湖南省益阳市桃江县2022-2023学年高二年级下册期末数学试题（解析版）

2022—2023学年度高二第二学期期末考试

数学试题

（时量：120分钟，满分：150分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1,设全集U=R,集合A={止2c<4},8={2,3,4,5},则色A），8（）

A.{2}B,{2,3}C.{4,5}D.{5}

【答案】C

【解析】

【分析】根据条件，利用集合的交并补运算即可求出结果.

【详解】因为A={x|—2<x<4},所以MA={x|x«-2,或xi4},

又3={2,3,4,5},所以（6°A）6={4,5}.

故选：C

2

2.复数工不一行（。€1<）对应的点位于直线y=2x+l上，则。的值为（）

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的除法法则及几何意义，得到对应点为（1，-1-幻，再根据条件即可求出结果.

【详解】因为二-一ai=@二D-ai=l—（l+a）i,对应点为（1,-1-a）,

1+i2

由题知，一1—a=2+l,解得a=T.

故选：B.

3.设xeR,贝I」“x>l”是“工<1”的（）

x

A,充分不必要条件B,必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式得到x>l或x<0,根据范围的大小关系得到答案.

II-V1

【详解】一<1,即一-<0,故X>1或x<0,故“X>1”是“一<1”的充分不必要条件.

XXX

故选：A

4.下列说法正确的是（）

A.数据1,3,3,5,5,5,7,9,1180百分位数为7

B.样本数据的相关系数「越大，成对数据的相关程度也越强

C.随机变量乂则方差£>（2X+1）=7

D.随机变量X~N（2,『），则当。变化时，P（1<X<2）+P（X>3）为定值

【答案】D

【解析】

【分析】计算出百分位数判断A,根据相关系数的性质判断B,由二项分布的方差公式及随机变量方差的

性质计算后判断C,由正态分布的对称性判断D.

QH

【详解】选项A,由于9x/历=7.2,已知数据是从小到大顺序排列的，第8个数是9,因此80百分位

数为9,A错：

选项B,样本数据的相关系数r的绝对值越大，成对数据的相关程度也越强，例如r=-0.8的数据比

r=0.2的数据的相关程度强，B错；

选项C,X-8,-|,则。（X）=8X3X,=3,O（2X+1）=4O（X）=6,C错；

【4）442

选项D,X~N（2,（T2）,则

P（l<X<2）+P（X>3）=P（2<X<3）+P（X>3）=P（X>2）=0.5,为定值，D正确.

故选：D.

5.已知向量a,。满足同=1,忖=2,卜+0=2,则下列结论正确的是（）

A.a-b=-2B.a//（a+2h^

C.a与人的夹角为与D.|a-^|=V6

【答案】D

【解析】

【分析】根据条件，逐一对各个选项分析判断即可得出结果.

【详解】因为W+力|=2,所以同2+2夕/?+好=4,又同=[,忖=2,

所以一'

a/=1±=-2=_1,故选项A和C错误;

2|州24

选项C,假设+2"）,则Q+2/7=4〃，即2b=（%-1）。，因为。出不共线且不为零向量，故选项

C错误;

又由卜_02=|d『_24.。+1『=1_2、（_3）+4=6,所以=76,故选项D正确.

故选：D.

6.气候变暖、干旱给蝗灾的发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量y与温度工的关系可以用函数y=qe'/来

拟合（其中q,q为常数），设z=lny,得到一组数据如下表:

X2023252730

Z22.4334.6

由上表可得线性回归方程：z=0,2x+a＞则0=（）

A.-2B.e-2C.3D.e3

【答案】B

【解析】

【分析】由线性回归直线的中心点求得。，再结合已知函数可得.

〜-20+23+25+27+302-2+24+3+3+4.6、

【详解】由己知x=--------------------------=25,z—------------------------3,

55

所以3=0.2x25+a,a——2,

_?

由y=<:当时得lny=C2X+lnq,所以Inq=-2,Cj=e

故选：B.

7.若椭圆上存在点尸，使得P到椭圆两个焦点的距离之比为2:1,则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭

圆''的离心率e的取值范围是（）

*

与B.C.D.

741

【答案】C

【解析】

【分析】根据条件设出P到椭圆两个焦点的距离，再利用椭圆的定义及椭圆上的点到焦点距离的最值即

可求出结果.

【详解】由题可设点尸到椭圆两个焦点的距离之分别2加,加,

2

所以26+/篦=勿，得到”=—。，

3

211

又mNa—c,所以一aNa-c,得到故一We<l.

333

故选：C.

1

31

8a=CQS—,b-二一,c==2-eK则()

432

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.c>a>b

【答案】A

【解析】

【分析】通过构造函数/(尤)=1-5—cosx，由函数的单调性比较。力的大小，再构造函数

g(x)=e，-x-1,判断其单调性后比较b,c,的大小，从而可得结果.

【详解】构造/(x)=1—5-cosx,则/'(x)=-x+sinx,

令h(x)=f\x)=-x+sinx,则"(x)=-1+cosx<0,

所以〃(x)在(0,上递减，

所以/i(x)<〃(0)=0,所以/'(x)<0,

所以/5)在(0,3上递减，

所以y(x)</(o)=o,所以

1

31<O311,

所以----cos4-R即n—<cos—，r斯ri,以4>人,

32324

令g(x)=e*-(XG(0,+OO)),则g'(x)=e"-l>0,

所以g(x)=e"-X-1在(0,+8)上递增,

所以g(x)>g(O)=O,所以e*>x+l，

所以2-e*<l-x.

-L-L131

所以2—e3i<2—e32即b>c

3232

故a>b>c.

故选：A

【点睛】关键点点睛：此题考查比较大小，考查导数的应用，解题的关键是构造函数，通过判断函数的

单调性，利用函数的单调性比较大小即可，考查数学转化思想，属于较难题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.在三棱锥A-38中，已知A3人平面BCD，8=1，根据下列各组中测得的数据，能计算出AB

长度的是（）

A.NACB,/BCD,NCBDB.NACB,ZACD,NADC

C.ZACB,ZBCD,/ACDD.NADB,ZACB,NCBD

【答案】ABD

【解析】

【分析】结合所给条件，利用正弦定理、余弦定理及锐角三角函数判断即可.

【详解】对于A：在△88中由8=1,/BCD,NCBD,利用正弦定理即可求出,

再在Rtz^ABC中由NACB,BC,利用锐角三角函数求出A3,故A正确；

对于B：在ACD中由CO=1,ZACD,ZADC,利用正弦定理即可求出AC,

再在中由NACB,AC,利用锐角三角函数求出AB,故B正确；

对于C：在qACD,△BCD都只有一边一角，不能求出其它角或边，无法求解的高度，故C错误,

AB

对于D：在RtZXAfiD,中由NADB,NACB的值，可以得到6。=----------,

tanNADB

再在△88中由NCB。、8=1,利用余弦定理得到方程，解得AB,故D正确.

故选：ABD

10.已知等差数列｛为｝的首项为《,公差为"，前〃项和为s.，若S20<SI8<E9,则（）

A.4〉0B.+«]9|>|tz20+a21|

C.S38<0D.当〃=19时，s.取到最大值

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用条件S20<S|8<S|9,得到％9>0，。20<0,从而得出q>0，d<0,可判断出选项A正

确；再逐一对选项BCD分析判断即可得出结果.

【详解】因为S20<S|8<&9，所以49+。20<0<%9，得到>0，40=。19+1<0，所以

4〉0,d<0,故选项A正确；

选项B,又4]8+冈9>°，4。+。21<0，4（>+。21+《8+49=2（生。+。19）<0，所以

%+%|<|。20+%|，故选项B错误；

选项C,538=38（4；。38）=38（4]々0）<0,故选项c正确；

选项D,因为q>0,d<0,。|9>°，。20<°，所以当〃=19时，s“取到最大值，故选项D正确.

故选：ACD.

11.如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在南宋数学家杨辉1261年所著的《详

解九章算法》中就有论述.在如图所示的“杨辉三角''中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是“肩

上”两个数之和，例如第4行的6为第3行中的两个3的和.下列命题中正确的是（）

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

第〃行

A.C；+C；+C；++C；o=164

B.第2022行中，第1011个数最大

”+1

C.记“杨辉三角”第n行第i个数为%,则Z2'-1%=3"

Z=1

D.第34行中，第15个数与第16个数的比为3:4

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据二项式系数的性质，组合数的定义与性质判断.

【详解】选项A,

C；+C"C；++C；o=C；+C；+C；+C；++C；o-l=C：+C；+C；+..+C：o-l

==C,I-1=164,A正确；

选项B,第2022行的数是C%是=0,1,2,,2022）,最大的C黑是第1012个数，B错；

,+!

选项C,q=c/，21c丁=（1+2）"=3",C正确；

1=1/=1

A鲁

C】4---1弓③

选项D,第34行中，第15个数与第16个数分别是C；：和C［，奈=笔=»，＜，=；，D正确,

C34A：34-15+14

151

故选：ACD.

12.已知抛物线C：y=4/焦点为尸，动直线x+ay-a=0与曲线。交于A3两点，下列说法正

4

确的是（）

A,抛物线C的准线方程为y=

B.若点M为(3,5),则..AA中周长的最小值为11

C.若点M为(0,4),则|AM|的最小值为2G

D.设。为坐标原点，作OHLAB于点“，则“点到C的准线的距离的最大值为2

【答案】BC

【解析】

【分析】对于选项A,将抛物线方程转化成标准方程即可判断出结果的正误；对于选项B,利用抛物线的

定义，将周长转化成L=同+|4图+|47闫从而判断出结果的正误；对于选项C,直

接求出|AM|=J(y—2)2+12,进而可求出的最小值，从而判断出结果正确；对于选项D,直接

求出”的坐标，从而求出“点到C的准线的距离4=2-一二，从而判断出结果的正误.

\+a~

1,,

【详解】选项A,因为抛物线=，即f=4y,

所以准线方程为y=-l,故选项A错误；

选项B,如图，过A作准线y=-l的垂线，交准线于点G,

易知，当A在A处时取到等号，又画|=J9+16=5,|MGj=6,

所以周长的最小值为11,故选项B正确；

选项C,设A(x,y),则|AM|=Jx2+(y_4)2=Jy2_4y+16=J(y-2)?+1222石,

当A(±20,2)时取等号，故选项C正确；

选项D,易知设过。且与动直线x+ay-a=0垂直的直线方程为了=如

2

y=axaa

由，…)“。’解得片中,户育

a21

所以H点到C的准线的距离d=+1=2——二＜2，故选项D错误.

i+a21+/

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知tana=3,则cos（2a+/）=.

3

【答案】-1

【解析】

【分析】利用诱导公式以及正弦的倍角公式，将目标式化为含正切的代数式，代值即可求得结果.

【详解】由tana=3,得

仆兀、.c2sinacosa2tana63

cos2a+—=-sin2a=------------------~■=---------；—=------=——.

<2）sin-a+cos-a1+tan-a1+95

_3

故答案为：—

【点睛】本题考查用诱导公式以及倍角公式化简求值，属综合基础题.

14.将3名男同学和2名女同学全部分配到A,8,C,。，4个岗位参加志愿者工作，每个岗位至少有一人

参加工作，则男同学甲与女同学乙不去同一个岗位的分配方法数为.（用数字作答）

【答案】216

【解析】

【分析】分二步：先将5人分成4组，再分配到4民。,。4个岗位，利用分步计数原理即可求出结果.

【详解】因为男同学甲与女同学乙不去同一个岗位，故将5人分成2组，共有C；-l=10—l=9种；

所以男同学甲与女同学乙不去同一个岗位的分配方法数为9A：=9x24=216种.

故答案为：216.

15.设等比数列｛"“｝满足4|+。3=10,〃2+〃4=5,则4Q…%的最大值为.

【答案】64

【解析】

6Z1=8

a1+4=10{4(l+d)=io

【详解】试题分析：设等比数列的公比为q,由｛‘f〃得,解得I1.所以

。2+%=54式1+夕2)=5'a=一

1I-z--i-(-n----l)L__1ff~2+—7M

2

aya2/=。0+2++5T)=8"X(32=22,于是当〃=3或4时，《外。”取得最大值26=64.

考点：等比数列及其应用

16.8支步枪中有5支己校准过，3支未校准.一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8；用未

校准的枪射击时，中靶的概率为0.3.现从8支枪中任取一支用于射击，结果中靶，则所用的枪是校准

过的概率为

40

【答案】石

【解析】

【分析】根据贝叶斯公式进行求解即可.

【详解】［设於=｛使用的枪校准过｝,比=｛使用的枪未校准｝,A=｛射击时中靶｝,则尸（外）=』，尸（无）

O

_3

-9

8

P（A|Bi）=0.8,尸（A|&）=0.3・

由贝叶斯公式，得

尸（硼）P（q）__X；_40

"P（A|4）P（A）+P（A®）P（B2）08X9+03X349.

,8,8

所以，所用的枪是校准过的概率为,40，

49

40

故答案为：—

49

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.己知二ABC的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,且满足4asinB=38cosA.

(1)求cosA的值;

22

（2）若的面积S=求f的值.

2b

4

【答案】（1）cosA=-

c5

(2)-

bTT

【解析】

【分析】(1)由正弦定理化边为角，再由同角关系式计算.

(2)由面积公式得边的关系，再由余弦定理把〃用6,c表示，然后可得结论.

【小问1详解】

因为4asinB=38cosA,由正弦定理得4sinAsinB-3sinBcosA.

3

因为sin8>0,所以4sinA=3cosA,tanA=-,则A为锐角,

4

9cos2A=16sin2A=16(1-cos2A)cosA=—.

5

【小问2详解】

S=—OcsinA=—be=

2102

由余弦定理得〃=〃+c2—2bcxd,所以3八b~5bc

5——be--------

102

c5

化简得：5b1=1Ibe»5b=lie,所以：=一.

b11

18.设数列｛4｝的前〃项和为已知4=1,2〃/-2S“一〃，〃EN*.

(1)求证：数列｛4｝是等差数列;

⑵令瓦=-I*'求数列出｝前〃项和小

【答案】(1)证明见解析

(2)T„=—

"2"

【解析】

【分析】(D利用*,S”的关系即可证明；

(2)利用错位相减法求和.

【小问1详解】

因为2〃%-2S“=n2-n,

所以2(〃—1)a,-—25„_,=(n-l)2-(/i-l),n>2,

两式相减可得2”一2(〃-1)。“_1-2。“=2〃-2,

即-n-\,

所以。“一l,n>2,

所以数列｛凡｝是以1为首项，1为公差的等差数列,

所以=n.

【小问2详解】

2—cin2一〃

„...102—nX-K

7；=4+&++〃=下+合+，①

IT102-/ic

27；=F+2T+万丁’②

②减①可得,一;7；=-1+/+*++^r+^r>

乙乙乙乙乙乙

所以-7；,=-l+-^+-V++<+2-〃2—7?

"21222'i

(1Y'-'2-〃

uJ+亍

n

所以

19.如图，在四棱锥P—ABCD中，尸。1_底面48。。，CD//AB,AD^DC=CB=\,AB=2,

直线与平面ABC。所成的角为45°.

(1)证明：BD1.PA-

(2)求二面角。一尸3-。的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵孚

阿斤】

【分析】(1)作于点M，CN上AB于点、N,通过余弦定理角解得BO=，再通过勾股

数得BD_L4)，再利用线面垂直的性质得到3D，PD，从而得到8。上平面尸4),再利用线面垂直

的性质即可证明结果；

(2)建立空间直角坐标，利用向量法即可求出二面角的大小.

【小问I详解】

作。于点M,CNLAB干点、N,

因为AD=OC=C3=1,AB=2，则M/V=CD=1,AM=BN=-,

2

所以COS/D48=L,又NA48G(0,7I),所以NDW=60°,

2

由余弦定理可知忸球=\ADf+\ABf-2\AD\-\AB\cosZDAB=\+4-2xlx2x-=3,得到

BD=也，所以4£>2+3。2=AB2,

所以BDJ_AZ>，又PZ)J_底面A8CD，BDu面ABCQ,

所以BD上PD，又AOIPD=D,AZ),/V)u面PAO，所以BDJ,平面？AD，

以。点为原点，D4为x轴，为y轴，DP为z轴，建立如图坐标系

因为PD_L平面ABCO,所以P8与平面ABCO所成的角就是NPBD

所以NPBD=45°,△尸为等腰直角三角形，所以尸。=6

p(o,o,G),B(O,V3,O),c—；，乎，0，^=(0,73,-73),PC=

I22)I22>

岛-&=0

,、nPB=0

设平面BBC的法向量”=(x,y,z),则则由《，得至叼——x+-^-y—^f3z—0

-n-PC=0

22-

取x=6,y=z=-l,得〃=(6,-L一1),

又易知，平面OP8的一个法向量机=(1,0,0),

]_7

412

1711

期望EC）=lX1+Ox丘+（_l）xq=仃.

【小问2详解】

设事件A：至少有一局为乙赢，事件B：甲的得分之和为正，

I12591

由（1）知，一局为乙赢的概率.=一，则尸（4）=1一（1一〃）3=1----=——，一局为甲赢的概率为

216216

4

甲的得分之和为正的事件有4种情况：甲三局都赢；甲赢两局平一局；甲赢两局输一局；甲赢一局平两

局，

事件A,8同时发生，即甲赢两局输一局的事件发生，因此P（A8）=C；X（L）2X'=-!-,

27

所以P（例A）=P(A8)32

P(A)91364

216

（1）求双曲线C的方程；

（2）设过点（0,2）的直线/与曲线C交于两点，问在y轴上是否存在定点尸，使得PM-PN为常

数？若存在，求出点P的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由.

2

【答案】（1）》2-21=1；

（2）答案见解析.

【解析】

【分析】（1）根据已知可求出6=2,。=1,即可求出双曲线的方程；

（2）设以和必），P（0,〃?）.设出直线方程，与双曲线方程联立得到

92-4）/+4米+8=0,根据韦达定理求出，,用点的坐标表示出PM.PN，整理

吧螃8+16/72

得到PM-PN=K——+m2+4,因为该式为常数，所以有8+16/72=0,求出〃?=-[,代入即可求

出常数.

【小问1详解】

由已知可得，双曲线的渐近线方程为y=±'x,双曲线焦点6（-c,0）,E（c,O）.

则月（c,0）到渐近线了=—x,即加-磔=0的距离为普—二人，所以。=2,

ayja2+b2

h

又渐近线斜率为2,即一二2,所以々=1,

a

2

所以双曲线。的方程为2L=i.

4

【小问2详解】

由已知可得，直线/的斜率存在，设斜率为左,则/：y=丘+2.

2

2—匕=]

联立直线/的方程与双曲线的方程{4~可得，（公—4）/+46+8=0,

y=kx+2

设M（5，X）,N（x2,y2）,P（O,/n）.

当公一4=0,即左=±2时，此时直线/与双曲线的渐近线平行，不满足题意，所以女2一4b0，

攵。±2.

△=（4Z『一4x（左2_4）x8=-16（攵2—8）＞0,解得一20〈左＜20，且左W±2.

（4k

—记工

由韦达定理可得，\°"，且x=%+2,%=如+2.

O

X,X=----

I127k2-4

UUL1UUU1

又PM2）,PN=（x2,y2-m），

则PM./w=（%,y—加）•（乙，%一W=玉&+yiy2一皿y+%）+＞，

2

因为X+%=依+2+依2+2=%（玉+%2）+4，y]y2=（%+2）（Ax2+2）=kx}x2+2k+9）+4,

2

所以PM-PN=A）X2+左句%2+2%（玉+x2）+4-mZ:（xl+x2）-4m4-m

=（42+1）%]%2+（2左一相&）（x4-）4-m2-4m+4

=（〃2+l）p^+（2”一机”）（—+加2一4加+4=8^16^+ffl2+4.

QI]6相

要使PM-PN为常数，则与2-,+，/+4应与k无关，

k--4

117

即应有8+16帆=0,解得加=-；,此时PM-PN=一是个常数，这样的点尸存在.

24

所以，在y轴上存在定点P的坐标为（0,一；）,使得PM.PN为常数.

22.已知函数/