2024年高考数学一模试卷附答案解析

2024年高考数学一模试卷

一'单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.已知平面向量五=(1,2),b=(-1,4),若五1石，则实数4=()

A.1B.C.-2D.2

2.已知抛物线C：/=y上点M的纵坐标为1,则M到C的焦点的距离为()

A.1B.叔C.1D.2

3.已知集合A={K|log3(2久+1)=2},集合B={2,a},其中aeR.若ZUB则。=()

A.1B.2C.3D.4

4.已知等差数列的前几项和为5.,%=-1,Si=5a4+10,则S4=()

A.6B.—学C.8D.10

5.12世纪以前的某时期.盛行欧洲的罗马数码采用的是简单累数制进行记数，现在一些场合还在使

用，比如书本的卷数、老式表盘等.罗马数字用七个大写的拉丁文字母表示数目：

IVXLCDM

1510501005001000

例如：58=LV111,464=CCCCLX“〃.依据此记数方法，MMXXXV=()

A.2025B.2035C.2050D.2055

6.如图所示，在棱长为1的正方体4BC0—4B1QD1中，点P为截面&C1B上的动点，若OP1&C,

则点P的轨迹长度是()

A.孝B.V2C.1D.1

7.已知数列｛时｝满足=0,口2=1•若数列｛%1+%+1｝是公比为2的等比数列，贝必2024=()

)2023,1)2024,1

A.2+2B.2+2C.211fl01192-1D.21011-1

33

8.已知直三棱柱ABC-A1B1G外接球的直径为6,且ABIBC,BC=2,则该棱柱体积的最大值为

A.8B.12C.16D.24

二'多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.某科技攻关青年团队有6人，他们年龄分布的茎叶图如图所示.已知这6人年龄的极差为14,则

()

2a

36620

42

A.a=8B.6人年龄的平均数为35

C.6人年龄的75%分位数为36D.6人年龄的方差为竽

10.函数/'(%)=+2cos23久—1(0<®<1)的图象如图所示，贝U()

A./(久)的最小正周期为2兀

B.y=f(2久+苓)是奇函数

C.y=/(%+*)cos久的图象关于直线％=金对称

D.若y=>0)在［0,河上有且仅有两个零点，则te耳，%

11.已知函数/(%)及其导函数/1'(%)的定义域均为R,记g(x)=/'(久)，且/(久)-/(-%)=2久，9(久)+

g(,2-%)=0,则()

A.。(0)=1

B.丫=婚的图象关于点(0,1)对称

C./(%)+/(2-%)=0

2

D.£5(k)=H-GieN*)

三'填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知i是虚数单位，若复数z满足(2+i)z=i,则£=

13.第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派5人参加连续6天的志愿服务活动，其中甲连续参加2天,

其他人各参加1天，则不同的安排方法有种.(结果用数值表示)

14.已知平面直角坐标系xOy中，直线4：y-2x,l2：y=-2x,点P为平面内一动点，过P作

OP〃/2交于。，作EP〃/1，交办于E，得到的平行四边形。DPE面积为1,记点P的轨迹为曲线「若「

与圆久2+y2=t有四个交点，则实数t的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.在AylBC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,已知a(sinB+cosB)=c.

(1)求力；

(2)若C=VLa=遮，。为BC的中点，求40.

16.已知椭圆E：1(。＞人＞0)中，点A，C分别是E的左、上顶点，\AC\=V5,且E的焦

距为28.

(1)求E的方程和离心率；

(2)过点(1,0)且斜率不为零的直线交椭圆于R,S两点，设直线RS,CR,CS的斜率分别为k,

七,卜2,若七+七=-3,求k的值.

17.如图，在四棱台ABCD中，下底面力BCD是平行四边形，乙4BC=120。，AB=

24出=2,BC=8,4遇=4/，DD1VDC,M为BC的中点.

(1)求证：平面CDDiG，平面DiDM；

(2)若DiD=4,求直线DM与平面BCC/i所成角的正弦值.

18.若f,77是样本空间0上的两个离散型随机变量，则称(6,①是。上的二维离散型随机变量或二维

随机向量.设(f,〃)的一切可能取值为(七,bj),i,i=1,2,记P才表示Q,bj)在0中出现的概

率，其中叱=P(f=%,T]=bj)=P[(f=Gtj)Cl8=/?))].

(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为

f,2号盒子中的小球个数为小则(f,??)是一个二维随机变量.

①写出该二维离散型随机变量(f,〃)的所有可能取值；

②若(m,n)是①中的值，求P(f=TH,?7=九)(结果用n表不)；

(2)尸(f=四)称为二维离散型随机变量(6,3关于，的边缘分布律或边际分布律，求证：P(f=

七)=常岂时

19.已知函数/(%)=2mlnx—%+-(m>0).

(1)讨论/(%)的单调性；

(2)证明：(1H—^,)(1H—^,)(1H—巳)...(1H—<e3(7iGN*,nN2);

(3)若函数g(%)=租?]^%—%—・+2有三个不同的零点，求m的取值范围.

答案解析

L【答案】A

【解析】【解答】解：因为平面向量N=（1,2）,b=（—1,2）,且NJ.B，所以五■B=—1+24=0，解

得4=1,

故答案为：A.

【分析】根据向量垂直的坐标表示，列式计算即可.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：抛物线C：久2=y的准线方程为y=_1,

因为点M在抛物线上且纵坐标为1,所以点M到C的焦点的距离为1-（-3=1

故答案为：B.

【分析】先求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义计算即可.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：由/og3（2x+1）=2,则2X+1=32,解得了=4,所以集合A={久|/0。3（2%+

1）=2}={4},

又因为集合B={2,a},AUB=B,所以力UB,所以a=4.

故答案为：D.

【分析】解对数方程求出集合力，再根据A匚B,即可求出a的值.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：因为数列但"为等差数列，则S7=7（旬：叼）=号4=7a型

又因为$7=5。4+1。，所以7a4=5。4+10,即。4=5,贝y,=%产=曳二产=8.

故答案为：C.

【分析】由等差数列的前n项和公式即可得到。4=5,再根据等差数列的求和公式求解即可.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：因为58=50+5+1+1+1,464=100+100+100+100+50+10+1+1+1+1,

所以MMXXXU=1000+1000+10+10+10+5=2035.

故答案为：B.

【分析】根据简单累数制记数方法计算即可.

6【答案】B

【解析】【解答】解：在棱长为1的正方体4BC。-&B1Q4中，连接0C-BD,AC,如图所示:

由4411平面48皿BDu平面/BCD,^BD1AA±,ffijBD1AC,

,C4C=u平面A4Q贝ijBO1平面44道，又&Cu平面44停，

于是BC_L&C,同理BG_L&C,而BCiClBD=B,BG，BDu平面BCD

因止匕AiCl平面BCi。，因为。PlAiC,贝!]DPu平面BQC,

而点P为截面&C1B上的动点，平面&C/n平面BCi。=BC],

所以点P的轨迹是线段BQ,点P的轨迹长度为鱼.

故答案为：B.

【分析】连接DCi，B£>,利用线面垂直的判定推理证得aC平面BCi。即可确定点P的轨迹求解即可.

7.【答案】A

【解析】【解答】解：因为数列｛厮｝满足臼=0,a2=1,且数列｛%+厮+1｝是公比为2的等比数

列，

CI]++a^+l=71

所以0,2=1>CLn2I

n-2n

当nN2时，an_1+an=2,则与+i-斯_1=2-2,

所以。2024=。2+(。4—。2)+Ca6-a4)+---Ca2024—。2022)=1+2+2,+2,+------1-22021=1+

2(1-41011)_22023+1

r=4——3~

故答案为：A.

in_2(

【分析】由题意，利用等比数列求出与+an+1=2"T,从而求得与+—an_i=2九>2),再利

用累加法求通项即可.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：在直三棱柱ABC-4/心中AB1BC,则AABC为直角三角形，

则AABC外接圆的圆心为斜边AC的中点，同理△A/G外接圆的圆心为斜边&Ci的中点，如图所

示：

因为直三棱柱力BC-外接球的直径为6,所以外接球的半径R=3,

设上下底面的中心分别为01，0,连接00,则外接球的球心G为。1。的中点，

连接GC,则GC=3,设ZB=K(0<K<6),所以“=依阡彳，则0c_J：+4,

在Rt△C°G中，OG=则。。[=2^9-=V32-x2;

所以该棱柱的体积U=*x2%X忌口=]婷(32—婷)<](，+,-避)2=16,

当且仅当/=32-/,即久=4时等号成立，故该棱柱体积的最大值为16.

故答案为：C.

【分析】由已知求出多面体外接球的半径，设AB=K(0<久<6),把棱锥体积用含有x的代数式表

示，再由基本不等式求最值即可.

9.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：A、因为这6人年龄的极差为14,即42—(20+a)=14,解得a=8,故A正

确；

B、由A可知：这6人年龄分别为28、30、32、36、36、42,则6人年龄的平均数为，(28+30+

32+36+36+42)=34,故B错误;

C、因为6X75%=4.5,所以6人年龄的75%分位数为从小到大排列的第5个数，即36,故C正确；

D、6人年龄的方差S2=1[(28-34)2+(30-34)2+(32-34)2+(36-34)2+(36-34)2+

(42-34力=筝故D正确.

故答案为：ACD.

【分析】根据极差求出a,再求平均数、方差和百分位判断即可.

10.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：/(%)=V3sin2ti)x+cos2<z>x=2sin(2a)x+看)，

由图象可知：/■《)=2,即2(0・号+看=2土兀+/,kCZ,解得3=3k+*,keZ,

因为。<3<1,所以3=4,/(%)=2sin(%+看)，

A、因为/(%)=2sin(%+看)，所以/(%)的最小正周期为T=2兀，故A正确；

B、y=f(2x+*)=2sin(2x+f=2cos2%是偶函数，故B错误；

C、y=f(x+看)cos%=2sin(x+^-)cosx,令g(x)=2sin(x+与)cos%,

贝!)9(卷一%)=2sin(^-—x)cos(^—%)=2cos%cosg—(%+=2sin(x+电cos%=g(%),

y=/(%+着)cos%的图象关于直线％=金对称，故C正确；

D、/(tx)=2sin(tx+^),t>0,当％e［0,兀］时，比+dE片遥兀+&］，2TC<tn+-^<3TT,解得te

年为故D正确.

故答案为：ACD.

【分析】先利用二倍角公式、辅助角公式化简函数〃吗，结合给定的函数图象求出®,再逐项判断即

可.

11.【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：因为/'(久)一/'(-%)=2%，所以，(久)+，(一%)=2，即。(久)+。(一久)=2,令

x=0,得g(0)=1,故A正确；

B、因为"K)一"一吗=2%,当%70时，零2+岂答=2,所以、=等的图象关于点(0,1)对称，

故B正确；

C、假设/(%)+f(2-％)=0成立，求导得/'(X)-/(2-久)=0，即g(K)-g(2-久)=0,又g(x)+

g(2-%)=0,所以g(K)=0,

所以g(0)=0与g(0)=1矛盾，故C错误；

D、因为。(久)+g(-久)=2,g(x)4-^(2-%)=0,所以g(2-x)-g(-x)=-2,g(0)=1,g(l)=

0,。(2)=-1,

所以有g(n+2)-g(n)=-2,所以数列｛g(n)｝的奇数项是以。为首项，-2为公差的等差数列，

数列｛g(n)｝的偶数项是以一1为首项，—2为公差的等差数列，又g(2)-g(l)=-1,neN*,

所以数列｛g(n)｝是以0为首项，—1为公差的等差数列，所以g(n)=l—加所以'，〃(乃;零匕

故D正确.

故答案为：ABD.

【分析】对条件/(%)-/(一久)=2%,求导即可判断A；对条件/(%)-/(一久)=2x,两边同时除以x

即可判断B；反证法，假设C正确，求导，结合条件g(x)+g(2-%)=0,可得g(0)=0与g(0)=1

矛盾,即可判断C；求出g(l)=0,g(2)=-1,又g(n+2)-g(n)=-2,g(2)-g(l)=-1,nG

N*,得出数列｛g(7i)｝是以0为首项，-1为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断D.

12.【答案】ji

【解析】【解答】解：由(2+i)z=i,可得2=等，故£=(2+i)'(2_i)=a=£

故答案为：i.

【分析】利用复数除法法则计算即可.

13.【答案】120

【解析】【解答】解：在6天里，连续2天的情况，一共有5种，则剩下的4人全排列有属种排法，故一

共有5x朗=120种排法.

故答案为：120.

【分析】根据分步乘法计数原理计算即可.

14•【答案】(1,4)

【解析】【解答】解：设点P(g,yo),则点P到八的距离为&=空唱幽，直线方程为V=-2久+

V5

2x0+y0,

联立『=一'：；:+兀，解得久D=4譬，所以|0m=而瞥细，

所以S平行四边形ODPE=\OD\d=所“x陷=1，所以就_空=±1，

所以点P的轨迹「为两个双曲线/一=1、一/=1，

因为双曲线j=i的实半轴长为1,所以双曲线彳一/=1的实半轴长为2,

若T与圆为2+y2-t有四个交点，如图所示：

则1<a<2,即l<t<4,所以实数t的取值范围是(1,4).

故答案为：(L4).

【分析】设点尸(久0，%),则点P到k的距离为d=12和二小1,再联立直线PD与y=2x的方程，求出点

。的坐标，进而表达出平行四边形ODPE面积，再结合平行四边形ODPE面积为1求出点P的轨迹方

程，再利用双曲线的性质求解即可.

15.【答案】(1)解：根据正弦定理得s讥力(sinB+cosB)=s出C,

在^ABC中,sinC=sin(4+B),

则有s讥力(sinB+cosB)=sin(i4+B),

所以sizMsiziB+sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,

所以siiiAs讥3=cosAsinB,sinBH0,

所以sizM=cosA,故力=45°；

(2)解：根据余弦定理有小=ft2+c2—2bccosA，

则有5=坟+2一2乩解之得b=3,5=-1(舍去)，

因为。为BC的中点，则而=：(荏+元)，

AD2^^(AB2+AC2+2AB-AC)=1x(2+9+2xV2x3x^)=^>AD=孚

【解析】【分析】(1)利用正弦定理化边为角，再由两角和的正弦公式化简可得sin4=cos4即可求

得角A；

(2)由余弦定理求出b,再由前=*(屈+而)，根据向量数量积的运算律计算即可.

16.【答案】(1)解：由题意可得Z(—%0),C(0,b),

可得|4C|=Va2+b2=V5>2c=2V可得c=V3,

可得M—庐=3,+房=5，

解得q2=4,用=1，

所以离心率e=£=*；

a2

所以椭圆的方程为：1+y2=i；离心率e=旦

4172

(2)解：由(1)可得C(0,1),由题意设直线RS的方程为％=my+1,则k=^，

2_4

设R(%1，yi),S(%2,y2>联立彳+y一，整理可得：(4+租202+27ny-3=o,

(%=my+1

2TH2

显然/>0,且％+当=一用zy*2=一用/

y

直线CR,CS的斜率(=-k2=\

X1x2

同k+卜=y「i।-2-1_(-y2+i)(yLi)+(Myi+i)(y2-i)_27nyiy2+(i-m)(yi+y2)—2

、12X1x2(77171+1)(7713/2+1)zn2y]y2+?n(y]+y2)+l

2771,^-y+(l-7Yi),—2%—2«

_4+层4+TH，_乙

m2,^3+m.^2m+1

4+mz4+mz

因为女1+七=—3,即—3=—Mf，解得TH=J,

m—13

所以直线RS的斜率卜=工=3.

m

即k的值为3.

【解析】【分析】(1)由题意结合椭圆的性质求解即可；

(2)由(1)可得C(0,1),设直线RS的方程，联立直线与椭圆的方程，消元整理，利用韦达定理，求

出直线CR,CS的斜率之和，由题意整理可得参数的值，进而求出直线RS的斜率的大小即可.

17.【答案】(1)证明：由题意知，在△COM中，CD=2,CM=4,NBC。=60。，

由余弦定理得，DM2=CD2+CM2-2CD-CMcos^BCD=4+16-2X2X4X=12,即DM=

2V3,

所以DM2+=c“2,即C。！DM,

又DD11DC,DD]DDM—D,

所以CD1平面DiDM,

因为CDu平面CDDiG，

所以平面1平面Di。”.

(2)解：取4)的中点N,连接&N,贝!JAN=DN=4,

因为AB=2&Bi=2,BC=8,

所以由四棱台的性质知，ArDx=\AD=4=DN,A'D\〃DN,

所以四边形4%DN是平行四边形，

所以&N=O/=4,ArN//DrD,

又占4=4鱼，所以力/多=AN?+41村2,即ZiNlAD,

所以

又DDi，DC,AD0DC^D,所以。山J•平面ABC。，

由(1)知，CD1平面DiOM,

故以。为坐标原点，DM,DC,DA所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系如

图所示:

则。(0,0,0),M(2®0,0),B(4V3,-2,0),C(0,2,0),"0,1,4),

所以丽=(2百，0,0),CC\=(0,-1,4),CB=(4V3,-4,0),

设平面BCGB1的法向量为运=3%z),则二:,即｛42二：；=°0

取x=1,则丫=旧,z=第，所以元=(1,V3/苧)，

\DM-n\_2V3

设直线DM与平面BCQBi所成角为仇贝=|cos＜丽，元〉I翁卜网=2万xfl+3+品

Nio

4V67

~67~）

故直线DM与平面BCGB1所成角的正弦值为婆.

【解析】【分析】（1）由题意，利用平行四边形性质结合余弦定理求出。M,推出。MlCD,再利用

线面垂直、面面垂直的判定证明即可；

（2）由已知证得小。1平面4BCD,再以。为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即

可.

18.【答案】（1）解：①该二维离散型随机变量（f,3的所有可能取值为:

(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1.0),(1,1,(1,2),(2,0),(2,1),(3,0).

②由题意0<m+n<3,

P(f=m,T]=n)=P(f=m\r]=n)•P(r)=n),

因为P(77=n)=c兴扔(|)3F；

PG=m\T1=n)=尸&7--加=c黄几&尸5,

所以P(f=m，7]=n)=侬忑)3-n.c温)n(|)3-n=如明

=2X______1______

9m!n!(3—m—n)!*

(2)证明：由定义及全概率公式知：

P(f=%)=P{(f=at)O[(4=瓦)U8=b2)U...U(77=U...]}

=P{[(f=«i)c8=瓦)]u[«=%)n5=b2)]u...u[(f=ajnS=%)]u

=P[(f=%)n(??=瓦)]+P[(f=a；)n(?7=&2)]+••■+P[(f=四)n-=:)]+

=£胃iP皤=«；)nS=与)]=P=%,T]=鲂=SJliPij.

【解析】【分析】(1)①根据题意直接写出所有可能取值；

②利用独立重复试验的概率、条件概率公式及独立事件的概率公式列式化简求解即可；

(2)利用全概率公式及互斥事件的加法公式推理即可.

19.【答案】(1)解：函数/(%)定义域为(0,+oo),

因为r‘(久)=竽_1_/=-"+/1,

设k(%)=-/+2mx—1,则4=4(m2—1),

①当0<znWl时，ZI<0,/(久)30恒成立，且至多一点处为0；

2=m

②当m>1时，4>0,k(x)有两个零点久1=m—y/m—1»x2_1，

所以当0<x</时，fc(x)<0,即/'(久)<0；当<久<冷时，左(久)>0，即/'(久)>0;

当久>久2时，k(x)<0,即八久)<0.

综上所述：当0<m〈l时，/(%)在(0,+8)上单调递减；

当?71>1时，/(%)在(0,久1),(久2，+8)上单调递减，在(%「％2)上单调递增;

1

(2)证明：由(1)知当m=1时，xe(1/+8)时，/(x)