安徽省合肥市2024届高三年级下册适应性联考（三模）数学试卷(含答案)

安徽省合肥市2024届高三下学期适应性联考(三模)数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.已知集合人={尤6汛V<4},3={—1,0,1,2,3},则AB=()

A.{1,2}B.{0,1,2)C.{-2,-1,0,1,2,3)D.{-1,0,1,2)

2.已知z(i—3)=彳+2,则z=()

A.Si42

B.-------i

99999999

3.已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为8的半圆,则该圆锥的体积为()

D64百兀

A.48兀B.16兀C.64后

--3-

4.为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测

试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从N(70,64),据此估计测试成绩

不小于94的学生所占的百分比为()

参考数据：尸(〃一cr<X<〃+cr)a0.6827,尸(〃一2cr<X<〃+2cr)a0.9545,

-3a<X</j+3cr)«0.9973

A.0.135%B.0.27%C.2.275%D.3.173%

5.某银行大额存款的年利率为3%,小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复

利计算8年后他能得到的本利和约为()(单位：万元，结果保留一位小数)

A.12.6B.12.7C.12.8D.12.9

2024

6.已知定义在R上的偶函数/(x)满足/(0)=1且/(%)+/(2-尤)=4,则Z/G)=()

z=0

A.4049B.2025C.4048D.2024

22

7.已知双曲线C:二-3=1(。〉0力〉0)的右焦点为R圆。:—+/=/与。的渐近

ab

线在第二象限的交点为P,tanZFPO=72,则C的离心率为()

A.2B.V2C.3D.V3

8.如图，正四面体A3CD的棱长为2,△血)是以E为直角顶点的等腰直角三角形.

现以AD为轴，点E绕AD旋转一周，当三棱锥石-BCD的体积最小时，直线CE与平

面BCD所成角为c,则sin2q=()

A

二、多项选择题

9.已知X],%是函数/（x）=2sin1°x-t}o〉0）的两个零点，且%-马|的最小值是

p则（）

A"（x）在0,方上单调递增

B./W的图象关于直线%=--对称

6

C./（%）的图象可由g（x）=2sin2》的图象向右平移-个单位长度得到

6

D"（x）在‘兀上仅有1个零点

10.已知实数a,6满足0<a<Z?<l,则（）

bu_1

baab

A.—<-----B.a+b>abC.a<bD.2-2<logta-logxb

aa—122

22

11.椭圆C：L+二=1（机〉0）的两个焦点分别为居，则下列说法正确的是（）

4m

A.过点工的直线与椭圆C交于A,3两点，则AAB耳的周长为8

B.若C上存在点P,使得PF「PB=0,则机的取值范围为（0,0]L[20,+s）

C.若直线Ax-y+l=0与C恒有公共点，则机的取值范围为工内）

D.若机=1,尸为。上一点,e（-i,0）,则归0的最小值为，

三、填空题

12.已知，tan［，+：］=-gtan。，贝1Jtan2e=.

13.△ABC中，^BABC=CACB=3ACAB,则叫工____.

\BC\

14.若对X/xe(2,+oo),e*+2a>aln(ax-2a)恒成立，则实数a的取值范围为.

四、解答题

15.设数列｛%｝的前〃项和为S“，已知q=6,｛2｝是公差为2的等差数列.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)若a=」—，设数列也｝的前〃项和T“，求证：—<Tn<~.

为%156

16.在平时的日常生活中游泳对锻炼身体有很多的好处，大致有以下几个方面：

一、游泳可以让身体更加苗条，达到减肥的效果；

二、游泳能够增加人体的肺活量，提高人体的呼吸系统能力，也可以预防心脑血管系

统疾病，包括冠心病、不稳定型心绞痛以及脑血栓等疾病；

三、游泳可以保护关节，让关节避免受到损伤.

下面抽取了不同性别的高中生共100人，并统计了他们游泳的水平如下表：

合格不合格合计

男性1050

女性20

合计70100

(1)根据此表依据a=0.05的独立性检验判断：是否可以认为高中生游泳水平与性别

有关？

(2)游泳教练从成绩不合格的高中生中抽取了2名女生和1名男生进行游泳示范指导.

已知经过一段时间指导后，女生成绩合格的概率为47,男生合格的概率1为求这3

32

人经过指导后成绩合格总人数X的分布列和数学期望.

参考公式：①相关性检验的临界值表：

a0.100.050.10

2.7063.8416.635

②‘2=--------------"(ad-be)-------,其中〃=a+6+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

17.如图，在矩形纸片A3CD中，AB=4,BC=2,沿AC将△">(7折起，使点。

到达点P的位置，点P在平面A3C的射影“落在边A3上.

(1)求AH的长度；

(2)若〃是棱PC上的一个动点，是否存在点〃，使得平面与平面P3C夹角的

余弦值为立?若存在，求出的长；若不存在，说明理由.

4

18.已知平面上一动点P到定点尸(0,1)的距离比到定直线y=-2024的距离小2023,

记动点P的轨迹为曲线G.

(1)求G的方程；

(2)已知直线丁=依+1(左/0)与曲线C［交于M,N两点，T是线段MN的中点，点A

在直线y=-l上，且AT垂直于x轴.设点3在抛物线。2：y=-炉-1上，BP,3Q是G

的两条切线，P,Q是切点.若AB//MN,且A,3位于y轴两侧，求黑黑的值.

19.已知函数/(%)=aex-sinx-a.

(1)当a=3时,求曲线y=/(%)在点(0"(0))处的切线方程；

⑵当a>0时，函数/(X)在区间内有唯一的极值点

①求实数。的取值范围；

②求证：/(x)在区间(0,兀)内有唯一的零点j=Lx0<.

参考答案

1.答案：B

解析：A={xeN|%2<4)={0,1,2},B={-1,0,1,2,3},所以A3={0,1,2}.故选B.

2.答案：D

解析：=«+则彳=a-历，因为z(i-3)=彳+2,所以

(6i+Z?i)(i-3)=a-bi+2,IP-3a-b+(a-3b)i=a+2-bi,所以《解得

a—3b——b,

一4

ci——,

<9所以z=-3二i.故选D.

卜,丁299

3.答案：D

解析：设圆锥的底面圆半径为「，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则

2兀〃=8兀，解得r=4,则圆锥的高//=花2—42=46,所以该圆锥的体积为

V--7ir2h=-7tx42x4^/3=64，兀.故选D.

333

4.答案：A

解析：依题意〃=70,b=8,94=〃+3(T,所以测试成绩不小于94的学生所占的百

分比为1—89973*I。。％=0135%.故选A.

2

5.答案：B

解析：存入大额存款10万元，按照复利计算，可得每年末本利和是以10为首项，

1+3%为公比的等比数列，所以本利和

5=10(1+3%)8=10[C；+C；x0.03'+C；x0.032++C：x0.037+C；]212.7.故选B.

6.答案：A

解析：由/(x)+/(2_%)=4,令x=l,得/(1)=2,又令％=0得/(2)=3,再令

九=-1,/(—1)+/(3)=4,又/(—1)=/(1)=2,所以/(3)=2,又

/(x+4)+/(—x—2)=/(x+4)+/(无+2)=4,/(—x)+/(2+x)=/(x)+/(2+x)=4,所

以/(x+4)=/(x),4为/(x)的一个周期，/(4)=/(0)=1,

2024

Sf(i)=/(0)+506x[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)]=4049.故选A.

i=0

7.答案：C

解析：如图，根据题意可得tanNPOR=—2，所以sin/POP=2,cosZPOF=--,

acc

又tanNFPO=后，且显然ZERO为锐角，所以cosNPPO=@,sinZFPO=—,

33

sinZPFO=sin(ZOPF+ZPOF)=^xf--\—x-=^b~^a,在△POE中，由正

3143c3c

弦定理可得QP=10臼，即广，化简得2=2后，所以C的

sinZPFOsinZOPFyl3b-\j6aV6a

3c3

解析：在正四面体A3CD中，取3c的中点R,连接DGAF,则。尸=AF,取AD的

中点M,连接RM,EM,则月0，4。，△AEO是以E为直角顶点的等腰直角三角

形，正四面体ABCD的棱长为2,则石版_LA£>,且EM=工AD=1.点E绕AD旋转一

2

周，形成的图形为以M为圆心，以1为半径的圆，设该圆与的交点为耳，当三棱

锥E-BCD的体积最小时，即E点到底面BCD的距离最小，即此时E点即位于g处.

因为==则FM=dAFi-AM?=6,FEi=72-1,设点用在底面BCD

上的射影为H,删E[H=E[F.sin/E[FH=EF.喘,又MB=MC,3C的中

点、为F,故〃FLBC,故EICIFC+EF=旧+陋_1)2=飞4—2血,由于点片

在底面BCD上的射影为故N&CH即为直线CE］与平面BCD所成角a,故

5五好注=黄£=土眸=上变.故选口

E\C（74-2V2）212-6012

9.答案：ABD

解析：由题意可知，函数/（幻的最小正周期丁=兀=@,(2)=29

CO

/(x)=2sin12x-Ej.对于A,当XE0,j时,,5,二/(x)在Q,—上

单调递增，故A正确；对于B,/(-t)=2sin=2sin(一/)=—2,

.•・/（X）的图象关于直线％=-四对称，故B正确；对于C,

6

=2sinf2x-^故C错误；对于D,当工£/，兀时,

2X--G—,仅当2x-二=兀，即x=F时，/(x)=0,故D正确.故选ABD.

666612

10.答案：BCD

解析：对于A,2—"1=""〉0,故A错误；对于B,

aa—\〃(i—1)

.Inx

a+b-ab=a+b(l-a)>0,则〃+故B正确；对于C,令/(%)=---,

x

/(乃=上坐，当0<%<e时，f'(x)>0,/(x)单调递增，因为0<a<Z?<l,则

X

f(a)</(Z?),得见^即Z?lnQ<alnZ?,]nab<lnba,所以故C正确;

ab

对于D,函数g(x)=2'—log1尤在R上单调递增，因为则g(a)<g3),

2

即2。—log】a<28—log",所以20—2"<log】a—log])，故D正确.故选BCD.

2222

11.答案：BD

解析：对于A,由椭圆定义可得AAB耳的周长为

|M|+忸耳|+|AB|=|M|+|明|+|9|+|即|=4a,但焦点不一定在x轴上，故A错

误；对于B,若PF/PE=O,则当P位于短轴顶点时，NFFB最大,此

1A_2

时tanNOPG2tan45°=l,即£21.当0<加<2时，由.一“Y1,解得0〈根〈后；

bm

当相>2时，由加？421,解得小22日，故B正确；对于C,直线Ax-y+l=0过

定点(0,1),所以±W1,即疗21,又疗74,所以机的取值范围为[l,2)U(2,+8),

m

故C错误；对于D,设P(2cose,sin，)，所以

22

|PQ|=7(2cos^+l)+sin0=J3|^cos3+^+1,当cos£=—|时，\PQ\m[n=^,故

D正确.故选BD.

12.答案：-士

4

解析：由tan[e+四]=_2tan，，得tan^+l=_%1,整理得

V4y31-tan63

2tan20—5tan0—3=0,解得tan6=—工(舍)或tan6=3,所以

2

2tan<92x33

tan20=

1-tan201-324

13.答案:f

解析：由得BC-(a4+CA)=0,BP(BA+AC).(BA-AC)=0,

，2-2----

BA-AC=0,所以|3A|=|G4|.由痴-8。=34。->15得3A.(3C+3AC)=0,即

841；C5+：CA]=0.设D为线段AB上靠近A的四等分点，则CD,AB.设AD=1,

则3D=3/,AC=4t,所以。=后，BC=2倔，所以1^1=^^=逅.

\BC\2而3

14.答案：(0,e3)

解析：e*+2a〉aln(ox-2a)可变形为e*〉aln(ox-2a)-2a,即e*〉aln,所以

e

eciax—2a日门_2aax—2af。4日

-r>-rl1n——--,BPex>—1In——--,由x>2,得

eeeee

(x—2)e'-2>=(x—2)ln"M,即(x—2)e>2>ln竺『工1"竺•构造函数

eeee

/(x)=xe\贝1JAx)=(x+l)eX,且原不等式等价于/(x—2)〉/[n竺/],当

In丝二<0时，原不等式显然成立；当In2320时，因为"x)=xe，在[0,+oo)上

ee

单调递增，所以x-2>ln*网，解得。<令g(x)=J,则g<x)=(：_?；,

所以g(x)在(2,3)上单调递减，在(3,+s)上单调递增，从而x=3是g(x)的极小值，也

是g(x)的最小值，且g(3)=e3,于是0<a<e3,故a的取值范围为(0©).

15.答案：(1)%=4"+2

(2)证明见解析

解析：(1)因为q=6,所以1=6=2,所以=2+(〃-1)x2=2r,即

“1+21+2n+2

Sn-2n(n+2),当〃之2时，an-Sn-Sn_1-2n(n+2)-2(/7-1)(H+1)=4H+2,又q=6

适合上式，所以a〃=4n+2.

(2)证明：2一--4x=------------,故

anan+l(4〃+2)(4〃+6)4(4〃+24〃+6,)4〃+24〃+6

小+p---M=i-

^—.^\Tn=-———

(610j(1014)(1418)(4“+24z?+6)64n+664〃+6

关于“单调递增，所以427；=工，X^—>0,所以7；=L-——所以

154〃+664〃+66

15"6

16.答案：（1）高中生游泳水平与性别有关

（2）分布列见解析，-

解析：（1）完成表格如下:

合格不合格合计

男性401050

女性302050

合计7030100

零假设8°：高中生游泳水平与性别无关,

100x(40x20—30x10)2

。4.762〉3.841=/05，依据。=0.05的独立性检验，我们

70x30x50x50

有充分的理由认为“0不成立，即高中生游泳水平与性别有关.

（2）依题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,

2

…)=1—jxll-A11

…）＜印一|2X1-1141.2jxL9,

3231218

P(X=2)=C'x|_4

=-9

9

P(X=3)=(|Jxl=|

所以X的分布列为:

X0123

1542

P

181899

154?11

=—+lx—+2x-+3x-=—.

1818996

17.答案：（1）1

⑵|

解析：（1）作PELAC,垂足为E,连接EH,如图所示:

由点P在平面ABC的射影H落在边AB上可得PH，平面ABC,

又ACu平面ABC,所以/WLAC,因为PHPE=E,且PH,PEu平面PHE,

所以AC,平面PHE,又EHu平面PHE,所以ACJ_EH,

又因为A3CD为矩形，AB1BC,可得△ABCsaAEH.

由AB=4,BC=2,可得AP=2,PC=4,AC—2y/5,

所以PE=APPC=逑,AE7Ap2-PE2=亟.

AC55

AEABAEAC有

由“可得£_=—,则AH=----------=3------------=1,

AHACAB4

即AH的长度为1.

（2）根据题意，以点H为坐标原点，以过点H且平行于5c的直线为y轴，分别以

HB,HP所在直线为x,z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则A(—1,0,0),P(0,0,V3),3(3,0,0),C(3,2,0),设CM=2CP,2e[0,l],

所以CM=4(—3,—2,百)=(-32,-22,后)，所以M(3—32,2—2%扁).

易知AB=(4,0,0),MB=(32,22-2,-A^2),PB=(3,0,—百)，3c=(0,2,0),

设平面AM3的一个法向量为7"=a，x，zJ,则

AB-m-4Xl-Q,取％=届，则m=(o,豆424—2).

由V

MB,m—34%]+(2A—2)%—J3九z1-0,

设平面P3C的一个法向量为〃=（%2，%/2），则

PB•n=3x-A/3Z=0』

2?2?

由V取％=1，贝!J〃=(1,0,8).

BC-n=2y2=0,

由Icos（m,〃〉|==―二II—=立，整理可得3%—82+4=0,

l^ll«l2xj7/_84+44

o9,R

解得；1=2（舍）或2=—,因此CM=—CP,BP|CAf|=-|CP|=-.

3333

所以存在点M,使得平面AMB与平面PBC夹角的余弦值为正，此时CM的长度为号.

43

18.答案：（1）%2=4>

（2）1

解析：（1）因为点P到定点尸（0,1）的距离比到定直线y=-2024的距离小2023,

所以点P到定点尸（0,1）的距离与到定直线y=-l的距离相等，

由抛物线的定义可知，点P的轨迹是以定点尸（0,1）为焦点，定直线y=-l为准线的抛

物线，

所以q的方程为必=4%

（2）设N（x2,y2）,联立<：消去y得£一46一4=0,

A=16左2+16>0,

贝U再+九2=4左，七犬2=-4，

所以X+%=左（玉+/）+2=4左N+2,y1y2=（：；）=1，

16

所以7（2女,2左2+1）,则A（2R—1）.

因为AB〃MN,所以直线A5的方程为y+l=A（x—2左），^y=kx-lk2-1,

联立,一，消去y得而—2左2=0,解得％=—2左或%=左，

y=-x-1

又A,3位于y轴两侧，故5（-2左,^左2-1）.

设点®，为）在抛物线G上，又由炉=4>,得此=「夫0，

则G在点（/，为）处的切线方程为丁-%=；Xo（x-x（J,

整理得与x-2y-2%=0,设尸（七,%），。（%为），则G在。（七，%）与。（%为）处的

切线方程分别为了3》-2丁-2%=0与％犬-2丁-2y4=0，

又两条切线都过点3,则毛（-2左）-2（TA：2—1）—2%=0,

x4（-2k）-2（«2_1）_2%=0,

则直线PQ的方程为（―2Qx—2（—4代一1）—2y=0,

即依+y-4左2—1=0,又T（2左,2左2+1）,点T的坐标适合方程"+y—4左2—1=0,所以

点T在直线PQ上.

由T是线段MN的中点，^\TM\\TN\=-\MN\2,

4

而|MN|=J1+42+々）~=4（3+1）,

则17Mli77V|=4优2+1）2.

联立〈三''。消去y得+4Ax—16左2—4=0,A=80/+16>0,

x=4y

2

贝！Jx3+x4=一4左,x3x4=-16k