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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知复数满足,其中是虚数单位,则复数在复平面中对应的点到原点的距离为()A. B. C. D.2.是恒成立的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.若关于的不等式有正整数解,则实数的最小值为()A. B. C. D.4.已知(i为虚数单位,),则ab等于()A.2 B.-2 C. D.5.下列与函数定义域和单调性都相同的函数是()A. B. C. D.6.已知定义在R上的偶函数满足,当时,,函数(),则函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为()A.2 B.4 C.5 D.67.已知平面向量,满足,,且,则()A.3 B. C. D.58.已知为两条不重合直线,为两个不重合平面,下列条件中,的充分条件是()A.∥ B.∥C.∥∥ D.9.已知椭圆的短轴长为2,焦距为分别是椭圆的左、右焦点,若点为上的任意一点,则的取值范围为()A. B. C. D.10.若复数(为虚数单位),则()A. B. C. D.11.已知函数,若,且,则的取值范围为()A. B. C. D.12.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中的最长棱长为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在平面直角坐标系中,点P在直线上,过点P作圆C:的一条切线,切点为T.若,则的长是______.14.已知,若的展开式中的系数比x的系数大30,则______.15.的展开式中的常数项为_______.16.已知,,且,若恒成立,则实数的取值范围是____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某生物硏究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律,据统计该地区蜻蜓有两种,且这两种的个体数量大致相等,记种蜻蜓和种蜻蜓的翼长(单位:)分别为随机变量,其中服从正态分布,服从正态分布.(Ⅰ)从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只,求这只蜻蜓的翼长在区间的概率;(Ⅱ)记该地区蜻蜓的翼长为随机变量,若用正态分布来近似描述的分布,请你根据(Ⅰ)中的结果,求参数和的值(精确到0.1);(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只,记这3只中翼长在区间的个数为,求的分布列及数学期望(分布列写出计算表达式即可).注:若,则,,.18.(12分)已知.(Ⅰ)若,求不等式的解集;(Ⅱ),,,求实数的取值范围.19.(12分)已知椭圆的焦距为,斜率为的直线与椭圆交于两点,若线段的中点为,且直线的斜率为.(1)求椭圆的方程;(2)若过左焦点斜率为的直线与椭圆交于点为椭圆上一点,且满足,问:是否为定值?若是,求出此定值,若不是,说明理由.20.(12分)设函数f(x)=|x﹣a|+|x|(a>0).(1)若不等式f(x)﹣|x|≥4x的解集为{x|x≤1},求实数a的值;(2)证明:f(x).21.(12分)设为实数,在极坐标系中,已知圆()与直线相切,求的值.22.(10分)已知数列满足,,其前n项和为.(1)通过计算,,,猜想并证明数列的通项公式;(2)设数列满足,,,若数列是单调递减数列,求常数t的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
利用复数的除法运算化简z,复数在复平面中对应的点到原点的距离为利用模长公式即得解.【详解】由题意知复数在复平面中对应的点到原点的距离为故选:B【点睛】本题考查了复数的除法运算,模长公式和几何意义,考查了学生概念理解,数学运算,数形结合的能力,属于基础题.2、A【解析】
设成立;反之,满足,但,故选A.3、A【解析】
根据题意可将转化为,令,利用导数,判断其单调性即可得到实数的最小值.【详解】因为不等式有正整数解,所以,于是转化为,显然不是不等式的解,当时,,所以可变形为.令,则,∴函数在上单调递增,在上单调递减,而,所以当时,,故,解得.故选:A.【点睛】本题主要考查不等式能成立问题的解法,涉及到对数函数的单调性的应用,构造函数法的应用,导数的应用等,意在考查学生的转化能力,属于中档题.4、A【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数相等的条件列式求解.【详解】,,得,..故选:.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数相等的条件,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,是基础题.5、C【解析】
分析函数的定义域和单调性,然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性,由此确定正确选项.【详解】函数的定义域为,在上为减函数.A选项,的定义域为,在上为增函数,不符合.B选项,的定义域为,不符合.C选项,的定义域为,在上为减函数,符合.D选项,的定义域为,不符合.故选:C【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性,属于基础题.6、B【解析】
由函数的性质可得:的图像关于直线对称且关于轴对称,函数()的图像也关于对称,由函数图像的作法可知两个图像有四个交点,且两两关于直线对称,则与的图像所有交点的横坐标之和为4得解.【详解】由偶函数满足,可得的图像关于直线对称且关于轴对称,函数()的图像也关于对称,函数的图像与函数()的图像的位置关系如图所示,可知两个图像有四个交点,且两两关于直线对称,则与的图像所有交点的横坐标之和为4.故选:B【点睛】本题主要考查了函数的性质,考查了数形结合的思想,掌握函数的性质是解题的关键,属于中档题.7、B【解析】
先求出,再利用求出,再求.【详解】解:由,所以,,,故选:B【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算,是基础题.8、D【解析】
根据面面垂直的判定定理,对选项中的命题进行分析、判断正误即可.【详解】对于A,当,,时,则平面与平面可能相交,,,故不能作为的充分条件,故A错误;对于B,当,,时,则,故不能作为的充分条件,故B错误;对于C,当,,时,则平面与平面相交,,,故不能作为的充分条件,故C错误;对于D,当,,,则一定能得到,故D正确.故选:D.【点睛】本题考查了面面垂直的判断问题,属于基础题.9、D【解析】
先求出椭圆方程,再利用椭圆的定义得到,利用二次函数的性质可求,从而可得的取值范围.【详解】由题设有,故,故椭圆,因为点为上的任意一点,故.又,因为,故,所以.故选:D.【点睛】本题考查椭圆的几何性质,一般地,如果椭圆的左、右焦点分别是,点为上的任意一点,则有,我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题,本题属于基础题.10、B【解析】
根据复数的除法法则计算,由共轭复数的概念写出.【详解】,,故选:B【点睛】本题主要考查了复数的除法计算,共轭复数的概念,属于容易题.11、A【解析】分析:作出函数的图象,利用消元法转化为关于的函数,构造函数求得函数的导数,利用导数研究函数的单调性与最值,即可得到结论.详解:作出函数的图象,如图所示,若,且,则当时,得,即,则满足,则,即,则,设,则,当,解得,当,解得,当时,函数取得最小值,当时,;当时,,所以,即的取值范围是,故选A.点睛:本题主要考查了分段函数的应用,构造新函数,求解新函数的导数,利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键,着重考查了转化与化归的数学思想方法,以及分析问题和解答问题的能力,试题有一定的难度,属于中档试题.12、C【解析】
根据三视图,可得该几何体是一个三棱锥,并且平面SAC平面ABC,,过S作,连接BD,,再求得其它的棱长比较下结论.【详解】如图所示:由三视图得:该几何体是一个三棱锥,且平面SAC平面ABC,,过S作,连接BD,则,所以,,,,该几何体中的最长棱长为.故选:C【点睛】本题主要考查三视图还原几何体,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
作出图像,设点,根据已知可得,,且,可解出,计算即得.【详解】如图,设,圆心坐标为,可得,,,,,解得,,即的长是.故答案为:【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,以及求平面两点间的距离,运用了数形结合的思想.14、2【解析】
利用二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,求得的值.【详解】展开式通项为:且的展开式中的系数比的系数大,即:解得:(舍去)或本题正确结果:【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.15、【解析】
写出展开式的通项公式,考虑当的指数为零时,对应的值即为常数项.【详解】的展开式通项公式为:,令,所以,所以常数项为.
故答案为:.【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解,难度较易.解答问题的关键是,能通过展开式通项公式分析常数项对应的取值.16、(-4,2)【解析】试题分析:因为当且仅当时取等号,所以考点:基本不等式求最值三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ);(Ⅱ),;(Ⅲ)详见解析.【解析】
(Ⅰ)由题知这只蜻蜓是种还是种的可能性是相等的,所以,代入数值运算即可;(Ⅱ)可判断均值应为,再结合(1)和题干备注信息可得,进而求解;(Ⅲ)求得,该分布符合二项分布,故,列出分布列,计算出对应概率,结合即可求解;【详解】(Ⅰ)记这只蜻蜓的翼长为.因为种蜻蜓和种蜻蜓的个体数量大致相等,所以这只蜻蜓是种还是种的可能性是相等的.所以.(Ⅱ)由于两种蜻蜓的个体数量相等,的方差也相等,根据正态曲线的对称性,可知由(Ⅰ)可知,得.(Ⅲ)设蜻蜓的翼长为,则.由题有,所以.因此的分布列为.【点睛】本题考查正态分布基本量的求解,二项分布求解离散型随机变量分布列和期望,属于中档题18、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)利用零点分段讨论法把函数改写成分段函数的形式,分三种情况分别解不等式,然后取并集即可;(Ⅱ)利用绝对值三角不等式求出的最小值,利用均值不等式求出的最小值,结合题意,只需即可,解不等式即可求解.【详解】(Ⅰ)当时,,,或,或,或所以不等式的解集为;(Ⅱ)因为,又(当时等号成立),依题意,,,有,则,解之得,故实数的取值范围是.【点睛】本题考查由存在性问题求参数的范围、零点分段讨论法解绝对值不等式、利用绝对值三角不等式和均值不等式求最值;考查运算求解能力、分类讨论思想、逻辑推理能力;属于中档题.19、(1).(2)为定值.过程见解析.【解析】分析:(1)焦距说明,用点差法可得=.这样可解得,得椭圆方程;(2)若,这种特殊情形可直接求得,在时,直线方程为,设,把直线方程代入椭圆方程,后可得,然后由纺长公式计算出弦长,同时直线方程为,代入椭圆方程可得点坐标,从而计算出,最后计算即可.详解:(1)由题意可知,设,代入椭圆可得:,两式相减并整理可得,,即.又因为,,代入上式可得,.又,所以,故椭圆的方程为.(2)由题意可知,,当为长轴时,为短半轴,此时;否则,可设直线的方程为,联立,消可得,,则有:,所以设直线方程为,联立,根据对称性,不妨得,所以.故,综上所述,为定值.点睛:设直线与椭圆相交于两点,的中点为,则有,证明方法是点差法:即把点坐标代入椭圆方程得,,两式相减,结合斜率公式可得.20、(1)a=1;(2)见解析【解析】
(1)由题意可得|x﹣a|≥4x,分类讨论去掉绝对值,分别求得x的范围即可求出a的值.(2)由条件利用绝对值三角不等式,基本不等式证得f(x)≥2..【详解】(1)由f(x)﹣|x|≥4x,可得|x﹣a|≥4x,(a>0),当x≥a时,x﹣a≥4x,解得x,这与x≥a>0矛盾,故不成立,当x<a时,a﹣x≥4x,解得x,又不等式的解集是{x|x≤1},故1,解得a=1.(2)证明:f(x)=|x﹣a|+|x||x﹣a﹣(x)|=|a|,∵a>0,∴|a|=a22,当且仅当a时取等号,故f(x).【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式,基本不等式,绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于基础题.21、【解析】
将圆和直线化成普通方程.再根据相切,圆心到直线的距离等于半径,列等式方程,解方程即可.【详解】解:将圆化成普通方程为,整理得.将直线化成普通方程为.因为相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即解得.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化,考查直线与圆的位置关系,是基础题.22、(1),证明见解析;
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