≥lnx+x+1.方法二：(同构)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分因为x>0,a≥1xe≥xexxe≥lnx+x+1只需证明xex=elnex=elnx≥lnx+x+1因此构造函数h(x)=ex-x-1(x∈R)xex≥lnx+x+1(x)=ex-1当x∈(-∞,0)时，(x)<0h(x)在(-∞,0)上单调递减；当x∈(0+∞)时，(x)>0h(x)在(0+∞)上单调递增；所以h(x)≥h(0)=0,所以ex≥x+1所以xex≥lnx+x+1因此f(x)≥lnx+x+1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分·第57页）·18.ABAx,y,Bx,y，2112(1)(i)因为AB过F(10)AB为x=my+1，与C方差联立可得：y2-4my-4=0y+y=4m，12所以有Δ=16m2+16>0，，yy=-4121(i)点O到直线AB的距离为d=，1+m2又因为：AB=(x-x)2+(y-y)2=1+m2⋅(y+y)2-4yy=4(1+m)，1212121212121所以S=dAB=⋅⋅4(1+m)=21+m2≥2，1+m2当m=0,△AOB的面积取得最小值2AB方程为x=1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分(ii)设Ax,y,Bx,yPx,yAB垂直于xAB=4，311223所以由AB=8可知AB斜率存在，因为弦AB过抛物线的焦点F(10)AB=AF+BF=8，由抛物线定义可知AF=x+1,BF=x+1,所以x+x=6,即y2+y2=24,11212因为y+y=4m,yy=-424=(y+y)2-2yy=16m2+8,解得m2=1.12121212因为POAB四点共圆Γ∠AOB和∠APBAPBPAOBO的倾斜角分别为θθθθ1234别为kkkk所以θ-θ=θ-θtan(θ-θ)=tan(θ-θ)，123421432143k2-k1+kk1k4-k31+kk4y1-yx1-x34(y-y)41=k=13=13=，即y2-y2y1+y313444y2同理有：k2=k3=k4=代入可得：y2+y3y116yy+1=16(yy+(y+y)y+y)+1：y=-(y+y)y=-4m，121212333123所以P(4m,-4m)m2=1可知P(4,±4)OP=42.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分Γ经过点OΓ为(x-a)2+(y-b)2=a2+b21ay4+1-y2-2by=04个不同的解0yyy，123162a2所以联立方程可化简为y3+161-y-32b=0a2y3+161-y-32b=(y-y)(y-y)(y-y)y+y+y=0.123123m2=1算得直线为ABx=±y+1AB、坐标，9212计算OB的中垂线与AB中垂线的交点即为圆心T±，812进而求得半径r=91241222+y±x-=P(4,±4)OP=42.2x1+xy1+yx2y32(2)设Ax,y,Bx,y,Qx,yM2,2,N3,，11223322x+x+xy+y+yMN中点为T123,3,y+y+y=0，1244123114x+x+x=(y2+y2+y)=(y+y+y)2-2(yy+yy+yy)，1231223311234123a由第二问解法二可知y3+161-y-32b=(y-y)(y-y)(y-y)1232a2725yy+yy+yy=161-=161-=-16⋅1223312x+x+x3=116116124(y2+y2+y)=(y+y+y)2-2(yy+yy+yy)=5，123122331123·第67页）·所以T5,0MN被定点T5,0平分.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17分nan+3,∉N*