广东省佛山市2022-2023学年高二年级上册期末数学试题含解析

2022-2023学年上学期佛山市普通高中教学质量检测

高一数学

2023年1月

本试卷共4页，22小题.满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横

贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目后面的答案信息点涂黑；

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应

位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以

上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.如图，直线/的倾斜角为()

2.已知向量a=(4,-2,3),6=(1,5,x),满足)_L5,则x的值为()

14

A.2B.-2D.T

3.已知圆的一条直径的端点分别为片(2,5),巴(4,3),则此圆的标准方程是()

A.(x+3)2+(y+4)2=8B.(x-3)2+(y-4)2=8

C.(x+3)2+(y+4)2=2D.(x-3)2+(^-4)2=2

4.己知向量4=（1,0,6），8=（1,2,0）,则A在a上的投影向量是（）

5.一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，〃个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个

球.若取出的2个球都是红球的概率为1,则〃的值为（）

3

A4B.5C.12D.15

6.已知直线4：工+2”-1=0与/2：（3。-1）1一砂一1=0平行，则实数。的值为（）

A.-B.gC.0或二D.;或1

6/6/

22

7.过点M（2,l）作斜率为1的直线，交双曲线与—£=1（a>0*>0）于4,B两点，点M为AB的中点，

则该双曲线的离心率为（）

A.理B.也C.—D.72

22

8.在两条异面直线“，匕上分别取点E和点A,凡使A&_La,且A&_L乩已知=2,AF=3,

EF=5,AA,=V6,则两条异面直线”，人所成的角为（）

兀兀2兀5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分.有选错的得0分.部分选对的得2分.

9.对于一个古典概型的样本空间Q和事件A,B,其中〃（。）=18,〃（A）=9,〃（B）=6,〃（Au3）=12

则（）

A.事件A与事件B互斥B.=|

C.事件A与事件后相互独立D.

''6

X2y2

10.已知曲线C方程为^^+±二1,则C可能是（）

25-k9+k

A.半径为J万的圆

B.焦点在i上椭圆，且长轴长为后二I

C.等轴双曲线

D.焦点在y上的双曲线，且焦总）为2、/2）一16

11.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点/到准线的距离为4,直线/过点尸且与抛物线交于A、8两点,

若加（根,2）是线段AB的中点，则（）

A.m=lB.〃=4C.直线/的方程为y=2x-4D.|AB|=5

12.如图，已知正方体ABCD-A耳GR棱长为2,点M为CG的中点，点P为底面A4G。上的动点,

A.满足MP//平面的点P的轨迹长度为3

满足BPLAM的点P的轨迹长度为立

B.

2

C.存在点尸满足Q4+PM=4

D.以点8为球心，立为半径的球面与面44C的交线长为平兀

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.从长度为4,6,8,10的4条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为.

,2、2,、|MN|r-

14.已知圆+（y一6）=广（厂＞0），若圆。与y轴交于M,N两点，且画。广43,则r=

15.已知F是双曲线C：0一三=1（。＞0）的右焦点，尸是C的左支上一动点，A（0,2V3）,若,APF

周长的最小值为io,则c的渐近线方程为.

16.圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个集点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另

一个焦点.如图，胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜.它的形状是旋转椭圆.为了使影片门（电影胶片通过

的地方）处获得最强的光线，灯丝入，与影片门片应位于椭圆的两个焦点处.已知椭圆C：三+二=1,

43

椭圆的左右焦点分别为K,F2，一束光线从工发出，射向椭圆位于第一象限上的。点后反射光线经过点A，

4

且tanN4尸£=§,则ZFtPF2的角平分线所在直线方程为_________.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17._ABC的三个顶点分别为A（l,2）,B（3,0）,C（4,5）,M是AB的中点.

（1）求边AB上的中线CM所在直线的方程；

⑵求L3cM的面积.

18.每年的11月9日是我国的全国消防日.119为我国规定的统一火灾报警电话，但119台不仅仅是一部电

话，也是一套先进的通讯系统.它可以同中国国土上任何一个地方互通重大灾害情报，还可以通过卫星调集

防灾救援力量，向消防最高指挥提供火情信息.佛山某中学为了加强学生的消防安全意识，防范安全风险，

特在11月9日组织消防安全系列活动.甲、乙两人组队参加消防安全知识竞答活动，每轮竞答活动由甲、乙

各答一题.在每轮竞答中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲每轮答对的概率为乙

每轮答对的概率为P,且甲、乙两人在两轮竞答活动中答对3题的概率为2.

12

⑴求P值：

（2）求甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题的概率.

19.已知椭圆C：m+/=i（a>b>o）,四点片（一1,1）,鸟（0,6）,《［1，一［）中恰有三

点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）若斜率存在且不为0的直线/经过C的右焦点凡且与C交于A、B两点，设A关于x轴的对称点为。，

证明：直线过x轴上的定点.

20.在已知数列｛%｝中,q=2,%+|=2an-1.

(I)若数列｛4-/｝是等比数列，求常数r和数列｛%｝的通项公式；

⑵若bn=2(%—1)+(―1)”•〃，求数列也｝的前2/7+1项的和s2n+i.

21.党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国960万平方千米的大地之下拥有超过35(XX)座，总长

接近赤道长度的隧道(约37000千米).这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”

；或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的

出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，

路宽为16米，洞门最高处距路面4米.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆弧AB的方程.

(2)为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了2米宽的隔墙.某货车装

满货物后整体呈长方体状，宽2米，高3.6米，则此货车能否通过该洞门?并说明理由.

22.已知过原点的动直线4与圆C：/+丁一8》+12=0相交于不同的两点A,B.

(1)求线段AB的中点M的轨迹「的方程；

(2)若直线4：丁=履上存在点尸，使得以点尸为圆心，2为半径圆与「有公共点，求上的取值范围.

2022-2023学年上学期佛山市普通高中教学质量检测

高一数学

2023年1月

本试卷共4页，22小题.满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目后面的答

案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试

卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指

定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不

准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.如图，直线/的倾斜角为（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据倾斜角的定义分析运算.

IT37r

【详解】由题意可知：直线/的倾斜角为一的补角，即为一.

44

故选：C.

2.已知向量a=(4,-2,3),6=(1,5,x),满足“工人，则》的值为()

1414

A.2B.-2C.一D.---

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用空间向量垂直的公式计算即可.

【详解】"_L〃，a=(4,-2,3),b=(l,5,x)

.,.4xl+(-2)x5+3x=0,

解得x=2

故选:A.

3.已知圆的一条直径的端点分别为片(2,5),4(4,3),则此圆的标准方程是()

A.(x+3)2+(y+4)2=8B.(%-3)2+(y-4)2=8

C.(x+3)?+(y+4)2=2D.(x-3『+(y-4=2

【答案】D

【解析】

【分析】求出圆心坐标以及圆的半径，即可得出该圆的标准方程.

【详解】由题意可知，圆心为线段68的中点，则圆心为C(3,4),

圆半径为|C用=J(2—3y+(5—4)2=0,

故所求圆的方程为(x—3)2+(y—4/=2.

故选：D.

4.已知向量4=(1,0,6),8=(1,2,0),则6在a上的投影向量是()

【答案】C

【解析】

【分析】根据投影向量的概念结合空间向量的坐标运算求解.

【详解】由题意可得：=1x1+0x2+73x0=1,a=^12+02+(^)2=2-

a-ba1rI1百'

故0在a上的投影向量为一［蓑=7。=14，°，彳.

故选：C.

5.一个袋子中装有形状大小完全相同6个红球，"个绿球，现采用不放回的方式从中依次

随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为！，则〃的值为（）

3

A.4B,5C.12D.15

【答案】A

【解析】

【分析】利用古典概型概率计算公式列出方程，能求出〃的值.

【详解】一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有6个红球，〃个绿球，

从袋中不放回地依次随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率是,，

3

6x5_1

则（6+”）（5+〃）3,

解得〃=4（负值舍去）.

故选：A.

6.已知直线4：x+2ay—l=O与/2：（3a—l）x-@一1=0平行，则实数。的值为（）

1111,、

A.-B.—C.0或/D.孑或1

6/6/

【答案】C

【解析】

【分析】利用两直线平行可得出关于实数。的等式与不等式，解之即可.

2〃（3〃-1）=一。1

【详解】由已知可得〈I），解得。=0或一.

故选：C.

22

7.过点M（2,l）作斜率为1的直线，交双曲线二—二=1（。＞0,。＞。）于A,8两点，点

cTb

M为A8的中点，则该双曲线的离心率为（）

A瓶B.73C.—D.V2

22

【答案】B

【解析】

【分析】设点4（%,凹）,3（七,%），代入双曲线方程后做差，整理，可得关系，再利用

c2="+〃消去h即可求得离心率.

【详解】设点）,8（占,%），

1_2

,两式做差后整理得万工•"&=与,

I%,—x2%]+x2b~

-----=1,再+无2=4,y+%=2,

司一工2

Q2

.•.士=二，又02=储+/,

4b2

1a2

2~c2-a2

得£=也

a

故选：B

8.在两条异面直线上分别取点4,E和点A,凡使A4,，且A4,，/?.已知4七=2,

A尸=3,EF=5,A4,=46,则两条异面直线”，〃所成的角为（）

7in2兀5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】B

【解析】

【分析】设两条异面直线”，人所成的角为将等式所=马+44+4/两

边同时平方计算可得答案.

【详解】如图，设两条异面直线。，。所成的角为

AAtla,A4,lb,AE=2,AF=3,EF=5,例=#，

/.EF=EAi+AA+AF,

:端jo・2・2・2.•一・・••

则EF=（EAi+A,A+AFY=EAl+^A+AF+2%•44+2马.AF+2AA•AF

.-.52=22+（V6）2+32±2X2X3COS^,

得COSe='或cos0=--（舍去）

22

:.0=-

3

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分.有选错的得0分.部分选对的得2分.

9.对于一个古典概型的样本空间。和事件A,8,其中〃（。）=18,〃（A）=9,〃（3）=6,

〃（4°3）=12则（）

A.事件A与事件B互斥B.=-

C.事件A与事件豆相互独立D.P（AB\=-

【答案】BC

【解析】

【分析】根据古典概型结合概率的性质以及事件的独立性分析判断.

【详解】由题意可得："储）=霜=/「⑻;喘V，则p（力）=1—p（B）=g,

•.•〃（AuB）="（A）+"（B）—〃（砌，

〃（AB）=〃（A）+〃（5）—〃（AUJB）=3W0,即事件A与事件8不互斥，A错误；

可得：=〃（C）—〃（A）+〃（AB）=12,

故

「（砌=嚅=/（a8）=嗡叽.（碉=i（"B）="网=1"（啊='

可知B正确，D错误；

又（戏）=P（A）P⑻，

•••事件A与事件后相互独立，C正确;

故选：BC.

io.已知曲线c的方程为——+工=1,则c可能是（）

25—k9+k

A.半径为J厅的圆

B.焦点在x上的椭圆，且长轴长为后二I

C.等轴双曲线

D.焦点在y上的双曲线，且焦距为2J2&-16

【答案】AD

【解析】

【分析】根据曲线的形状求出参数的值或取值范围，再结合各曲线的几何性质逐项判断，可

得出合适的选项.

'25-k=9+k

【详解】对于A选项，若曲线。为圆，则,八，解得后=8,

25-%>0

此时，曲线。的方程为/+9=17,该圆的半径为J万，A对；

25-k>9+k

对于B选项，若曲线。表示焦点在X轴上的椭圆，则,八，解得—9<%<8,

9+^>0

此时，椭圆。的长轴长为2后二I，B错；

对于C选项，若曲线C为等轴双曲线，则25-左+9+z=0,无解，C错；

[9+k>0

对于D选项，若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，贝叫c,八，解得Z>25,

25-女<0

此时，双曲线C的焦距为2J9+1+9—25=242%—16，D对.

故选：AD.

11.已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点/到准线的距离为4,直线/过点厂且与抛物线交

于A、B两点，若M（根,2）是线段AB的中点，则（）

A.m=\B.，=4C.直线/的方程为y=2x-4D.

|AB|=5

【答案】BC

【解析】

【分析】根据抛物线的儿何性质可判断B；利用点差法求解得直线斜率，从而可判断C；由

点”（根,2）在直线/上可求得胆，可判断A；利用弦长公式可判断D.

【详解】由题知，。=4,故抛物线方程为y2=8x.

设4（3,x）,B（x2,y2）,易知石H,则

y：=8王由点差法可得y.也-y一,=---«---

yl=8乙玉一々,+%

又〃(根,2)是线段48中点，所以x+%=4,所以直线/的斜率无资=2

因为直线/过焦点/(2,0),所以/的方程为丁一0=2。-2),即y=2x—4

对于A：将M(m,2)代入y=2x—4可得加=3,A错误；

对于B：B正确；

对于C：C正确；

对于D：将y=2x-4代入y2=8》得％2一61+4=0，所以斗+工2=6,所以

|AB|=x,+W+〃=6+4=10,故D错误.

故选：BC

12.如图，已知正方体ABC。一A耳GR棱长为2,点M为CG的中点，点尸为底面

上的动点，贝M)

A.满足MP//平面BOA的点P的轨迹长度为血

B.满足BP,AM的点尸的轨迹长度为巫

2

C.存在点尸满足Q4+PM=4

D.以点B为球心，夜为半径的球面与面AB。的交线长为半兀

【答案】AD

【解析】

【分析】对选项A,利用面面平行的性质证明线面平面，进而求出轨迹长度；

对选项B,建立空间直角坐标系，利用向量垂直求出点P轨迹，进而求出轨迹长度；

对选项C,建立空间直角坐标系，利用距离公式求出点尸轨迹满足的方程，再结合二次方程

的判别式，进而判断不存在这样的点P;

对选项D,利用等体积法求出球心点8到面做C的距离，进而求出交线长度；

AZ

分别取G2,与G的中点为瓦F，连接EF,MF,ME.

可得：MFH'D,ME//A.B.

又有：MFME=M.

可得：平面/平面

故满足MPII平面BD4)的点P的轨迹长度为|£/|=72,故答案A正确；

建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz

可得:D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),°(0,0,2),A(2,0,2),(2,2,2),

G(0,2,2),A/(0,2,1).

设尸(x,y,2),可得：A力=(—2,2,1)，B^=(x—2,y—2,2)，力=(x—2,y,2)，

MP=(x,y-2,iy

—>—>

由8P_LAM，可得：AM-8P=2(y—x+l)=0・

分别取AA，A片的中点为G,H,点p满足2(y-x+l)=0方程，说明点尸在平面

A4G2内的轨迹为一条线段G”,则满足6尸，A〃的点P的轨迹长度为|G〃|=J5,

故答案B错误.

要使E4+PM=4，只需：PM+PA=4.

可得：^x-2)2+y2+4+^x2+(y-2)2+l=4(0<%<2,0<y<2).

化简可得：48x2+32Ay-104x+48y2-152^+151=0(0<%<2,0<y<2).

则：△=—256(32y2—88y+71)<0,即当0<y<2时，△<().显然该方程无解，

故不存在这样的点P,故答案C错误.

V4B|C为正三角形，设点B到平面ABC的距离为“，点⑸平面ABC的距离为2.

由等体积法，可得：%一AfftC=V%一ABC•

可得：-X—x（2\/2）2x—d=-x—x23,4即d=

321,2323

故以点B为球心，、历为半径的球面与面A4c的交线长为：2xJ（&y_427t=半兀

故答案D正确.

故选：AD

【点睛】（1）与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，

明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图；

（2）用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空

间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比；

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.从长度为4,6,8,10的4条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率

为.

3

【答案】一##0.75

4

【解析】

【分析】利用古典模型概率即可求解.

【详解】由题可得，取出的三条线段长度的可能性有：

（4,6,8）,（4,6,10）,（4,8,10）,（6,8,10）,其

中能构成三角形的有（4,6,8）,（4,8/0）,（6,8,10）,

3

这三条线段能构成一个三角形的概率为二，

4

3

故答案为：-

4

14.已知圆C：（x—以+仆―域=/上＞0）,若圆c与y轴交于两点，且黑^=6,

则厂=

【答案】2

【解析】

【分析】首先通过图=6的关系，得|网=6r，然后根据圆的垂径定理构造关于「

的方程，解方程即可求出半径

【详解】由题意知C:（x—Ip+Q—与2=/&>0）的圆心。（［⑼，半径为广,

圆心到y轴的距离为1,

|W|

因为圆C与y轴交于M,N两点，且5

|MC|=r(r>0),所以卜Gr,

由垂径定理得，产=『+

3

即产;干+一，，解得厂=2.

4

故答案为：2.

22

15.已知产是双曲线C：♦一匕=1何>0）的右焦点，P是。的左支上一动点，

矿3

A（0,26）,若AP尸周长的最小值为10,则C的渐近线方程为.

【答案】y=±y/3x

【解析】

【分析】设出厂'（一。,0）,运用双曲线的定义可得归百一|尸产'|=2a,则_A/>尸的周长为

\PA\+\PF\+\AF\^\PA\+\PF'\+2a+^\2+c2>运用三点共线取得最小值，可得

〃力,。的关系，进而可得渐近线方程.

【详解】由题意可得A（0,26）,尸（c,0）,设F（-c,0）,

由双曲线的定义可得|"|一归尸［=2a,

\PF\^2a+\PF'\,

则.APR的周长为

\PA\+\PF\+\AF\=\PA\+\PF'\+2a+V12+c2>|AF'\+2a+yj\2+c2，

当且仅当AP,9共线时，取得最小值，且为2a+2J12+C?,

由题意可得2。+2712+?=10-即2a+2J12+/+3=10

解得4=1，

则渐近线方程为y=±-x=土也x

a

故答案为：y—±V3x.

16.圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个集点发出的光线，经过椭圆反射后，反射

光线过椭圆的另一个焦点.如图，胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜.它的形状是旋转椭

圆.为了使影片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝吊，与影片门可应位于椭

22

圆的两个焦点处.已知椭圆C：二+上=1,椭圆的左右焦点分别为耳，工，一束光线从尸2

43

4

发出，射向椭圆位于第一象限上的P点后反射光线经过点耳，且tan/片桃=§,则/大尸K

【解析】

【分析】先利用同角三角函数基本关系求出cosN^PE，再在../我/居中利用余弦定理及

椭圆的定义求出夕耳，夕工，进而得到耳心「为直角三角形，利用,.耳心P中角的关系可求

出tan/PQK，再通过％=1求出2点坐标，则直线方程可求.

【详解】如图，设的角平分线与x轴交于点。,

SinZFPF22

tanZFtPF2='^=-,sinZf；PF,+cos/耳PF,=l,Nf；P尸e（0,兀）,

cosZF]PF23

3

:.cosN/=；P工=j

设P片=加,Pg=〃，

,lclm2+n2-223m=-

,cosZF,PF、=---------------=一，，2

则，~2mn5，解得，

m+n-4n--

1I2

25

：.PF；=—=PF^+F2F^,即，/8P为直角三角形

,ZEPR3ZFP/S2,ZF.PF,1

・2

又cosZFlPF2=2COS-^-^--1=-,cos-=sin—\^-=—==

（四一鸟］=

COSZPQF2=cosNQPsinNQP6=；,cosZPQF2G（0,7i）

<2）y/5

2，/s—CLsinZ.PQF-,,

sinNPQF,=，tanZPQF2=-----„=2

上25cosZPQF2

当x=l时，；+g=l,得>=±5,；.

3

’2:y—万=2（无一1）,BP4x-2y-l=0

故答案为：4x-2y-l=0

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.一ABC的三个顶点分别为A(l,2),3(3,0),C(4,5),M是AB的中点.

(1)求边AB上的中线CM所在直线的方程；

⑵求二3cM的面积.

【答案】(l)2x_y_3=0

(2)3

【解析】

【分析】(1)根据中点坐标公式结合直线的两点式方程运算求解；

(2)根据点到直线距离公式和两点距离公式运算求解.

【小问1详解】

由题意可知：A8的中点M为(2,1),

则边A8上的中线CM所在直线的方程为二=二二2,即2x-y-3=0.

5-14-2

【小问2详解】

由⑴可得：1cMi='(4-2)2+(5-1)2=2行，且点B(3,0)到直线CM的距离

|6-0-3|3^5

-丁

故.BCA7的面积S=g|CA7|xd=；x2有*¥=3.

18.每年的11月9日是我国的全国消防日.119为我国规定的统一火灾报警电话，但119台不

仅仅是一部电话，也是一套先进的通讯系统.它可以同中国国土上任何一个地方互通重大灾

害情报，还可以通过卫星调集防灾救援力量，向消防最高指挥提供火情信息.佛山某中学为

了加强学生的消防安全意识，防范安全风险，特在11月9日组织消防安全系列活动.甲、乙

两人组队参加消防安全知识竞答活动，每轮竞答活动由甲、乙各答一题.在每轮竞答中，甲

和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲每轮答对的概率为：，乙每轮答对的

概率为。，且甲、乙两人在两轮竞答活动中答对3题的概率为

12

(1)求P的值；

(2)求甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题的概率.

【答案】⑴巳3

4

31

⑵一

96

【解析】

【分析】(1)利用相互独立事件概率的乘法公式列方程求解；

(2)分甲有两题没有答对，乙有两题没有答对，甲乙各有一题没有答对三种情况，利用相互

独立事件的概率以及独立重复事件的概率的乘法公式求出概率.

【小问1详解】

设事件A="甲第一轮猜对"，事件8="乙第一轮猜对“，事件C="甲第二轮猜对“，事件

。="乙第二轮猜对,

，甲、乙两人在两轮竞答活动中答对3题的概率为

P(ABCD+ABCD+ABCD+ABCD)

=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(QP(D)+P(A)P(B)P(C)P(方)

「1222-]5

=2—xpx—xn+—x(l-p)x—xn=——

_333'73J12

解得〃=一3或p=5=(舍去)

44

【小问2详解】

三轮竞答活动中甲乙一共答6题，甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题，即总共有2题没

有答对，

可能甲有两题没有答对，可能乙有两题没有答对，可能甲乙各有一题没有答对.

甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题的概率

2

、3xC；x2x(\131

P21|+C；X2TX-xC?x’3丫X—=——

5+]97-3133,3-496

22.

19.已知椭圆C：0+今=1（。>0>0）,四点片（一1,1）,£（0,6）,片

1’22丁

B中恰有三点在椭圆c上.

⑴求C的方程；

（2）若斜率存在且不为0的直线/经过C的右焦点凡且与C交于A、B两点,设4关于x轴

的对称点为。，证明：直线8。过x轴上的定点.

22

【答案】（1）土+二=1

43

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据对称性得到椭圆上的点，再将点代入椭圆方程求解即可.

（2）设直线/：x="+l,徐0,4（不乂）,3（々，%），则。a，f），将直线方程和椭圆方

程联立，利用韦达定理计算直线80与x轴的焦点坐标即可.

【小问1详解】

根据椭圆对称性，点A4（1,一|）必在椭圆上，

则片（-1,1）不在椭圆上，以0,网在椭圆上,

L2=Ia=2

•>a24b2-，解得<

h=V3

b=g

2

所以。的方程为f二+±v=1

43

小问2详解】

由（1）得右焦点厂（1,0），

设直线/：x=<y+l,rwO,A（X），^）,5（x,,y2）,贝|」。（士,-%）

'，2

土+匕=]

联立J43一，消去]得（3/+4）丁+6）-9=0,

x=ty+i

6t9

则rlI…=一仃川=一仃

又直线8。：y="^口一％）+%,

%一百

令y=0得x=+x,=一）'2（:一-）+（），2+X）£=）科+）代

%+乂2%+x%+x

“―一一）

又%。+XW=.V2（》+1）+X（T2+1）=25％+]=I3f2+4）+]=4

%+M%+X%+,6t

3『+4

即y=0日寸，x=4,

直线B。过x轴上的定点（4,0）.

20.在已知数列｛4｝中，卬=2,an+l=2an-1.

（1）若数列｛凡-/｝是等比数列，求常数1和数列｛q｝的通项公式；

n

⑵若bn=2（a„-l）+（-l）.n,求数列｛2｝的前2/1+1项的和S2n+1.

【答案】（1”=1,a,,=2,,-1+1

⑵S2N=22"2-〃一3

【解析】

【分析】⑴由4+1=2%-1,化简得到%—1=2（4-1）,得出｛。“一1｝时首项为1,公比

为2的等比数列，求得f=1,进而求得数列的通项公式;

⑵由⑴得到a=2"+(-1)"-〃，结合等比数列的求和公式和并项求和法，即可求解.

【小问1详解】

由题意，数列｛4｝满足=24-1,所以。e一1=2(4-1),

又由4=2,可得4—1=1,

所以数列｛4—1｝时首项为1，公比为4=2的等比数列，

又因为数列｛。“一/｝是等比数列，所以，=1,

可得。“一1=1.2"T=2"T,

所以数列｛a“｝的通项公式为a“=2"T+1.

【小问2详解】

由⑴知：a“=2"T+l,可得d=2(4-1)+(-1)"-〃=2"+(-1)"〃

所以数列｛勿｝的前2〃项的和为：

2

S2n=(2+2++2?")—1+2-3+4+一(2〃-1)+2〃

24—22”)

-----^+(-1+2)+(-3+4)++[-(2n-l)+2n]

1—2

2-(1-22")一o“.

1-2

2n+12n+2n+2

所以52,川=S2n+瓦用=2+7?-2+2'-(2n+l)=2-n-3.

21.党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国960万平方千米的大地之下拥有超过

35(X)O座，总长接近赤道长度的隧道(约37(XX)千米).这些隧道样式多种多样，它们或傍山

而过，上方构筑顶棚形成“明洞”