陕西省汉中市2023-2024学年高三年级下册教学质量第二次检测文科数学试卷试题及答案

汉中市2024届高三年级教学质量第二次检测考试

数学（文科）

（命题学校：镇巴中学）

本试卷共23小题，共150分，共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域

内.

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体

工整、笔迹清楚.

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在

草稿纸、试卷上答题无效.

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知i为虚数单位，复数z满足z（l+i）=4+i,贝i]z的虚部为（）

333.

A.—B.——C.—1D.--i

2222

【答案】B

【解析】

【分析】设2=。+历，利用复数相等的性质与四则运算求得Z,从而得解.

【详解】依题意，设2=。+历（a,Z?wR）,

因为z（l+i）=4+i,所以（a+历）（l+i）=4+i,

即（a—Z?）+（a+Z?）i=4+i,

5

a=­

a-b=42

所以《…，解得

533

则2=——i,z的虚部为——.

222

故选：B.

2.已知全集。={xeZ|—3<x<3},集合A={-2,0,2},5={-1,0},贝0(AuB)=()

A.{-3,1}B.{-3,3}

C.{-3,1,3}D.0

【答案】A

【解析】

【分析】根据条件，求出全集U,再利用集合的运算，即可求出结果.

【详解】因为。={xeZ|—3Wx<3}={—3,—2,—1,0,1,2},又AD3={—2,—1,0,2},

所以-B)={—3,1},

故选：A.

3.图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一

连串直角三角形演化而成的，其中。4=44=&&=•=44=1，如果把图2中的直角三角形继续

作下去，则第九个三角形的面积为()

【答案】B

【分析】记。,OA,...,%的长度构成的数列为{4},依题意可得尺=%+1,即可得到{%是以1

为首项，1为公差的等差数列，从而求出。“，再由面积公式计算可得.

【详解】记。V。勾的长度构成的数列为{4},

由题意知，04=44=44=3=44=1，且0A4，044,…，044都是直角二角形，

所以q=i,且吊=。3+1,所以数列｛d｝是以1为首项，1为公差的等差数列,

所以a；=l+（n-l）xl=H,

由%>0,所以为=

所以第九个三角形的面积为34X1-----.

2

故选：B.

x-y-2<0

4.若实数％,）满足约束条件3x+y—220,则z=2x+3y的最小值为（）

x-2y>0

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】C

【解析】

【分析】根据线性约束条件画出可行域，再数形结合求出目标函数的最优解，即可得解;

x-y-2<0

【详解】由约束条件3%+y-220作出可行域如图,

x-2y>0

3x+y—2=0x=l

联立，解得।则A。,-1).

x-y-2=0U=T

21

化目标函数z=2x+3y为y=—至九+12

由图可知，当直线y=-?x+』z过A时，直线在>轴上的截距最小,

33

则z有最小值为2xl+3x(-1)=-1.

故选：C.

5.已知函数y=/（x）的图象如图所示，则/（尤）的解析式可能是（

X

-x-sinxx-COSX

A./(%)=B.于(x)=

erere+ex

%+sinxX+COSX

c./(%)=D./W=

eA+e^e+ex

【答案】C

【解析】

7T

【分析】依题意可得了(%)为奇函数，即可排除B、D,由函数在°<x<5上的函数值的特征排除A.

【详解】由图可知/(x)的图象关于原点对称，则/(力为奇函数,

一X—sinX

对于A：小)=赤二定义域为R,

当0<%<3时一x-sinxvO,+e-x>0，所以不符合题意，故A错误;

对于B：/⑴=黄黄定义域为R'

-x-cos(-x)_-X-cosX

/(-x)=w-/(x)且/(-%)

e-x+eYe-%+।e/—工

所以/Xx)==为非奇非偶函数，不符合题意，故B错误;

e+e

._，/、x+cosx»“，4,

对于D：/(%)=———^定义域为R,

e+e

门—X+cos(—X

/(­)=-hV—X+cosX

八一工^-/(x)!,/(-%)*/(%),

e+ee-%+Ie

x+cosx

所以/(%)=为非奇非偶函数，不符合题意，故D错误;

erer

一，/、x+smx.、-r+sin(-x)_x+sinx

对于C：f(x)=-...-定义域为R,y(-x)=一/⑴，

e+e+ee'+eT

。/、x+smx、，上.「包

所以/(%)=———十为奇函数,

e+e

且当0<%<3时x+sinx>0,ex+e-x>0，所以/(%)>。，符合题意，故C正确;

故选：C

6.已知也〃为两条直线，内尸为两个平面，mua,nu0,mLn,则/_L，是。，，的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用面面垂直的判定定理，可得充分性成立，再通过举例说明得不出根，，，即可得

出结果.

【详解】若"2，，，因为mU&,所以。即由根，分可以得到，

若。_L力，如图，在正方体中，取平面AD2A为平面平面ABC。为平面尸，

取AR为直线机，CD为直线九，显然有机<=。,"<=尸,〃2_1_",a工/3,但〃z与万不垂直，即由

。_1，得不到小1_，，

小£)i

O

BC

故选：A.

22

7.己知双曲线C:--2=1(4>0/>0)的左右焦点分别为4,E,曲线C上的点M满足

ab

uionuuun几

FiMF2M=Q,ZMFiF2=-,则双曲线的离心率为()

6

A.73+1B.73C.拽

D.73-1

3

【答案】A

【解析】

uuanuuuu几

【分析】利用4M•M"=0,NM4K=—,可得|加片|=岳，|M"l=c,结合双曲线的定义，即可求得

6

双曲线的离心率.

uuunuuun几

【详解】因为《M・7y/=0,NM大与二一，所以从用,般，

6

又比局=2c,所以|加可|=限,IMF21=c,

所以|MH|—IM\=&-c=2a,

c2I-

则e=1=m=j3+l,即双曲线离心率为6+1.

故选：A.

8.一组样本数据为,々,工，犬4，匕的平均数为元，方差为$2,标准差为S,下列说法正确的是（

A.这组数据的中位数为了3

B.3Xj+1,3X2+1,3X3+1,3X4+1,3X5+1的平均数为3元

2

C.%+1,x2+L/+1,%4+1,%5+1的方差为5+1

D.3%,3%,3&,3%4,3毛的标准差为3s

【答案】D

【解析】

【分析】利用中位数的意义判断A；计算平均数判断B；计算方差判断CD.

5_

22

【详解】依题意，+x2+Xj+x4+x5=5x,(x,--x)=5s,

i=l

对于A,数据看,%2，%3，%4，％5不一定是按大小顺序排列而成的，A错误；

对于B3%]+1+3%2+1+3%3+1+3%4+1+3%5+115%+53一+]B

,-p项+1+九2+1+%3+1+x4+1+犬5+15%+5—

xyfjc，---------------------------------------------------------------------------------------=%+11,

55

]5_15_

££[(茗+1)-(％+1)]2=££(Xj-X)2=S?,C错误；

5i=i5j=i

222

对于D,3也上3玉?3与t3血丁39=，工£（3%,.-3x）=-^L9（x;-x）=95,

55,=i5;=1

所以3匹,3X2,3退,3X4,3X5的标准差为3s,D正确.

故选：D

9.函数/0）=25诂（0》+。）［0〉0,0＜。＜；｝勺图象如图所示，P,Q为图象上两点，对于向量

ULUU

rr7i

a=（l^aPQ=-,为了得到g（%）=2sin4x的图象，需要将/（幻图象上所有点的坐标（）

2

7T

A,横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移一个单位

JT

B.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移一个单位

17T

C.横坐标缩短到原来的;（纵坐标不变），再向右平移一个单位

/A

1TT

D,横坐标缩短到原来的9（纵坐标不变），再向右平移二个单位

/16

【答案】D

【解析】

71

【分析】根据图象及题设条件，求出。,0,从而得到/（x）=2sin（2x+w），再利用图象的平移变换，即

可求出结果.

【详解】设/（X）的最小正周期为T,如图，易知尸（二,2）,2（-+-,0）,所以PQ=（7,一2）,

884'4

rruun兀T兀2兀

又a=（l,0）,a-PQ=—,所以一=—,得到7=兀，所以一=兀，即。=2,

444co

兀）7T7T7T

［—,2I,所以2xw+o=,+2E,左wZ,即。=^+2左兀,ZwZ,

TT7r7L

又0＜°＜］,所以"=得到/（x）=2sin（2x+i）,

为了得到g（x）=2sin4x的图象，需要将了⑺图象上所有点的坐标横坐标缩短到原来的g（纵坐标不

jr

变），再向右平移一个单位,

16

故选：D.

10.已知；〃：/+丁2_2工—2y—2=0,直线/：2x+y+2=0,P为/上的一动点，A,B为M上任意

不重合的两点，贝hosNAPB的最小值为（）

A2君R_46。

5555

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意分析得当E4,PB分别为圆的切线，且最小时，/AP5最大，此时cosNAPB最小，

再利用二倍角公式即可得解.

【详解】由题意得：M的标准方程为（x—1y+（y—1）2=4,所以圆心半径为2,

=亚＞2,所以直线/与相离,

所以当B4，PB分别为圆的切线，且作。|最小时,

\AM\2JT

sinZAPM=J：r最大，又0</APM<—,则NAPM最大,

\PM\\PM\2

所以NAPB=2NAR欣最大，此时cos/APB最小，

止匕时cosZAPB=cos2ZAPM=1-2sin2ZAPM=l-2x(-^)2=-|.

故选：D.

——3尤2—2xx«0

11.已知函数/"(%)={'—，8(%)=/(无)一如有4个零点，则机的取值范围为()

Inx,x>0

A.(―,—)B.(-2,0]U{—}C.(-2,0]U{—}D.(-oo,0]U(—,—)

4ee44e

【答案】C

【解析】

【分析】确定x=0是函数g(x)的零点，在xwO时，利用函数零点的定义分离参数，构造函数//(x)=/@,

X

利用导数及二次函数的性质数形结合求出范围.

【详解】由g(x)=o,得mx=/(x),而当尤=0时，/(尤)=0,即0是g。)的一个零点,

„__3x_2,x<c0—x21—3x—2,%<0

当％w0时，m=------=<In%令/z(x)=hnx八

%----,x>0----,x>0

、%、x

依题意，直线丁二机与函数y=/z(x)的图象有3个公共点，

3113

当xv0时，h｛x)=—X2—3x—2=—(%H—『H—<—，当且仅当%=—时取等号,

2442

、“八47/、Inx上口/口7,/、1-lnx

当兀>0时，fi(x)=---，求导得无(冗)=---z—，

XX

当0<x<e时，/(%)>0,当工>6时，〃(%)<0,

因此函数及(%)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，/z(e)=->-,

e4

当0<xVl时，九(%)工/1)=0,当1>1时，力(%)>。恒成立，

在同一坐标系内作出直线丁=机与函数y=力(%)的图象,

观察图象知，当—2<帆<0或m=工时，直线>=根与函数y=〃(x)的图象有3个公共点,

4

则当—2<加<0或加=工时，方程7〃=上有3个解，即g(x)=/(x)一如有4个零点，

4x

所以加的取值范围为一2〈根<0或m=—.

4

故选：C

2

12.已知正项数列｛4｝的前w项和为耳，且25“=4+一，数列出｝的前w项积为7；且7；=S；,下列

说法错误的是（）

A.Sn=^B.｛〃｝为递减数列

C%24=|^||D.an=y/2（4n-sjn-l）

【答案】B

【解析】

【分析】根据4与S,及久与7；的关系，利用等差数列的定义及通项公式，结合数列的性质即可求解.

2

【详解】当〃=1时，2q=q+—,解得q=±也（负舍），

41

2

当“22时，2S“=S〃—S1+三——,即S,；-S〉］=2,且S；=2,

~*\一1

所以数列｛s；｝是首项为2,公差为2的等差数列，

所以S：=2+2-（ra-1）=2«,

又an>0,所以S"="?,故A正确；

当〃之2时，有a”=J2（=-1）=后（6-Ja-l）,

取”=1时，q=->/］_］）=此式也满足％,

故数列｛4｝的通项公式为4=虚（赤-Jn-1），故D正确；

因为数列出｝的前“项积为北且乙=S；,

所以T"=a也也…b,=S-=2n,

当〃=1时，4=2,

&=2〃=q=〃-l+l=i+J_

当时，b”

Tn_x2（n-l）n—Xn—1n—1

2,n=l

显然〃=1不适用，故数列｛4｝的通项公式为2=<l+-i—,n>2,

n-1

显然4=4=2,所以数列｛2｝不是递减数列，故B错误,

20242024

由当时,,得%24=故C正确,

2024-12023

故选：B.

b,n=l

CL.M—1{

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用4=Tcc和%=<Z2,结合等差数列的

定义及通项公式即可求解.

第n卷（非选择题共为分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量满足16|=a|,且a是单位向量，若cos&b〉=1~，则|a-26|=

【答案】3

【解析】

【分析】利用向量的夹角公式及向量的模公式即可求解.

【详解】因为。是单位向量，

所以同=1,16|=|a|=x1=S',

又因为cos〈5,/?〉~~~，

产夕V3；.力_

所以cos〈a,b〉=NM=§,即（t=牛，解得。力=1，

所以|a—2b|=_4a.A+4卜|=-4xl+4x（VJ）=3.

故答案为：3.

14.继淄博烧烤、哈尔滨冻梨后，最近天水麻辣烫又火了.据了解天水麻辣烫店内菜品一般由竹签串起成

捆摆放，人们按照自己的喜好选好后递给老板，进行调制.某麻辣烫店内有西兰花、香菇、豆皮、海带、

白菜等菜品，一游客打算从以上5种蔬菜中随机选择不同的3种，则西兰花和海带被选中的概率为

3

【答案】—##0.3

10

【解析】

【分析】根据古典概型求解即可.

【详解】由题意，设五种食材分别为"c,d,e,则基本事件空间为

{(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e),(a,c,J),(a,c,e),(a,d,e),(b,c,d),(b,c,e),(b,d,e),(c,d,e)},

共10个基本事件，其中含有西兰花和海带的有(a,A,d),(a,c,d),(a,d,e),3个基本事件，所以

3

故答案为：—

10

15.已知三棱锥4—8。。,45=4。=40=2,3。=班>=。。=3,则三棱锥A—BCD的外接球表面积

为.

【答案】1671

【解析】

【分析】由题意知，该三棱锥为正三棱锥，取底面的中心连接AM,则球心。落在AM上，求出棱锥的

高，由此得到关于外接球半径的方程求解即可.

【详解】如图：

U

由题意知，底面一ABC为等边三角形，设M为其中心,

则=3x3=百，

3

又AB=AC=AD=2,

所以该三棱锥为正三棱锥，

所以AM=^AB2-BM2=1-

所以外接球半径H>40,

则外接球球心在AO的延长线上，

所以OA=OB=R,则3/=尺一1,

所以在RtABOM中，OB?=OM〜BM?，

即7?2=(6『+(氏—1)2,解得R=2,

所以外接球表面积为S=4兀/?2=16兀

故答案：1671.

16.已知A,B是抛物线C：V=4x上异于原点的两点，且以|AB|为直径的圆过原点，过"(0,4)向直线

AB作垂线，垂足为"，求10Hl的最大值为.

【答案】40

【解析】

【分析】结合向量垂直的性质，推得为%=-16,设出直线A3的方程，并与抛物线方程联立，运用韦达定

理，求出直线A3所过定点，再结合圆的性质，即可求解，

【详解】依题意，设B(手,为)，

以|4耳为直径的圆过原点，则04。2=爷_+乂％=0,解得%为=-16,

易知直线AB的斜率不为0,不妨设直线AB的方程为x=ty+m,

丫？=

联立广，化简整理可得4。-4加=0,

x=ty+m

所以弘％=Tm=—16,解得根=4,

故直线A3恒过定点P(4,0),

因为NMOP=90°,则。，P,H,M四点共圆,

即点”在以为直径的圆(除原点外)上运动,

此时该圆直径为|PM|=A/42+42=4夜，

故|。"|的最大值为该圆的直径，即4夜.

故答案为：4A历.

【点睛】关键点点睛：本题解决关键是，利用向量垂直的性质与韦达定理求得直线A3所过定点，从而

得解.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（-）必考题：共60分.

17.在一ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果

选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.）

①记ABC的面积为S,且由A5-AC=2S；②已知asin3=Z7COS（A—'）.

6

（1）求角A的大小；

（2）若为锐角三角形，且。=痴，求.ABC周长的取值范围.

【答案】（1）A=j;

（2）（3五+跖3闲.

【解析】

【分析】（1）选①，利用数量积的定义及三角形面积公式求解；选②，利用正弦定理边化角，再利用差角的

余弦化简即得.

（2）利用正弦定理化b+c为角8的函数，再利用三角恒等变换及正弦函数性质求出范围.

【小问1详解】

选条件①，由百AB-AC=2S，得J§Z?ccosA=2x；Z?csinA,整理得tanA=g,而0<4<兀，

所以4

JT7T

选条件②，由Qsin3=/?cos（A——）及正弦定理，得sinAsin3=sin3cos（A——）,

66

而sinB>0,则sinA=cos（A-'）=^-cosA+—sinA，整理得tanA=6，而0vA<兀，

622

所以A=*

【小问2详解】

兀上=」=1=正=2立

由（1）知4=H，由正弦定理得sin5sinCsinAsin71，

Sm3

因此A+c=272sinB+2A/2sinC=20[sinB+sin（1+B）]

则走<sin(3+C)〈l，于是30<b+c<2后，3叵+屈<a+b+c£3瓜,

26

所以_A6C周长的取值范围是(3行+卡,3nL

18.2024年03月04日《人民日报》发表文章《开展全民健身实现全民健康》，文中提到：体育锻炼要从

小抓起.“让孩子们跑起来”“要长得壮壮的、练得棒棒的”“体育锻炼是增强少年儿童体质最有效的手

段”……习近平总书记的殷殷嘱托，牢牢印刻在广大教育工作者和孩子们的心中.某学校为了了解学生体

育锻炼的情况，随机抽取了"名同学，统计了他们每周体育锻炼的时间，作出了频率分布直方图如图所

示.其中体育锻炼时间在(4,6］内的人数为50人.

(1)求九及。的值(々的取值保留三位小数)；

(2)估计该校学生每周体育锻炼时间的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(3)我们把每周体育锻炼时间超过8小时的学生称为“运动达人”，为了了解“运动达人”与性别是否有关

系，我们对随机抽取的〃名学生的性别进行了统计，得到如下2x2列联表：

非运动达人运动达人总计

男生30

女生70

总计

补全2x2列联表，并判断能否有90%的把握认为成为“运动达人”与性别有关?

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.1000.0500.0250.010

k2.7063.8415.0246635

【答案】(1)”=200,a=0.200

⑵7=6.8

(3)列联表见解析，没有

【解析】

【分析】(1)根据条件得到卫=0.25,即可求出九值，再利用小矩形面积之和为1,即可求出。值；

n

(2)利用频率分布图中平均值的计算方法，即可求出结果；

(3)根据频率分布直方图，得出运动达人的总人数，即可得出列联表，再根据列联表计算出K?值，即可

求出结果.

【小问1详解】

因为体育锻炼时间在(4,6］内的人数为50人，所以处=0.125x2=0.25,解得〃=200,

n

又由(0.050+0.125+a+0.075+0.050)x2=l,得到a=0.200.

【小问2详解】

根据频率分布直方图，知该校学生每周体育锻炼时间的平均值为：

x=(3x0.050+5x0.125+7x0.200+9x0.075+11x0.050)x2=6.8.

【小问3详解】

由(1)知力=200,运动达人共有200x(0.15+0.1)=50,所以女生运动达人有20人，

得到列联表如图：

非运动达人运动达人总计

男生8030110

女生702090

总计15050200

又K2=n(ad-bc)2

200(80x2。-70x30)2:理*673<2.7。6,

(〃+/?)(c+d)(a+c)(Z?+d)150x50x110x90297

所以没有90%的把握认为成为“运动达人”与性别有关.

19.己知：如图，三角形ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=A3=2CD=2,

(1)证明：。尸〃平面ABC；

(2)求点8到平面AD厂的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)41

【解析】

【分析】⑴取AE中点G,连接。G、FG,由三角形中位线的性质得到FG〃M，进一步得到EG〃平

面ABC,再由已知证出四边形ACDG为平行四边形，从而得到。G〃平面ABC,即可得到平面。回G//

平面ABC,从而得证；

(2)先证出5石，平面AD尸，进而得出点B到平面AD户的距离为跳5,即可求解.

【小问1详解】

如图：

B

取AE中点G,连接。G、FG,

厂是班的中点，

:.FG//AB,

又〔ABu平面ABC,FG<Z平面ABC,

.•.PG〃平面ABC,

AE和CD都垂直于平面ABC,

AE//CD,

又AE=2,CD=1,:.AG^CD,

则四边形ACDG为平行四边形，

DG//AC,

又•.ACu平面ABC,£)G(Z平面ABC,

DG//平面ABC,

又FG\DG=G,FG,£>Gu平面平面DFG,

二平面G〃平面ABC，

QFu平面WG,

.•.DE〃平面ABC；

【小问2详解】

AE=2CD,

EG=AE-CD=2-1^1,DG=AC=2,

在直角ZkOEG中，DE=y/EG2+DG2=71+4=75-

在直角△BCD中，BD=ylCD2+BC2=JT+4=45-

:.DE=BD,又产为郎的中点，

.-.DF±BE，

又AE=AB,：.AF±BE,

AF\DF=F,ARDEu平面AD尸

.•.BE，平面AD产，

即点B到平面ADF的距离为BF，

因为BE=A/A£2+AB2=6+22=2应,

所以BF=1BE=®.

2

20.已知椭圆。：・+斗=1（。〉6〉0）的离心率为«2,短轴长为2挺.

ab2

（1）求椭圆。的标准方程；

（2）已知点”（加,0）,加£（一〃,〃），过点”且斜率不为。的直线/交椭圆于P,。两点，当

11

--------1------=--2时，求机的值.

\MP\\MQ\

22

【答案】（1）二+匕=1

42

⑵m=±^2

【解析】

【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及〃，b,。之间的关系，列出等式求解即可;

（2）设出直线/的方程和P,。两点的坐标，将直线/的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式和

换元法进行求解即可.

【小问1详解】

因为椭圆。的离心率为变,

短轴长为2夜，

2

£=交

a2a—2

所以»=2四解得<b=y/2,

tz2=Z?2+C2C=y/2

所以椭圆C的标准方程为三+匕=1；

42

【小问2详解】

因为直线/过点M且斜率不为0,

不妨设直线/的方程为x=ty+m,尸（%,州）,Q（X2,y2）,

x=ty+m

联立y2，消去x并整理得(产+2))?+2力孙+/一4=0,

—+—=1

[42

此时A=(2力徨)2—4(r+2)・(“-4)=8(2产一〃22+4)>0,贝UW<2r+4，-2<m<2,

2tmm2-4

所以%+y

2产+2，必%-j+2

因为点尸在直线/上，所以%=。1+相,

因为加（7%,0）,所以|“？|="（改_〃2）2+犬=J产+1|%|,

同理得|MQ|=Jd+i|必

11111、1|y|+1%|

斫以------1-------=-,-(z-----1-----)=_«-

iMei\MP\ixiiy2i#TTi%%i'

又为为=33且一2<加<2,即加2—4<0,所以当,为异号，

111产+2

此时----1----=_-----・，

\MQ\\MP\77714-加I%-%I

I?2tm丫.m2-4、/—,2产+4-疗

因为1%_%|=+

111t2+2二后,2』+4—7??i2万，2产+4-疗

所以----+-----=f-------------------7X2,2-------5------=,---------------------Z---------

\MQ\\MP\7?7T4-m2r+24-m2

不妨令〃=4一加2（〃>o）,则叵74n=i,整理得(2_w)[(2+〃)/+川=o,

ny/t2+1

当且仅当1=2,即4—冽2=2时，等号成立,

故加=±A/2•

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:

（1）设直线方程，设交点坐标为（外,%）,（%2，%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或V）的一元二次方程，注意A的判断；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为七+%、x,x2（或%+为、%%）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

21.已知函数/（%）=ndnx+l-x.

（1）证明：加=1时，y（x）wo恒成立；

（2）证明：-+-+-+-+-<11171（"eN*且"22）.

234n

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）把m=1代入，对函数求导，结合导数与单调性关系可求函数的最值，进而可证;

（2）利用（1）中结论得到lnxNl-工，合理进行赋值，即可证明.

X

【小问1详解】

当m=1时，/（x）=lnx+l-x（x>0）,f\x）=--1,

x

当龙〉i时，rcxxo,〃丈）单调递减，当。<%<1时，f（x）>o,/a）单调递增，

则％=i是函数的极大值点，也就是最大值点，

故/（x）</（l）=O,即/（x）W0恒成立；

【小问2详解】

由（1）知，lnx+1—x<0,

将不等式中x替换为得in'+l-工40,gp-lnx+l--<0,

XXXX

所以InxNl-L,当且仅当工=1,即》=1时，等号成立，

人几…H,n-11

令x=------,贝Uln------->1----------=—,

n-ln-1nn

111134n

所以一+—+—++—<ln2+ln—+ln—++ln------=]nn,故不等式成立.

234n23n—1

【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式:

（1）lnx<x-l；（2）ex>x+\.

（-）选考题：共