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文档简介
广东省华附南海实验高中新高考数学一模试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,若方程恰有两个不同实根,则正数m的取值范围为()A. B.C. D.2.已知角的终边经过点,则A. B.C. D.3.复数的虚部为()A. B. C.2 D.4.已知函数有两个不同的极值点,,若不等式有解,则的取值范围是()A. B.C. D.5.已知集合A={x∈N|x2<8x},B={2,3,6},C={2,3,7},则=()A.{2,3,4,5} B.{2,3,4,5,6}C.{1,2,3,4,5,6} D.{1,3,4,5,6,7}6.已知椭圆:的左,右焦点分别为,,过的直线交椭圆于,两点,若,且的三边长,,成等差数列,则的离心率为()A. B. C. D.7.已知定义在上的函数,若函数为偶函数,且对任意,,都有,若,则实数的取值范围是()A. B. C. D.8.设函数的导函数,且满足,若在中,,则()A. B. C. D.9.已知,若对任意,关于x的不等式(e为自然对数的底数)至少有2个正整数解,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.10.设等差数列的前项和为,若,,则()A.21 B.22 C.11 D.1211.相传黄帝时代,在制定乐律时,用“三分损益”的方法得到不同的竹管,吹出不同的音调.如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程,若输入的的值为1,输出的的值为()A. B. C. D.12.已知,如图是求的近似值的一个程序框图,则图中空白框中应填入A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图所示,在边长为4的正方形纸片中,与相交于.剪去,将剩余部分沿,折叠,使、重合,则以、、、为顶点的四面体的外接球的体积为________.14.曲线在点处的切线方程为________.15.一个袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从中任意摸取3个小球,每个小球被取出的可能性相等,则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是__.16.某几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积是_____;最长棱的长度是_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)等差数列中,,,分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且其中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669(1)请选择一个可能的组合,并求数列的通项公式;(2)记(1)中您选择的的前项和为,判断是否存在正整数,使得,,成等比数列,若有,请求出的值;若没有,请说明理由.18.(12分)在平面直角坐标系中,已知直线(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的直角坐标方程;(2)设点的极坐标为,直线与曲线的交点为,求的值.19.(12分)数列满足,是与的等差中项.(1)证明:数列为等比数列,并求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.20.(12分)已知数列和满足:.(1)求证:数列为等比数列;(2)求数列的前项和.21.(12分)已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为(,0),(,0),圆E是△ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=2,动点C的轨迹为曲线G.(1)求曲线G的方程;(2)设直线l与曲线G交于M,N两点,点D在曲线G上,是坐标原点,判断四边形OMDN的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.22.(10分)甲、乙两班各派三名同学参加知识竞赛,每人回答一个问题,答对得10分,答错得0分,假设甲班三名同学答对的概率都是,乙班三名同学答对的概率分别是,,,且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响.(1)记“甲、乙两班总得分之和是60分”为事件,求事件发生的概率;(2)用表示甲班总得分,求随机变量的概率分布和数学期望.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
当时,函数周期为,画出函数图像,如图所示,方程两个不同实根,即函数和有图像两个交点,计算,,根据图像得到答案.【详解】当时,,故函数周期为,画出函数图像,如图所示:方程,即,即函数和有两个交点.,,故,,,,.根据图像知:.故选:.【点睛】本题考查了函数的零点问题,确定函数周期画出函数图像是解题的关键.2、D【解析】因为角的终边经过点,所以,则,即.故选D.3、D【解析】
根据复数的除法运算,化简出,即可得出虚部.【详解】解:=,故虚部为-2.故选:D.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的概念.4、C【解析】
先求导得(),由于函数有两个不同的极值点,,转化为方程有两个不相等的正实数根,根据,,,求出的取值范围,而有解,通过分裂参数法和构造新函数,通过利用导数研究单调性、最值,即可得出的取值范围.【详解】由题可得:(),因为函数有两个不同的极值点,,所以方程有两个不相等的正实数根,于是有解得.若不等式有解,所以因为.设,,故在上单调递增,故,所以,所以的取值范围是.故选:C.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围,以及运用分离参数法和构造函数法,还考查分析和计算能力,有一定的难度.5、C【解析】
根据集合的并集、补集的概念,可得结果.【详解】集合A={x∈N|x2<8x}={x∈N|0<x<8},所以集合A={1,2,3,4,5,6,7}B={2,3,6},C={2,3,7},故={1,4,5,6},所以={1,2,3,4,5,6}.故选:C.【点睛】本题考查的是集合并集,补集的概念,属基础题.6、C【解析】
根据等差数列的性质设出,,,利用勾股定理列方程,结合椭圆的定义,求得.再利用勾股定理建立的关系式,化简后求得离心率.【详解】由已知,,成等差数列,设,,.由于,据勾股定理有,即,化简得;由椭圆定义知的周长为,有,所以,所以;在直角中,由勾股定理,,∴离心率.故选:C【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法,考查椭圆的定义,考查等差数列的性质,属于中档题.7、A【解析】
根据题意,分析可得函数的图象关于对称且在上为减函数,则不等式等价于,解得的取值范围,即可得答案.【详解】解:因为函数为偶函数,所以函数的图象关于对称,因为对任意,,都有,所以函数在上为减函数,则,解得:.即实数的取值范围是.故选:A.【点睛】本题考查函数的对称性与单调性的综合应用,涉及不等式的解法,属于综合题.8、D【解析】
根据的结构形式,设,求导,则,在上是增函数,再根据在中,,得到,,利用余弦函数的单调性,得到,再利用的单调性求解.【详解】设,所以,因为当时,,即,所以,在上是增函数,在中,因为,所以,,因为,且,所以,即,所以,即故选:D【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性,还考查了运算求解的能力,属于中档题.9、B【解析】
构造函数(),求导可得在上单调递增,则,问题转化为,即至少有2个正整数解,构造函数,,通过导数研究单调性,由可知,要使得至少有2个正整数解,只需即可,代入可求得结果.【详解】构造函数(),则(),所以在上单调递增,所以,故问题转化为至少存在两个正整数x,使得成立,设,,则,当时,单调递增;当时,单调递增.,整理得.故选:B.【点睛】本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难.10、A【解析】
由题意知成等差数列,结合等差中项,列出方程,即可求出的值.【详解】解:由为等差数列,可知也成等差数列,所以,即,解得.故选:A.【点睛】本题考查了等差数列的性质,考查了等差中项.对于等差数列,一般用首项和公差将已知量表示出来,继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大,如果能结合等差数列性质,可使得计算量大大减少.11、B【解析】
根据循环语句,输入,执行循环语句即可计算出结果.【详解】输入,由题意执行循环结构程序框图,可得:第次循环:,,不满足判断条件;第次循环:,,不满足判断条件;第次循环:,,满足判断条件;输出结果.故选:【点睛】本题考查了循环语句的程序框图,求输出的结果,解答此类题目时结合循环的条件进行计算,需要注意跳出循环的判定语句,本题较为基础.12、C【解析】
由于中正项与负项交替出现,根据可排除选项A、B;执行第一次循环:,①若图中空白框中填入,则,②若图中空白框中填入,则,此时不成立,;执行第二次循环:由①②均可得,③若图中空白框中填入,则,④若图中空白框中填入,则,此时不成立,;执行第三次循环:由③可得,符合题意,由④可得,不符合题意,所以图中空白框中应填入,故选C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
将三棱锥置入正方体中,利用正方体体对角线为三棱锥外接球的直径即可得到答案.【详解】由已知,将三棱锥置入正方体中,如图所示,,故正方体体对角线长为,所以外接球半径为,其体积为.故答案为:.【点睛】本题考查三棱锥外接球的体积问题,一般在处理特殊几何体的外接球问题时,要考虑是否能将其置入正(长)方体中,是一道中档题.14、【解析】
求导,得到和,利用点斜式即可求得结果.【详解】由于,,所以,由点斜式可得切线方程为.故答案为:.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程,属基础题.15、【解析】
由题,得满足题目要求的情况有,①有一个数字4,另外两个数字从1,2,3里面选和②有两个数字4,另外一个数字从1,2,3里面选,由此即可得到本题答案.【详解】满足题目要求的情况可以分成2大类:①有一个数字4,另外两个数字从1,2,3里面选,一共有种情况;②有两个数字4,另外一个数字从1,2,3里面选,一共有种情况,又从中任意摸取3个小球,有种情况,所以取出的3个小球中数字最大的为4的概率.故答案为:【点睛】本题主要考查古典概型与组合的综合问题,考查学生分析问题和解决问题的能力.16、【解析】
由三视图还原原几何体,该几何体为四棱锥,底面为直角梯形,,,侧棱底面,由棱锥体积公式求棱锥体积,由勾股定理求最长棱的长度.【详解】由三视图还原原几何体如下图所示:该几何体为四棱锥,底面为直角梯形,,,侧棱底面,则该几何体的体积为,,,因此,该棱锥的最长棱的长度为.故答案为:;.【点睛】本题考查由三视图求体积、棱长,关键是由三视图还原原几何体,是中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析,或;(2)存在,.【解析】
(1)满足题意有两种组合:①,,,②,,,分别计算即可;(2)由(1)分别讨论两种情况,假设存在正整数,使得,,成等比数列,即,解方程是否存在正整数解即可.【详解】(1)由题意可知:有两种组合满足条件:①,,,此时等差数列,,,所以其通项公式为.②,,,此时等差数列,,,所以其通项公式为.(2)若选择①,.则.若,,成等比数列,则,即,整理,得,即,此方程无正整数解,故不存在正整数,使,,成等比数列.若选则②,,则,若,,成等比数列,则,即,整理得,因为为正整数,所以.故存在正整数,使,,成等比数列.【点睛】本题考查等差数列的通项公式及前n项和,涉及到等比数列的性质,是一道中档题.18、(1)(2)【解析】
(1)由公式可化极坐标方程为直角坐标方程;(2)把点极坐标化为直角坐标,直线的参数方程是过定点的标准形式,因此直接把参数方程代入曲线的方程,利用参数的几何意义求解.【详解】解:(1),则,∴,所以曲线的直角坐标方程为,即(2)点的直角坐标为,易知.设对应参数分别为将与联立得【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,考查直线参数方程,解题时可利用利用参数方程的几何意义求直线上两点间距离问题.19、(1)见解析,(2)【解析】
(1)根据等差中项的定义得,然后构造新等比数列,写出的通项即可求(2)根据(1)的结果,分组求和即可【详解】解:(1)由已知可得,即,可化为,故数列是以为首项,2为公比的等比数列.即有,所以.(2)由(1)知,数列的通项为:,故.【点睛】考查等差中项的定义和分组求和的方法;中档题.20、(1)见解析(2)【解析】
(1)根据题目所给递推关系式得到,由此证得数列为等比数列.(2)由(1)求得数列的通项公式,判断出,由此利用裂项求和法求得数列的前项和.【详解】(1)所以数列是以3为首项,以3为公比的等比数列.(2)由(1)知,∴为常数列,且,∴,∴∴【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列,考查裂项求和法,属于中档题.21、(1).(2)四边形OMDN的面积是定值,其定值为.【解析】
(1)根据三角形内切圆的性质证得,由此判断出点的轨迹为椭圆,并由此求得曲线的方程.(2)将直线的斜率分成不存在或存在两种情况,求出平行四边形的面积,两种情况下四边形的面积都为,由此证得四边形的面积为定值.【详解】(1)因为圆E为△ABC的内切圆,所以|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|=2|CP|+|AR|+|BR|=2|CP|+|AB|=4>|AB|所以点C的轨迹为以点A和点B为焦点的椭圆(点不在轴上),所以c,a=2,b,所以曲线G的方程
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