河南省兰考2024届数学高一第二学期期末复习检测模拟试题含解析

河南省兰考县第一高级中学2024届数学高一第二学期期末复习

检测模拟试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷

上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非

选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，

恰有一项是符合题目要求的

1.大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国

传统文化中太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两

翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次

是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,……则此数列的第20项为（）

A.200B.180C.128D.162

2.函数/G)=X2+lg(x—1)定义域是

()

A.(1,+℃)B.11,-H»)c.D.（0产

3.在等差数列｛。｝中，若a+a=12,则。=()

n375

A.4B.6C.8D.10

4.已知/(x)=sin('巴+n”N

则/（无）的值域为（)

D，1对

A-B

5.已知函数/(x)=ex+x,g(x)=lnx+x,〃(x)=J7+x的零点分别为a,b,c,

则()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.a>c>b

一2———1———一一X

6.如图，在AABC中，AD=AC,BP=不5。，若AP=九48+,则一=()

33N

D

AR

A.-3B.3C.2D.-2

7.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：3113）是（）

正视用健视图

舞权K

兀22

A.8-71B.8-—C.—D.8

33

41

8.已知正实数羽丁满足》+>=3,则一+一的最小值（）

%y

10

A.2B.3C.4D.—

9.如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（）

A.2近RB.12KC.3nD.9TI

10.若函数y=Asin（3x+（p）卜>0,3>0,恻<£］在一个周期内的图象如图所示，

且在y轴上的截距为M,N分别是这段图象的最高点和最低点，则ON在0M方

向上的投影为（）

cY

、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

H.已知x、丁的取值如表所示:

X0134

y2.24.34.86.7

从散点图分析，丁与了线性相关，且y=O.95x+a,则。=

12.已知数列L｝的通项公式是。=2",若将数列%｝中的项从小到大按如下方式

nnn

分组:第一组：(2,4),第二组：(6,8,10,12),第三组：(14,16,18,20,22,24),

则2018位于第组.

13.若存在实数力使得关于x的不等式|asin2x+(4«+Z?)sinx+136?+2Z?|-2sinx^4

恒成立，则实数a的取值范围是—.

14.设向量&=(sinx,、或,5=(-l,cosx)，若d_Lb,,则％=.

15.对任意的不等式恒成立，则实数的取值范围是

16.已知函数/(x)=sin(3x+(p)(3〉0,0<(p<7t)的部分图象如图所示，则3的值为

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17.已知等比数列仅｝满足。=2,a=54,等差数列仍｝满足a=b,a=b,

n14n1123

求数列协｝的前〃项和S.

nn

18.在数列3｝中，a=1,a=2,且a=(1+q)a-qa,(n>2,^^0).

n12n+\nn-1

⑴设b=a—a,CeN*),证明｛b｝是等比数列；⑵求数列｛a｝的通项公式；

nn+1nnn

（3）若巴是。与a的等差中项，求夕的值，并证明：对任意的〃eN*,。是。与

369nn+3

。的等差中项；

n+6

19.已知圆心在直线x+2y=0上的圆c经过P（2,2）点，且与直线x+y—4=0相切.

（1）求过点尸且被圆C截得的弦长等于4的直线方程；

（2）过点尸作两条相异的直线分别与圆。交于A,B,若直线出，尸5的倾斜角互补，

试判断直线A3与O尸的位置关系（。为坐标原点），并证明.

20.等差数列3｝中，a=4,a+a=15.

n247

（1）求数列｛a｝的通项公式；

n

（2）设b=2。,-2+〃，求b+b+b+---+b的值.

n12310

21.在中，内角A,B,。所对的边分别为a,b,c.若2acosB+b=2c.

（1）求角A的度数；

（2）当a=2时，求AWA。的取值范围.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，

恰有一项是符合题目要求的

1、A

【解题分析】

由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50...,可得偶数项的通项公式：a=2/2,即

2n

可得出.

【题目详解】

由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50...,

可得偶数项的通项公式：a=2碇，则此数列第20项=2x102=1.

2n

故选：A.

【题目点拨】

本题考查了数列递推关系、通项公式、归纳法，属于基础题.

2、A

【解题分析】

若函数有意义，则需满足x-l〉O,进而求解即可

【题目详解】

由题，则x—1〉0,解得x〉l,

故选:A

【题目点拨】

本题考查具体函数的定义域，属于基础题

3、B

【解题分析】

由等差数列的性质可得。+。=2。，则答案易求.

375

【题目详解】

在等差数列｝中，因为3+7=5x2,所以a+a=2a.

n375

1，c,

所以。=5义12=6.故选B.

52

【题目点拨】

本题考查等差数列性质的应用.在等差数列｛a｝中，若P+a=s+f,则

n

a+a=a+a.特别地，若p+q=2s,则a+a=2。.

pqstpqs

4、C

【解题分析】

由已知条件，先求出函数的周期，由于xeN,即可求出值域.

【题目详解】

(2K兀、

因为/(x)=sm［手x+6｝所以T=3,

又因为xeN,所以当x=0时，f(0)=1;

当x=l时，f(l)=i；当x=2时，f(2)=-1,

所以/(x)的值域为｛；,一".

故选：C.

【题目点拨】

本题考查三角函数的值域，利用了正弦函数的周期性.

5、B

【解题分析】

a,b,c分别为/(x)=。，g(x)=O,/:(x)=0的根，作出y=ex,y=lnx,y=J7

的图象与直线y=-x,观察交点的横坐标的大小关系.

【题目详解】

由题意可得a,b,c分别为/(x)=°,g(x)=O,/:(x)=°的根，

作出y=ex,y=lnx,y=J£,的图象，

与直线y=-x的交点的横坐标分别为a,b,C,

由图象可得a<c<b,

故选：B.

【题目点拨】

本题主要考查了函数的零点，函数的图象，数形结合思想，属于中档题.

6、B

【解题分析】

L2一一1_11_2-

■：AD=-AC,:.BP=-BD-(AD-AB)=-AC--AB

33393

2__2

：.AP=AB+BP=-AB+-AC

39

又AP=XAB+p.AC,，入=可，口=,，彳=3

故选B.

7、B

【解题分析】

由三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体挖去一个圆锥的组合体，正方体体积

1c兀

为23=8,圆锥体积为w兀，,几何体的体积为8—9，故选B.

【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能

力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三

视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对

正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影

响.

8、B

【解题分析】

/

411(41}(x+y)=1.4yx.

—+—二——+—4+—+—+1

xy3Uy)-3xy7

1(7Tl

>_5+2=3,

3xy)

4yx6,41

当且仅当—=—,即x=2，y=1,时一+一的最小值为3.

xyxy

故选B.

点睛：本题主要考查基本不等式.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二

定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和

或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.

9、B

【解题分析】

由三视图还原几何体，可知该几何体是由边长为2的正方体切割得到的四棱锥

P-ABCD,可知所求外接球即为正方体的外接球，通过求解正方体外接球半径，代

入球的表面积公式可得到结果.

【题目详解】

由三视图可知，几何体为如下图所示的四棱锥P-ABC。：

由上图可知：四棱锥尸-A5CD可由边长为2的正方体切割得到

,该正方体的外接球即为四棱锥尸-A8CD的外接球

四棱锥P—ABCZ）的外接球半径R=q02+22+22=小

,外接球的表面积S=4KJ?2=12n

故选：B

【题目点拨】

本题考查棱锥外接球表面积的求解问题，关键是能够通过三视图还原几何体，并将几何

体放入正方体中，通过求解正方体的外接球表面积得到结果；需明确正方体外接球表面

积为其体对角线长的一半.

10、D

【解题分析】

根据图象求出函数的解析式，然后求出点的坐标，进而可得所求结果.

【题目详解】

根据函数y=A由（3%+5）（4〉0,3〉0,|叫＜勺在一个周期内的图象，可得

T12兀〜-兀

~7=--=3-1=2,0=—.

44co4

兀兀7C

再根据五点法作图可得二4+甲=k，，（P=7，

424

..（兀兀

/.函数的解析式为y=Asinl-x+_

;该函数在y轴上的截距为

y=Asin-=2^?.A--J2,A—2,

-42

c.（兀兀

故函数的解析式为y=2sm[wX+a

N(5,-2),

/.OM-ON=5-4=1,

)L\OM\=y/5,

一OMON1J5

向量在OM方向上的投影为

IOMIy/55

故选D.

【题目点拨】

解答本题的关键有两个：一是正确求出函数的解析式，进而得到两点的坐标，此处要灵

活运用“五点法”求出中的值；二是注意一个向量在另一个向量方向上的投影的概念，属

于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、2.6

【解题分析】

根据数据表求解出羽y,代入回归直线，求得a的值.

【题目详解】

根据表中数据得：X=2,y=lx(2.2+4.3+4.8+6.7)=-

-42

又由回归方程知回归方程的斜率为0.95

9

截距a=2-0.95x2=2.6

本题正确结果：2.6

【题目点拨】

本题考查利用回归直线求实际数据，关键在于明确回归直线恒过G,y),从而可构造出

关于a的方程.

12、1

【解题分析】

根据题意可分析第一组、第二组、第三组、…中的数的个数及最后的数，从中寻找规律

使问题得到解决.

【题目详解】

根据题意:第一组有2=1x2个数，最后一个数为4；

第二组有4=2x2个数，最后一个数为12,即2x(2+4)；

第三组有6=2x3个数，最后一个数为24,即2x(2+4+6)；

第n组有2n个数，其中最后一个数为2x(2+4+…+2n)=4(l+2+3+…+n)=2n(n+l).

/.当n=31时，第31组的最后一个数为2x31x1=1984,

二当n=l时，第1组的最后一个数为2x1x33=2112,...2018位于第1组.

故答案为1.

【题目点拨】

本题考查观察与分析问题的能力，考查归纳法的应用，从有限项得到一般规律是解决问

题的关键点，属于中档题.

13,[-1,1]

【解题分析】

先求得2+sinx的取值范围，将题目所给不等式转化为含2+sinx的绝对值不等式，对

a分成a=Q,a>Q,a<Q三种情况，结合绝对值不等式的解法和不等式恒成立的思想，

求得a的取值范围.

【题目详解】

由于2+sinxe[1,3]，故,sin2x+（4a+b）sinx+13a+2b|-2sinxW4可化简得

6Z（2+sinx）+——+b<2恒成立.

2+sinx

当。=0时，显然成立.

当a>0时，可得〃（2+sinx）+—————e[6a,10a],

2+sinx

-2-b<a（2+sinx）+------——<2-b,可得一2-匕46。且2-匕210。，可得

2+sinx

-2-6a<b<2-10a,即一2—6。«2—10。，解得

当〃<0时，可得a（2+sinx）+————G[10<2,6^],可得一2—匕01。〃且2—b26a,

2+sinx

可得_2_10Q«8«2_64,即_2_10〃42_6O,解得一1<a<0.综上所述，〃的

取值范围是Li』].

【题目点拨】

本小题主要考查三角函数的值域，考查含有绝对值不等式恒成立问题，考查存在性问题

的求解策略，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.

71

14、1

【解题分析】

利用向量垂直数量积为零列等式可得tanx=JI,从而可得结果.

【题目详解】

因为。=（sinx,=（-l,cosx）,且&_L石，

所以a・6=-sinx+JTcosx=0,

可得tanx=JT,

又因为

兀兀

所以％=不，故答案为丁.

【题目点拨】

利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利

用无14一芯2乂=0解答;⑵两向量垂直,利用工也+了二=0解答.

15、匚娟］

【解题分析】

,所以

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不

等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号

取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.

5兀

⑹T

【解题分析】

根据图像可得/（0）=sin（p=；,0<（p<7：,根据0所在位置，处于函数的单调减区间，

即可得解.

【题目详解】

由图可得：/（0）=sin（p=I,0<（p<K,（p=:或中=自

266

由于0在函数〃x）的单调减区间内，

5兀

所以①=2.

6

故答案为：I5兀

O

【题目点拨】

此题考查根据三角函数的图象求参数的取值，常用代入法求解，判定初相的取值时，根

据图象结合单调性取值.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17、S=几2+几

n

【解题分析】

由等比数列易得公比9和气，进而可得等差数列的首项和公差，代入求和公式计算可

得.

【题目详解】

解：；等比数列｛4｝满足。=2,%=54,

n14

二公比0=9=27,

1

・'・q=3,

.'.a=aq=6

•••等差数列仍｝中,=4=2/=。=6,

n1132

.•.公差4=匕二幺=2,

3—1

，数列｛6｝的前"项和s=泌+"(""d="2+”.

nnI2

【题目点拨】

本题考查等差数列的求和公式，涉及等比数列的通项公式，求出数列的首项和公差是解

决问题的关键，属基础题.

1+1”,

qwL

18、(1)略(2)a=｛1-q(3)证明略

n

n,q=l.

【解题分析】

本题源自等差数列通项公式的推导.

(1)证明：由题设。=(l+q)a-qa(n>2),得

n+1nn-\

a-a=q(a-a)，即6=效,n>2,

n+lnnn-1nn-1

又。=aa=1,”。，所以%｝是首项为i,公比为夕的等比数列.

121n

(2)由(1)。一。=1,

21

a-a=q

32

a-a=q2,(n>2).

nn-1

将以上各式相加，得a-a=l+q+…+q”-2(n>2).

n1

11一〃i

1+---q--T-,qw1,

所以当“22时，a={1-q

",q=l.

上式对n=1显然成立.

（3）由（2）,当4=1时，显然巴不是？与％的等差中项，故4*1.

369

由〃ci—cici可得农一/=q2—q8,由qw0得农一1=1—q6,①

3693

整理得（农）2+农—2=0,解得安=—2或农=1（舍去）.于是q=一展.

Qn+2—qn-\qn-\

另一方面,a-a--------------------------------(q3—1),

n"+3l—q1—q

Cjn-\—qn+5qn-\

由①可得a~a=a~a,neN*,

nn+3n+6n

所以对任意的neN*,a是a与a的等差中项.

nn+3n+6

19、（1）x=2或y=2；（2）平行

【解题分析】

（1）设出圆的圆心为（—2","）,半径为r，可得圆的标准方程（x+2〃»+（y=厂2,

（2+2〃1+（2-n>=厂2

根据题意可得卜2〃+〃-4|_,解出〃，「即可得出圆的方程，讨论过点尸的

直线斜率存在与否，再根据点到直线的距离公式即可求解.

（2）由题意知，直线巴4,尸B的倾斜角互补，分类讨论两直线的斜率存在与否，当斜

率均存在时，则直线出的方程为：y—2=Z（x—2）,直线尸5的方程为：

y-2=-k（x-2）,分别与圆C联立可得,利用斜率的计算公式

AB

y—y—k（x—2）—k（x—2）4-k—k（x+x）

k-一U=------R-------------R-----=-----------R----」与k=1作比较即可.

x-xx-xx-xOP

BABABA

【题目详解】

（1）根据题意，不妨设圆C的圆心为（—2〃,〃），半径为广，

则圆C（x+2"）+（y=厂2,

由圆C经过P（2,2）点，且与直线x+y—4=0相切，

(2+2"1+(2-”)2=厂2

则.一2〃+〃一4],解得〃=0,r=2户,

0

故圆C的方程为：举+尸=8,所以P（2,2）点在圆上,

过点尸且被圆C截得的弦长等于4的直线,

当直线的斜率不存在时，直线为：x=2,满足题意;

当直线的斜率存在时，设直线的斜率为七,

直线方程为：kx—y+2—2k=09故d二—-22=29

解得k=o,故直线方程为：y=2.

综上所述：所求直线的方程：x=2或y=2.

（2）由题意知，直线巴4,0B的倾斜角互补，且直线E4,0B的斜率均存在,

设两直线的倾斜角为。和b,

S=tana,（=tanb,因为a+b=180,

由正切的性质,则勺+勺=。，

不妨设直线PA的斜率为k,则PB的斜率为一左，

即PA：y=kx—2k+2,则PB-y=—kx+2k+2,

由1y-依―+2,得G+k2）m+4左（1一人）x+4（k—1>—8=0,

[%2+y2=8

2k2-4k-2

•・,点P的横坐标为2一定是该方程的解，故可得x=——-——-——，

A%2+1

4左2—48k

x+x=---------------,x-x=------------

ABk2+1BAk2+1

-k(x—2)—k(x—2)