2024届山东省潍坊市寒亭区中考数学模试卷含解析

2024届山东省潍坊市寒亭区中考数学模试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（）

A.1：2：6B.2：3：4C.1：52D.1：2：3

2.方程2x2-x-3=0的两个根为（）

C.xi=—，X2="3

3.根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强p（pa）与它的体积v（n?）的

乘积是一个常数k,即pv=k（k为常数，k>0）,下列图象能正确反映P与v之间函数关系的是（）

中国幅员辽阔，陆地面积约为960万平方公里，“960万”用科学记数法表示为（

A.0.96X107B.9.6X106C.96X105D.9.6xl02

如图，AB是。的直径，点C,D在。上，若/DCB=110,则NAED的度数为（

B.20C.25D.30

6.下列各数中，最小的数是（）

8.某射击运动员练习射击，5次成绩分别是：8、9、7、8、x（单位：环）.下列说法中正确的是（）

A.若这5次成绩的中位数为8,贝!）x=8

B.若这5次成绩的众数是8,则x=8

C.若这5次成绩的方差为8,则x=8

D.若这5次成绩的平均成绩是8,则x=8

9.如图，50为。。的直径，点A为弧50c的中点，ZABD=35°,则NZ>BC=（）

10.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,BC=12,AC=5,分别以点A,B为圆心，大于线段AB长度的一半为半径

作弧，相交于点E,F,过点E,F作直线EF,交AB于点D,连接CD,则△ACD的周长为（）

11.如图，已知。是一ABC中的边上的一点，ZBAD=ZC,NABC的平分线交边AC于E,交A。于那

么下列结论中错误的是（）

BD

A.△BAC^ABDAB.ABFA^ABEC

C.△BDF^ABECD.△BDF^ABAE

12.不等式3x<2（x+2）的解是（）

A.x>2B.x<2C.x>4D.x<4

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.已知二次函数了=⑪2+法+°（。/0）,V与8的部分对应值如下表所示:

・・・-101234・・・

y・・・61-2-3-2m・・・

下面有四个论断:

①抛物线y^ax2+bx+c(a^0)的顶点为(2,-3)；

@b2-4ac=0;

③关于x的方程依2+云+c=—2的解为玉=1，々=3；

④m=-3.

其中，正确的有.

14.如图，点E是正方形A3C。的边上一点，以A为圆心，A3为半径的弧与3E交于点尸，则NE尸。='

15.如图，点尸是边长为2的正方形A8CZ>的对角线80上的动点，过点尸分别作PE，3c于点E,尸用LOC于点F,

连接AP并延长，交射线5c于点77,交射线OC于点连接E尸交于点G,当点P在3。上运动时（不包括5、

。两点），以下结论：①MF=MC；®AH±EF；③AP2=PM・P7/；④E尸的最小值是0.其中正确的是.（把

你认为正确结论的序号都填上）

16.如图，在AABC中，=为边的高，点A在x轴上，点3在V轴上，点C在第一象

限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿V轴下滑，并带动AABC在平面内滑

动，设运动时间为f秒，当3到达原点时停止运动

'连接0C,线段0C的长随/的变化而变化，当0C最大时，/=.当AABC的边与坐标轴平

6：-A---

行时，t=.

17.如图，已知点E是菱形ABCD的AD边上的一点，连接BE、CE,M、N分别是BE、CE的中点，连接MN,若

ZA=60°,AB=4,则四边形BCNM的面积为.

18.在△ABC中，NC=90。，若tanA='，则sinB=.

2

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）化简，再求值：手上一£—2,—3+,x=下+1

20.（6分）在平面直角坐标系中，关于x的一次函数的图象经过点7（4,7）,且平行于直线y=2x.

（1）求该一次函数表达式；

（2）若点。（X,j）是该一次函数图象上的点，且点。在直线y=3x+2的下方，求x的取值范围.

21.（6分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名

学生参加的“汉字听写”大赛,赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分.为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况,

随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：

成绩X/分频数频率

50<x<60100.05

60<x<70300.15

70<x<8040n

80<x<90m0.35

90<x<100500.25

请根据所给信息，解答下列问题：机=,〃=；请补全频数分布直方图；若成绩在90分以上（包括90

分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？

22.（8分）如图，AB〃CD,AEFG的顶点F,G分别落在直线AB,CD±,GE交AB于点H,GE平分/FGD.若

ZEFG=90°,ZE=35°,求NEFB的度数.

23.（8分）在AABC中，AB=AC,以A6为直径的圆交8C于。，交AC于£.过点E的切线交OD的延长线于F.求

证：BF是。的切线.

24.（10分）某区对即将参加中考的5000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和频数分布直方

图的一部分.

请根据图表信息回答下列问题：

视力频数（A）频率

4.0<x<4.3200.1

4.3<x<4.6400.2

4.6<x<4.9700.35

4.9<x<5.2a0.3

5.2<x<5.510b

（1）本次调查的样本为,样本容量为;在频数分布表中，a=,b=,并将频数分布直

方图补充完整；若视力在4.6以上（含4.6）均属正常，根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人？

（每组数据含最小值，不含最大值）

4

25.（10分）如图，在nABCD中，AB=4,AD=5,tanA=一,点P从点A出发，沿折线AB-BC以每秒1个单位长

3

度的速度向中点C运动，过点P作PQLAB,交折线AD-DC于点Q,将线段PQ绕点P顺时针旋转90。，得到线段

PR,连接QR.设△PQR与。ABCD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）.

（1）当点R与点B重合时，求t的值；

（2）当点P在BC边上运动时，求线段PQ的长（用含有t的代数式表示）；

（3）当点R落在nABCD的外部时，求S与t的函数关系式；

（4）直接写出点P运动过程中，△PCD是等腰三角形时所有的t值.

26.（12分）甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有1张相同的纸牌，它们分别标有数字1,2,3,1.从

中随机摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出一张纸牌，若两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数，则甲胜；否则乙胜.这

个游戏对双方公平吗？请列表格或画树状图说明理由.

27.（12分）某商人制成了一个如图所示的转盘，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，转盘停止

后，若指针指向字母“A”，则收费2元，若指针指向字母“3”，则奖励3元；若指针指向字母则奖励1元.一天,

前来寻开心的人转动转盘80次，你认为该商人是盈利的可能性大还是亏损的可能性大？为什么？

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、D

【解析】

试题分析：图中内切圆半径是OD,外接圆的半径是OC,高是AD,因而AD=OC+OD；

在直角AOCD中，ZDOC=60°,贝！|OD：OC=1：2,因而OD：OC：AD=1：2：1,

所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是1:2：1.故选D.

考点：正多边形和圆.

2、A

【解析】

利用因式分解法解方程即可.

【详解】

解：（2x-3）（x+1）=0,

2x-3=0或x+l=0,

3

所以X产一，X2=-l.

2

故选A.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一

次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进

行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）.

3、C

【解析】

【分析】根据题意有：pv=k（k为常数，k>0）,故p与v之间的函数图象为反比例函数，且根据实际意义p、v都大

于0,由此即可得.

【详解】Vpv=k(k为常数，k>0)

/.p=—(p>0,v>0,k>0),

v

故选C.

【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定

两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限.

4、B

【解析】

试题分析：“960万”用科学记数法表示为9.6x106,故选B.

考点：科学记数法一表示较大的数.

5、B

【解析】

试题解析：连接AC,如图，

,：AB为直径，

/.ZACB=90°,

:.ZACD=ZDCB-ZACB=110。—90。=20°,

；.NAED=NACD=20。.

故选B.

点睛：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.

6、A

【解析】

应明确在数轴上，从左到右的顺序，就是数从小到大的顺序，据此解答.

【详解】

解：因为在数轴上-3在其他数的左边，所以-3最小；

故选A.

【点睛】

此题考负数的大小比较，应理解数字大的负数反而小.

7,B

【解析】

根据三视图的定义即可解答.

【详解】

正方体的三视图都是正方形，故(1)不符合题意；

圆柱的主视图、左视图都是矩形，俯视图是圆，故(2)符合题意；

圆锥的主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆形，故(3)符合题意;

三棱锥主视图是、左视图是,俯视图是三角形，故(4)不符合题意;

故选B.

【点睛】

本题考查了简单几何体的三视图，熟知三视图的定义是解决问题的关键.

8、D

【解析】

根据中位数的定义判断A；根据众数的定义判断B；根据方差的定义判断C；根据平均数的定义判断D.

【详解】

A、若这5次成绩的中位数为8,则x为任意实数，故本选项错误；

B、若这5次成绩的众数是8,则x为不是7与9的任意实数，故本选项错误；

C、如果x=8,则平均数为gC8+9+7+8+8)=8,方差为g小(8-8)2+(9-8)2+(7-8)2]=0.4,故本选项错误;

D、若这5次成绩的平均成绩是8,则:(8+9+7+8+x)=8,解得x=8,故本选项正确；

故选D.

【点睛】

本题考查中位数、众数、平均数和方差：一般地设n个数据，XI,X2,…Xn的平均数为最，则方差

S2=,它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之

n

也成立.

9、A

【解析】

根据/43。=35。就可以求出激）的度数，再根据8。=180°，可以求出，因此就可以求得/ABC的度数，从而求

得NOBC

【详解】

解：'：ZABD=35°,

••・翁的度数都是70。，

•••50为直径，

二篇的度数是180°-70。=110。，

•••点A为弧30c的中点，

•••京的度数也是110°,

花的度数是110°+110。-180。=40。，

AZZ>BC=—X40°=20°,

2

故选：A.

【点睛】

本题考查了等腰三角形性质、圆周角定理，主要考查学生的推理能力.

10、C

【解析】

在RtAABC中，NACB=90。，BC=12,AC=5,根据勾股定理求得AB=13.根据题意可知，EF为线段AB的垂直平分

线，在RSA3C中，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CD=AD=^AB,所以AACD的周长为

2

AC+CD+AD=AC+AB=5+13=18.故选C.

11、C

【解析】

根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断.

【详解】

VZBAD=ZC,

NB=NB,

/.△BAC^ABDA.故A正确.

VBE平分NABC,

ZABE=ZCBE,

/.△BFA^ABEC.故B正确.

，ZBFA=ZBEC,

/.ZBFD=ZBEA,

/.△BDF^ABAE.故D正确.

而不能证明△BDFs^BEC,故c错误.

故选c.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定.识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角.

12、D

【解析】

不等式先展开再移项即可解答.

【详解】

解：不等式3x<2(x+2),

展开得：3x<2x+4,

移项得：3x-2x<4,

解之得：x<4.

故答案选D.

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练的掌握解一元一次不等式的步骤.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、①③.

【解析】

根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可.

【详解】

由二次函数y=ax?+bx+c(a/)),y与x的部分对应值可知：

该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,-3)；与x轴有两个交点，一个在0与1之间,

另一个在3与4之间；当y=-2时，x=l或x=3；由抛物线的对称性可知，m=l；

，①抛物线y=ax「+bx+c(a^O)的顶点为(2,-3),结论正确；

(2)b2-4ac=0,结论错误，应该是b2-4ac>0；

③关于X的方程ax2+bx+c=-2的解为X1=LX2=3,结论正确；

④m=-3,结论错误，

其中，正确的有•①③

故答案为：①③

【点睛】

本题考查了二次函数的图像，结合图表信息是解题的关键.

14、45

【解析】

由四边形ABCD为正方形及半径相等得到AB=AF=AD,NABD=/ADB=45。，利用等边对等角得到两对角相等，

由四边形ABFD的内角和为360度，得到四个角之和为270,利用等量代换得到NABF+NADF=135。，进而确定出

Nl+/2=45。，由NEFD为三角形DEF的外角，利用外角性质即可求出NEFD的度数.

【详解】

•正方形ABCD,AF,AB,AD为圆A半径，

/.AB=AF=AD,ZABD=ZADB=45°,

，NABF=NAFB,NAFD=/ADF,

,/四边形ABFD内角和为360°,ZBAD=90°,

:.ZABF+NAFB+NAFD+NADF=270。，

/.ZABF+ZADF=135O,

■:NABD=ZADB=45°,即ZABD+ZADB=90°,

Zl+Z2=135o-90o=45°,

^.^NEFD为△DEF的外角，

.,.ZEFD=Z1+Z2=45°.

故答案为45

【点睛】

此题考查了切线的性质，四边形的内角和，等腰三角形的性质，以及正方形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键.

15、②③④

【解析】

①可用特殊值法证明，当P为3。的中点时，MC=0,可见"FHMC.

②可连接PC,交EF于点0,先根据5As证明ADP=,.CDP,得到NDAP=NDCP,根据矩形的性质可得

ZDCP=ZCFE,故NZMP=NCEE,又因为NZMP+NAMD=90°,故NCEE+NAMD=90°,故AHLEF.

PCPM

③先证明CPWHPC,得到而=/，再根据.ADPWCDP,得到"=PC,代换可得.

④根据EF=PC=AP,可知当AP取最小值时，政也取最小值，根据点到直线的距离也就是垂线段最短可得，当

时，跖取最小值，再通过计算可得.

【详解】

解：

①错误.当P为6D的中点时，MC=O,可见MFV/C；

②正确.

AD=CD

<ZADP=ZCDP=45°

DP=DP

ADP=CDP(SAS)

ZDAP=ZDCP,

PF±CD,PELBC,ZBCD=9Q°,

..・四边形QECF为矩形，

OF=OC,

ZDCP=ZCFE,

ZDAP=ZCFE,

ZDAP+ZAMD=90°,

■.ZCFE+ZAMD=90°,

ZFGM=9Q°,

•••AH1EF.

③正确.

AD//BH,

ZH=ZDAP,

ADP=：.CDP,

ZDAP=ZDCP,

ZH=ZDCP,

又ZCPH=ZMPC,

■.CPMHPC,

,PCPM

"11P~~PC，

AP=PC,

.APPM

AP1=PM.PH-

④正确.

ADP=CD尸(S45)且四边形PEC尸为矩形，

EF=PC=AP,

,当时，E尸取最小值，

此时AP=A3・sin45°=2x交=应，

2

故所的最小值为应.

故答案为：②③④.

【点睛】

本题是动点问题，综合考查了矩形、正方形的性质，全等三角形与相似三角形的性质与判定，线段的最值问题等，合

理作出辅助线，熟练掌握各个相关知识点是解答关键.

l24对32

瓜4725和《

【解析】

(1)由等腰三角形的性质可得AD=BD,从而可求出OD=4,然后根据当O,D,C共线时，OC取最大值求解即可；

(2)根据等腰三角形的性质求出CD,分AC〃y轴、BC〃x轴两种情况，根据相似三角形的判定定理和性质定理列

式计算即可.

【详解】

(1)BC=AC=5,CDLAB,:.AD=BD=-AB=4,

2

ZAOB=90°,AD=BD,:.OD=-AB=4,

2

当O,D,C共线时，OC取最大值，此时ODLAB.

•:OD±AB,OD=AD=BD=4,

•••△AOB为等腰直角三角形，

^OA=t=y[2AD=4y/2；

(2)VBC=AC,CD为AB边的高，

1

NADC=90°,BD=DA=-AB=4,

2

CD=yl_AO2=3，

当AC〃y轴时，ZABO=ZCAB,

ARtAABO^RtACAD,

AOABt8

/.——=——，即nn一=—,

CDAC35

24

解得，1=不，

当BC〃x轴时，ZBAO=ZCBD,

/.RtAABO^RtABCD,

AOABt8

——=——，即nn一=—,

BDBC45

32

解得，t=y,

2432

则当t=《或不■时，△ABC的边与坐标轴平行.

2432

故答案为1=三或

【点睛】

本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质

定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.

17、3G

【解析】

如图，连接BD.首先证明ABCD是等边三角形，推出SAEBC=SADBC=»x42=4再证明△EMNsaEBC,可得

4

皿=(")2=9,推出SAEMN=JL由此即可解决问题.

【详解】

解：如图，连接BD.

・・•四边形ABCD是菱形，

.\AB=BC=CD=AD=4,ZA=ZBCD=60°,AD/7BC,

AABCD是等边三角形，

•••SAEBC=SADBC=

VEM=MB,EN=NC,

1

.\MN#BC,MN=-BC,

2

AAEMN^AEBC,

S^EMN/MN21

S^EBCBC4

SAEMN="^3，

•S阴=4乖：-#)=3#),

故答案为3G.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决

问题，属于中考常考题型.

18、—

5

【解析】

分析：直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案.

详解：如图所示：

K

CA

•/ZC=90°,tanA=-,

2

.•.设BC=x,则AC=2x,故AB=&x,

si„B=^=2x2百

则

-

ABA/5X"I

故答案为：土.

5

点睛：此题主要考查了锐角三角函数关系，正确表示各边长是解题关键.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、0

【解析】

试题分析：把分式化简，然后把x的值代入化简后的式子求值就可以了.

x-3(x+1)21

试题解析:原式=-----------x---------------------1--------

(x+l)(x-l)(x+l)(x-3)x-1

2

当x=A/2+1时，原式=+］一~•

考点：1.二次根式的化简求值；2.分式的化简求值.

20、(1)y=2x-l；(2)x>-3.

【解析】

(1)由题意可设该一次函数的解析式为：y=2x+b,将点“(4,7)代入所设解析式求出b的值即可得到一次函数

的解析式；

(2)根据直线上的点。(x,j)在直线y=3x+2的下方可得2x—l<3x+2,解不等式即得结果.

【详解】

解：(1)•••一次函数平行于直线y=2x,.•.可设该一次函数的解析式为：y=2x+b,

•••直线y=2x+Z?过点M(4,7),

.*.8+6=7,解得方=—1,

...一次函数的解析式为：y=2x-l；

(2):点Q(x,j)是该一次函数图象上的点，.力=2%—1,

又•.•点0在直线y=3x+2的下方，如图，

•*.2x—l<3x+2,

解得x>—3.

【点睛】

本题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数与不等式的关系，属于常考题型，熟练掌握待定系数法与一

次函数与不等式的关系是解题的关键.

21、（1）70,0.2（2）70（3）750

【解析】

（1）根据题意和统计表中的数据可以求得m、n的值；

（2）根据（1）中求得的m的值，从而可以将条形统计图补充完整；

（3）根据统计表中的数据可以估计该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人.

【详解】

解：（D由题意可得，

m=200x0.35=70,n=404-200=0.2,

故答案为70,0.2；

（2）由（1）知，m=70,

补全的频数分布直方图，如下图所示；

（3）由题意可得，

该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有：3000x0.25=750（人），

答：该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有750人.

即

70

60

50

40

30

20

10

0

】

【点睛

，

条件

要的

题需

求问

出所

，找

题意

明确

键是

的关

本题

解答

体，

计总

本估

用样

表、

分布

频数

图、

直方

分布

频数

考查

本题

解答.

的思想

形结合

利用数

20°

22、

】

【解析

。,

H=55

NFG

GD=

=NH

FHG

得到N

,即可