2024年高二年级下册期中数学模拟试卷含答案

2024年高二下学期期中数学模拟试卷含答案

高二下学期期中模拟试卷

考察范匐，11群梯小修二+这科假必修三（金导檄公式）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每个题只有一个选项符合题意）

1.设S,是等差数列｛4｝的前〃项和，且％-S$=21,则席=（）

A.17B.34C.51D.68

2.已知随机变量X~N（〃Q2）,Y~B（6,p）,且尸524）=：,£（%）=£（¥）,贝”=（）

A.1J_2

B.C.D.

6433

3.设/(%)=历42+1,则广(2)=()

4213

A.-B.C.D.

5555

4.已知甲同学从学校的2个科技类社团，4个艺术类社团，3个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团,

则在仅有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率（）

3c6

A.-B.—C.-D.-

51324

[a,+1,〃为奇数

5.已知数列｛风｝满足q=l,对于任意的〃vN*且加2,都有为偶数，则”（）

A.2"B.211-2C.210D.210-2

6.利用数学归纳法证明不等式1+:+：+…+/7</。让1,〃©"*）的过程中，由〃=左次1）变到〃=左+1时，左边

233-1

增加了（）

A.1项B.k项C.3k项D.2x3*项

7.下列说法中，正确命题的个数为（）

①已知随机变量X服从二项分布2（",；）,若E（3X+1）=6,则“=5.

②对具有线性相关关系的变量x,y,其线性回归方程为y=O.3x-机，若样本点的中心为（牲2.8）,则实数机的值

是-4.

③以模型〉=。髀去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=/〃y,求得线性回归方程为2=O.3x+4,则c,k的

值分别是e4和0.3.

④若样本数据玉，/，……/的方差为2,则数据2%-1,2%2-1,…，2/-1的方差为16.

A.0个B.1个C.2个D.3个

第1页（共3页）

8.已知数列&｝满足：％eZ,%=1,。用二寸“为偶数’则外所有可能的取值之和是()

3an+l,a”为奇数

A.6B.7C.9D.17

二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分，每个小题有多个选项符合题目要求，部分正确得2分或3分，

有选错的得0分)

9.下列结论正确的有()

A.相关系数|川越接近1,变量x,y相关性越强

B.若随机变量〃满足〃=24+1,则£)(〃)=2/)(9+1

C.相关指数我越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差

D.设随机变量X服从二项分布2(6,3，则P(X=3)=』

216

10.盒子中有12个乒乓球，其中8个白球4个黄球，白球中有6个正品2个次品，黄球中有3个正品1个次品.依

次不放回取出两个球，记事件4="第i次取球，取到白球"，事件用="第i次取球，取到正品"，i=l,2.则

下列结论正确的是()

2113

A.P(A|B,)=-B.P(B2)=-C.P(AB1)=-D.P(B2|A)=-

11.意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现数列1,1,2,3,5,8,13,数列中的每一项称为斐波那

契数,记作月,.已知耳=1,&=1,月=工_1+以2(〃WN*,”>2).则()

A.耳2=134

B.F2+F4+F6+Fs=F9—1

C.若斐波那契数工除以4所得的余数按照原顺序构成数列｛a“｝,则+传出=2

D.右=Po.则£+月+月HFF1W2=p0—2

三、填空题(本题共3个小题，每小题5分，共15分)

12.已知离散型随机事件A,2发生的概率尸(用=0.6,P(B)=0.5,若尸(A|B)=0.6,事件无，豆，A+B分

别表示A,2不发生和至少有一个发生，则尸(A|(A+2))=,P((A+B)|(A+B))=

13.已知某人每次投篮的命中率为P(0<P<D,投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X,则

4£>(X)-3

的最大值为

2E(X)

14.已知凡是离分最近的整数，如4=1，%=2,则无穷数列｛%｝中共有一项的值等于100.

四、解答题(本题共5小题，其中15题满分13分，16、17题满分各15分，18、19题满分各17分，共77分)

15.函数/(元)=2尤-2<7/依.

(1)求Ax)的单调区间.(2)求/(x)在［1,3］上最小值.

第2页(共3页)

16.已知各项均不为0的数列｛%｝的前”项和为S“，且勺+1.

(1)求｛%｝的通项公式;

(2)若对于任意“eN*,2"-2S”成立，求实数2的取值范围.

rr-ITjr1

17.数列｛q｝满足4="，ane(-—,—),tana„+1=-----,(neN*).

o22cosan

(1)证明：数列｛tan%“｝为等差数列，并求数列｛tan%｝的通项公式；

(2)求正整数〃？，使得sinq•sing…sina,“.

18.长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量

若超过平时的7—8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌

代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.某学校对男、女学生是否喜欢长跑进

行了调查，调查男、女生人数均为200,统计得到如表2X2列联表：

喜欢不喜欢合计

男生12080200

女生100100200

合计220180400

(1)试根据小概率值a=0.050的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？

(2)为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再

从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量X表示抽到的3人中女生的人数，求X的分布列；

(3)将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为匕求¥的

数学期望.

2n(ad-bcr4,

附：/，八,县叶4〃一q十〃十c十4.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.1000.0500.0250.0100.001

Xa2.7063.8415.0246.63510.828

一个质点在一条直线上“随机游走”，向左走一步和向右走一步的概率均为;，试探讨下列问题:

19.

(1)若质点进行了4次“随机游走”，在其中恰有2次向右游走的情况下，求第二次向左游走的概率；

(2)记尸⑺为&=2,3,4,•••,”+2)次游走中恰有2次向右游走的概率，令¥=尸(2)+P(3)+…+P/+2).记

抬=2,3,■■■,〃)为不超过"次游走的情况下，向右游走2次后停止游走(若向右游走一直不足2次，在游走到

"次时也停止游走)，此时一共游走的次数，自的数学期望为EC).请比较EC)与2y的大小，并说明理由.

第3页(共3页)

参考答案与评分标准

一、单选题

1-5CDBAB6-8DDC

二、多选题

9.ACD10.AD11.BC

三、填空题

12-1;I13.2-2614.200.

解答题答案见下方

1.设S“是等差数列｛%｝的前〃项和，且几-S5=21,则与=()

A.17B.34C.51D.68

【解答】解：等差数列｛〃〃｝中，Si?-§5=。6+%+…+%1+。12=7%=21,

所以。9=3,

17(%；知)-51.

则力

故选：C.

2.已知随机变量X~N(〃Q2),Y~B(6,p),且%乂24)=：,£(乂)=£(¥),贝1]。=()

2

ABD.

-1-73

【解答】解：因为随机变量X~N(〃,〃)，Y~B(6,p),且尸(XN4)=；,E(X)=E(y),

则E(y)=6p,4=4,

根据正态分布性质可知£(X)=",

则6"=4,

2

则〃=

故选：D.

3.设/(%)=In]x?+1,则/'(2)=()

23

AB.-D.

-?5cI5

【解答】解：/(x)=ln\lx2+1,令牛(％)=Jx'+1,贝!]/(〃)=历〃,

13)=

由复合函数的导数公式得:

X

第1页(共10页)

故选：B.

4.已知甲同学从学校的2个科技类社团，4个艺术类社团，3个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，

则在仅有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率（）

36-13

A.—B.—C.—D.一

51324

【解答】解：根据题意，设事件A为“所报的两个社团中仅有一个是艺术类”，事件B为“所报两个社团中有一个

是体育类”，

故选：A.

\a,+1,"为奇数

5.已知数列｛%｝满足%=1,对于任意的且“2,都有4=2；"为偶数，则％。=（）

A.2"B.2"-2D.210-2

【解答】解：由题可得%=2%=2,

当”为偶数时，«„+i=«„+I>

an+2=24+1=2(。“+1)=2(1"+2,

可得an+2+2=2(%+2),

即｛%+2｝是以2+2=4为首项，2为公比的等比数列,

即an=23M一2；

所以出0=尸-2.

故选：B.

6.利用数学归纳法证明不等式1+:+：+…+/7</（〃21,〃eN*）的过程中，由〃=左伏1）变到〃=左+1时，左边

233-1

增加了（）

A.1项B.k项C.3k项D.2、3*项

第2页（共10页）

【解答】解：由题意，不等式的左边中分子都为1,分母是从1开始到（3"-1）,故共有3"-1项，

又由w=左变到〃=左+1时，左边由（3上-1）项增加到（31-1）项，

从而左边增加了（3"+i-1）-（3J1）=2x3上项.

故选：D.

7.下列说法中，正确命题的个数为（）

①已知随机变量X服从二项分布8（",；）,若E（3X+1）=6,则w=5.

②对具有线性相关关系的变量x,y,其线性回归方程为y=0.3x-〃，若样本点的中心为（见2.8）,则实数机的值

是-4.

③以模型'=。*去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=/〃y,求得线性回归方程为2=0.3x+4,则c,左的

值分别是和0.3.

④若样本数据阳，％,……/的方差为2,则数据2占-1,2X2-1,…，2/-1的方差为16.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【解答】解：对于①，X~,

E（X）=1«,

.­.E（3X+l）=3E（X）+l=ra+l=6,解得”=5,故①正确；

对于②，'线性回归方程y=03元-机一定过样本点中心（加,2.8）,

2.8=0.3m—m,

解得加=-4,故②正确；

对于③，•设2="，求得线性回归方程为2=0.3x+4,

Iny=0.3x+4,

又Iny=网ce"）=Inc+kx,

Inc-4,k-0.3,

/.c=e4,故③正确；

对于④，若样本数据％i，/，……不。的方差为2,

则数据2%—1,2X2-1,…，2%。—1的方差为22x2=8,故④错误，

综上所述，正确命题的个数为3个.

故选：D.

8.已知数列｛4｝满足：％eZ,%=1,。用二寸‘%为偶数’则q所有可能的取值之和是（）

361n+l,a〃为奇数

第3页（共10页）

A.6B.7C.9D.17

【解答】解：若生为偶数，则由的=1可得。4=?=>%=2,若%为奇数不成立，舍去；

若生为偶数，则由%=2可得/音=>%=4,若出为奇数不成立，舍去；

若％为偶数，则由%=4可得的=8,若%为奇数的=3q+l=>q=1.

故q=1或8,

综上，q所有取值之和为9,

故选：C.

9.下列结论正确的有（）

A.相关系数1川越接近1,变量x,y相关性越强

B.若随机变量八〃满足〃=2。+1,则。（77）=2£>C）+1

C.相关指数改越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差

D.设随机变量X服从二项分布8（6,"则P（X=3）=[

216

【解答】解：对于A,由相关系数与相关性的关系知，相关系数I川越接近1,变量%y相关性越强，故A正确;

对于2,因为〃=24+1,所以£>（〃）=4DC）,故B错误；

对于C,在回归分析中，相关指数是用来衡量拟合效果好坏的指标，其值越大，说明残差平方和越小，效果越好,

反之效果越差，故C正确；

对于，因为X~B（6,；）,所以P（X=3）=*）6=g故0正确.

故选：ACD.

10.盒子中有12个乒乓球，其中8个白球4个黄球，白球中有6个正品2个次品，黄球中有3个正品1个次品.依

次不放回取出两个球，记事件A="第i次取球,取到白球"，事件耳=”第，次取球，取到正品"，i=l,2.则

下列结论正确的是（)

3

A.m1^)=|B.P(B2)=1C.尸（4瓦）=；

D.P(B2IA)=-

936__]_所以P(AIBJ=B^2

【解答】解：对于二§,选项正确；

A,尸（耳）=五="尸（A4）=n~2fA

对于5,事件2“第2次取球，取到正品”，尸㈤）=/^=岑芥2号选项2错误;

对于C,事件4月="第1次取球，取到正品且第2次取球，取到白球”，

包括（正白，正白），（正白，次白），（正黄，正白），（正黄，次白），共有6x5+6x2+3x6+3x2=66种情况,

/44）=黑=三开=；,选项C错误；

1XX11乙

第4页（共10页）

对于事件4与="第1次取球，取到白球且第2次取球，取到正品”，

包括（白正，白正），（白正，黄正），（白次，白正），（白次，黄正），共有6x5+6x3+2x6+2x3=66种情况，

HA"*。，

个2乙

又因为尸⑷=W尸%A）=髭弃=；,选项。正确.

故选：AD.

11.意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现数列1,1,2,3,5,8,13,数列中的每一项称为斐波那

契数，记作耳.已知耳=1,&=1,骂=卑1+丘2（”eN*,〃>2）.则（）

A.42=134

B.F2+F4+F6+Fs=F9-1

C.若斐波那契数£除以4所得的余数按照原顺序构成数列｛qj,则%。23+%侬=2

D.若^024=Po-则耳+&+^尸2022=。0—2

【解答】解:对于A,斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,­,居？=144,A错误；

对于2,耳+且+耳+&=1+3+8+21=33=34—1=8-1,B正确；

对于C,由斐波那契数工除以4所得的余数按照原顺序构成数列｛«„｝,

因为。I=1,a,=1,q=2,a4=3,a5=1,a6=0,

根据数列｛匕｝的性质以及｛/“｝的定义可得，

%=1,Og=1,a9=2,aI0=3,an=1,aI2=0.

同理可推得，当上eN*时，有&7=1，砥-4=1，4"3=2,a6k_2=3,=1,a6k=0,

所以｛凡｝是以6为最小正周期的数列，又因为2023+6=337……1,

2024+6=337.......2,«2023+a2024=2,C正确；

对于。，由斐波那契数列性质4=1,F2=I,

Fn=Fn_l+Fn_2（neN\n>2）.

可知耳+/+&++用022=（尸3-尸2）+（K-鸟）++（a24-^2023）

=玛024-玛=。0-1，D错误.

故选：BC.

第5页（共10页）

12.已知离散型随机事件A,8发生的概率尸(A)=0.6,P(B)=0.5,若尸(A|3)=0.6,事件4,与，A+B分

2__

别表示4,B不发生和至少有一个发生，则P(A|(A+3))=-,/4+8)|(4+3))=

一3一

【解答】解：根据题意，尸㈤=0.6,则尸(A)=l-P(A)=l-0.6=0.4,

又由P(A|B)=0.6,p(B)=0.5,则尸(钻)=尸(B)P(A|B)=0.3,

则尸(A+B)=P(A)+P(B)—尸(AB)=0.4+0.5—0.3=0.6,

由于A+5表示A,3至少有一个发生，则AqA+5,

同时，Z+月表示A,2至少有一个不发生，则有(Z+月)n(A+B)=AB,

P(A)0.42

则尸(A|(A+8))=

P(A+B)0.63

P(AB)_0.3_l

P(A+B)|(A+B))=

P(A+B)-0.6-2

21

故答案为：y;

13.已知某人每次投篮的命中率为投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X,则

4D(X)-3「

的最大值为2-2g.

2E(X)__

【解答】解：由题意可知，X服从两点分布，可得E(X)=P,0<p<l,

D(X)=(l-p)p,

坦巴旦坦匕正

2=2-2p~—

人」2E(X)2p2P

3

=2-(2P+——)2-

2P

当且仅当然。即。后时，等号成立，

4D(X)-3

故最大值为2-2行-

2E(X)

故答案为：2-2料.

14.已知%是离6最近的整数，如的=1，%=2,则无穷数列｛%｝中共有_项的值等于I。。-

【解答】解：由已知得99.5<新<100.5此时不等式取等号和不取等号对结果没有影响，

所以99SC”<100.52,

又100.52=10100.25,99.52=9900.25,

所以9901V〃V10100,

所以共有10100-9901+1=200项的值等于100.

故答案为：200.

15.函数/(x)=2尤-2。/质.

第6页(共10页)

(1)求/(尤)的单调区间.

(2)求f(x)在口,3］上最小值.

【解答】解：⑴函数答X)=2X-2H”的定义域为(0,+8),且广(工)=2-生=也二义，-------2分

XX

当。0时，f'kx),0,/(X)在(o,y)上单调递增，单调增区间是(0,y)；--------4分

当。＞0时，令广(无)=0,解得x=。，所以无W(0M)时，f'(x)＜0,/(x)单调递减，xe(a,+s)时，f'(x)＞0,/(x)

单调递增；

综上知，a0时，/(X)的单调增区间是(0,+的；

。＞0时，/(x)的单调递减区间为(0,。)，单调递增区间为(。,+8)；--------6分

(2)a0时，/(尤)在(0,+⑹上单调递增，所以/(X)在［1,3］上的最小值为/(1)=2-2出〃1=2；--8分

。＞0时，/(x)在(0，4)上单调递减，在(。,+(»)上单调递增，------9分

若a1,则Ax)在口，引上单调递增，最小值为f(1)=2；-----------10分

若则f(x)在口,3］上先减后增，最小值为/(a)=2a-2alna；------11分

若a3,则/(尤)在［1,3］上单调递减，f(x)的最小值为f(3)=6-2aln3.-------------12分

2,«＜1

综上，/⑴在口，3］上最小值为f(x)哂=2a—2〃山〃,1＜。＜3.------------13分

6-2abl3,a＞3

16.已知各项均不为0的数列｛%｝的前“项和为S“，且4=1,口=%"；+1.

(1)求他“｝的通项公式；

(2)若对于任意“eN*,2"-AS”成立，求实数％的取值范围.

【解答】解：(1)由4=1,S“=%"；+1,可得4H=4%=4出+1，即4=g+1，可得出=3,

当联2时，由4S“=anan+1+1,可得4sz=+1,

两式相减可得4%=4S„-45„_1=anan+l-a,*1n,化为=4,

即数列｛4｝的奇数项和偶数项均为公差为4的等差数列，---------4分

即有〃=2左一1时，a“=l+4伏-1)=4--3；

几=2左时，a/=3+4(%—1)=4左一1；

所以。〃=2几-1,〃EN*；-----------------8分

1

(2)S„=-/7(1+2M-1)=H92,-----------10分

n2

对于任意”eN*,2--2S”成立，即为九如恒成立.

第7页(共10页)

设么=会，则2+i一仇=(?+?n22-(M-1)2

2"2,,+1

当”=1,2时，b3>b2>bl；

当〃3时，bn+l-bn<0,即有4…，

9

可得〃=3时，用取得最大值g,----------14分

O

则九9即4的取值范围是9小，+◎.-------------15分

OO

17.数列｛%｝满足q=g,a“e(-g,g),tan%+i=--—,(nwN*).

o22cosan

(1)证明：数列｛tai?%｝为等差数列，并求数列｛tan4｝的通项公式；

(2)求正整数机，使得sinq©11%…sinj=*.

TT

【解答】解：(1)证明：由已知条件可知，由于cos%>0,所以0用€(0,5),

y•22

〜21sina+cosa,?

所以tan-an+l=一、一=------、------=1+tairan,

cosancosan

22

所以tanan+l-tanan=l,-------------4分

故数列｛tan%,,｝是以1为公差的等差数列，且首项为tai?q=tai?977"=彳1，

63

,,,2[13九-2l3n-2,,

tan-an=n-\+-=---,即tan%='--一；----------9分

11

(2)因为tana“+]=-----,所以cosqu7------,

costana„+1

b,、,......tana,!tan%tana,”tanq1，一八

ly,sinat-sina2...sinam=tanaicosaxtana2cosa,•••tanancosan=----------,,-----=-----=.-----,--------12分

tana2tana3tanam+1tanam+1V3m+1

由J、]=7^；，解得加=3333.----------15分

V3m+1100

18.长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量

若超过平时的7—8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌

代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.某学校对男、女学生是否喜欢长跑进

行了调查，调查男、女生人数均为200,统计得到如表2义2列联表:

喜欢不喜欢合计

男生12080200

女生100100200

合计220180400

(1)试根据小概率值a=0.050的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？

(2)为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再

第8页(共10页)

从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量X表示抽到的3人中女生的人数，求X的分布列；

（3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为匕求丫的

数学期望.

附：y2=-----、及”-卜)、/----其中“=q+6+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.1000.0500.0250.0100.001

Xa2.7063.8415.0246.63510.828

【解答】解：（1）零假设为Ho：学生对长跑的喜欢情况与性别无关联.................1分

根据列联表中的数据，经计算得到

2400X(120X100-80X100)2400_”

X-200X200X220X180'99~4-0403,841-x0.0503分

根据小概率值a=0.050的独立性检验，我们推断Ho不成立，

即认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.050.

4分

（2）从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人,

其中男生的人数为：9X不黑7=4人，女生人数为：=5人,

6分

oU+lUUoU+lUU

X的所有可能取值为0,1,2,3,..............7分

3

Cr1

所以p(x=0W4，

「Jzi

1

55

PCX=1)14

—^9

plp2厂3

P(X=2)-yV^c=转1n，P(X=3)CTr5

「JrJ42

v9v9

所以X的分布列为:

X0123

P15