浙江省温州市新力量联盟2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省温州市新力量联盟2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则x的取值为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗因为，所以或，解得．经检验，满足题意.故选：B．2.已知函数，则（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗由题意，因为，所以，即；故选：C.3.李老师从课本上抄录一个随机变量的分布列如下表：123P！？！现让小王同学计算的数学期望，尽管“？”处的数值完全无法看清，且两个“！”处字迹模糊，但能断定这两个“！”处的数值相同，则（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗设，，则，即，所以.故选：B4.丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗对A，，当时，，所以A错误；对B，，在上恒成立，所以B正确；对C，，，所以C错误；对D，，，因为，所以D错误．故选：B．5.在的展开式中，的系数是（）A. B. C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗在的展开式中，的系数是展开式中的常数项与一次项系数的和,因为，所以所求的的系数为，故选：A6.回文联是我国对联中的一种，它是用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味．相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的正整数，被称为“回文数”，如22，575，1661等．那么用数字1，2，3，4，5可以组成4位“回文数”的个数为（）A.25 B.20 C.30 D.36〖答案〗A〖解析〗1，2，3，4，5可以组成的4位“回文数”中，由1个数字组成的4位回文数有5个，由2个数字组成的4位回文数有个，所以由数字1，2，3，4，5可以组成4位“回文数”的个数为20+5=25.故选：A7.红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差．用一款红外体温计测量一位体温为36.9℃的人时，显示体温X服从正态分布，若X的值在内的概率约为0.9973，则n的值约为（）参考数据：若，则．A3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗因为体温X服从正态分布，所以，因为X的值在内的概率约为0.9973，且，则，所以，则，解得，所以，解得，故选：C8.若曲线在点处的切线方程为，则的最小值为（）A.-1 B. C. D.1〖答案〗D〖解析〗，因为切点在直线上，所以①，，结合导数的几何意义有②，因为，所以，联立①②消去得，所以，，令，则，令，解得；令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，因此，故的最小值为1．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A. B.是的极小值点C.函数在上有极大值 D.是的极大值点〖答案〗AD〖解析〗由的图象可知：当时，，所以函数单调递增；当时，，所以函数单调递减，因此有，是的极大值点，所以选项A、D正确；当，或时，，所以函数单调递增，因此函数在上没有极大值，且不是的极小值点，所以选项B、C不正确，故选：AD10.已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为1，则正确的命题是（）A. B.C.展开式中所有二项式系数的和为512 D.展开式中含的项为〖答案〗ABD〖解析〗对于A：因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，则为偶数，所以，故A正确；对于B：令，则展开式中所有项的系数和为，解得或0（舍去），所以，故B正确；对于C：展开式中所有项的二项式系数和为，故C错误；对于D：展开式的通项公式为，，1，，8，令，解得，则展开式中含的项为，故D正确．故选：ABD．11.某校计划安排五位老师（包含甲、乙、丙）担任四月三日至四月五日的值班工作，每天都有老师值班，且每人最多值班一天．（）A.若每天安排一人值班，则不同的安排方法共有种B.若甲、乙、丙三人只有一人安排了值班，则不同的安排方法共有种C.若甲、乙两位老师安排在同一天值班，丙没有值班，则不同的安排方法共有种D.若五位老师都值班了一天，且每天最多安排两位老师值班，则不同的安排方法共有种〖答案〗AC〖解析〗对于选项A，每天安排一人值班，则不同的安排方法共有种，A正确；对于选项B，安排甲、乙、丙三人只有一人安排了值班的安排方法可分为两步完成，第一步，从甲，乙，丙三人中选出一人，有种选法，再将所选之人与余下两人分别安排到四月三日至四月五日，有种方法，故不同的安排方法共有种，B错误；对于选项C，安排甲、乙两位老师安排在同一天值班，丙没有值班等价于将甲，乙视为一个整体，与除甲，乙，丙外的两人一起分别安排到四月三日至四月五日值班，不同的安排方法共有种，C正确；选项D，安排五位老师都值班了一天，且每天最多安排两位老师值班可分为两步完成，先将5人分为2人，2人，1人三个小组，再将3个小组分别安排到四月三日至四月五日，完成第一步的方法有种，完成第二步的方法有种，所以不同的安排方法共有种，D错误；故选：AC.12.学校食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为．而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为；前一天选择B套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率也是，如此往复．记某同学第n天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为．一个月（30天）后，记甲、乙、丙3位同学选择B套餐的人数为X，则下列说法正确的是（）A. B.数列是等比数列C. D.〖答案〗ABC〖解析〗A选项，该同学两个套餐必然会选择一种，因此，A选项正确；B选项，由题意，，即，两边同时减去，得到，又，则，于是数列是首项为，公比为的等比数列，B选项正确；C选项，根据B选项可知，，即，当时，很小，会趋近于，于是的近似值为，由题意，要求的近似值，那么可近似认为，于是，C选项正确；D选项，根据二项分布的期望公式，，D选项错误.故选：ABC非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.的二项展开式中的常数项为______．〖答案〗〖解析〗因为的展开式的通项公式为，令，解得，所以的二项展开式中的常数项为，故〖答案〗：14.2022年11月27日上午7点，时隔两年再度回归的上海马拉松赛在外滩金牛广场鸣枪开跑，途经黄浦、静安和徐汇三区.数千名志愿者为1.8万名跑者提供了良好的志愿服务.现将5名志愿者分配到防疫组、检录组、起点管理组、路线垃圾回收组4个组，每组至少分配1名志愿者，则不同的分配方法共有__________种.（结果用数值表示）〖答案〗240〖解析〗将5名志愿者分成四组，且每组至少1名志愿者有种情况，所以不同的分配方法有.故〖答案〗为：240.15.已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中4道题，在剩下的4道题中，有3道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个〖答案〗．小王从这8题中任选1题，则他做对的概率为______．〖答案〗〖解析〗设小王从这8题中任选1题，且作对为事件A，选到能完整做对的4道题为事件B，选到有思路的三道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，则，，，由全概率公式可得.故〖答案〗为：.16.设实数，若对任意，关于x的不等式恒成立，则的最小值为___________.〖答案〗〖解析〗对任意，关于x的不等式恒成立则在上恒成立设，即在上恒成立由，，则由在上恒成立所以在上单调递增.所以,，即设，则在上恒成立所以在上单调递减，则所以，故的最小值为故〖答案〗为：四、解答题：本题共6小题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最大值与最小值．解：（1）∵定义域为，且，令或，令；∴函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．（2）由（1）可知：当时，取得极大值，当时，取得极小值，又，．所以在区间上的最大值为，最小值为．18.为了中国经济持续发展制定了从2021年到2025年的发展纲要，简称“十四五”规划，为了普及“十四五”的知识，某党政机关举行“十四五”的知识问答考试．从参加考试的机关人员中，随机抽取100名人员的考试成绩的频率分布直方图如下，其中考试成绩在上的人数没有统计出来．（1）请尝试计算考试成绩在上的人数；（2）若把上述频率看作概率，把考试成绩的分数在的学员选为“十四五”优秀宣传员．若从党政机关所有工作人员中，任选3名工作人员，其中可以作为优秀宣传员的人数为，求．解：（1）设分数在内的频率为x，根据频率分布直方图得，，解得，因此，考试成绩在上的人数为（人）；（2）根据频率分布直方图可知考试成绩在的频率为，因此.（另解：）.19.生命在于运动，小鑫给自己制定了周一到周六的运动计划，这六天每天安排一项运动，其中有两天练习瑜伽，另外四天的运动项目互不相同，且运动项目为跑步、爬山、打羽毛球和游泳，请思考并完成下列问题（结果用数值表示）：（1）若瑜伽被安排在周一和周六，共有多少种不同的安排方法？（2）若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，共有多少种不同的安排方法？（3）若瑜伽不被安排在相邻的两天，共有多少种不同的安排方法？解：（1）若瑜伽被安排在周一和周六，安排剩下的四种运动项目则共有种不同的安排方法.（2）根据题意，分2种情况讨论：若周二和周五都安排瑜伽，有种安排方法，若周二和周五中有1天安排瑜伽，有种安排方法，则有种安排.（3）若瑜伽不被安排在相邻的两天，则先排其他四项运动，共有种不同的安排方法，再从5个空位里插入2个安排练习瑜伽，故共有种不同的安排方法.20.在①；②；③展开式中二项式系数最大值为；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．已知，且______．（1）求m的值；（2）求的值（结果用数值表示，参考数据：，）．解：（1）若选①，，根据二项式展开式的通项公式可得，解得．若选②，，由二项式系数和可得，解得．若选③，展开式中二项式系数最大值为，由二项式系数的性质可得或，解得，即．（2）由（1）可得，令，可得，①令，可得，②①＋②可得，，所以．令，可得，所以．21.据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长透择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）（1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼境，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？（2）从这8名戴角膜塑形镜学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差；（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望和方差.解：（1）根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，则，“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件，则，故所求的概率为：，所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是；（2）依题意，佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生，故从中抽3人，男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2，其中：；；.所以男生人数的分布列为：所以，，（3）由已知可得：则：，所以佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是.22.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若存在两个零点，求a的取值范围，并证明：.解：（1）由，得，当时，，所以在上单调