2024届高考数学专项练习：三角函数的范围与最值（解析版）

2024届高考数学专项三角函数的范围与最值（解析

版）

微专题三角函数的范围与最值

【秒杀总结】

一、三角函数/（⑼=Asin（（jox+0）中口的大小及取值范围

L任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即k-^-[kGZ）;

2.任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即GZ）;

1TT

3.任意对称轴与对称中心之间的距离为十周期加半周期的整数倍，即亍+k^-（keZ）;

4./（%）=Asin（cox+p）在区间（Q,b）内单调nb—Q&音且k兀—（p^：ba）+（p^kn+GZ）

5J（力）=Asin（cox+p）在区间（a,b）内不单调=（Q,b）内至少有一条对称轴，+w4k兀+彳■<励+8

（fcGZ）

T

6./（rr）=Asin（cox+p）在区间（Q,b）内没有零点=>b—04万-且"兀4。0+04尻）+0&（/｛；+1）兀（卜EZ）

(k—l)7t^au)+(p<kn

7.f3）=Asin（o）x+p）在区间（a,b）内有几个零点二>

(k+n—l)7rVbs+04(k+n)K

、三角形范围与最值问题

1.坐标法:把动点转为为轨迹方程

2.几何法

3.引入角度,将边转化为角的关系

4.最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法.要根据

已知条件灵活选择方法求解.

【典型例题】

例1.（2023-全国•高三专题练习）在△4BC中，cos/=l，/\ABC的内切圆的面积为16兀,则边长度

Zu

的最小值为（）

A.16B.24C.25D.36

例2.（2023-全国•高三专题练习）已知函数/⑸=sin3c+?）,其中⑷>0,向《多一日为f（力的零点：

且/（力《|（£）卜恒成立，/（力在（—佥，壶）区间上有最小值无最大值，则0的最大值是（）

A.11B.13C.15D.17

例3.（2023•高一课时练习）如图，直角&4BC的斜边长为2,NC=30°,且点8。分别在力轴，沙轴正

半轴上滑动，点4在线段BC的右上方.设方=xOB+yOC,（x,yeR）,记M=3乙OC,N=x+

y,分别考查河,N的所有运算结果，则

A.M有最小值，N有最大值

B.M有最大值，N有最小值

C.”有最大值，N有最大值

D.M有最小值，N有最小值

例4.（2023・全国•商三专题练习）已知函数/（3=asinx+bcosx+cs图象上存在两条互相垂直的切线,

且标+62=1,则a+b+c的最大值为（）

A.2V3B.2V2C.V3D.V2

（N—2）ln（x+］）,—1x771

例5.（2023•全国•高三专题练习）已知m>0,函数/（/）=&,匹、；v'恰有3个零点,

COSyOvCI4j,TTTz2?--.TC,

则m的取值范围是（）

例6.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/⑺=cos（0力—专）（“>0）在信,5］上单调递增，且当/e

手和时，/⑺）0恒成立，则3的取值范围为（）

A.（0用U号，豹B.（0用U［8,第

C（0，等］“8,苧］D.（0,1-］U［^-,8］

例7.（2023•全国•南三专题练习）在锐角△ABC中，角A,B,。的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为

S,若sin（A+。）=口，则tanA+惭（葭的取值范围为（）

A.［竽Z）B.［竽哥C.（竽申D.［竽/

例8.（2023•上海•高三专题练习）在钝角A4BC中，a,b,c分别是△ABC的内角48,。所对的边，点G是

△4BC的重心，若/GLBG,则cos。的取值范围是（）

A.(0,C.(*1)D.［。1)

例9.（202张全国•高三专题练习）设锐角的内角ABC所对的边分别为a,b,c,若A=卷,a=瓜,

O

则〃+02+儿的取值范围为（）

A.（1,9]B.（3,9]C.（5,9]D.（7,9]

例10.（2023-上海•高三专题练习）某公园有一个湖，如图所示,湖的边界是圆心为O的圆，已知圆。的半

径为100米.为更好地服务游客,进一步提升公园亲水景观，公园拟搭建亲水木平台与亲水玻璃桥，设

计弓形MN,NF,PQ,为亲水木平台区域（四边形MNPQ是矩形，4,。分别为MN,PQ的中点，

。。=50米），亲水玻璃桥以点力为一出入口，另两出入口8,C分别在平台区域边界

上（不含端点），且设计成NBAC=£，另一段玻璃桥F—。—E满足FD〃AC,尸。=AC,ED//AB

,ED=AB.

（1）若计划在间修建一休闲长廊该长廊的长度可否设计为70米？请说明理由；（附：血七1.414

,V3«1.732）

（2）设玻璃桥造价为0.3万元/米，求亲水玻璃桥的造价的最小值.（玻璃桥总长为AB+AC+DE+

，宽度、连接处忽略不计）.

例11.(2023•全国•南三专题练习)在443。中，角4,口，C的对边分别是a,b,c,满足bsin/=

asin(Y)

(1)设a=3,c=2,过B作垂直47于点。，点E为线段BD的中点，求说•直的值；

(2)若△4BC为锐角三角形，c=2,求△ABC面积的取值范围.

【过关测试】

一、单选题

1.(2023*全国•高三专题练习)已知a,be△，设函数力(2)=COS2M力(t)=a—bcosrc,若当月(①)《加工)

对cC[m,n](m<n)恒成立时，n—馆的最大值为李，则()

A.Q>y/^2—1B.a《—1C.b>2—D.bW2—V2

2.(2023-全国•高三专题练习让ABC中，AB=2，Z.ACB=子，O是ZVIB。外接圆圆心，是正•通

+E•怎的最大值为()

A.0B.1C.3D.5

3.(2023*全国•高三专题练习)在锐角△AB。中,若V^sirM(+。。/。)=sinBsinG,且V3sinC

+cosC=2,则a+b的取值范围是()

A.(2V3,4]B.(2,2V3]C.(0,4]D.(2,4]

2sin02+

4.（2023-全国•高三专题练习）设°eR,函数=<Q1g[x}=cox.若/(%)在

q6之+4：cox+~2^V0,

（-y.f）上单调递增，且函数/⑺与g（c）的图象有三个交点，则。的取值范围是（）

A.（。由B.(¥，寮。昌雪)D-[-f>°)u[y-f1

5.（2023秋•湖南长沙•南三长邨中学校考阶段练习）已知函数/㈤=sin（。/+,）3>0）在［?兀］上

恰有3个零点，则。的取值范围是（）

A.小豹U（4岑）B.皆，4）U［争即

C•昌基U（5号）D.您5）”争婴）

6.（2023•全国三专题练习）已知函数/3）=sin（oc+£）（“>0）在区间［0,兀］上有且仅有4条对称

轴,给出下列四个结论：

①/（⑼在区间（0,兀）上有且仅有3个不同的零点；

②/（切的最小正周期可能是£；

③0的取值范围是耳■）；

@f（x）在区间（0,者）上单调递增.

其中所有正确结论的序号是（）

A.①④B.②③C.②④D.②③④

7.（2023-全国•南三专题练习）函数呼sin（ft）x>0）在［0,兀］有且仅有3个零点，则下列说法正

确的是（）

A.在（0,兀）不存在电，的使得/（电）—/（g）=2

B.函数/（力）在（0,71）仅有1个最大值点

C.函数/（乃在（0,专）上单调进增

D.实数。的取值范围是［号，号）

8.（2023•上海•方三专题练习）在448。中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin（4+C）

（明旦+等1）=需含,8=印则&+。的取值范围是（）

A.遮］B.V3］C.D.［~|~,代］

二、多选题

9.（2023秋•山东济南-高三统考期中）在△48。中，内角所对的边分别为Q,b,c,且

tan（4+B）（1—tanAtanB）=，则下列结论正确的是（）

A.A=-§-

6

B.若b—。=空0,则△ABC为直角三角形

O

C.若△力BC面积为1,则三条高乘积平方的最大值为3小

D.若。为边上一点，且4D=1,BD：OC=2c：仇则2b+c的最小值为

10.（2023秋•江苏苏州•高三苏州中学校考除段练习）已知函数/（乃=,s*2c,,则下列说法中正确的

1+2cos/

是（）

A./Q+兀）=/3）

B./Q）的最大值是噂

C./（乃在（—与，专）上单调递增

D.若函数/Q）在区间［0,a）上恰有2022个极大值点，则a的取值范围为（嘤兀，叩兀］

11.（2023-全国♦高三专题练习）在△ABC中，角力、B、。的对边分别为a、b、c,面积为S,有以下四个命

题中正确的是（）

的最大值为*

B.当a=2,sinB=2sinC时，不可能是直角三角形

C.当。=2,市113=25皿。，4=2。时，△ABC的周长为2+2四

D.当a=2,sinB=2sinC,A=2C时，若O为△ABC的内心，则AAOB的面积为乌」

12.（2023-全国•高三专题练习）在锐角'ABC中，角4,8,C所对的边分别为a,b,c,且c—b=26cosA,

则下列结论正确的有（）

A.A=2BB.6的取值范围为（0,1）

C.告的取值范围为（2⑵D./方―#才+2sinA的取值范围为（可,3）

b/tanBtanAV3）

三、填空题

13.（2023・全国•商三专题练习）已知函数/（a;）=sin（®r+专）,0>0,若/（£）=/（胃）且/（⑼在区间

（亨普）上有最小值无最大值，则。=.

14.（2023-全国•高三专题练习）函数/⑸=3sin（皿+@乂o>0,nV*），已知|/（^-）|=3且对于任意

的/eR都有f（―+/）+/（—"g—/）=0,若/⑺在（蓊~,3^）上单调,则°的最大值为

15.（2023•全国・商三专题练习）已知函数/（力）=sin3r+w）,其中^>0,\（p\W堂,一号为f3）的零点，

且/⑺W|/（5）卜恒成立，山）在区间[-仓，壶）上有最小值无最大值，则3的最大值是一

16.（2023-全•国•高三对口高考）在△ABC中,AB=（V3cosrc,cosrc）,AC=（cosc,sinc），则△ABC面积

的最大值是_______________

17.（2023-高一课时练习）用表示函数0=sin/在闭区间/上的最大值.若正数a满足M[0,a]>

2M[a,2a],则a的最大值为.

18.（2023-上海•高三专题练习）在LABC中，角48C的对边分别为a,b,c,已知a=2,bcosC-ccosB

=4,mWCW]■，则ta"的最大值为.

19.（2023.全国・高三专题练习）在448。中，若乙氏4。=120°,点。为边及7的中点，入。=1,则回定

AC的最小值为.

20.（2023•全国•高三专题练习）△ABC中，角4B,。所对的三边分别为a,b,c,c=2b,若△ABC的面

积为1,则BC的最小值是.

21.（2023-全国•高三专题练习）已知。>0,对任意neN*,总存在实数（p,使得cos（nd+少）（彳，则。

的最小值是

22.（2023•上海・高三专题练习）已知函数/（力）=sin（06+p）,其中0>O,OV0V兀，f（x）&/（£）恒成

立，且y=f（G在区间（0,警）上恰有3个零点，则3的取值范围是.

23.（2023-全国-高三专题练习）已知锐角三角形ABC的内角幺，石，。所对的边分别是Q,b,c,且人>

8,若sin。=2cosAsinB+至,则tanB的取值范围为.

24.（2023・全国•ilj三专题练习）若函数/（力）=”/一Jsin2i+QCOS］在（一8,十8）内单调递增，则实数

OO

a的取值范围是.

25.（2023秋•湖南街用•高一衡相市八中校考期末）设函数/（①）=2sin（ft）x+夕）—1（。>0），若对于任意

实数卬,/（乃在区间［年，苧］上至少有2个零点，至多有3个零点，则。的取值范围是

26.（2023•全•国•高三专题练习）已知函数/⑺=（sin&）a;）2+-ysin2w2：—>0,CDGB），若/（2）在区间

（兀,2兀）内没有极值点，则。的取值范围是.

27.（2023秋•江苏苏州•商三苏州中学校考阶段练习）某小区有一个半径为r米,圆心角是直角的扇形区

域，现计划照图将其改造出一块矩形休闲运动场地，然后在区域1（区域ACD）,区域11（区域CBE）内

分别种上甲和乙两种花卉（如图），已知甲种花卉每平方米造价是a元，乙种花卉每平方米造价是3a

元，设乙BOC=9,中植花卉总造价记为/（夕），现某同学已正确求得：4。）=a/g"）,则江夕）=

;种植花卉总造价最小值为.X।一■、

EB

28.（2023*全■国•高三专题林习）已知函数/（①）=2sin（so:+*）+acosa）x（a>0,w>0）对任意Xi,x2GR

都有/（电）+/（g）W4v3,若/（c）在［0,兀］上的取值范围是［3,2代］,则实数。的取值范围是

29.（2023•全国•高三专题练习）已知a,b,c分别为锐角△ABC的三个内角4。的对边，若a=2,且

sin2B=sinA（sinA+sin。）,贝I」ZVIBC的周长的取值范围为.

30.（2023-全国•高三专题练习）在锐角'ABC中，=2,sinB+sinC=2sinA,则中线长的取值

范围是；

四、解答题

31.（2023*全国•高三专题练习）已知函数/（c）=2sin（2c（xr+*）+1.

（1）若了出）W/（H）W/3），E—求/⑺的对称中心；

（2）已知0＜。＜5,函数/⑺图象向右平移得个单位得到函数。⑸的图象，工=卷是g（c）的一个零

点，若函数g（①）在［m,n］（Tn,nCR且m,（n）上恰好有10个零点，求八—m■的最小值；

32.（2023•全国•模拟演测）在△ABC中，内角AB,C的对边分别为a,b,c,6sinA=acos（B—光）.

（1）求角8的大小；

（2）设点。是AC的中点，若求a+c的取值范围.

微专题三角函数的范围与最值

【秒杀总结】

一、三角函数f（w）=AEQUCOKC+0）中◎的大小及取值范围

L任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即k-^-{kGZ）；

2.任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即GZ）;

1TT

3.任意对称轴与对称中心之间的距离为今周期加半周期的整数倍，即十+k号（RGZ）;

4./（a?）=ylsin（tt）j;+?）在区间（a,b）内单调=>b—aW昔且k兀—ao）+<p^ba>+cpkn+GZ）

5./（a?）=Asin（tt）a:+@）在区间（a,b）内不单调=>（a,b）内至少有一条对称轴，ao+pWk兀+1Wbo+«

（feGZ）

6./（c）=Asin（处r+@）在区间（a,b）内没有零点=>匕一（14万且卜兀《<20+0《丽|+夕《（卜+l）7t（fc€Z）

7jQ）=?lsiii（32；+0）在区间（a,b）内有几个举点二>《八/八、（/cCZ）.

（（%+n—1）兀<bo+3&+n）7t

二、三角形范围与最值问题

1.坐标法:把动点转为为轨迹方程

2.几何法

3.引入角度,将边转化为角的关系

4.最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法.要根据

已知条件灵活选择方法求解.

【典型例题】

例1.（2023・全国•南三专题练习）在LABC中，cosA=4，/\ABC的内切圆的面积为16兀,则边8C长度

的最小值为（）

A.16B.24C.25D.36

【答案】A

【解析】因为△ABC的内切圆的面积为16兀，所以△ABC的内切圆半径为4.设△ABC内角A,B,C

79494

所对的边分别为a,b,c.因为以无>1=赤，所以5111人=贰，所以311_4=7-.因为S/^ABC—

-ybcsinA=-1-（a+b+c）x4,所以bc=*（Q+b+c）.设内切圆与边AC切于点。，由tanA=空

可求得tan*=弓=,则AD—粤.又因为AD———，所以b+c=卑+a.所以be=

/4JZi」，：u

+2。）=,又因为b+c/所以当~+a>2J普~（¥~+a）,即（等"+>

IgO+Q）,整理得/—12。-64>0.因为a>0,所以Q>16,当且仅当b=c=时，a取得最

小值.

故选：A.

例2.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/Q）=sin（如+初，其中。>0,血W与—£为加）的零点：

且加）W|/（切卜恒成立，加）在（—各会）区间上有最小值无最大值，则3的最大值是（）

A.11B.13C.15D.17

【答案】C

【解析】由题意，/=£■是/㈤的一条对称轴，所以/（彳）=±1,即在+卬=自兀+~|■，自ez①

又了（一卷）=0,所以一£0+0=均兀次26z②

由①②，得0=2（自一防）+1,如防ez

又了（力）在区间上有最小值无最大值，所以T>应—（一~考"）=专

即生•>告，解得0416,要求⑶最大，结合选项，先检验0=15

CDO

当0=15时，由①得9x15+9=自兀+与饱eZ,即8=岛兀一3二,4eZ,又|同《与

所以"=—j-,此时/（4）=sin（15/—今），当tC（一佥，贵）时，15a-于C（一萼，萼）,

当15x—jr——■与即a?=—~亲时，f（x）取最小值，无最大值，满足题意.

4/0U

故选:C

例3.（2023・高一课时练习）如图，直角^ABC的斜边BC长为2,NC=30°,且点B,C分别在/轴，“轴正

半轴上滑动，点4在线段的右上方.设ON=xOB+yOC,（x,yeR）,记M=ON•/，N=工+

“分别考查〃,N的所有运算结果，则

A.M有最小值，N有最大值

B.M有最大值，N有最小值

C.M有最大值，N有最大值

D.M有最小值，N有最小值

【答案】B

【解析】依题意Z.BCA=30°,BC=2,ZA=90°,所以AC=V3,AB=1.设Z.OCB=a,则Z.ABx=a+

30°,0°<«<90°,所以5.(JSsinQ+30°),sin(a+30°)),B(2sin«,0),C*(0,2cosa)，所以V=OA-OC—

11Q

2cosasin(a+30°)=sin(2a+30°)+当2a+30°=90°,a=30°时，A/取得最大值为1+彳=

V3sin(6Z+30°)_sin(a+30°)_，5sin(a+30°)

OA=xOB+gOC,所以力2sina2cosa'斤以％+"2sina

s叱'=1+可盖或，当2a=90。"=45"时，N有最小值为1+彳.故选B.

例4.(2023・全国•商三专题练习)已知函数/(c)=asincr+bcosx+CT图象上存在两条互相垂直的切线,

且02+匕2=],则a+b+c的最大值为()

A.2V3B.2V2C.V3D.V2

【答案】D

【解析】由a2+b2=1,令Q=sin9,b=cos。，

由f(x)=asinx+bcosx+ex,

得f⑸=acosx—bsinx+c=sinJeos/—cosGsin力+c

=sin(9一rc)+c,所以c—1<广(力)&c+1

由题意可知,存在xlfX2,使得/'(力1)/'(/2)=-1,

只需要|c—1|匕+1|=匕2—1|>1,即/—14—1,所以/<0,C=0,

a+b+c=a+b=sin。+cos。=V^sin(夕+WV2

所以a+b+c的最大值为A/2.

故选:D.

（①一2）ln（x+]）,—1<Cx?77/,

例5.（2023・全国・高三专题练习）已知小>0,函数/3）=7t\'恰有3个零点,

COSIoX~r],772VX07T,

则小的取值范围是（）

A.[仓，需）U[2,苧）B.[>t）U[2,^]

。（0，需）"2,苧）D.（O,§）U[2,^]

【答案】A

【解析】设g（力）=（x-2）ln（x+1）,h（x）=cos（36+卷）,

求导g'O）=ln（rr+1）+=ln（rr+1）+1-

由反比例函数及对数函数性质知g'（c）在（―l,m],m>0上单调递增，

且g'信）<o,g'⑴>0,故。'3在41）内必有唯一零点知

当力£（―l,x0）时，g'Q）VO,gQ）单调递减;

当力G（g,m]时，g\x）>0,gQ）单调递增；

令g（力）=0,解得2=0或2,可作出函数gQ）的图像，

令以劣）=0,即3%+£=~|"+kn,kGZ,在（0,兀］之间解得

兀45兀不3兀

12R12R4'

作出图像如下图

数形结合可得：［仓，需）U［2,苧），

故选:A

例6.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/㈤=cos（oc—专）（s>0）在借,£］上单调递增，且当xE

［f.f］时，f（x）>0恒成立，则。的取值范围为（）

A.(O,|-]U[^->^]B-(0,y]u[8,^J

C.(0,y]u[8,^]D.(0,|]U[f-18]

【答案】B

【解析】由已知，函数/（力）=（305（口力—母）（0>0）在［会1］上单调递增，

所以2自兀一兀<a）x—?-<2自兀（eEZ）,解得：—----/&-"-FEZ）,

3cooa）cooa）

7T>2自兀_2兀

由于［春片］7］迩出—运+eZ）,所以<6R°”解得：12自一44048自+

L64JLto3o>CD3。」_7L<g兀.兀

、4'o>3s

为kiGZ）①

o

又因为函数f（3）=COS（Ct）X--1-）（60>0）在%e上/（/）>。恒成立,

所以2k2兀——42k2兀+GZ）,M'得：2’7r--^―4/W2’7r+EZ）,

232o）ococob0）

7T>2自兀兀

由于6号怛［等一卷，等+需］⑥"）,所以总,，解得:配一看w“W6心

、3、/GCD

十2（自6z）②

0

4

>0皿

-3-

-

又因为0>0,当自=后=0时，由①②可知：<25，解得/e(o,-o];

3

;-2

(7)>0

84°&等，解得oe[8,豹

当自=%=1时，由①②可知：<

22々々17

所以①的取值范围为U［8,孝■］.

故选：B.

例7.（2023•全国-南三专题练习）在锐角A4B。中，角在，B,。的对边分别为Q,b,c,ZVIB。的面积为

S,若sin（A+。）=—，则tanA+询Jy的取值范围为（）

A・［竽+8）B.［亨朗C.（亨申D.［于申

【答案】C

【解析】在/\ABC中，sin(A+C)=sinB,S=-^-acsinB,

222

故题干条件可化为/—Q2=加，由余弦定理得b=a+c-2accosB,

故c=2acosB+Q,又由正弦定理化简得：

sin(7=2sinAcosB+sinA=sinAcosB+cosAsinB,

整理得sin(8—A)=sin4故B—H=Z或8—4=兀一A(舍去)，得B=2月

0<A<y

△48。为锐角三角形，故<0V2AV焉,解得令VAV「■，故VtanAV1

/O4：o

0V兀一3AV爰

71=tanA+

tan+3tan(B-A)岛¥(亨丁)

故选:C

例8.（2023・上海•方三专题练习）在钝角△4BC中，a,b,c分别是4ABC的内角ABC所对的边，点G是

△4BC的重心，若AGLBG,则cos。的取值范围是（）

【答案】C

【解析】延长CG交AB于。，如下图所示:

G为AABC的重心，。为AB中点且CD=3DG,

13

\-AG±BG,：.DG=^-AB,：.CD=^-AB=

5

-

2C23--

六八八击/人ncAD2+CD2-AC2-

在△ADC中，cosAADC=2AD-CD2

C2

5c2-2b2.

3c2'

-x-c2—a?

BD2+CD2-BC25c2-2a2

在/\BDC中，cosABDC=

2BD-CD-3?-'

•：ZBDC+AADC=K,：.cosABDC=-cosAADC,

即呢:答=—岑3,整理可得：a2+62=5c2>c2,二。为锐角；

ococ

设A为钝角，则〃+c2V。2,Q2+c2>匕2,Q>b,

解得:㈢一看,

15

・.・a>b>0,.•.（）〈《〈哈

-I-_「29传+!）>Q（乎+a）=乎

由余弦定理得：cost7=----^-7-----=-p-

又。为锐角，二<cost7V1,即cos。的取值范围为

O

故选：C.

例9.（2023•全国•高三专题练习）设锐角△ABC的内角48。所对的边分别为a,b,c,若4a=四,

O

则〃+02+儿的取值范围为（）

A.（1,9]B.（3,9]C.（5,9]D.（7,9]

【答案】D

【解析】因为A=看,a=V3,

O

由正弦定理可得急V3_n_bc

通sinBsin（等一B）

r

则有6=2sinB,c=2sin（专'—B）,

由△ABC的内角A,8,C为锐角，

'0<BV寺,

可得2兀兀，

二9VBV28-强〈粤=>4-<sin（2B-4）<1=>2<4sin（2_B—杳）<4,

62o662vo7v67

由余弦定理可得/=〃十°?—2bccosA=>3=b2+c2—bc,

因此有b2+c2+bc=2bc+3

=8sin_Bsin（g^-8）+3

=W5sinBcosB+4sin2B+3

=2V3sin2B—2cos28+5

=5+4sin（2B—专）G（7,9]

故选：D.

例10.（2023•上海•高三寿题练习）某公园有一个湖，如图所示，湖的边界是圆心为。的圆，已知圆。的半

径为100米.为更好地服务游客，进一步提升公园亲水景观，公园拟搭建亲水木平台与亲水玻璃桥，设

计弓形MN,NP,PQ,QM为亲水木平台区域（四边形MNPQ是矩形，A,。分别为MN,PQ的中点，

。力=。。=50米），亲水玻璃桥以点力为一出入口，另两出入口8,。分别在平台区域边界

上（不含端点），且设计成NBAC=y，另一段玻璃桥F—D—E满足FD//AC,FD=AC,ED〃AB

,ED=AB.

（1）若计划在尸间修建一休闲长廊该长廊的长度可否设计为70米？请说明理由；（附：方心1.414

,73«1.732）

（2）设玻璃桥造价为0.3万元/米,求亲水玻璃桥的造价的最小值.（玻璃桥总长为AB+AC+DE+

。尸，宽度、连接处忽略不计）.

【解析】⑴由题意，。力=50,100,则MQ=100,AM=504,NA4c=5■，设NMAB=0,ZNAC

兀Z）

=。=区一

廿「D击人+_100_2,z）_1_V3_MB坦R/R

右。，P重合，tan。----产——产,tanJ——----门—----十,仔MB

''50V3V3tana250V3

75,

/.75＜MB＜100,-^-＜tan。＜-^,MB=AM-tan。=50V^tan。，

NC=AN-tana=而MF=CP=100-NC=100—,

tanc/tan"

BF=MB-MF=50V3（tan^+嘉嘉）-100>100（73-1）,当tan。=1（符合题意）时取等号，又

100（73-1）>70,

/.可以修建70米长廊.

/nA40_AM_50V3AN_50A/350盗，50通—50代（sinl+cosd）

y+

⑷AH—cos。—cosd'A。—cosa—sin。，川4十6。一cos0sin3-sinOcos。,

设t=sinG+cos（9=V^sin（。+£）,则/=1+2sindcos。,即sincos0="J.

人吕+人。=^^=^^,由（1）知乎＜1211。＜美，而?＜乎＜1＜合＜4"5。使

l~~t一

夕+£=5且年＜夕+年＜乎,即1＜力＜四,0＜一；&警，

AB+AC=10°干＞100V6,当且仅当t=方力=卷时取等号.

由题意，AB+AC=DE+OF,则玻璃桥总长的最小值为200几米,

铺设好亲水玻璃桥，最少需200份x0.3=60V6万元.

例11.（2023•全■国•高三专题练习）在448。中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,满足bsinA=

asin（_B+年）

⑴设a=3,c=2,过B作B。垂直ZC于点。，点石为线段B。的中点，求说•直的值;

（2）若△ABC为锐角三角形，c=2,求△48。面积的取值范围.

【解析】（l）bsinA=asin（B+-y），由正弦定理得:

sinBsinA=sinAsin（B+=-^-sinAsinB+-^-sinAcosB,

所以-^-sinAsinB--^-sinAcosB=0,

因为AG（0,兀），所以sin_AW0,

所以-ysinB--^-cosB=0,即tanB=V3,

因为Be（0,兀），所以_B=等，

o

因为Q=3,C=2,由余弦定理得：62=a2+c2-2accosB=9+4—6=7,

因为b>0,所以b=A/7,

1.1亡Q亡八四3V3

其中S^ABC=-yaesmBR=-yX3X2X—^―=---

所以2SMBC_3V3_3V21

AC-V7'7

因为点E为线段BD的中点，所以跳;=由二

由题意得：/=丽+方N=屈+方4，

所以屈•直=说・[BE+DA））=BE2+0=|1-.

（2）由⑴知：口=专,又c=2,

O

由正弦定理得：就彳=白2

sin（/+专）

2sinA2sinA

所以a

十sinA+cosA1+

tanA

因为△为锐角三角形，所以7T7T

ABC兀，解得：AG

C=2—AE（。昼）

3

则tanAEF14。，3）,1+（）

tanA£1.4,

4

故a£(1.4),

瓜

1+

tanA

△ABC面积为S=yacsinB=乌aG(彳,2V3)

故△ABC面积的取值范围是（空,2g）.

【过关测试】

一、单选题

1.(2023*全国・方三专题练习)已知a,bEA,设函数力(力)=cos2c,力侬)=a—bcosc,若当力(力)《力(力)

对力G[m,n](m<")恒成立时,n—m的最大值为手，则()

A.a>V2-lB.a^V2-lC.b>2-V2D.b&2—四

【答案】A

37rT

【解析】设力=cose,xE[m,n]，因为n—m的最大值为>兀=万，所以[m,n]时，力=cos/必

取到最值，

当n—m=等时，根据余弦函数对称性得cosmn=1n==2卜冗,kGZ,此时cosm=

fm+nn—m\/3兀、3兀V2

cos(—-------2—)=cos(2nk7兀一丁尸cos丁=--行