2024年陕西省西安市碑林区铁黄冈中考数学四模试卷

2024年陕西省西安市碑林区铁一中学中考数学四模试卷

一、选择题（共8小题）

1.（3分）2的相反数是（）

A.-XB.AC\-2D.2

22

2.（3分）如图，直线直线/分别交直线ci、b于A,点C在直线b上，且AC=BC,则N1的度数

为（）

A.112°B.102°C107°D.117°

3.（3分）下列运算正确的是（）

A.（a+Z?）2=a2-^b2

B.6//+（-3/5）=_

C.（2〃2/）3=6〃6。9

D.3〃2b•（-2滔廿）=-6Q%3

4.（3分）如图，直线经过A,B两点,。两点，则mb,c（）

A.a<c〈d〈bB.c<a〈d〈bC:.a<c〈b〈dD.c〈a〈b<d

5.（3分）如图，在△ABC中，AC=8,ZC=45°,ADIBC,/ABC的平分线交A。于点E,则AE的

长为（）

A

BDC

A.4我B.2V2C.2MD.3V2

33

6.（3分）如图，在△ABC中，AB=AC=5,于。点，/边BC上一动点，当四边形4。尸£的面

积与△ABC的面积相等时，OF的长度为（）

A.V3+1B.3-VsC.6-3V3D.3V3-3

7.（3分）如图，点8,C在。。上，ZA=ZB=60°,AB=6,。。的半径长为（）

8.（3分）在平面直角坐标系中，若抛物线y=/+bx+c与无轴只有一个公共点，且过点A（m,n）,B（m

-12,ri'）,则n的值为（）

A.48B.36C.24D.12

二、填空题（共5小题）

9.（3分）比较大小，372V5（"<"，“>"或"=

10.（3分）把边长相等的正五边形ABGm和正六边形ABCZ）所的边AB重合，按照如图的方式叠放在一

起，连接EB交HI于点K.

H.（3分）如图，己知菱形ABC。的边长为a,E为对角线AC边上一点，若EB=EC=ED=2,则a的值

为

DC

K

12.（3分）如图,直线43与双曲线尸2（乂＞0）交于4交工轴于点。,若43=28。

13.（3分）如图，在四边形ABCD中，AD±BDfZBAC=30°,若BD=2五，则AC的长

为.

三、解答题（共13小题，解答题应写出必要过程）

计算：（-—）1+1V3-21-Vsx（-Vs）,

o

‘5x+2>3（x-1）

解不等式组：2x-lx-2,

16.解分式方程：空iL—L

x+l1-x21-X

17.如图，已知等边△ABC,。为BC边上一点，在射线上找一点E,使得NAEC=60°.（保留作图

痕迹，不写作法）

A

18.如图，在平行四边形A5C0中，点E为8C边的中点，G为。尸的中点，分别延长AE,求证：CG,

DF,

AD

G

BEV7C

H

19.在一个不透明的袋子中装有2个红球、2个白球，这些球除颜色外都相同.

(1)从袋子中随机摸出1个球，则摸出的这个球是红球的概率为.

(2)从袋子中随机摸出1个球，不放回，再随机摸出1个球，求两次摸出的球都是白球的概率.

20.我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，如果每3

人坐一辆车，那么有2辆空车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？

21.某校组织全校学生进行了一场数学竞赛，根据竞赛结果，随机抽取了若干名学生的成绩(得分均为正

整数，满分为100分，大于80分的为优秀)，绘制了如图所示尚不完整的统计图表.

数学竞赛成绩频数统计表

组别频数频率

A组(60.5—70.5)a0.3

8组(70.5〜80.5)300.15

C组(80.5〜90.5)50b

。组(90.5〜100.5)600.3

请结合图表解决下列问题：

(1)请将频数分布直方图补充完整；

(2)抽取的若干名学生竞赛成绩的中位数落在组；

(3)若该校共有1500名学生，请估计本次数学竞赛成绩为“优秀”的学生人数.

数学竞赛成绩频数分布直方图

22.小明与小亮要测量一建筑物CE的高度，如图，小明在点A处测得此建筑物最高点C的仰角/CAE=

45°(即A8=10M,测得最高点C的仰角/C8E=53°,小亮在点G处竖立标杆FG,标杆顶R最

高点C在一条直线上时，GD=2m.

(1)求此建筑物的高度CE；

(2)求小亮与建筑物CE之间的距离ED

(注：结果精确到1m,参考数据：sin53°心0.80,cos53°心0.60,tan53°-2)

AB

23.一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成.小华购买时，售货员演示通过调节扣加长

或缩短单层部分的长度(单层部分与双层部分长度相同，其中调节扣所占长度忽略不计)加长或缩短，

设双层部分的长度为x厘米，经测量，得到下表中数据：

双层部分长度尤(cm)

单层部分长度y(cm)

(1)根据表中数据规律，求y与x的函数关系式；

(2)按小华的身高和习惯，背带的长度调为130cm时为最佳，请计算此时双层部分的长度.

24.如图，在△ABC中，BE平分/ABC,交△ABC外接圆于点E,过点E作。。的切线交BC延长线

上点D.

(1)求证：AC//DE；

(2)若CE=6,DE=8,求AF的长.

25.公园里，一个圆形喷水池的中央竖直安装一个柱形喷水装置。4,喷水口A距离水面的距离。4=1.25

米，以。为坐标原点，方向为y轴正方向，同时经过距。4水平距离为2米，距水面的高度为0.75

米的C点.

(1)若不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？

（2）如果水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3米，此时水流的最大高度应达到多少米?

26.提出问题如图①，。。与N4BC的两边BA,8C相切于点尸，Q,8Q的数量关系为

探究问题如图②，矩形A8CD的边BC=2«，A8=3,连接8P,CP

问题解决如图③，小明和小亮在学习圆的相关知识后进行了如下的探究活动：先在桌面上固定一根笔

直的木条让一圆盘在木条A2上做无滑动的滚动，再紧绷在圆盘边上，此时，BD,分别与圆盘

相切于点C,D,E（即AC+而的长度会发生变化）.已知AB=4正而，圆盘直径为4力”而+DB的

长度是否存在最小值？若存在，求出最小值，请说明理由.

2024年陕西省西安市碑林区铁一中学中考数学四模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题）

1.（3分）2的相反数是（）

A.」B.AC.-2D.2

22

【解答】解：2的相反数是-2,

故选：C.

2.（3分）如图，直线〃〃儿直线/分别交直线〃、人于A,点C在直线匕上，且则N1的度数

为（）

A.112°B.102°C.107°D.117°

【解答】解：如图，

VCA=CB,

：.ZCAB=ZCBA,

9：a//b,

：.ZDAB-^-ZCBA=Z2+ZCAB-^ZCBA=180°,

VZ2=34°,

：.ZCAB=73°,

ZDAB=340+73°=107°,

・・・N8=NDA3=107°，

故选：C.

3.（3分）下列运算正确的是（）

A.（a+b）2=cr+b2

B.6//+（_3a2b5）=_2（3^2

C.（2aV）3=6a6b9

D.3a2%•（-2a3b2）=-6a5/

【解答】解:A、（a+b）~=a^+6ab+b~>故A不符合题意；

B、6a%5+（-3a8b5）=-2a3,故8不符合题意；

C、（2/，）3=8小9,故c不符合题意；

D、3<75ZJ*（-2a3b5）--6a5b1,故。符合题意；

故选：D.

4.（3分）如图，直线y=ax+6经过A,B两点，。两点，贝Ua,b,cQ)

A.a<c〈d〈bB.c<a〈d〈bC.a<c<b〈dD.c<a〈b<d

【解答】解：由图可得：aVcVO,4b>3

c<a<b<d,

故选：D.

5.(3分)如图，在△ABC中，AC=8,ZC=45°,AD±BCfNA5C的平分线交AO于点E,则AE的

长为（)

8V2

B.2V2C.D.3我

~3~

【解答】M：-：AD±BC,

：.ZADC^ZADB^90°,

在RtZ\AOC中，AC=8,

：.ZC=ZDAC=45°,

：.AD=DC=ACsin45°="4C=4・

7

在中，AD=542>

：.BD=ADtan30°=叵4。=全匠

26

：BE平分/ABC,

:./ABE=/EBD=3Q°,

在RtZXEB。中，BD=生&,

_5_

.•.£)£=BDtan30°=VsBD=2V2

33

：.AE=AD-DE=^^..

3

故选：C.

6.（3分）如图，在△ABC中，AB=AC=5,AZ）_LBC于。点，/边BC上一动点,当四边形4。尸£的面

积与AABC的面积相等时，OF的长度为（）

A.V3+1B.3-VsC.6-373D.3V3-3

【解答】解：；AB=AC=5,BC=6,

:.CD=5+2=3,AD1.CB,

'CEFLCB,

：.AD//EF,

.•.△CAD^ACEF,

•/四边形ADFE的面积与AABC的面积相等，

.•.△CA。与△(7£1/面积比=6：3,

:.CD；CF=1：W，BPCD：DF=1：(我一2)，

,:CD=3,

：.DF=3-/§-3.

故选：D.

7.（3分）如图，点8,C在。。上，ZA=ZB=60°,AB=6,。。的半径长为（

C.473D.276

【解答】解：延长A。交BC于。，作。E_LBC于E,

VBC=10,OELBC^E,

：.BE=^BC=?),

2

VZA=ZB=60",

...△AQB为等边三角形;

：.BD^AB=6,ZADB=6Q°,

:.DE=BD-BE=l,

*.*tanNODE=”他,

DE

:.OE=6,

-,-OB=VOE2+BE2=2W-

•••OO的半径长为5小，

故选：A.

8.（3分）在平面直角坐标系中，若抛物线》=/+公+。与％轴只有一个公共点，且过点A（m,n）,B（m

-12,〃），则〃的值为（）

A.48B.36C.24D.12

【解答】解：由题意房-4c=3,

:.b2=4c,

又,抛物线过点A(m,ri'),n),

；.A、B关于直线x=--,

7

.1.A(-A+6,2(-2〃),

25

把点A坐标代入y^^+bx+c,

n=(--+6)2+b(-A+5)+C=--X/?8+36+C,

224

・“2=4C,

.■.72=36.

故选：B.

二、填空题(共5小题)

9.(3分)比较大小，372>V5(”<"，“>"或"=

【解答】解：372>2,炳,

3A/5>V5.

故答案为：>.

10.(3分)把边长相等的正五边形42Gm和正六边形ABCZ)所的边AB重合，按照如图的方式叠放在一

起，连接EB交”/于点K96°.

【解答】解：由正五边形内角，得NI=/BA/=(5-2)又近0°

由正六边形内角得，

NMC=(6-2)X180°=120。,

7

BE平分NABC,

ZABK=60°,

由四边形的内角和得，

N8K/=360°-ZI-ZBAI-ZABK

=360°-108°-108°-60°

=84°，

：.ZBKH=180°-84°=96°.

故答案为：96°.

11.（3分）如图，已知菱形ABC。的边长为a,E为对角线AC边上一点，若EB=EC=ED=2,则a的值

【解答】解：连接8。，交AC于点O,

..•四边形ABC。是菱形，连接2D,

：.AD=AB=BC^CD^a,AC_LB£>£=a+2

26

'：EA=a,EB=EC=ED=2,

在RtAAOD中，DO2=AD8-OA2,

在RtADEO中，-。炉,

即AD2-OA3=DE2-OE2,

即a6-管）4=2z-（等-2/，

解得：ai=lW^,a2=lH7（舍去），

故答案为：1+V5-

2

12.（3分）如图，直线A8与双曲线（x>0）交于4交x轴于点C,若AB=2BC旦

y=Y一3一

a

J.AH//BT,

•・•—BT~—CB,

AHCA

\'AB=2BC,

••C•B=--3,

CA3

：.AH^3BT,

•：AH=3.

a

:.BT=2,

3a

：.B(3m2),

3a

0H=a,OT=la,

・•・TH=2a,

■:SAAOB=SMOH+S梯形AHTB-S^OBT,SAAOH=S^BOT,

inno

・\SziAO3=S梯形=±(—+-=-)*2^=~,

5a7a4

故答案为：1.

3

13.(3分)如图，在四边形43。。中，40，5。，/84。=30°，若BD=2五，贝IAC的长为+276.

D

A

C

B

【解答】解：过点5作交CA于点

VZBCA=45°,BELCA,

•\CE=BE,-j-ZCEB=yX900=45°=/BDG

...点E为△C8O外接圆圆心，

：.BE=DE,

:./EBD=/EDB,

VBE±CA,ADLBD,

・・・E84。四点共圆，

：.ZEDB=ZEAB=30°,

:.NEBD=NEDB=3U°,

•••△匹。为顶角120°的等腰三角形，

BE咨X3A/6=W1，

在RtZxCBE中，CE=BE=2让，

在Rt/XEBA中，EA=+聚。=3害二.，

tan30V3

~7~

•••AC=CE+EA=7V2+加,

故答案为：2V2+5V6.

三、解答题(共13小题，解答题应写出必要过程)

14・计算：(])T+|百-2|-“X(-F>

【解答】解：原式=-5+2-J7-&X«X(75x74)

=-5+2-V3+4A/6

=3«-4.

‘5x+2>3(x-1)

解不等式组：

15.2x-l、x-2,

》xR

3

5x+2>8（x-l）①

【解答】解：<2x-2、x-2

33°

解不等式①，得：X>-—,

2

解不等式②，得：xWg

5

原不等式组的解集是-A<x<A.

3%5

16.解分式方程：2xzl=_5

2

x+l1-x1-X

［解答］解：2xz^=_5

x+51-乂6l-x

5x^1_3______8x

1+x(1+x)(l-x)l-x

方程两边都乘(1+x)(5-X),得(2x-1)(8-x)=5-2x(2+x),

2x-2x7-l+x=5-6x-2x2,

2x~2/+X+4X+2%2=4+1,

5x=6,

5

检验：当x=S时，(1+x)(2-尤)WO,

5

所以分式方程的解是》=旦.

3

17.如图，已知等边△ABC,。为8C边上一点，在射线上找一点E,使得NAEC=60°.(保留作图

痕迹，不写作法)

【解答】解：如图，作

•/ZADB=ZCDE,

：.ZAEC=ZB.

:△ABC为等边三角形，

.•.ZB=60°.

ZA£C=60°.

则点E即为所求.

18.如图，在平行四边形ABCD中，点£为BC边的中点，G为。尸的中点，分别延长AE,求证：CG±

【解答】证明：：四边形ABCD是平行四边形,

J.AB^CD,AB//CD,

：.ZB=ZHCE,

:点E为8C边的中点，

：.BE=EC,

在△ABE与AHCE中,

2B=NHCE

<BE=EC，

ZAEB=ZCEH

/.AABE^^HCE(ASA),

：.AB=CH,

：.DC=CH,

：G为£>F的中点,

；.CG是△QFH的中位线，

J.CG//EH,

'：DF±AE,

：.CG±DF.

19.在一个不透明的袋子中装有2个红球、2个白球，这些球除颜色外都相同.

（1）从袋子中随机摸出1个球，则摸出的这个球是红球的概率为1.

—2—

（2）从袋子中随机摸出1个球，不放回，再随机摸出1个球，求两次摸出的球都是白球的概率.

【解答】解：（1）由题意得，摸出的这个球是红球的概率为2=2.

42

故答案为：1.

2

（2）列表如下:

红红白白

红（红，红）（红，白）（红，白）

红（红，红）（红，白）（红，白）

白（白，红）（白，红）（白，白）

白（白，红）（白，红）（白，白）

共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球都是白球的结果有2种，

...两次摸出的球都是白球的概率为2=2.

126

20.我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，如果每3

人坐一辆车，那么有2辆空车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？

【解答】解：设共有x人，y辆车，

（3（y-2）=x,

I6y+9=x

解得，产39,

ly=15

答：有39人，15辆车.

21.某校组织全校学生进行了一场数学竞赛，根据竞赛结果，随机抽取了若干名学生的成绩（得分均为正

整数，满分为100分，大于80分的为优秀），绘制了如图所示尚不完整的统计图表.

数学竞赛成绩频数统计表

组别频数频率

A组(60.5—70.5)a0.3

8组(70.5-80.5)300.15

C组(80.5〜90.5)50b

。组(90.5〜100.5)600.3

请结合图表解决下列问题：

(1)请将频数分布直方图补充完整;

(2)抽取的若干名学生竞赛成绩的中位数落在C组;

(3)若该校共有1500名学生，请估计本次数学竞赛成绩为“优秀”的学生人数.

数学竞赛成绩频数分布直方图

(2)抽取的200名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是C组;

故答案为：C；

(3)6=50+200=0.25,

1500X(0.25+7.3)=1000X0.55=825(人)，

答：估计本次数学竞赛成绩为“优秀”的学生人数有825人.

22.小明与小亮要测量一建筑物CE的高度，如图，小明在点A处测得此建筑物最高点C的仰角

45°(即A8=10M,测得最高点C的仰角/C8E=53°,小亮在点G处竖立标杆FG,标杆顶F最

高点C在一条直线上时，GD=2m.

(1)求此建筑物的高度CE；

(2)求小亮与建筑物CE之间的距离ED.

（注：结果精确到1m,参考数据：sin53°^0.80,cos53°弋0.60,tan53°

VZCAE=45",

：.CE=AE,

VAB=10/77,

：.BE=AE-10=CE-10,

在RtZ\CEB中，

tanZCB£=tan53°=丝=(尢，

BECE-10

.4-CE

"~3CE-10)

解得CE-40(m)；

答：此建筑物的高度CE约为40〃z；

(2)由题意知：ZCED=90°=ZFGD,ZFDG=ZCDE,

.♦.△FGDsACED,

•FG-GD明5.5—2

CEED40ED

解得ED-53(m),

答：小亮与建筑物CE之间的距离ED约是53m.

23.一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成.小华购买时，售货员演示通过调节扣加长

或缩短单层部分的长度(单层部分与双层部分长度相同，其中调节扣所占长度忽略不计)加长或缩短，

设双层部分的长度为x厘米，经测量，得到下表中数据：

双层部分长度1(cm)281420

单层部分长度y(cm)148136124112

(1)根据表中数据规律，求y与x的函数关系式;

(2)按小华的身高和习惯，背带的长度调为130c机时为最佳，请计算此时双层部分的长度.

【解答】解：(1)观察表格可知，y是x的一次函数，

把双层部分长度为2cm,单层部分长度为148c7W和双层部分长度为8cm

(148=6k+b；

\136=8k+b，

解得，k»2,

lb=152

与x的函数关系式为y=-8x+152；

(2)根据题意得：x+y=130,

；.x+(-2&+152)=130,

解得x=22,

，双层部分的长度为22cm.

24.如图，在AABC中，8E平分/ABC,交△ABC外接圆。。于点E,过点E作。。的切线交BC延长线

上点D.

(1)求证：AC//DE；

(2)若CE=6,DE=8,求AF的长.

【解答】（1）证明：连接OE,如图,

:BE平分/ABC,

/ABE=NCBE,

AE=EC»

OELAC.

•..■DE为OO的切线，

：.OELDE.

.".AC//DE-,

（2）解：由（1）知：AE=EC，

：.AE=EC=6,ZEAC=ZECA,

\9AC//DE,

；・NDEC=NECA,

：.ZEAC=ZDEC.

U：AC//DE,

：.ZD=ZACB.

丁NACB=NAEB,

・•・NAEB=ND,

:•△EXFsgEC,

・AFEC

••—二，，

AEED

•••AF,4,

68

.\AF=—.

5

25.公园里，一个圆形喷水池的中央竖直安装一个柱形喷水装置04,喷水口A距离水面的距离04=1.25

米，以O为坐标原点，04方向为y轴正方向，同时经过距0A水平距离为2米，距水面的高度为0.75

米的C点.

(1)若不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？

(2)如果水流喷出的抛物线形状与(1)相同，水池的半径为3米，此时水流的最大高度应达到多少米？

【解答】解：(1)由题意，顶点的横坐标为0.75,

，可设解析式为y=a(x-0.75)J+k.

又过A(0,1.25),7.75),

0.722a+k=l.25

7.257a+k=0.75

...抛物线为y=-A(x-5.75)2+吧.

■232

令y=O,

・・・4=-A(x-5.75)2+丝

232

.*.x=2.3或％=-1(舍去).

・•・水池的半径至少为2.4米.

(2)由题意，可设y=-13+〃，

2

把点(0,1.25),5)代入抛物线解析式得，

'17

-m+n=l.25

・・<•

1o

(3-m)+n=8

D

(工

,