2023届北京市东城区初三年级下册起点调研测试数学试题含解析

2023届北京市东城区重点名校初三下学期起点调研测试数学试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.一、单选题

如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分另I」是/BAC、NABC的平分线，NBAC=50。，ZABC=60°,贝I

ZEAD+ZACD=()

C.85°D.90°

2.如图是二次函数丫=2*2+6*+。的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是（）

C.x<—l且x>5D.xV-l或x>5

3.如图，在R3ABC中，NACB=90。，点D,E分别是AB,BC的中点，点F是BD的中点.若AB=10,贝!|EF=

C.4D.5

4.如图，将RtZkABC绕直角顶点C顺时针旋转90，得到VA'5'C,连接AA，若Nl=20°,则的度数是（）

A.70°B.65°C.60°D.55°

5.已知am=2,an=3,则a3m+2n的值是（）

A.24B.36C.72D.6

6.以x为自变量的二次函数y=x2-2（b-2）x+b2-1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（）

A.b>1.25B.b>l或bS-1C.b>2D.l<b<2

7.某校120名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频率分布直方图如图所示.其中阅读时间是8~10小时的频数和

频率分别是（）

A.15,0.125B.15,0.25C.30,0.125D.30,0.25

4x+3y7=6

8.二元一次方程组《的解为()

2%+y=4

x=-3x=-2x—3'x=2

A.B.<c.<D.<

。=2、y=ly=-2

9.如右图是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从正面看几何体得到的图形是（）

10.已知AABC,。是AC上一点，尺规在A8上确定一点E,使则符合要求的作图痕迹是（）

A

12.如图，已知。的周长等于6»c加，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（)

「2773

>------D.27石

2

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，在正方形ABCD中，BC=2,E、F分别为射线BC,CD上两个动点，且满足BE=CF,设AE,BF交于点

G,连接DG,则DG的最小值为

14.分解因式：j-n2+4/72+4=

15.在AABC中，点D在边BC上，且BD：DC=1：2,如果设A3=a，AC=b＞那么等于__（结果用a、b

的线性组合表示）.

k

16.如果正比例函数y=（k-2）x的函数值y随x的增大而减小，且它的图象与反比例函数y=—的图象没有公共点，那么

x

k的取值范围是.

17.已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+l=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是.

18.实数Ji石，-3,y,狗，0中的无理数是.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分NABC交AC边于E,ZBAC=60°,ZABE=25°.求

ZDAC的度数.

20.（6分）某品牌牛奶供应商提供A,B,C,D四种不同口味的牛奶供学生饮用.某校为了了解学生对不同口

味的牛奶的喜好，对全校订牛奶的学生进行了随机调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图.

根据统计图的信息解决下列问题:

本次调查的学生有多少人？补全上面的条形统计

图；扇形统计图中C对应的中心角度数是；若该校有600名学生订了该品牌的牛奶，每名学生每天只订一盒

牛奶，要使学生能喝到自己喜欢的牛奶，则该牛奶供应商送往该校的牛奶中，A,B口味的牛奶共约多少盒？

21.（6分）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD,当光线与地面的夹角是22。时,

教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45。时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙

角C有13m的距离（B、F、C在一条直线上）.

求教学楼AB的高度；学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之

间的距离（结果保留整数）.

22.（8分）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,过点C的直线MN〃AB,D为AB边上一点，过点D作DELBC,

交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE.求证：CE=AD；当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形?

说明理由；若D为AB中点，则当NA=时，四边形BECD是正方形.

N

23.(8分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E,使AE=AB,连接DE,AC

(1)求证：四边形ACDE为平行四边形；

(2)连接CE交AD于点O,若AC=AB=3,cosB=-,求线段CE的长.

3

24.(10分)“春节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“汤圆”的习俗.某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅(4)、

豆沙馅(5)、菜馅(C)、三丁馅(。)四种不同口味汤圆的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并

将调查情况绘制成如下两幅统计图(尚不完整).请根据以上信息回答：

(1)本次参加抽样调查的居民人数是人；

(2)将图①②补充完整；(直接补填在图中)

(3)求图②中表示的圆心角的度数；

(4)若居民区有8000人，请估计爱吃。汤圆的人数.

25.(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k^O)的图象与反比例函数y=—(m/0)的图象

x

交于第二、四象限内的A、B两点，与x轴交于点C,点A(-2,3),点B(6,n).

⑴求该反比例函数和一次函数的解析式；

(2)求4AOB的面积；

(3)若M(xi,yi),N(X2,yi)是反比例函数y=—(m#0)的图象上的两点，且xi〈X2,yiVyz,指出点M、N各位

于哪个象限.

y个

26.（12分）当前，“精准扶贫”工作已进入攻坚阶段，凡贫困家庭均要“建档立卡”.某初级中学七年级共有四个班，

已“建档立卡”的贫困家庭的学生人数按一、二、三、四班分别记为Ai,A2,A3,A4,现对Ai,A2,A3,A4统计后,

制成如图所示的统计图.

（1）求七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数；

（2）将条形统计图补充完整，并求出Ai所在扇形的圆心角的度数；

（3）现从Ai,A2中各选出一人进行座谈，若Ai中有一名女生，A2中有两名女生，请用树状图表示所有可能情况，

并求出恰好选出一名男生和一名女生的概率.

八段

6-------------.--------/----z

一二三四班级

27.（12分）2018年江苏省扬州市初中英语口语听力考试即将举行，某校认真复习，积极迎考，准备了A、B、C、D

四份听力材料，它们的难易程度分别是易、中、难、难；》是两份口语材料，它们的难易程度分别是易、难.从四

份听力材料中，任选一份是难的听力材料的概率是.用树状图或列表法，列出分别从听力、口语材料中随机选

一份组成一套完整的模拟试卷的所有情况，并求出两份材料都是难的一套模拟试卷的概率.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、A

【解析】

分析：依据AD是BC边上的高，NABC=60。，即可得到NBAD=30。，依据NBAC=50。，AE平分NBAC,即可得到

ZDAE=5°,再根据△ABC中，ZC=180°-ZABC-ZBAC=70°,可得NEAD+NACD=75。.

详解：；AD是BC边上的高，NABC=60。，

:.ZBAD=30°,

,.,ZBAC=50°,AE平分NBAC,

.\ZBAE=25°,

AZDAE=30°-25°=5°,

「△ABC中，ZC=180°-ZABC-ZBAC=70°,

ZEAD+ZACD=5°+70o=75°,

故选A.

点睛：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180。.解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义

的运用.

2^D

【解析】

利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c<0的解集：

由图象得：对称轴是x=2,其中一个点的坐标为（1,0）,

二图象与x轴的另一个交点坐标为（-1,0）.

由图象可知：ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集，

.♦.xV-l或x>L故选D.

3、A

【解析】

先利用直角三角形的性质求出CD的长，再利用中位线定理求出EF的长.

【详解】

VZACB=90°,D为AB中点

ACD=

;点E、F分别为BC、BD中点

*

••・

JJ1'•.

———————i.———xr*—一——、

故答案为：A.

【点睛】

本题考查的知识点是直角三角形的性质和中位线定理，解题关键是寻找EF与题目已知长度的线段的数量关系.

4、B

【解析】

根据旋转的性质可得AC=A，C,然后判断出AACA，是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得NCAA，=45。,

再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出NABC,最后根据旋转的性质可得NB=NA，B，C.

【详解】

解：TRtAABC绕直角顶点C顺时针旋转90。得到△A，B，C,

.*.AC=A，C,

...AACA，是等腰直角三角形，

.\NCAA，=45。，

NA'B'C=N1+NCAA'=20°+45°=65°,

.*.NB=NABC=65。.

故选B.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，

熟记各性质并准确识图是解题的关键.

5、C

【解析】

试题解析：Vam=2,an=3,

•a3m+2n

=a31n•a211

=(am)3*(an)2

=23x32

=8x9

=1.

故选C.

6、A

【解析】

・・•二次函数丁="2—23—2比+从-1的图象不经过第三象限，。=1>0,・,・AW0或抛物线与X轴的交点的横坐标均大于

等于0.

当AWO时，［-2（6-2）］2-4（62-1）＜0,

解得桁。

当抛物线与X轴的交点的横坐标均大于等于0时，

设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为*1,X2,

则不+m=23—2）＞0,/=［—2（5一2）］2—4（加-1）＞0,无解，

,此种情况不存在.

:玲

7、D

【解析】

分析：

根据频率分布直方图中的数据信息和被调查学生总数为120进行计算即可作出判断.

详解：

由频率分布直方图可知：一周内用于阅读的时间在8-10小时这组的：频率：组距=0.125,而组距为2,

二一周内用于阅读的时间在8-10小时这组的频率=0.125x2=0.25,

又•••被调查学生总数为120人，

二一周内用于阅读的时间在8-10小时这组的频数=120x0.25=30.

综上所述，选项D中数据正确.

故选D.

点睛：本题解题的关键有两点：（1）要看清，纵轴上的数据是“频率：组距”的值，而不是频率；（2）要弄清各自的频

数、频率和总数之间的关系.

8、C

【解析】

利用加减消元法解这个二元一次方程组.

【详解】

(4x+3y=6...①

解:g+丁=4……②

①-②X2,得：y=-2,

将y=・2代入②，得：2x-2=4,

解得，x=3,

所以原方程组的解是

b=-2

故选C.

【点睛】

本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点，解此题的关键是把二元一次方程组转化成一元一次方程,

题目比较典型，难度适中.

9、B

【解析】

找到从正面看所得到的图形即可，注意所有从正面看到的棱都应表现在主视图中.

【详解】

解：从正面看该几何体，有3列正方形，分别有：2个，2个，2个，如图.

FFR

故选B.

【点睛】

本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看到的视图，属于基础题型.

10、A

【解析】

以DA为边、点D为顶点在小ABC内部作一个角等于NB,角的另一边与AB的交点即为所求作的点.

【详解】

如图，点E即为所求作的点.故选：A.

【点睛】

本题主要考查作图-相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D作一角等于NB或NC,并熟练掌握做一个角等于已

知角的作法式解题的关键.

11、C

【解析】

根据倒数的定义可知.

解：3的倒数是.

3

主要考查倒数的定义，要求熟练掌握.需要注意的是：

倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，o没有倒数.

倒数的定义：若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.

12、C

【解析】

过点。作OHLAB于点H,连接OA,OB,由OO的周长等于Mem,可得。O的半径，又由圆的内接多边形的性质

可得/AOB=60。，即可证明^AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可求出OH的长，根据S正六边彩ABCDEF=6SAOAB

即可得出答案.

【详解】

过点O作OHLAB于点H,连接OA,OB,设。。的半径为r,

V0O的周长等于67rcm,

'.2nr=6n,

解得：r=3,

OO的半径为3cm,即OA=3cm,

•六边形ABCDEF是正六边形，

.•.ZAOB=-x360°=60°,OA=OB,

.,.△OAB是等边三角形,

:.AB=OA=3cm,

VOH±AB,

AAH=-AB,

2

:.AB=OA=3cm,

S正六边形ABCDEF=6SAOAB=6X—x3x------=---------(cm2).

222

R

故选c.

【点睛】

此题考查了正多边形与圆的性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、V5-1

【解析】

先由图形确定：当O、G、D共线时，DG最小；根据正方形的性质证明AABE之4BCF(SAS),可得/AGB=90。,

利用勾股定理可得OD的长，从而得DG的最小值.

【详解】

BCE

在正方形ABCD中，AB=BC,ZABC=ZBCD,

在4ABE^ABCF中，

AB=BC

<ZABC=ZBCD,

BE=CF

AABE^ABCF(SAS),

/.ZBAE=ZCBF,

,/ZCBF+ZABF=90o

.*.ZBAE+ZABF=90o

ZAGB=90°

...点G在以AB为直径的圆上，

由图形可知：当O、G、D在同一直线上时，DG有最小值，如图所示:

•正方形ABCD,BC=2,

.-.AO=I=OG

；.OD=逐，

.\DG=75-b

故答案为逐一L

【点睛】

本题考查了正方形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握正方形的性质与全等三角形的判定与

性质.

14、(m+2)"

【解析】

直接利用完全平方公式分解因式得出答案.

【详解】

解：m2+4m+4=(m+2y,

故答案为(〃?+2)2.

【点睛】

此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键.

nn

15、一b—a

33

【解析】

根据三角形法则求出即可解决问题；

【详解】

,:AB=a,AC=b，

：•BC=BA+AC=b-a,

1

,.,BD=-BC,

3

1,1

BD=~b——a.

33

故答案为彳6——a.

33

【点睛】

本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.

16、Q<k<2

【解析】

先根据正比例函数y=(k-1)x的函数值y随x的增大而减小，可知k」VO；再根据它的图象与反比例函数y=A的图

象没有公共点，说明反比例函数y=&

X

的图象经过一、三象限，k>0,从而可以求出k的取值范围.

【详解】

Vy=(k-1)x的函数值y随x的增大而减小，

Ak-l<0

Ak<l

而丫=(k-1)x的图象与反比例函数y=A

x

的图象没有公共点，

,\k>0

综合以上可知：0<kVl.

故答案为OVkVL

【点睛】

本题考查的是一次函数与反比例函数的相关性质，清楚掌握函数中的k的意义是解决本题的关键.

17、aV2且时1.

【解析】

利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出a的取值范围.

【详解】

试题解析：••・关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+l=0有两个不相等的实数根，

/.△=b2-4ac>0,即4-4x(a-2)xl>0,

解这个不等式得，a<2,

又•.•二次项系数是(a-1),

故a的取值范围是a<2且arl.

【点睛】

本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两不等的实数根，得到判别式大于零，求出a的取值范围，同时

方程是一元二次方程，二次项系数不为零.

18、^5

【解析】

无理数包括三方面的数：①含兀的，②一些开方开不尽的根式，③一些有规律的数，根据以上内容判断即可.

【详解】

解：716=4,是有理数，-3、0都是有理数，

为是无理数.

故答案为：狗.

【点睛】

本题考查了对无理数的定义的理解和运用，注意：无理数是指无限不循环小数，包括三方面的数：①含兀的，②一些

开方开不尽的根式，③一些有规律的数.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、ZDAC=20°.

【解析】

根据角平分线的定义可得NA3C=2NA3E,再根据直角三角形两锐角互余求出N3A。，然后根据/ZMC=NBAC-

NR4O计算即可得解.

【详解】

■:BE平分NA3C,/.ZABC=2ZABE=2x25°=50°.

'：AD是BC边上的高，:.N3AO=90°-ZABC=90°-50°=40°,:.ZDAC=ZBAC-/3AZ>=60°-40°=20°.

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键.

20、(1)150人；(2)补图见解析；(3)144°；(4)300盒.

【解析】

⑴根据喜好A口味的牛奶的学生人数和所占百分比，即可求出本次调查的学生数.

(2)用调查总人数减去A、B、D三种喜好不同口味牛奶的人数，求出喜好C口味牛奶的人数，补全统计图.再用360。

乘以喜好C口味的牛奶人数所占百分比求出对应中心角度数.

(3)用总人数乘以A、B口味牛奶喜欢人数所占的百分比得出答案.

【详解】

解：(1)本次调查的学生有30+20%=150人；

(2)C类别人数为150-(30+45+15)=60人，

补全条形图如下：

(3)扇形统计图中C对应的中心角度数是360。、—=144°

150

故答案为144°

(4)600x(45+3。)=300(人),

150

答：该牛奶供应商送往该校的牛奶中，A,B口味的牛奶共约300盒.

【点睛】

本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得出必要的信息是解题的关键.

21、(1)2m(2)27m

【解析】

(1)首先构造直角三角形△AEM,利用tan22°=在凶，求出即可.

ME

(2)利用RtAAME中，COS22°=ME,求出AE即可.

AE

【详解】

解：(1)过点E作EMLAB,垂足为M.

设AB为x.

在RtAABF中，NAFB=45°,

/.BF=AB=x,

/.BC=BF+FC=x+l.

在RtAAEM中，ZAEM=22°,AM=AB-BM=AB-CE=x-2,

„MOAMx-22,

又tan22=------,---------~—,解得：x~2.

MEx+135

•••教学楼的高2m.

(2)由(1)可得ME=BC=x+k2+l=3.

,,ccoME

在RtAAME中，cos22"=——，

AE

AE=MEcos22°-25x_®27.

16

:.A、E之间的距离约为27m.

22、(1)详见解析；(2)菱形；(3)当NA=45。，四边形BECD是正方形.

【解析】

⑴先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；

⑵求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD,根据菱形的判定推出即可;

(3)求出NCDB=90。，再根据正方形的判定推出即可.

【详解】

(1)VDE±BC,

:.NDFP=90°,

VZACB=90°,

/.ZDFB=ZACB,

/.DE//AC,

VMN//AB,

二四边形ADEC为平行四边形，

.,.CE=AD；

(2)菱形，理由如下：

在直角三角形ABC中，

为AB中点，

.*.BD=AD,

VCE=AD,

；.BD=CE,

AMN//AB,

/.BECD是平行四边形，

,/ZACB=90°,D是AB中点，

/.BD=CD,(斜边中线等于斜边一半)

二四边形BECD是菱形；

⑶若D为AB中点，则当NA=45。时，四边形BECD是正方形，

理由：•.•ZA=45°,NACB=90°,

ZABC=45°,

••,四边形BECD是菱形，

/.DC=DB,

/.ZDBC=ZDCB=45°,

...NCDB=90°,

••,四边形BECD是菱形，

•*.四边形BECD是正方形，

故答案为45°.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定、正方形的判定，直角三角形斜边中线的性质等，综合性较强，熟

练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

23、(1)证明见解析；(2)472.

【解析】

(1)已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AB〃CD,AB=CD,又因AE=AB,可得AE=CD,

根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定四边形ACDE是平行四边形；(2)连接EC,易证ABEC是

直角三角形，解直角三角形即可解决问题.

【详解】

(1)证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃CD,AB=CD,

；AE=AB,

.\AE=CD,VAE/7CD,

二四边形ACDE是平行四边形.

(2)如图，连接EC.

VAC=AB=AE,

••.△EBC是直角三角形,

"."cosB=-^-=—,BE=6,

BE3

；.BC=2,

•••EC=7BE2-BC2=762-22=4V2-

【点睛】

本题考查平行四边形的性质和判定、直角三角形的判定、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所

学知识解决问题，属于中考常考题型.

24、(1)600；(2)120人，20%；30%；(3)108°(4)爱吃D汤圆的人数约为3200人

【解析】

试题分析：

(1)由两幅统计图中的信息可知，喜欢B类的有60人，占被调查人数的10%,由此即可计算出被调查的总人数为

604-10%=600(人)；

(2)由(1)中所得被调查总人数为600人结合统计图中已有的数据可得喜欢C类的人数为：600-180-60-240=120(人),

喜欢C类的占总人数的百分比为：120+600x100%=20%,喜欢A类的占总人数的百分比为：180+600x100%=30%,

由此即可将统计图补充完整；

(3)由(2)中所得数据可得扇形统计图中A类所对应的圆心角度数为：360°x30%=108°；

(4)由扇形统计图中的信息：喜欢D类的占总人数的40%可得：8000x40%=3200(人)；

试题解析：

(1)本次参加抽样调查的居民的人数是：604-10%=600(人)；

故答案为600；

(2)由题意得：C的人数为600-(180+60+240)=600-480=120(人)C的百分比为120+600x100%=20%；A的

百分比为180v600xl00%=30%；

将两幅统计图补充完整如下所示：

(3)根据题意得:360°x30%=108°,

二图②中表示“A”的圆心角的度数108。；

(4)8000x40%=3200(人),

即爱吃D汤圆的人数约为3200人.

25、(1)反比例函数的解析式为y=-9；一次函数的解析式为y=-」x+2；(2)8；(3)点M、N在第二象限，或点M、

x2

N在第四象限.

【解析】

m

(l)fi5A(-2,3)代入y=—,可得m=-2x3=-6,

x

...反比例函数的解析式为y=-

X

把点B(6,n)代入，可得n=-L

AB(6,-1).

，2k+b=3

把A(-2,3),B(6,-1)代入y=kx+b,可得<八7(,