备考2024年中考数学核心素养十八 四边形的动态几何问题

备考2024年中考数学核心素养专题十八四边形的动态几何问题练习附解析

一'选择题

1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（9,0）,点C的坐标为（0,3）,以OA,OC为边

作矩形0ABC.动点E,F分别从点O,B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA,BC向终点

A,C移动.当移动时间为4秒时，ACEF的值为（）

A.V10B.9V10C.15D.30

2.如图，正方形ABCD的边长为2cm,动点P,Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按

A^D^C,A^B^C的方向，都以lcm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ,设

运动时间为xs,AAPQ的面积为ycm?,则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是

3.如图1,在国ABCD中，点M,N同时从点B出发,点M以百cm/s的速度沿BTA—D—C匀速

运动到点C,点N以lcm/s的速度沿BC匀速运动到点C,当其中一点到达终点时，另一点也随之停

止运动.设点M的运动路程长为久（cm）,△BMN的面积为'（cm2）,y与x的函数图象如图2所示，当

运动时间为当s时，ABAfN的面积是（）cm?.

4.如图，在正方形ABCD中，已知边长=5,点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合）,

连接AE,作点B关于直线AE的对称点F,则线段CF的最小值为（）

A.5B.5V2-5C.当D.；

5.如图，在矩形4BCD中，动点M从点A出发沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发沿边

BC向点C匀速运动，连接MN.动点M,N同时出发，点M运动的速度为每秒1个单位长度，点N

运动的速度为每秒3个单位长度.当点N到达点C时，M,N两点同时停止运动.在运动过程中，将四

边形MABN沿MN翻折，得到四边形若在某一时刻，点B的对应点H恰好与点D重合，则禁

DC.

的值为（）

1

6.在矩形ABCD中，AB=5,AD=6,动点P满足品.=制矩物九小则点P到A,B两点距离

之和最小值为（）

A.V61B.V41C.V29D.V26

7.如图，在四边形ABCD中，ZA=ZB=90°,AD=10cm,BC=8cm,点P从点D出发，以lcm/s的

速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点

时，两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t（单位：s）,下列结论正确的是（）

B.当t=5s时，四边形CDPM为平行四边形

C.当CD=PM时，t=4s

D.当CD=PM时，t=4s或6s

8.如图，在平行四边形ABCD中，/.BCD=30°,BC=4,CD=3小,M是4。边的中点，N是AB边

上一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到连接4c，贝Y'C长度的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

9.如图，在矩形ABCD中，。为对角线BD的中点，ZABD=60°.动点E在线段OB上，动点F在线段

。。上，点E,F同时从点。出发，分别向终点B,。运动，且始终保持OE=OF.点E关于AD,AB的对

称点为%,E2；点、F关于BC,CD的对称点为％,尸2•在整个过程中，四边形/私尸/2形状的变化依

次是（）

A.菱形一平行四边形一矩形一平行四边形一菱形

B.菱形一正方形一平行四边形一菱形一平行四边形

C.平行四边形一矩形一平行四边形T菱形一平行四边形

D.平行四边形一菱形一正方形一平行四边形一菱形

10.在边长为8的正方形ABCC中，E为AB边上一点，AE=3BE,连接DE,G为CE中点，若点M

在正方形4BCD的边上，且MG=5,则满足条件的点"的个数是（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

二、填空题

11.如图，在矩形ABCD中，BC=2AB,点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转

60。得到线段BP,连结PP,CP：当点P落在边BC上时，ZPP'C的度数为；当线段CP

的长度最小时，ZPP'C的度数为.

12.如图，正方形ABCD的边长为4,点E是正方形外一动点，且点E在CD的右侧，^AED=45°,P

为28的中点，当E运动时，线段PE的最大值为.

13.如图，在平行四边形A3C。中，对角线AC,3。相交于点O,动点E以每秒1个单位长度的速

度从点A出发沿AC方向运动，点/同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，

若AC=12,BD=8,则经过秒后，四边形是矩形.

14.如图，在四边形ABC。中，AD//BC,AD=12cm,BC=18cm,点P在边上以每秒3cm的速

度从点2向点。运动，点Q在BC边上，以每秒2czn的速度从点C向点B运动.若P、Q同时出发，当直线

PQ在四边形内部截出一个平行四边形时，点P运动了秒.

APD

15.如图，在正方形ABC。中，AB=8,点E在边2。上，且AD=4AE,点P为边力B上的动点，连

接PE,过点E作EF1PE,交射线BC于点R则需=.若点”是线段EF的中点，则当点

尸从点A运动到点3时，点M运动的路径长为.

三'解答题

16.如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标为(8,0)、(8,8)、(0,8),点。是线段

04的一动点，它以每秒2个单位速度从A点向。点运动，连接过点。作的垂线交OC于E

(1)当。点到达。4的中点时，器=;

(2)请用/的代数式表示OE的长度，并求出/为何值时，CE有最小值，是多少？

(3)若已知歹点在直线AB上，AF=2,点尸在射线AO上，CP1FP于点尸，请求出满足此条件

的所有P点坐标.

17.如图，在矩形ABCD中，AB=3cm,BC=6cm,动点M以lcm/s的速度从A点出发，沿力B向

点8运动，同时动点N以2cm/s的速度从点。出发，沿D4向点A运动，设运动的时间为t秒(0<

t<3).

(1)当t为何值时，AAMN的面积等于矩形ABC。面积的4？

(2)是否存在某一时刻3使得以A、M、N为顶点的三角形与AACD相似?若存在，求出t的值;

若不存在，请说明理由.

18.如图1,在菱形A3CD中，AB=4,ZB=60。，点尸为CD边上的动点.

(1)求菱形ABC。的面积；

(2)E为边AO上一点，连接EF,将△CEF沿E厂进行翻折，点。恰好落在BC边的中点G

处，求EG的长；

(3)如图2,延长C。到M,使DM=CF,连接与AF,且3M与A尸交于点N,当点尸从

点。沿DC方向运动到点C时，求点N运动路径的长.

19.如图，在矩形4BCD中，AD=4cm,AB=3cm,E为边BC上一点，BE=AB,连接ZE.动点

P、Q从点A同时出发，点P以鱼cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD—DC

向终点C运动.设点Q运动的时间为x(s),在运动过程中，点P,点Q经过的路线与线段PQ围成的图

形面积为y(cm2).

(1)AE—cm,Z-EAD—

(2)求y关于久的函数解析式，并写出自变量x的取值范围;

(3)当PQ=^bn时，直接写出久的值.

20.如图1和图2,在四边形ABCD中，AB=8,BC=2V1T,CD=12,DA=6,乙4=90",点

M在边AD上，且DM=2.将线段MA绕点M顺时针旋转n。(0<K180)到MA\NAMA的平分线

MP所在直线交折线AB-BC于点P,设点P在该折线上运动的路径长为x(x>0),连结AP.

(1)若点P在AB上，求证：A'P-AP.

(2)如图2,连结BD.

①求/CBD的度数，并直接写出当n=180时，x的值.

②若点P到BD的距离为2,求tanZA'MP的值.

(3)当0<xW8时，请直接写出点A，到直线AB的距离(用含x的式子表示).

四、综合题

21.如图①，在口48(7。中，乙4=60°,AB=4,AD=6,点E在边BC上，且BE=2,动点P从点、E

出发，沿折线EB-BA-4。以每秒2个单位长度的速度运动.作ZPEQ=60°,EQ交边AD或边DC

于点Q,连接PQ.当点Q与点C正合时，点P停止运动.设点P的运动时间为t秒.(t>0)

(1)当点P和点B重合时，线段PQ的长为0

(2)Q和点。重合时，求tan/PQE.

(3)如图②，当点Q在边DC上运动时，证明：PD=CQ.

(4)作点E关于直线PQ的对称点F,连接PF、QF,当四边形EPFQ和口48。£(重叠部分图形为轴

对称四边形时，直接写出t的值。

22.在正方形ABCD中，点G是边AB上的一个动点，点F、E在边BC上，BF=FE=AG,且

AG<^AB，GF、DE的延长线相交于点P.

图3

（1）如图1,当点E与点C重合时，ZP的度数=；

（2）如图2,当点E与C不重合时，在点G的运动过程中，NP的度数是否发生变化，若不变，

求出ZP的度数，若变化，请说明理由

（3）在（2）的条件下，如图3,过D作DN1GP于点N,连接CN.BP,取BP的中点M,连

接MN,在点G的运动过程中，求笨的值（直接写出结果即可）.

23.如图，在"BCD中，AB=10,BC=40,tanB=动点P从点B出发，先沿4以每秒5

个单位长度的速度运动，然后沿4-D-4以每秒10个单位长度的速度继续运动.与此同时，动点

Q从点B出发，沿BC方向以每秒5个单位长度的速度运动.当其中一点到达终点时，P、Q两点同

时停止运动.设运动时间为t（秒），连结PQ.

（备用图）

（1）当点P沿B—4—。运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）.

（2）当PQ1BC时，求t的值.

（3）连结AQ,当AAPQ的面积等于8个单位面积时，求t的值.

（4）当点P在线段AD上时，把四边形PQBA沿PQ翻折得到四边形PQB'A',直接写出B1'1

BC时t的值.

24.如图，在AABC中，AABC=90°,AB=4,BC=3.点P从点A出发，沿线段ZB以每秒5个单

位长度的速度向终点3运动，当点尸不与点A,B重合时，作点尸关于直线AC的对称点。，连接

PQ,以PQ,PB为边作回PBMQ.设团与AABC重叠部分图形的面积为S,点P的运动时间为,

秒.

(1)直接用含t的代数式表示线段PQ的长并写出t的取值范围；

(2)当点M落在边AC上时，求/的值及此时回PBMQ的面积；

(3)求S与t之间的函数关系式；

(4)当团PBMQ的对角线的交点到AABC的两个顶点的距离相等时，直接写出f的值.

25.如图，在RtAABC中，AACB=90°,乙4=30。，中线CD=2cm.点P从点4出发，以2cm/s的

速度沿边向终点B运动.过点P作PQ〃CD,交折线AC—CB于点Q,以PQ为边向右侧作菱形

PQMN,使边PN在直线ZB上.设菱形PQMN与AABC重叠部分图形的面积是y(cm2).点P的运动时

间为K(S).

(1)当点Q在边AC上时，菱形PQMN的边长为cm(用含x的代数式表示)；

(2)求点M落在边BC上时久的值；

(3)求y关于久的函数关系式，并写出自变量％的取值范围.

26.如图，在菱形ABC。中，对角线ZC,8。相交于点O,AB=10cm,BD=4正cm.动点P从点

A出发，沿方向匀速运动，速度为lczn/s；同时，动点Q从点A出发，沿4)方向匀速运动，速

度为2cm/s.以AP,AQ为邻边的平行四边形APMQ的边PM与ZC交于点E.设运动时间为t(s)(0<

t<5),解答下列问题：

(备用图)

(1)当点M在BD上时，求t的值;

(2)连接BE.设APEB的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式和S的最大值;

（3）是否存在某一时刻t,使点B在ZPEC的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说

明理由.

五'实践探究题

27.阅读与思考：

如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务.

在△河（7中.AB=8,BC=5,AC=4,D是线段AB上一点，且DB=6,过点D作DE交AC

于点E,使以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似，求OE的长。

解决问题:

（1）写出正确的比例式及后续解答.

（2）指出另一个错误，并给出正确解答.

（3）拓展延伸:

如图，已知矩形ABC。的边长43=3c〃z,BC=6cm.某一时刻，动点M从A点出发沿方向

以lcm/s的速度向8点匀速运动；同时，动点N从。点出发沿QA方向以2cm/s的速度向A点匀速

运动，是否存在时刻3使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，直接写出t的值;

D

B

图①图②图③图③备用图

（1）【探究发现】

如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点(不与端点重合)，连接BE,作点

D关于BE的对称点D\DD的延长线与BC的延长线交于点F,连接BD,D'E.

①小明探究发现：当点E在CD上移动时，ABCE/4DCF.并给出如下不完整的证明过程，请

帮他补充完整.

证明：延长BE交DF于点G.

②进一步探究发现，当点D，与点F重合时，ZCDF=£。.

(2)【类比迁移】

如图②，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE,作点D关于BE的对称点D，，

DD的延长线与BC的延长线交于点F,连接BD,CD',D'E.当CD」DF,AB=2,BC=3时，求

CD的长；

(3)【拓展应用】

如图③，已知四边形ABCD为菱形，AD=V3,AC=2,点F为线段BD上一动点，将线段AD

绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上(顶点除外)时，如果DF=

EF,请直接写出此时OF的长.

29.

(1)【问题发现】

若四边形力BCD是菱形，乙4BC=60。，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△

APE,如图1,当点E在菱形/BCD内部或边上时，连接CE、CA,则BP与CE有怎样的数量关系？

并说明理由；

(2)【类比探究】

若四边形是正方形，点P是射线BD上一动点，以AP为直角边在ZP边的右侧作等腰RtA

APE,其中乙4PE=90。，AP=PE,如图2.当点P在对角线BD上，点E恰好在CD边所在直线上

时，则BP与CE之间的数量关系？并说明理由；

(3)【拓展延伸】

在（2）的条件下，如图3,在正方形ABCD中，AB=2五,当P是对角线BD的延长线上一动点

时，连接BE,若BE=6应，求ABPE的面积.

30.如图

（1）（问题发现）

如图①，正方形AERG的两边分别在正方形A3CD的边A3和AD上，连接CE.

填空：①线段CF与DG的数量关系为；

②直线CF与DG所夹锐角的度数为.

（2）（拓展探究）

如图②，将正方形AEPG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请

利用图②进行说明.

（3）（解决问题）

如图③，△A8C和△AOE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE^9Q°,AB=AC=4,。为AC

的中点.若点。在直线BC上运动，连接OE,则在点。的运动过程中，线段OE长的最小值为

（直接写出结果）.

答案解析部分

L【答案】D

【解析】【解答】连接AC、EF,

0|-**EAx

♦.•四边形OABC为矩形，

AB(9,3),

VOE=BF=1x4=4,

；.E(4,0),F(5,3),

.\AC=7oC2+O42=732+92=3V10»

EF=J(5—41+32=V10»

.,.ACEF=3V10XV10=30.

故答案为：D.

【分析】根据点的坐标和勾股定理计算AC、EF的值，然后ACEF可求解.

2.【答案】A

①当0W无W2时，

•••正方形的边长为2cm,

2

'­y-SAAPQ=^AQ-AP-|x;

②当2三久W4时，

y=s^APQ

=S正方形ABCD—SACP/Q，—SAABQ，一^AAPID

111

=2x2—7T(4-x)2—vyx2x(%—2)—x2x(x—2)

=一,尤2+2支,

所以，y与X之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合，

故答案为：A.

【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①0W%W2时，根据SAAPQ=^AQ-AP,列出函数关

系式，从而得到函数图象；②2WXW4时，根据S/4PQ=S正方物BCD-SdCPQS44P，D

列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：当运动时间为号s时，M的运动路程为：x=fxV3=^l>

$33

2<B，

此时由图像可知：y与x的函数应为一次函数，

设一次函数解析式为：y=kx+b,

将(2,1),(8,4)代入得：

(2k+b=1

(8/c+b=4'

故^BMN的面积是嚓

故答案为：D.

【分析】当运动时间为茅时，根据时间x速度=路程可得点M的运动路程，此时由图象可知：y与x

的函数应为一次函数，设为y=kx+b,将(2,1)、(8,4)代入求出k、b的值，得到对应的关系

式，令*=竽，求出y的值，据此解答.

4.【答案】B

【解析】【解答】连接AC,AF,由轴对称知，AF=AB=5,

:正方形ABCD中，AB=BC=5,ZABC=90°,

-,-AC=7AB2+BC2=5或，

,.*AF+CF>AC,

当点F运动到AC上时，CF=AC-AF,CF取得最小值,

最小值为CF=5或一5,

故答案为：B

【分析】当点F运动到AC上时，CF=AC-AF,CF取得最小值，再求出CF的长即可。

5.【答案】B

【解析】【解答】解：•.•四边形ZBCD是矩形，

'.AB=CD,NA=NB=NC=AADC=90。，

由折叠的性质可知:AM=AM,AAB'N=ZB=90°,乙4=乙4'=90。，BN=BN,AB=AB,

：.AB=CD,』=ZC=90。，

+Z-MB'N=Z-CB'N+乙MB'N=90°,

J.^A'B'M=乙CB'N,

=△CB'N,

'-AM=CN=AM，

设运动时间为t,则有4M=A'M=CN=t,BN=B'N=3t,

：-BC=4t,CD=yjB'N2-CN2=2V2t=AB,

-AB_2图_42

,,前=*=丁；

故答案为：B.

【分析】根据矩形的性质可得AB=CD,ZA=ZB=ZC=ZADC=90°,由折叠的性质可知A，M=AM,

/ABN=NB=90。，ZA=ZA,=90°,BN=BN,AB=A,B,,则AB，=CD,ZA,=ZC=90°,根据同角的

余角相等可得NAEM=NCBN,利用AAS证明△ABM四△CBN,得到A，M=CN=AM,设运动时

间为t,则有AM=A，M=CN=t,BN=B'N=3t,则BC=4t,CD=AB=2应t,据此求解.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：连接PA,PB,作PE1AB交AB于点E,

1

•.•在矩形ABCD中，AB=5,AD=6,S.飞矩形ABCD，

1111

-PE=^AB-AD,即:5•PE=15•6,

L6L6

解得：PE=2,

过P作直线MN||AB,

动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线MN上，

作B关于直线MN的对称点Bi,连接ABi,与MN的交点即为P点，且ABi的长就是所求的最短距

离.

,:PEVAB,MN||AB,

四边形BEPN为矩形，即BN=PE=2,

：B、Bi关于直线MN对称，

：.BrN=BN=2,

在R3ABBi中，

"：AB=5,BBi=4,

•'­ABi=JAB2+BB/=V41，

即PA+PB的最小值为闻，

故答案为：B.

【分析】连接PA,PB,作PE1AB交AB于点E,作B关于直线MN的对称点Bi,连接ABi,与

MN的交点即为P点，且ABi的长就是所求的最短距离，再结合ZB=5,BB1=4,利用勾股定理求

出AB】=JXB2+BB/=V41，即可得到PA+PB的最小值为"I。

7.【答案】D

【解析】【解答】解：根据题意，可得DP=tcm,BM=tcm,

AD=1Ocm,BC=8cm,

AAP=(10-t)cm,CM=(8-t)cm,

当四边形ABMP为矩形时，AP=BM,

即10-t=t,

/.t=5,

故A不符合题意，

当四边形CDPM为平行四边形，DP=CM,

即t=8-t,

；.t=4,

故B不符合题意，

当CD=PM时，分两种情况：

①四边形CDPM是平行四边形，

此时CM=PD,

即8-t=t,

t=4,

②四边形CDPM是等腰梯形，

过点M作ME_LAD于点E,过点C作CFLAD于点F,如图，

则/MEP=NCFD=90°,

：PM=CD,EM=FC,

.*.△MEP^ACFD(HL),

；.EP=FD,

AE=AP+EP=10-t+t-(二),

又：BM=t,

...10.t+t-(8-t)=t)

/.t=6,

综上所述，当CD=PM时，t=4s或6s.

故C不符合题意，D符合题意.

故答案为：D.

【分析】根据题意，表示出DP,BM,AP和CM的长，当四边形ABMP为矩形时，根据AP=BM,

列方程求解即可，当四边形CDPM为平行四边形，根据DP=CM,列方程求解即可，当CD=PM

时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，②四边形CDPM是等腰梯形，分别列方程求解

即可.

8.【答案】C

【解析】【解答】

如图所示，延长CD到G,过点M作ME垂直DG于E,连接MC

•.•将△4MN沿MN所在直线翻折得到△A'MN,N是ZB边上一动点

二AM=A'M,

当点M、A\C三点共线时，AC最小

•在平行四边形ABCD中，NBCD=30。，BC=3

ZADC=150°,AD=4

ZEDM=30°

M为AD的中点

DM=2

AEM=1,DE=V3

CE=4A/3

•**CM=VFC2+FM2=J（4取）2+/=7

A'C=CM-A'M=5

故答案为：C

【分析】本题考查平行四边形动点和线段最值问题、折叠问题、勾股定理等知识，找出线段最值时

动点的位置是解题关键。延长CD到G,过点M作ME垂直DG于E,连接MC,根据翻折得

AM=A'M,

则在折叠过程中，点M、A\C三点共线时，AC最小。根据平行四边形ABCD得AD=4,

ZEDM=30°

；根据M为AD的中点得DM=2,则EM=1,DE=V3;则EC2+引仆=7,则A'C=5.

9.【答案】A

【解析】【解答】解：当点E、F与点。重合时，如图，连接AC,

A

E,

•/四边形ABCD是矩形，点0是对角线BD的中点，

；.AC一定经过点O,且OA=OC=OB=OD,

:点E关于AD、AB的对称点为Ei、E2,点F关于BC、CD的对称点为Fi、F2,

.".DF2=DO=DEI=CF2=OC=CFI=BFI=OB=BE2=AE2=AO=AE

二.DF2+DE1=CF2+CF尸BF1+BE2=AE2+AE1,即FIF2=FZEI二E1E2=E2F1,.•.四边形F1F2E1E2是菱形;

当点E、F是OB、OD上的任意一点时，如图，连接CF、AE,

・・,点O是BD的中点，

・・・BO=DO,

X\'OE=OF,

；.BF=DE,DF=BE,

•.•四边形ABCD是矩形，

AAB//CD,CD=AB,

ZCDF=ZABE,

在小CDF-igAABE中，

VCD=AB,ZCDF=ZABE,DF=BE,

.♦.△CDF0△ABE(SAS),

；.CF=AE,

•点E关于AD、AB的对称点为Ei、E2,点F关于BC、CD的对称点为Fi、F2,

II

；.DF2=DF,CF2=CF=CF,BF1=BF,BE2=BE,AE2=AE=AE,DE1=DE,

；.DF2+DEI=BFI+BE2,CF2+CFI=AE2+AEI,即FIF2=EIE2,=F2EI=E2FL.•.四边形F1F2E1E2是平行四边

形；

当点E、F分别是OB、0D的中点时，如图，连接CF、AE,AC,

•/四边形ABCD是矩形，点。是对角线BD的中点，

；.AC一定经过点O,且OA=OC=OB=OD,AB〃CD,

.,.ZABO=ZCDO=60°,

；.△AOB与小COD是全等的等边三角形，

二•点E、F分别是0B、0的中点,

；.DF=BE,AE±OB,CF=AE,

.\ZAEB=90°,

:点E关于AD、AB的对称点为Ei、E2,点F关于BC、CD的对称点为Fi、F2,

DF2=DF,CF2=CF=CFI,BFI=BF,BE2=BE,AE2=AE=AEI,DEi=DE,

IIII

.,.DF2+DE1=BF1+BE2,CF2+CF=AE2+AE,即F1F2=E1E2,=F2E=E2F..•.四边形F1F2E1E2是平行四边

形；

在△ABE2与△ABE中，VAE=AE2,AB=AB,BE=BE2,

.*.△ABE2^AABE(SSS),

.\ZE2=ZAEB=90O,

平行四边形F1F2E1E2是矩形；

当点E、F分别与点B、D重合时，如图,

•.•四边形ABCD是矩形，

；.AB〃CD,

.\ZABO=ZCDO=60°,

•点E关于AD、AB的对称点为Ei、E2,点F关于BC、CD的对称点为Fi、F2,

DB=DEi,BD=BFi,

・・.△BDF1与△BDEi都是等边三角形，

/.BD=BEi=DEi=BFi=DFi,即E1E2=EIF2=FZF产F1E2,

四边形F1F2E1E2是菱形，综上只有A选项正确，符合题意，

故答案为：A.

【分析】分类讨论：分①当点E、F与点0重合时，②当点E、F是OB、OD上的任意一点时，

③当点E、F分别是OB、OD的中点时，死当点E、F分别与点B、D重合时，四种情况，根据轴

对称的性质分别画出图形，结合矩形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质

及菱形、矩形、平行四边形的判定方法一一判断即可解决此题.

10.【答案】C

【解析】【解答】解：因为AE=3BE,正方形边长为8,所以AE=6,BE=2

所以DE=yjAD2+AE2=10

G为DE的中点，有DG=EG=5

(1)当点M在D点或E点时，有MG=5

(2)当点M在DC上，使得三角形DMG为等腰三角形(DG,MG)为腰，有MG=DG=5

(3)作GM垂直BC,延长GM交AD于点N,由题意可知，GN=3,则有GM=5

(4)连接AG,当点M在点A时，有AM=y/NG2+AN2=5

综上所述，满足条件的点M的个数有5个

故答案为C

【分析】点M在正方形ABCD的边上，即M也满足在顶点处，构造三角形，运用勾股定理即可求

出答案。

11.【答案】120。；75°

【解析】【解答】解：如图，以AB为边向右作等边三角形ABE,连接EP"

...NABE=/PBP'=60°,BP=BP',BA=BE,

.\ZABP=ZEBPS

在小ABP和4EBP'中

BA=BE

乙ABP=乙EBP'

BP=BP'

△ABPdEBP'(SAS)

.\ZPAB=ZP，EB=90°,

.•.点P'在射线EP，上运动，

如下图，设EP，交BC于点O,

P'

当点P'落在BC上时，点P，与。重合,此时/PP'C=180°-60°=120。；

当CP'J_EP'时，CP'的长最小，此时NEBO=NOCP'=30。,

.,.OE=1OB,OPmOC,

EP^=OE+OP=|OB+1OC=1BC,

而BC=2AB,

.\EP=AB=EB,

.•./BP'E=NEBP'=45°,

.,.ZBPT=90°+45°=135°,

故/PP'C=NBP'C-NBP'P=135°-60°=75°.

故答案为：第一空：120。；第二空：75°.

【分析】以AB为边向右作等边三角形ABE,连接EPM由等边三角形的性质可得

ZABE=ZPBP=60°,BP=BP',BA=BE,用边角边可证△ABPdEBP',于是可得

ZPAB=ZPTB=90°,由此可判断点P'在射线EP，上运动，设EP咬BC于点O,当点P'落在BC上

时，点P'与O重合，于是可得NPP'C的度数；当CP,LEP，时，CP，的长最小，易证三角形BEP，是

等腰直角三角形，于是由角的构成可求得/PP'C的度数.

12.【答案】2+2V2

【解析】【解答】解：连接AC,BD交于点O,连接PO,E0,如图所示：

VZAED=45°,ZACD=45°,

.•.点A、C、E、D四点共圆，

:正方形ABCD的边长为4,

.,.OE=OD=1BD=2V2,

为AB的中点，O是BD的中点，

.\OP=|AD=2,

,.•PE<OP+OE=2+2V2,

当点O在线段PE上时，PE=OP+OE=2+2企,

二线段PE的最大值为2+2-42,

故答案为：2+2加.

【分析】连接AC,BD交于点O,连接PO,EO,先证出点A、C、E、D四点共圆，再求出

0P=1AD=2,再结合PEWOP+OE=2+2加,可得当点O在线段PE上时，PE=OP+OE=2+2鱼，从而

可得线段PE的最大值为2+2V2.

13.【答案】2或10

【解析】【解答】解：设运动的时间为x秒，

♦.•四边形ABCD是平行四边形，AC=12,BD=8,

OA=OC=1AC=6,OB=OD=1BD=4,

VAE=CF=x,

.\OE=OF=6-x或OE=OF=x-6,

VOB=OD,

四边形BEDF是平行四边形，

而当EF=BD时，平行四边形BEDF是矩形，

AOE=OD,

；.6-x=4或x-6=4,

解得：xi=2,X2=10.

故答案为：2或10.

【分析】设运动的时间为x秒，则AE=CF=x,由平行四边形的性质可得OE=OF=6-x或OE=OF=x-

6,然后根据矩形的对角线相等可列关于x的方程，解方程即可求解.

14.【答案】2.4或3.6

【解析】【解答】解：设点P运动了t秒，则CQ=2tcm,AP=3tcm,BQ=(18-2t)cm,PD=(12-

3t)cm,

①当CQ=PD,且AD//BC时，四边形CQPD是平行四边形，

.\2t=12-3t,

解得：t=2.4；

②当AP=BQ,且AD//BC时，四边形APQB是平行四边形，

18-2t=3t,

解得：t=3.6；

综上所述：当直线PQ在四边形ABC。内部截出一个平行四边形时，点P运动了2.4或3.6秒，

故答案为：2.4或3.6.

【分析】分类讨论，根据平行四边形的性质，列方程计算求解即可。

15.【答案】4；16

【解析】【解答】解：过点F作FGLAD交AD的延长线于点点G,

AEDG

设AP=x,

•正方形ABCD,AB=8,AD=4AE,

；.AB=AD=8,ZA=ZEDC=90°,

；.AE=2,DE=6,

VEFXPE,

Z.ZPEF=90°,NAEP+NDET=90。，ZDET+ZETD=90°,

；.NAEP=NETD,

；.△APEs△DET,

•AP_AEnn%_2

,,诟F即【讨'

解之：DT=—,

X

i2

：・CT=CD—DT=8一3

x

VDE/7CF,

.*.△DET^ACFT,

.DE_DTgrj6一'

"CF=CT^CF~^29

x

解之：CF=4x-6,

・・・DG=CF=4x-6,

・・・EG=4x,

VZDET=ZAPE,NA=NG=90。,

・・・△APE^AGEF,

.EF_EG_4：x

""PE~AP~lc

：AD〃BC,NH±AD,

；.NH_LBC,

在4EGM和4FHM中

2MNE=aMHF

乙NME=^FMH

.EM=FM

ENM^AFHM(AAS),

...点M的运动轨迹是一条平行于BC的线段，

当点P与点A重合时，BFi=AE=2,

当点P与点B重合时，ZF2+ZEBFI=90°,ZBEFI+ZEBFI=90°,

.\ZF2=ZBEFI,

ZEF1B=ZEF1F2,

△EFIB0°AEFIF21

.BF1_EFl2_8

••瓦7-可7即8一//2’

解之:F1F2=32,

EFIF2的中位线，

MIM2=^FIF2=16,

.•.点M的运动路径长为16.

故答案为：4,16.

【分析】过点F作FGLAD交AD的延长线于点点G,设AP=x,利用正方形的性质可知B=AD=8,

ZA=ZEDC=90°,同时可求出AE,DE的长；再证明△APEsADET,利用相似三角形的性质可表

示出DT的长，即可得到CT的长；由DE〃CF可证得△DETsaCFT,利用相似三角形的性质可表

示出CF的长，可得到DG的长；然后证明△APES/IGEF,利用相似三角形的性质可求出EF与PE

的比值；过点M作NHLAD于点N,交BC于点H,利用AAS证明△ENM之△FHM,由此可证得

MN=MH,由此可知点M的运动轨迹是一条平行于BC的线段，当点P与点A重合时，BFi=AE=2；

当点P与点B重合时，易证△EFIB-AEFIF2,利用相似三角形的性质可求出FIF2的长，然后利用

三角形的中位线定理求出M1M2的长，即可得到点M的运动路径长.

16.【答案】(1)1

(2)解：,:&OED〜XADE,

.OE_0D

,•丽=福’

・OE_2t

11

••OE=—I*?+2t=——2/+2,

/.CE=C。-OE=今(t-2)2+6,

...当t=2时，CEmin=6,

(3)解:设p(x,0),则CP2=82+%2,

①当点F在线段AB上时，如图，

:力（8,0）,AF=2,

二尸（8,2）,BF=AB-AF6,

-,-CF2=BF2+BC2=100,PF2=%2-16x+68,

VCP1FP,

:.乙CPF=90°,

.'.PC2+FP2=FC2,

A82+x2+x2-17x+68=100,

Ax=4,

，P(4,0),

②当点F在线段AB延长线上时，如图,

此时F(8,-2),BF=AB+AF=10,

-,-CF2=BF2+BC2=164,PF2=x1—16%+68,

VCP1FP,

:.乙CPF=90。，

，PC2+”2=FC2,

82+x2+x2-16x+68=164,

=4+4鱼或4-4日

，P(4+4a,0)M(4-4A/2,0),

综上所述，满足条件的所有P点坐标为(4,0),(4+4V2,0)或(4—4遮，0).

【解析】【解答】解：⑴VA,B、C三点的坐标为(8,0)、(8,8)、(0,8),乙40c=90。,

二四边形OABC为正方形，

：2EOD=ABAD=90。，

'：ED1BD,

：.AEDB=90°,

:.乙OED=90°-乙ODE=AADB,

乙EOD=4DAB,

△OED〜△ADE,

.OE_0D

"AD=ABf

・・，D为OA中点,

:,OD=4。=4,

・OE_4

・,丁=g，

：・OE=2,

.OE_1

・♦砒=4，

【分析】(1)证明△OED〜△ADE,进而根据相似三角形的性质即可求解；

(2)证明△OED〜△/!£)及进而根据相似三角形的性质即可求解，然后得到dE=_4+2t,结合

CE=8-0E,根据二次函数的性质即可求解；

(3)分两种情况讨论，①当点F在线段AB上时，②当点F在线段AB延长线上时，分别概率勾

股定理列式即可求解.

17.【答案】(1)解：由题意可知：AM=tcm,DN=2tcm

：.AN=AD—DN=(6—2t)cm

,/△AMN的面积等于矩形力BCD面积的义

Xtx(6-2t)=1x3x6

解之得：tl=1.±2=2

'.t=Is或t=2s时，AAMN的面积等于矩形ABC。面积的应

(2)解：存在.理由如下：

:与△4C。相似

.•.分为两种情况：

①当AMNA“△AC。时

•ALMAN日nt6-2t

，9DA=DC9即1F-

解得：t=

.AMANgnt6-2t

••就=西’即【飞-

解得：t=擀

综上所述，当t=*或t=|s时，以A、M、N为顶点的三角形与△4CD相似

【解析】【分析】(1)先利用线段的和差求出AN的长，再根据“AAMN的面积等于矩形ABC。面积

喝”列出方程；xtx(6-2t)=1x3x6求解即可；

(2)分类讨论：①当△MNAsAACD时，②当ANMAs△力CD时，再利用相似三角形的性质

分别列出比例式求解即可.

18.【答案】(1)解：连接AC,过点A作力G1BC于点G,

:四边形ABCD是菱形，且乙4BC=60。，；.△4BC为等边三角形，BC=AB=4,

•'•G为BC中点，且4G=2有，：.S菱形ABCD=BC.AG=4X2V3=8V3.

(2)解：将△DEF沿EF进行翻折，使点D落在BC中点G处，，EG=ED,

,：AG1BC,：.AGLAD,设EG=ED=K，贝!|ZE=4一久，

.•.在RtAAEG中，Z.GAE=90°,：.AG2+AE2=CE2,解得GE=彳

(3)解：如图，延长CD至点P,使DP=CD,连接BP交AC于点K,连接DK并延长交AB于点

H,设DK与AF交于点N,连接BN并延长交DP于点M.

•.•四边形ABCD是菱形，.'ABIICP,.•.痣=箓=第=第=5

.BH_BK_1，点H为AB中点，：.AH=BH,

"'PD=PK=2'

▽..AN_HN_AHHN_BN_BH.AH_BH.

^9NF=ND=FD9ND=NM=DMf^FD=DMf-UM,

・••点N运动路径为线段DK,过点D作OQ14B交BA延长线于Q,

・••在Rt△4QD中，^LAQD=90°,^QAD=60°,AD=4,

：.AQ=2,DQ=2V3.在中，/-HQD=90°,QH=4,DQ=243,

222

：.HQ+DQ=HD,：.HD=2V7,：.DK=1HD=^->

.•.点N运动路径的长为警.

【解析】【分析】(1)先证出AZBC为等边三角形，BC=AB=4,再求出4G=2百，最后利用菱形

的面积公式求解即可;

(2)设EG=ED=K,则ZE=4—%,利用勾股定理可得4G2+AE2=CE2,再将数据代入求出

7

-

2

(3)延长CD至点P,使DP=CD,连接BP父AC于点K,连接DK并延长交AB于点H,设DK

与AF交于点N,连接BN并延长交DP于点M,先证出点N运动路径为线段DK,过点D作。Q1

AB交BA延长线于Q,再利用勾股定理可得HQ2+DQ2=4。2,求出DK=|H0=?，从而得解.

19.【答案】(1)3VL45°

(2)①当0<xW2时，如图，过点P作PFLAD于点F,

•；力尸=V2%cm,AQ=2xcm,

/.PF=AP•sin45°=xcm,

・'S^/PQ=ii4Q.PF=i-2%-%=%2,

・，.y=X2(0<X<2);

②当2<xW3时，如图，过点P作PFLAD于点F,连接PD,

■:DQ—(2x—4)cm,DF=(4—x)cm,

•'•y=SMAP+S^DPQ

1

-1