广东省东莞市三校2023-2024学年高二年级下册4月期中联考数学（解析版）

广东省东莞市三校2023-2024学年高二下学期4月期中联考

数学试题

考试范围：第五章，第六章，第七章前三节；考试时间：120分钟；

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷(选择题)

一、单选题(每小题5分，共40分)

L若函数/3=叱2x+l,则/d

C.15

A.0B.1D.-

22

【答案】A

【解析】

【分析】求导,再令x即可得解.

2

【详解】f'(x)=--2,

X

所以/[£l=2—2=0.

故选：A.

2.若C，=G，贝股=()

A.2B.3C.2或4D.3或4

【答案】C

【解析】

【分析】根据组合数公式的性质求解即可

【详解】因为c；=q,

所以〃=2或〃=6—2=4,

故选：C

3.随机变量X的分布列如表：则。=()

X-101

P0.30.5C

A.0.2B.0.3C.0.5D.0.6

【答案】A

【解析】

【分析】由分布列中的概率和为1可直接求得结果.

【详解】由分布列性质知：0.3+0.5+c=l,解得:c=0.2.

故选：A.

4.的展开式中，含广2的项的系数是()

A.-20B.5C.15D.35

【答案】C

【解析】

【分析】根据二项式定理求解.

【详解】由二项式定理：!]=C^(-l)rx6-2r，令6—2r=—2,得厂=4,

所以一项的系数为(_1)4或=15；

故选：C.

5.若函数/。)=犬—/'⑴炉+3,则/(1)=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】求出函数"X)的导数，再赋值计算即得.

【详解】函数/(x)=d—/⑴必+3,求导得/'00=3f-2/'(l)x,

当X=1时，r⑴=3-2/'⑴，

所以ra)=L

故选：A

6.有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有

A34种B.48种

C.96种D.144种

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：2A：&=96,故选C.

考点：排列组合.

7.已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%,乙厂产品占30%,甲厂产品的合格率是90%,乙厂

产品的合格率是80%,则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是()

A.0.63B.0.24C.0.87D.0.21

【答案】C

【解析】

【分析】根据独立事件和互斥事件概率计算方法计算即可.

【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件A,买到的灯泡是乙厂产品为事件

B,则由题可知P(A)=0.7,PCB)=0.3,

从甲厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件C,

从乙厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件。，

则由题可知P(O=0.9,P(D»=0.8,

由题可知A、B、C、。互相独立，

故从该地市场上买到一个合格灯泡的概率为：

P(AC)+P(BD)=P(A)P(C)+P(B)P(D)=0.7X0.9+0.3X0.8=0.87.

故选：C.

x2-2x,x<0

8.已知函数/'(x)=2x，若关于x的方程4(x)+a—1=0恰有四个不同的实数

L>°

根，则实数。的取值范围是()

合+2]

D.

e

【答案】D

【解析】

【分析】先将原方程变形为/(尤)=1或〃x)=a-1,然后分析“力的单调性，再对不同的。进行分类

讨论即可得到结果.

【详解】由于(〃力)2—硝力+a—l=(/(x)T(/(x)—a+1),故原方程等价于〃X)=1或

f(x)=a-l.

由于当x40时，/(X)=X2-2X=(X-1)2-1,故/(x)在(—8,0］上单调递减.

而当x>0时，有/(司=¥，故此时/(%)=2(1丁),

ee

从而当0<x<l时/'(力>0,当工〉1时/'(力<0,所以/(九)在(。』上单调递增，在［1,+8)上单调递

减.

从而当x>0时，有/(x)</⑴=2<1,而外力在(—8,0］上单调递减，/(-V2+l)=l,

所以〃x)=l有唯一解了=—及+1.

若原方程有四个不同的解，则存在四个不同的实数X满足/(尤)=1或/(x)=a-1,

而/(%)=1只有一个解，所以方程/(%)=a—1至少有三个解.

2x

假设々一14。，则当xvO时/(1)二12-2x=x(九一2)>02〃-1,当％>0时/(%)=—^>02〃一1,

e

所以/(%)=a—1至多有一个解，矛盾，所以a—1>0

22

假设a—1»—,则当x>0,xwl时有/(x)</(l)=—Ka—1,

ee

从而〃x)=a—1在(0,+“)上至多有一个解，由/(%)在(―8,0］上单调递减知/(x)=a—1在(―8,0］

上至多有一个解，

2

所以/(x)=a—1至多有两个解，矛盾，所以。-1<一.

e

22

综上，有0<〃—1<一,即—；

ee

、22、9f⑴

另一'方面，当—即0<〃一1<一时，设"=--------F1>1,

eea-1

由于一6)=a+26>a>,/(0)=0<〃一1,=—>a-1,

乎⑴=---7~\——/⑴<-VV/(1)<(2-1

9/(1)8/(l)M；*

-----------1-----------

a—1a—1

故/(x)=a-1在卜后,0),(0,1),(1,M)上各有一个解，从而至少有三个解.

_G

而八一应+1)=1,lwa—1(因为。一1<—<1),所以/(九)=1或/(%)=。一1有四个解.

综上，0的取值范围是+即［1,平］,D正确.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于恰当选取不同的情况进行分类讨论，对于取值范围问题，需要严格

证明命题成立当且仅当参数属于对应范围，而这往往意味着论证需要包含充分性和必要性两方面.

二、多选题(每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对

的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.下列函数求导正确的是()

A.(2/-3—+5)=6/-6x

【答案】ABD

【解析】

【分析】直接根据导数的运算法则及复合函数求导方法计即可判断.

【详解】对于A：(2x3-3x2+5)=6x2-6x,故A正确；

对于B：(e'+lnx)=6^+—,故B正确；

对于C：令1/=二，则［cos'］=(COSM)'=-sin"-M=-」sin',故C错误；

313)'，33

对于D：f—H———=-2x-2+P-4(x+l)2xl=---------,故D正确.

(xx+ULJ(x+1)

故选：ABD.

10.有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加

工出来的零件混放在一起，已知第1,2,3台车床的零件数分别占总数的25%,30%,45%,则下列选项

正确的有（）

A.任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.015

B.任取一个零件是次品的概率为0.0525

2

C.如果取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为不

D.如果取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为:

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求概率判断A、B正误；应用条件概率公式求C、D描述中对应的

概率，判断正误.

【详解】A：由题意任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为6%x25%=1.5%,正确；

B：由题设，任取一个零件是次品的概率为6%x25%+5%x30%+5%x45%=5.25%,正确；

C：由条件概率，取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为

5%x30%2-

--------------------------------=—,正确；

6%x25%+5%x30%+5%x45%7

D：由条件概率，取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为

5%x45%3

--------------------------------=一,车日庆.

6%x25%+5%x30%+5%x45%7

故选：ABC

11.关于函数/（x）=2+lnx,下列判断正确的是（）

X

A.x=2是〃力的极大值点

B.函数y=/（x）-x有且只有1个零点

C.存在正实数左，使得〃尤）＞去成立

D.对两个不相等的正实数片,须，若/（玉）=/（9），则/（七+巧）＞；+如4.

【答案】BD

【解析】

【分析】①对函数求导，结合函数极值的定义进行判断即可；

②求函数的导数，结合函数单调性及零点存在性定理，可判断出零点个数；

③利用参数分离法，构造函数g（x）==+」3,求函数的导数，研究函数的单调性和极值进行判断即

XX

可；

④设0<%<2<々，则4—%>2,构造函数并结合函数的单调性，可证明

再结合/(尤)的单调性，可得到一石<々，即可得到

/(4-XI)-/(A2)=/(4-^)-/(X1)<0,4

X]+x2>4,从而可得证.

91X—2

【详解】A函数的定义域为(0,+8),函数的导数r(x)=—1+(=丫，.•.在(0,2)上，尸(x)<0,

函数单调递减，(2,+“)上，/^x)>0,函数单调递增，.•.尤=2是“力的极小值点，即A错误；

2

291_r।r_O

B.y=/(%)-%=—+lnx-%,/.y'=——7+——1=-------------<0,函数在(0,+℃)上单调递减，且

X%XX

/（l）-l=2+lnl-l=l>0,/（2）—2=l+ln2—2=ln2—1<0,.•.函数y=/（x）-x有且只有1个零

点，即8正确；

C右/(x)>Ax,可付左〈f""*------，令g(x)=~y+-----，贝Ug(%)=---------3-------，令

XXXX

Mx)=T+x-xlnx,则〃'(x)=-lnx,.•.在xe(O,l)上，函数人⑺单调递增，％e(l,+co)上函数

o1n丫

入⑺单调递减，「・//(%)<//(1)<0,/.g'(%)<0,g(x)=—+----在(0,+■)上函数单调递减，

JCX

函数无最小值，，不存在正实数左，使得/(%)>去恒成立，即c不正确；

27

D令，£（0,2）,则2—，£（0,2）,2+/>2,令g（，）=/（2+♦）—/（2—，）=------i~ln（2+r）----------

2+♦2—t

4（/-4）-8/2-t2-t+2+t—4产—164

1/c\4%12+t则g'a）=

]n（2—/）=------FIn------,,2—4）2+2+f（2T/--------------V-------------T

、）产—42-t4-厂

-8产

T<0,g。)在(0,2)上单调递减，则g(0<g(O)=O,令“2—t,由/(玉)=/(%2)，

r-4

得X2>2+f,则%>2-f+2+t=4,当々24时，石+々〉4显然成立，，对任意两个正实数

A，鼻，且马〉石，若/(石)=/(%2)，则西+工2〉4,所以/(X+X2)>/(4)=g+ln4.故。正

确.

故选：BD.

【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性和极值，函数零点个数的判断，以及构造法

证明不等式，对于C,解题的关键是利用参变分离进行分析，对于D,解题的关键是判断％+々>4.综

合性较强，运算量较大，有一定的难度.

第II卷(非选择题)

三、填空题(每小题5分，共15分)

12.(x+y)(2x-3y)5的展开式中//的系数是.

【答案】-360

【解析】

【分析】写出(2x-3y)5的展开式的通项，然后对/•分类求得答案.

【详解】(2x—3»展开式的通项为ZM=G(2X广(―30=C>25-3)'产了，r=0,1,2,,5,

①令r=2,则式；•23.(—3『dy2=720_?y3.

②令厂=3,则；cC；•22.(—3)3x2y3=—1080Vy3.

综上可得：展开式中项的系数为720—1080=-360.

故答案为：-360.

13.如图所示，在A,8间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路.则电路不通，则因为焊接

点脱落而导致电路不通情况有种.

2

A3B

【答案】13

【解析】

【分析】分类讨论，列举出脱落1个，2个，3个，4个焊接点导致电路不通的情况，求出答案.

【详解】若脱落1个，则有(1),(4)两种情况，

若脱落2个，则有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6种情况，

若脱落3个,则有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4)共4种情况.

若脱落4个，则有(1,2,3,4)共1种情况，综上共有2+6+4+1=13种情况.

故答案为：13.

14.若函数/(x)=；d—x在(a,10—〃)上有最小值，则实数。的取值范围为

【答案】-2<a<l

【解析】

【详解】F(X)=*—1=(x+1)(X—1),令f(X)>0得xV—l或X>1,

令/(x)V0得一所以函数/<x)的单调递增区间为(—8,—1)和(1,+8),减区间为

(—1,1).

C31C2cl3CY3

依题意得：尸(X=。”才&P(X=1)=干=7P(X=2)=^=-,

:.X的分布列为:

X012

133

P

10510

【小问2详解】设第1次抽到男老师为事件A,第2次抽到男老师为事件5,则第1次和第2次都抽到男

老师为事件AB,

根据分步计数原理n(A)=A；A；=12,〃(AB)=A；=6.

所以®y4

2

17.已知函数/（x）=2m>lnx+3〃3b为实数）的图象在点（L/（l））处的切线方程为y=x+L

（1）求实数。、b的值；

（2）求函数/（尤）的单调区间和极值.

【答案】（1）

（2）减区间为增区间为极小值为/（：］=一：+2,无极大值.

【解析】

【分析】（1）利用导数的几何意义可得出关于。、〃的方程组，即可得出实数。、6的值;

（2）利用导数分析函数/（力的单调性，结合极值的定义可得结果.

【小问1详解】

解：因为〃x）=2at1nx+3Z2,该函数的定义域为（0,+“），/,（x）=2a（l+lnx）,

因为函数/（x）=2G>lnx+3b（。、6为实数）的图象在点（L/。））处的切线方程为y=x+l,

1

(1———

Kf,(Tl}=弘2a一=l解得2

则

3

【小问2详解】

解：由（1）可得/（x）=xlnx+2,该函数的定义域为（0,+“），/f（%）=l+ln%,

18.甲乙两家快递公司的“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单奖励1元；乙公

司规定底薪100元，每日前45单无奖励，超过45单的部分每单奖励6元.

（1）设甲、乙两家快递公司的“快递小哥”日工资分别为力,为（单位：元）与送货单数〃（单位:

单，〃eN*）的函数关系式分别为％=/（"），%=g（"），求％=/（"），％=g（"）的解析式.

（2）假设同一公司的“快递小哥”的日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，并

若将频率视为概率，回答下列问题：

①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X元，求X的分布列和数学期望；

②小赵打算到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日工资的角度考虑，请你利用所学

的统计知识为他进行选择，并说明理由.

“100,zz<45,neN

【答案】(1)如=70+〃，“eN*;%=<*；(2)①分布列见解析；期望为112；

-6n-170,n>45,neN

②推荐小赵去甲快递公司应聘；理由见解析.

【解析】

【分析】(1)由已知可求得甲快递公司的“快递小哥”的日工资%和乙快递公司的“快递小哥”的日工

资为?与送货单数九的函数关系式.

⑵①由条形图得X的取值范围为{100,106/18,130},分别求得P(X=100),P(X=106),

P(X=118),P(X=130),由此可得X的分布列，根据数学期望公式可得答案.

②求得甲快递公司的“快递小哥”日平均工资，由①知，乙快递公司的“快递小哥”日平均工资，比较

可得结论.

【详解】解：(1)甲快递公司的“快递小哥”的日工资当中与送货单数"的函数关系式为

%?=/(〃)=70+〃，neN*.

乙快递公司的“快递小哥”的日工资为?与送货单数〃的函数关系式为

,、［100,〃《45,〃£N*

y=g(〃)=〈.

?6〃-170,〃〉45,〃wN*

(2)①由条形图得x的取值范围为{100,106/18,130},

P(X=100)=10+10=0.2,P(X=106)=—=0.3,

100100

P(X=118)=——=0.4,尸(X=130)=——=0.1,

100100

所以X的分布列为

X100106118130

P0.20.30.40.1

故X的数学期望为E(X)=100x。.2+106x0.3+118x0.4+130x0.1=112.

②甲快递公司的“快递小哥”日平均送货单数为42x0.2+44x0.4+46x0.2+48x0.1+50x0.1=45,

所以甲快递公司的“快递小哥”日平均工资为70+45=115(元)，

由①知，乙快递公司的“快递小哥”日平均工资为112元.

故推荐小赵去甲快递公司应聘.

19-设函数〃x)=(x+i)：(x+i)("°)-

(1)求/(X)的单调区间；

(2)求"X)的取值范围;

1

(3)已知不等式2新〉(x+i)"，对任意xe(-1,0)恒成立，求实数加的取值范围.

【答案】⑴单调递增区间是11,(—”,单调递减区间是[—1,0)0,+8)；

(2)(-co,-e]u(0,+<»)；

(3)；w>-eln2.

【解析】

【分析】(1)解决不含参数函数的单调性问题，先求原函数的导函数，接着分析导函数的正负即可得解;

(2)由已知函数的单调区间，先分析函数的极值，进而求出它一定属于的范围，再用零点存在定理验证能

取遍整个范围即可

(3)在不等式两边取自然对