2024年吉林省吉林市中考一模数学试题（含答案解析）

2024年吉林省吉林市中考一模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.-3的绝对值是（）

A.3B.-3C.V3D.1

2.我国古代典籍《周易》用“卦''描述万物的变化，如图为部分"卦''的符号，其中是中心对

称图形的是（）

A.B.C.

3.下列命题：①对顶角相等；②同旁内角互补；③同角的余角相等；④垂线段最短.其中

真命题的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.已知关于x的一元二次方程:/-3氐+冽=0有两个相等的实数根，若闻Z，则

m与n的大小关系为（）

A.m>nB.m=nC.m<nD.无法确定

5.如图，AB,/C是。。的弦，OB,OC是。。的半径，点P为。上任意一点（点尸不

与点2重合），连接。尸，若4c=45°,则/3PC的度数可能是（）

6.某数学兴趣小组借助数学软件探究函数，=。/卜-6）的图象，输入了一组a,b的值，

得到了它的函数图象如图所示，借助学习函数的经验，可以推断输入的a,6的值满足（）

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C.Q<0,b>0D.a>0,b>0

二、填空题

7.分解因式：a3-2a2+a.

8.若VT不在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

9.2023年12月31日晚，“新时代新江城”吉林市2024迎新年大型烟花秀精彩上演，约有

41万人前往现场观看，在线观看更是达到了1222.7万人次.数据1222.7万用科学记数法表

示为.

10.若边长为5cm的正多边形的一个外角是72。，则该正多边形的周长为cm.

11.如图，在矩形NBCD中，AB>AD,按以下步骤作图：①以点/为圆心，长为半径

画弧，交于点£；②分别以点。，£为圆心，大于;。E长为半径画弧，两弧交于点包

③画射线4F,交DC于点G,则NNGC

12.小莹计划购买一台圆形自动扫地机，有以下6种不同的尺寸可供选择，直径（单位：cm）

分别是：34,34.5,37,39.5,40,42.如图是小莹家衣帽间的平面示意图，扫地机放置在

该房间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底

座脱离后打扫全屋地面，小莹可选择的扫地机尺寸最多有种.

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13.如图是浩洋老师办公桌上的2024年台历，台历上显示的是2024年1月的月历，通过此

月历，可以推算出2025年1月1日是星期.

14.如图，AD平分/B4C,AE平分/BAD,N尸平分/D/C,点。为射线4尸上一点,

以点。为圆心，49长为半径画圆.若NA4c=80。，AO=3,则图中阴影部分的面积是—

（结果保留不）.

三、解答题

15.先化简，再求值：,其中x=521.

X-1X

16.舒兰大米种植区域处于北纬43度世界黄金水稻带.舒兰大米具有营养丰富、绵软柔糯

等特点.某校食堂计划采购甲、乙两种舒兰大米，若购进甲种大米500千克和乙种大米300

千克需花费11000元；若购进甲种大米200千克和乙种大米600千克需花费9200元.求每

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千克甲种大米和每千克乙种大米的价格.

17.以下内容节选自人教版初中数学教材八年级上册.请说明内容中的尺规作图的原理,

即求证NO'=/O.

以点。为圆心，任意长为半

径画弧，分别交。4,于点C,D；

(2)画一条射线。'4,以点O为圆心，OC长为半径画弧，交O'H于点C'；

(3)以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点。外

(4)过点壮画射线O0,则/HO5=.

18.如图，在左边托盘/(固定)中放置一个重物，在右边托盘2(可左右移动)中放置一

定质量的祛码，可使得仪器左右平衡.托盘3中的祛码质量%随着托盘8与点。的距离d

变化而变化，已知根与4是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：

托盘2与点O的距离0厘米510152025

托盘B中的祛码质量加/克3015107.56

(1)根据表格数据求出m关于”的函数解析式.

(2)当祛码质量为12克时，求托盘B与点。的距离.

19.在2023年高考期间，吉林市委“爱在江城温馨高考”的暖心举措温暖着江城每一位考生

和家长.其中吉林市第一中学校考点设置了家长休息区，共搭建了121个遮阳篷.图①是一

个遮阳篷的实物图，图②是它的侧面示意图，长为2.13m,太阳光线与地面8c的夹

角为44。时，求8。的长(结果精确到0.01m).

(参考数据:sin44°«0.69,cos44°»0.72,tan44°«0.97)

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图①图②

20.游神民俗文化活动，主要在中国的闽台地区流行，是一项流传了数百年的习俗，在甲辰

龙年春节爆火出圈，无数网友对游神前的掷笈杯仪式感到好奇.掷笠杯是民间一种问卜的方

式，每次将两个箜杯掷向地面，根据笈杯落地后的状态来推测行事是否顺利.每个箜杯都有

一个平面，一个凸面.箜杯落地的结果如图所示，如果是两个平面称之为笑杯，表示行事状

况不明；如果是两个凸面称之为阴杯，表示不宜行事；如果是一个平面和一个凸面称之为圣

杯，表示行事会顺利.假设每个笈杯形状大小相同，掷笈杯落地后平面朝上和凸面朝上的可

能<性也相同>.<><><>

(1)笑笑同学想要计算将两个笑杯连续掷两次都得到圣杯的概率，她采用面树状图的方法,

请将她的求解过程补充完整.

解：根据题意，可以画出如下的树状图：

开始

第一次平平凸凸平凸凸平

(2)在中国台湾电影《周处除三害》中有一段场景，主角陈桂林用签杯问卜，将两个笈杯连

续掷九次.请问连续掷箜杯九次都出现圣杯的概率是.

21.图①、图②、图③均是4x4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正

方形的边长均为1,点4B,C均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别

按要求画图，保留作图痕迹，不要求写面法.

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(1)在图①中画线段E厂平分48,且点£,厂均在格点上.

(2)在图②中画线段CD,线段CD平分AA8C的面积.

(3)如图③,点P,Q均在格点上,连接P。交/C于点M,连接8M,则ABCM的面积是.

22.书籍是人类进步的阶梯，中国图书出版已有十多年保持着持续、稳定、快速发展的良性

态势.下面的统计图反映了2013年到2022年国家图书总印数和图书总印数年变化率的情况.

当年图书总印数-上一年图书总印数

说明：图书总印数年变化率=xlOO%.

上一年图书总印数

根据图中信息，解答下列问题:

(1)计算2018年到2022年这五年国家图书总印数的平均数.

(2)下列说法正确的是(下列选项中，有多项符合题目要求).

A.2013年到2022年国家图书总印数变化率最低的是2022年，所以2022年国家图书总印

数最少.

B.2013年到2022年国家图书总印数出现增长量最大的是2021年.

C.2013年到2022年国家图书总印数变化率的中位数是4.65%.

D.2013年到2017年国家图书总印数的方差记为2018年到2022年国家图书总印数的

方差记为S；,则

23.新能源汽车中的油电混合动力汽车，兼具纯电动汽车和燃油汽车的优势.某油电混合动

力汽车先采用锂电池工作，当锂电池电量耗完后自动转换为油路工作，汽车油路工作时不能

为锂电池进行充电.该汽车一次充满电，可以行驶最大里程是120千米；油电混合行驶时,

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满电满油可以行驶最大里程是720千米.如图为该汽车仪表盘显示电量必(单位：％),

仪表盘显示油量%(单位：％)与某次行驶里程x(单位：千米)之间的函数图象.

(2)求为关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

24.【实践操作】

操作一；如图①，将正方形纸片N3CD对折，使点/与点。重合，点3与点C重合，再将

正方形纸片/BCD展开，得到折痕尸。.

操作二：如图②，将正方形纸片/BCD的左上角沿4尸折叠，得到点8的对应点为9，AB'

交尸。于点E.

操作三：如图③，将正方形纸片/BCD的右上角沿四，折叠再展开，折痕尸9交CD于点

(1)求证5'N=。河.

(2)tmZEAQ=

【拓展应用】

MN

(3)在图③中延长/夕交于点N,则2万=

25.如图，四边形/BCD是矩形，48=6,BC=2右,连接ZC.点G从点。出发，以每

秒2个单位长度的速度沿着边。C向终点C匀速运动，线段。G绕点D逆时针方向旋转60。

得到线段以线段。G,DE为边作菱形DEFG.设菱形。EFG与小BC重叠部分图形的

面积为>(>>0)，点G运动的时间为x秒.

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(2)当点/落在/C上时，尤=秒.

(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

26.如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，点P为抛物线所：了=：X2-2》-6上任

意一点.连接。尸，设点P为线段。尸的中点，通过求出相应的点P,再把相应的点尸'用

平滑的曲线连接起来，可以得到一条新的抛物线记为％.

(1)求抛物线囹与x轴的交点坐标.

(2)求抛物线％的解析式.

⑶过点尸作线段尸。〃x轴，点尸在点。的右侧，PQ=6,设点尸的横坐标为根.

①当线段尸。与抛物线名没有公共点时，直接写出m的取值范围.

②当线段尸。与抛物线％和%一共有3个公共点时，直接写出m的取值范围.

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参考答案:

1.A

【分析】利用绝对值的意义解答即可.

【详解】解：卜3|=3.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，正确利用绝对值的意义是解题的关键.

2.B

【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关

键.根据中心对称图形的定义逐项识别即可.

【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180。后与原来的

图形完全重合，

所以不是中心对称图形，

选项B能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180。后与原来的图形完全重合，

所以是中心对称图形.

故选B.

3.C

【分析】本题考查了命题与定理的知识，是对基础知识的综合考查，熟记概念与性质是解题

的关键.

根据余角的性质，对顶角相等的性质，平行线的判定，垂线段的性质对各小题分析判断后即

可求解.

【详解】解：①对顶角相等，正确；

②被截线不平行则同旁内角不互补，故本小题错误；

③同角的余角相等，正确；

④垂线段最短，正确；

故选：C.

4.A

【分析】本题考查了实数比较大小和一元二次方程ax2+bx+c=0（。/0）的根的判别式

A=62一4碇：当公>0,方程有两个不相等的实数根；当A=0,方程有两个相等的实数根；

当A<0,方程没有实数根.

根据判别式的意义得到A=0,然后来求实数相，然后比较大小即可解答.

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【详解】•••关于X的一元二次方程!尤2-3^5x+m=0有两个相等的实数根，

4

A=（―3V5）2—4x—xm=O,

/.m=45f

Vn2=（V2024）2=2024,m2=452=2025,

：.m>n,

故选：A.

5.C

【分析】本题考查圆周角定理与三角形外角性质的综合应用，结合已知条件求得尸。的

范围是解题的关键.利用圆周角定理求得/5。。的度数，然后利用三角形外角性质及等边

对等角求得/取。的范围，继而得出答案.

【详解】解：如图，连接5C,

•：OB=OC,

•・•点尸为03上任意一点（点尸不与点5重合），

0°<ZOCP<45°,

'：ZBPC=ZBOC+ZOCP=90°+ZOCP,

90°<Z5PC<135°,

・•・NBPC的度数可能是110°.

故选：C.

6.D

【分析】本题考查了函数的图象与性质.数形结合是解题的关键.

令>=a—=o,可得工=0或*=1）,由图象可知，x=b>0,当x<0时，x-b<0,

答案第2页，共19页

y=a/(x-6)<0,进而可得。>0,然后作答即可.

【详解】解：令〉="2(》-6)=0,

解得，x=0x=b,

由图象可知，尤=6>0,

当x<0时，x—b<0,y=ax2<0,

♦♦a>0,

故选：D.

【分析】先提公因式a,再利用完全平方公式分解因式即可求解.

【详解】解：a3-2a2+a

=a(q2—2(7+1)

故答案为：a(a—1).

【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法因式分解的方法是解答的关键.

8.尤21

【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关

键.

直接利用二次根式的有意义，被开方数不小于0,进而得出答案.

【详解】解：式子GT在实数范围内有意义，则x-120,

解得：尤21.

故答案为：x>l.

9.1.2227xlO7

【分析】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中

为整数，表示时关键要正确确定。的值以及"的值.

科学记数法的表示形式为ax10”的形式，其中10”|<10,“为整数.确定〃的值时，要看把原

数变成。时，小数点移动了多少位，"的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210

时，〃是正整数；当原数的绝对值<1时，〃是负整数.

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【详解】解：1222.7万=1.2227x107,

故答案为：1.2227x1()7.

10.25

【分析】本题考查了正多边形的外角，根据任何多边形的外角和都是360。，利用360。除以

外角的度数就可以求出外角的个数，即多边形的边数，进而可求得周长.

【详解】•.•边长为5cm的正多边形的一个外角是72。，

则该正多边形的边数为：360。+72。=5,

其周长为5x5=25(cm).

故答案为：25.

11.135

【分析】本题考查了矩形的性质，作图-基本作图，三角形外角的性质，解决本题的关键是

掌握矩形的性质.根据作图依据可得4尸是NA4O的角平分线，由矩形的性质结合三角形外

角的性质，可得乙4GC=/ADG+/D4G即可得出结果.

【详解】解：根据作图依据可得"是的角平分线，

:在矩形/BCD中，ZBAD=ZADG=90°,

ZDAG=ZBAG=-ZBAD=45°,

2

ZAGC=ZADG+ZDAG=135°,

故答案为：135.

12.2

【分析】本题考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是解题的关键.先建立直角三角形,

利用勾股定理解决实际问题.

【详解】解：如图过点5分别作墙的垂线，交于点C,

答案第4页，共19页

贝1|/。=108-80=28皿8c=80-59=21cm,

在RtZX/BC中，AC2+BC2=AB2,即282+2-=/32

•扫地机能从角落自由进出，

扫地机的直径不小于48长，即最小时为J282+2Y=35ctn，

小莹可选择的扫地机尺寸最多有：34,34.5,共2种，

故答案为：2.

13.二

【分析】本题考查了数字类规律探究；先求2024年1月1日到2025年1月1日经过了多少

天，再求这些天里有几周，还余几天，再根据余数判断，即可求解.

【详解】解：依题意，2024年1月1日到2025年1月1日经过了366天，

366+7=52……2

2024年1月1日是星期一

二2025年1月1日是星期三

故答案为：三.

二9出

14.37rH----

4

【分析】该题主要考查了扇形面积计算，圆周角定理，等边三角形的性质和判定，等知识点,

角星题的关键是得出S阴影=S半圆一S扇形/MO+SVAMO•

证明是等边三角形，过。作根据/3=/4得出s扇形3G=S扇形/GP，从而得

答案第5页，共19页

出s阴影二s半圆—S扇形4Mo+SvAMO即可解答;

【详解】如图，连接。河，

根据题意可得：ZBAC=SO°,Zl=Z2=Z3=Z4=20°,AO=MO,

:.ZMAO=60°f

.•.△ZMO是等边三角形，

过。作,

QN3=/4=20。，

..u扇形/NG_u扇形/GP，

•*,s阴影=s半圆一s扇形4Mo+SNAM0

-虹+Lx3x3si〃6。。

23602

=3"也

4

故答案为：3兀半

15.---,----

x-1520

【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键.根据分式

的混合运算法则把原式化简，把X的值代入计算即可.

x2X+1

【详解】解：原式=

(x+l)(x-l)X

X

521521

当x=521时，原式二

521-1520

16.每千克甲种大米价格是16元，每千克乙种大米价格是10元

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解答本题的关键.根据购进甲

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种大米500千克和乙种大米300千克需花费11000元；若购进甲种大米200千克和乙种大米

600千克需花费9200元各列一个方程，组成方程组求解即可.

【详解】解：设每千克甲种大米价格是x元，每千克乙种大米价格是y元.

500x+300y=11000

200x+600y=9200

答：每千克甲种大米价格是16元，每千克乙种大米价格是10元.

17.证明见解析

【分析】本题考查作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质等知识，根据SSS定理证

明些△OCD即可.

【详解】证明：由作图得OC=OD=O'C'=O'。'，CD=CD',

在△CO。和△COTT中

OC^OC

<OD=<JD',

CD=CD'

；.ACODgAC'O'D'(SSS),

ZO'=ZO.

d

(2)12.5厘米

【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，此题是跨学科的综合性问题，解答该类问题的

关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式.

(1)观察可得：m,d的乘积为定值150,故%,d之间的函数关系为反比例函数，将数据

代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；

答案第7页，共19页

(2)把机=12代入解析式求解，可得答案；

【详解】(1)解：设机关于d的函数解析式为加=*力0),

当d=5时，加=30,

所以g=30,

解得左二150,

：.m关于d的函数解析式为加=苧.

a

(2)把机=12代入加="9得"0=12,解得d=12.5,

dd

答：托盘3与点。的距离为12.5厘米.

19.2.20m

【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，直接利用锐角的正切的含义求解即可.

【详解】解：在RtAlBD中，AABD=44°,40=2.13,

jn

VtanZABD=——

BD

BD=———=2-13-b2.20

tanZ.ABDtan44°

答：3。的长约为2.20m.

20.(1)：,过程见解析

(2扁

【分析】该题主要考查了列树状图求解概率，解题的关键是正确列出树状图.

(1)列表画出树状图即可求解；

(2)找到规律，即可解答；

【详解】(1)根据题意，可以画出如下的树状图：

共有16种情况，其中两次都得到圣杯的有4种情况，

41

故将两个笈杯连续掷两次都得到圣杯的概率=7=了；

164

答案第8页，共19页

开始

第一次平平凸凸平凸凸平

平凸平凸平凸平凸平凸平凸平凸平凸

平凸凸平平凸凸平平凸凸平平凸凸平

（2）根据题意，可得

掷笈杯一次，共有4种情况，其中得到圣杯的有2种情况，

故掷箜杯一次都出现圣杯的概率=；;

连续掷箜杯两次，共有16种情况，其中两次都得到圣杯的有4种情况，

连续掷箜杯两次都出现圣杯的概率=；;

连续掷笠杯三次，共有64种情况，其中三次都得到圣杯的有8种情况，

连续掷笈杯三次都出现圣杯的概率是=

O

故根据规律可得连续掷箜杯n次，共有4"种情况，其中n次都得到圣杯的有2"种情况，

连续掷笠杯三次都出现圣杯的概率是=；

故连续掷箜杯九次都出现圣杯的概率=*=夫.

21.⑴见详解

（2）见详解

第

【分析】该题主要考查了复杂作图，相似三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定

理等知识点，解题的关键是正确作图.

（1）连接E尸即为所求；

（2）线段CD平分AABC的面积，即画出“3C中AB边上的中线即可；

（3）根据题意可得：AAMPS：,根据相似三角形性质得出=g/C,算出ABCM

是直角三角形，根据面积计算公式即可解答；

【详解】（1）连接所交45于点O,”即为所求;

理由：Q/AOE=NBOF,AE=BF=2.AE//BF,

NOAE=ZOBF,

答案第9页，共19页

:.AAOE知BOF(AAS),

:.AO=BO,

即线段E尸平分48.

（2）如图，CD即为所求；

理由：由（1）得，线段EF平分AD=BD,即C。是N3边上的中线，即线段C。平分

△A8C的面积.

(3)QAC2=22+22=8,BC2=I2+12=2,T1S2=32+12=10,

是直角三角形，

根据题意可得：“MPsKQM,

.AMAP_

"CA7"eg-'

:.CM=-AC=-x^8

333

BC=41,N4C8=90°，

故A8cM的面积=!*迪乂亚=4.

233

22.(1)108.68亿

(2)B,C,D

【分析】本题主要考查拆线统计图，求平均数，中位数和方差等:

（1）根据平均数定义求解即可；

答案第10页，共19页

(2)结合拆线统计图，根据平均数，中位数和方差的概念求解再进行判断即可

【详解】(1)解：2018年到2022年这五年国家图书总印数为：100.1亿，106亿，103.7亿，

19.6亿,14亿,

所以，2018年到2022年这五年国家图书总印数的平均数为：

|(100.1+106+103.7+119.6+114)=108.68(亿)，

即2018年到2022年这五年国家图书总印数的平均数为108.68亿；

(2)解：A.2013年到2022年国家图书总印数变化率最低的是2022年，但是2022年国家

图书总印数不是最少，位居第二.故选项A说法错误；

B.2013年到2022年国家图书总印数出现增长量最大的是2021年，故选项B说法正确；

C.2013年到2022年国家图书总印数变化率从小到大排列为：

-4.7%,-2.2%,-1.6%,2.2%,4.4%,4.9%,5.9%,5.9%,8.3%,15.3%,

44%+49%

2013年到2022年国家图书总印数变化率的中位数=；=4.65%,故选项C说法正确；

D.2013年到2017年国家图书总印数的平均数为：1x(83.1+81.8+86.6+90.4+92.^=86.86

(亿)

方差为

=|[(83,1-86.86)2+(81.8-86.86)2+^6.6-86.86J+?0.4-86.86)+&.4-86.86)]

=16.6064；

由(1)知，2018年到2022年国家图书总印数的平均数为：108.68亿，

2018年到2022年国家图书总印数的方差：

5^1[(100.1-108.68)2+(106-108.68^03.7-108.68j+(19.6-108.68)+(114108&1

=50.6296,

所以，正确的选项是：B,C,D

23.(1)120,270

⑵y=-3+45(120<x4270)

【分析】该题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是求出函数解析式；

答案第11页，共19页

(1)根据汽车一次充满电，可以行驶最大里程是120千米可得加，再根据满电满油可以行

驶最大里程是720千米，故满油可以行驶最大里程数，即可得25%油可以行驶最大里程，

即可求解；

(2)用待定系数法求出解析式即可解答；

【详解】(1)根据汽车一次充满电，可以行驶最大里程是120千米可得：m=120,

满电满油可以行驶最大里程是720千米，故满油可以行驶最大里程是720-120=600千米，

故25%油可以行驶最大里程是600x25%=150千米，

故”=150+120=270千米，

故答案为：120,270.

(2)当120<xW270时，设％=丘+6(左W0),

/、/、fl20左+6=25

将(120,25)和(270,0)代入得,

I乙/xJK.十U—U

k=--

解得6,

b=45

Aj=--x+45(120<x<270).

6

35

24.(1)证明见解析；(2)-；(3)—

412

【分析】本题主要考查了正方形的性质，翻折的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟

练掌握翻折的性质是解题的关键.

(1)连接根据折叠性质和正方形性质即可证明；

(2)延长/9交DC于点N,设。M=x,设正方形的边长为2a,则

2

PM=a+x,CM=2a-x,PC=a,在尺/△MC尸中，用勾股定理可得出了=§〃.设CN=y,用

13

勾股定理可得出>即可得出。N=在中，即可求解.

45

(3)根据(2)可知，MN=-a-y=-a,即可求解；

36

【详解】(1)如图，连接

答案第12页，共19页

BPC

根据翻折和正方形性质得：AD=AB=AB',ZD=ZB=NAB'M=90°，

根据勾股定理，B'M=AM'2-AB'2,DM=^AM2-AD2.

B'M=DM；

（2）延长N"交。C于点N,

设。M==设正方形的边长为2a,

贝l|PM=PB'+B'M=PB+B'M=a+x,CM=2a-x,PC=a,

在Rt^MCP中，PM?=PC?+CM?,

即（0+工）2=02+（20—》）2.

7

化简得x=会,

同理，依题意PC=PB，,NC=NPBW,

根据勾股定理，CN=yJPN2-PC2B'N=^PN2-PB'2，

CN=B'N,

设CN=B'N=y,

24

贝UMN=2a-x-y=2a——a-y=-a-y,

33

在比中，MN2=BfM2+BfN2,

答案第13页，共19页

化简得了=；〃

(4)241

:,DN=DM+MN=^[5a-y]=^f--

3

在“，中，翳以十

,,,4415

(3)根据(2)可知，MN=—a—y=—a—a——a.

3326

5

a

MN=e=5.

CD~2a~12

25.(1)30

(2)1

【分析】该题主要考查了动点几何问题，矩形和菱形的性质，解直角三角形等知识点，解题

的关键是能够正确理解题意.

(1)根据tan/C/3=J,即可求解；

3

GF1

(2)当点尸落在/C上时，得出/GbC=90。，在MACFG中，根据sinNGW=—=-,

GC2

即可求解；

33

(3)分为①当时，②当:<x42时，③当2<xV3时，分别求解即可；

22

【详解】(1)..•四边形/BCD是矩形，

ZCBA=90°，

在^ABC中，

VAB=6,BC=273，

AB63

：.ZCAB=30°,

答案第14页，共19页

・••力BCD是平行四边形,

AB//CD,

：.ZACD=/CAB=30°.

(2)当点尸落在ZC上时，

•・•四边形。EFG是菱形，ZEDG=60°,

DE//FG,ZFGC=60°,FG=DG=2x,

由(1)知/G43=30。，

・•・ZGFC=180°-60°-30°=90°,

GF1

在m△CFG中，sinZGCF=——=—,

GC2

..x-1,

即检验X=1是分式方程的解,

..X—1•

33

(3)当04x41时，无重叠部分；当x时，r>G=-x2=3,此时点厂与点2重合;

22

当x=2时，0G=2x2=4,此时E尸运动到矩形外部；

3

①当I<x4士时，由(1)知，ZGOC=90°,ZOCG=30°,ZEDG=ZF=60°,

2

DG=FG=2x,CG=6-2x,

6—2x

，OG=sin30°-CG=^—=3—x,O尸=2x-(3-x)=3x—3,

:.OH=tan60°OF=6(3x—3),

2

/.J=1-OF-O/7=1X(3X-3)XV3(3X-3)=^1(%-1)；

3

②当%<2时，由(1)知，/GOC=90o,/OCG=3()o,/EQG=//=60。，

DG=FG=2x,CG=6-2x,ZF=ZEDG=60°,

/.OG=sin30°CG=3-x,(9C=cos30°-CG=*寸)，

MC=cos30。•QC=35A®=sin30。•OC=3,

答案第15页，共19页

=x

•*,yS菱形DGFE+SacG-S9MC=（2^）,sin60°•（2x）~1~,（3—x）——x3^/3x3

=争一3瓜;

③当2<x43时，由（1）知，ZGOC=90°,ZOCG=30°,ZEDG=ZF=60°,

/ADM=30°,ZADM=60°,ZNGC=60°,ZNCO=60°.

DG=FG=2x,CG=6-2x,

NG=sin30°-CG=3-x,AfC=cos30°-CG=1—2x>3圻x）,

AH=sm3Q°-AD=>/3,MH=tan30o-AH=1,ON=CNtan60°=3（3-x）,

：

.yJ=S4ABL-S△CozCr/VN-St^AAHHMM=2-ABBC--2-AHMH--2-CN-ON

=^X6X2A/3-|XV3X1-|X