湖北省襄阳市、黄石市、宜昌市、黄冈市部分学校2023-2024学年高二年级上册期末联考数学试题（含答案解析）

湖北省襄阳市、黄石市、宜昌市、黄冈市部分学校2023-2024

学年高二上学期期末联考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知向量.=（一1,一2,3）,6=（%2-3）.若〃b,则无=（）

A.-1B.0C.1D.2

2.在等差数列｛风｝中，若4+%=1。，1=7,则公差d=

A.1B.2C.3D.4

3.过点M（2,-3）且与直线x+2y-9=0垂直的直线方程是（）

A.2x-y+8=0B.%-2y+7=0C.%+2y+4=0D.2x-y-7=0

4.（理科）在正方体ABC。-4月£。中，E,尸分别为棱BC和棱CG的中点，则异面

直线AC和所成的角为（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

5.将一个顶角为120。的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分

点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所

有三角形重复这一操作.如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪

花”状的Koch曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1,则经过4次操作之后所

c10

D.—

c227

6.设aeR,贝a=1"是"直线4：依+2y—4=0与直线/?：x+（a+l）y+2=。平行”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”

记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以

高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一

项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项分别为：2,3,8,17,则该数列的第

11项为（）

A.190B.192C.194D.196

8.已知球O的直径SC=2,A,B是球0的球面上两点，ZASC=NBSC=ZASB=-,

3

则三棱锥S-ABC的体积为（)

A.受B.立

C.叵D.0

632

二、多选题

9.（多选题）已知a力,c是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一

组向量是（）

A.2a,a-b,a+2bB.2b,b-a,b+2a

C.a,2b,b—cD.c,a+c,a—c

10.己知p,。分别为圆6p+（y—3）2=4与圆双:（％+4）2+3—2）2=1上的动点，

A为x轴上的动点，贝的值可能是（）

A.7B.8C.9D.10

11.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A="第一次出现2

点”，3="第二次的点数小于5点”，C="两次点数之和为奇数”，。="两次点数之和

为9”，则下列说法正确的有（）

A.A与8不互斥且相互独立B.A与。互斥且不相互独立

C.B与。互斥且不相互独立D.A与C不互斥且相互独立

12.已知双曲线C：T-£=l（a>0,b>0）的离心率为手，且双曲线C的左焦点尸在直

线2x+3y+2逐=0上，48分别是双曲线C的左、右顶点，点尸是双曲线C上异于

两点的一个动点，记PAM的斜率分别为匕,耳，则下列说法正确的是（）

A.双曲线C的方程为工->2=1B.双曲线C的渐近线方程为>=±2》

4

C.点尸到双曲线C的渐近线距离为2D.尤•履为定值:

4

试卷第2页，共4页

三、填空题

22

13.设耳B分别是椭圆,+'=1的左、右焦点，若点p在椭圆上，且尸耳.尸鸟=0,

则+卜.

14.设样本空间Q={a,6,c,d}含有等可能的样本点，且A={a,b},B={a,c},C={a,d},

则」（MO一

人」P（A）P（B）P（C）-------'

15.抛物线C：y2=8x的焦点为R准线为/,M是C上的一点，点N在/上,若引WJ_JRV,

且|MF|=10,则pVF|=.

16.如图所示，在平行四边形A3CD中，E为A8中点，DEJ.AB,DC=8,DE=6.

沿着DE将VADE折起，使A到达点A的位置，且平面ADE_L平面BCDE.若点P为

一ADE内的动点，且满足=则点尸的轨迹的长度为.

四、解答题

9

17.已知直线/：丫=履+3（左＞0）与左轴，y轴围成的三角形面积为:，圆M的圆心在

直线/上，与X轴相切，且在y轴上截得的弦长为4".

（1）求直线/的方程（结果用一般式表示）；

（2）求圆M的标准方程.

18.已知抛物线C:f=4y的焦点为尸，设动点尸的坐标为（加㈤.

（1）若％=2,〃=1,求过点P与抛物线有且只有一个公共点的直线方程；

（2）设过动点尸的两条直线4,均与C相切，且44的斜率分别为满足

化—1）（总-1）=4.证明：动点P在一条定直线上.

19.已知数歹！J{%}的前〃项和5“=2用一2,数列也}满足么=log2”“.

(1)求数列{%},{2}的通项公式;

⑵由an,以构成的"X"阶数阵如图所示，求该数阵中所有项的和r„.

y

gb*,axb2,a}b3,…，a}bn

02bl,02b2,a2b3,…，a2b„

a3bl,a3b2,a3b3,•••,a3bn

1%”，anb2,anb3,•••,anbj

20.有“个编号分别为12…，"的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子

中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒

子中任取一球放入第3个盒子，……，以此类推，记事件4表示从第十=1,2,…,小个盒

子里取出白球，设事件4发生的概率为尸(4).

⑴求尸⑷，尸(4),尸⑷；

⑵求尸⑷.

21.如图，四边形ABCO为矩形，ACD^AACE,且二面角AB-E为直二面角.

(1)求证：平面ACE_1_平面_BCE；

⑵设产是破的中点，AE=1,BE=A,二面角石—AC-尸的平面角的大小为，，当

4£[2,3]时，求cos9的取值范围.

22](3、

22.已知椭圆C:§+多=l(a>6>0)的离心率6=彳,“1,-在椭圆上.

abZ'Z)

(1)求椭圆c的标准方程;

(2)已知动直线/(斜率存在)与椭圆相交于点尸，。两点，且△0R2的面积以叽=百,

若N为线段PQ的中点.N点在x轴上投影为N。，问：在x轴上是否存在两个定点A，4,

使得为定值，若存在求出54的坐标；若不存在，请说明理由.

HA|-K4|

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】根据空间向量共线的条件列式运算.

【详解】因为a/力，所以存在实数彳使得6=助，

(x,2,—3)=X(—1,—2,3),得力=-1,x=l.

故选：C.

2.B

【解析】把%4，%用q”表示出来，根据题目条件列出方程组，即可求得本题答案.

【详解】在等差数列｛叫中，因为。3+%=1。，4=7,所以K+5/=7，求得

=—3

\d=2,

故选：B

【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的应用，属于基础题.

3.D

【分析】由垂直设出直线方程为2x-y+%=0,代入已知点坐标求得参数即得.

【详解】由题意设直线方程为2x-y+根=0,

代入M点坐标得2x2-(-3)+机=0,解得m=-7,

直线方程为2x-y-7=0.

故选：D.

4.B

【分析】E,F分别为棱BC和棱CC、的中点，则EF〃BCJ/ADt,ZD.AC为异面直线AC和

EF所成的角或其补角，在三角形中求解即可.

【详解】如图，连接g，3，BG，因为E,尸分别为棱8c和棱CG的中点，尸//BG，

又正方体中2C1//A，，E歹〃4，，.••N，AC为异面直线AC和EF所成的角或其补角，

而AA2c是正三角形，即ZRAC=60。，

所以异面直线AC和EF所成的角是60。.

故选：B.

答案第1页，共13页

【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键是作出异面直线所成的角.

5.A

【分析】根据题意可知，每一次操作之后面积是上一次面积的;，按照等比数列即可求得结

果.

【详解】根据题意可知，每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的;，

所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的;，

由此可得，第九次操作之后所得图形的面积是

即经过4次操作之后所得图形的面积是s,=1X[2]=电.

481

故选：A

6.C

【分析】根据直线平行的条件和充要条件的概念判断.

【详解】解：当a=l时，4：x+2y—4=0,3x+2y+2=0,；=可得两直线平

行；

若4与4平行，则?=’7片=，解得。=1或。=-2（舍），

故为充要条件，

故选：C.

7.B

答案第2页，共13页

【分析】根据二阶等差数列的定义求出数列的通项公式，再利用累加法计算可得答

案.

【详解】设该数列为｛%｝,则％=2,%=3,%=8,%=17；由二阶等差数列的定义可知,

%—4=1,%—%=5,%—。3=9,…

所以数列｛%.「4｝是以%-4=1为首项，公差d=4的等差数列，即a用-%=4〃-3,所以

a2-a1=l,a3-a2=5,a4—a3=9,---,an+i-an=4〃-3将所有上式累加可得

22

an+l=ax+2M-n=2n—M+2,所以a”=192,

即该数列的第H项为4=192.

故选：B.

8.A

【分析】依题意可得/"C=NSBC=90。，即可求出&4、SB、AB,求出△SAB外接圆的

半径，利用勾股定理求出球心。到平面的距离d,从而得到点C到平面&4B的距离，最

后根据锥体的体积公式计算可得.

【详解】解：因为SC=2为球。的直径，A,8是球。的球面上两点,

7T

所以/5AC=/S3C=90。，又SC=2,ZASC=ZBSC=ZASB=j,

所以AC=2C=SC-sing=g,SA=SB=SC-cos^=l,

所以ASAB为等边三角形且AB=1,

-1_2后r-

设△SAB的外接圆的半径为,，则以=「？=亍，所以厂=叱，

sin-3

则球心。到平面SAB的距离d=

所以点C到平面&4B的距离扪=24=亚

3

1兀£

又SSAB=-SASBsin-=

23-4'

7102«V2

所以匕ABCs/干丁亍=不

答案第3页，共13页

s

故选：A

9.ABD

【分析】利用空间向量基底的意义逐一分析各选项中的三个向量是否共面即可得解.

42

【详解】对于A,^2a=-(a-b)+-(a+2b),则2a,a-6,a+2b三个向量共面，它们不能构

成一个基底；

.4--2

对于B,H2b=-(b-a)+-(b+2a),贝!J2b,b-a力+2公三个向量共面，它们不能构成一个基

底；

对于C,假设a,26,6-c共面，则必有不全为0的实数x，，，z,使得

xa+y(2b)+z(b-c)=xa+(2y+z)b-zc=0,

因a,6,c不共面，则x=z=0,2y+z=0,即尤=y=z=O,与x,y,z不全为。矛盾，因此，

a,2b,b-c不共面，它们能构成一个基底；

对于D,因c=g(a+c)-：(a-c),则c,a+c,a-c三个向量共面，它们不能构成一个基底，

所以不能构成一个基底的一组向量是ABD.

故选：ABD

10.CD

【分析】根据圆上点到定点距离的最值求法，求出圆N关于x轴对称的圆方程即可求得结果.

【详解】圆N:(元+4)2+0-2)2=1关于x轴对称的圆为圆N':(无+4)2+(y+2>=l,

圆M的圆心N'(Y,-2),半径为1,圆加的圆心M(6,3),半径为2；

则的最小值为|初V[-(1+2)=JlO?+5?-3=56-3,

5百-11>0,5如-12<0,故5&'-3«8,9),

故选：CD.

答案第4页，共13页

11.ABD

【分析】根据事件的互斥与独立的定义对选项一一验证即可.

【详解】对于A：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次与第二次的结果互不影响，即

A与3相互独立；

第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，A与8不互斥；故A正确；

对于B：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果会影响两次点数之和，即A与。

不相互独立；

第一次出现2点，则两次点数之和最大为8,即A与。不能同时发生，即A与。互斥，故B

正确；

对于C：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第二次的结果会影响两次点数之和，即8与。

不相互独立；

若第一次的点数为5,第二次的点数4点，则两次点数之和为9,即8与。可以同时发生，

即B与。不互斥，故C错误；

对于D：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果不会影响两次点数之和的奇偶,

即A与C相互独立；

若第一次的点数为2,第二次的点数3点，则两次点数之和为5是奇数，即A与C可以同时

发生，即A与C不互斥，故D正确.

故选：ABD.

12.AD

【分析】根据题意求出。力，。，即可得双曲线方程，判断A；继而求得渐近线方程，判断B；

结合点到直线的距离公式可判断C；设尸(x,y),表示出勺・£，结合双曲线方程，可判断

D.

22__

【详解】依题意，双曲线C:1-3=l(a>0,b>0)的左焦点/在直线2x+3y+2近=0上,

ab

令y=o,贝底=-石，双曲线C的左焦点尸即为网-君,0),则半焦距,=6，

又双曲线离心率为且，即£=好，则a=2,加=°2一a2=1,

2a2

从而双曲线C的方程为三-丁=1,A正确，

4

h1

双曲线。的渐近线方程为>=±—=±二％,B不正确，

a2

答案第5页，共13页

渐近线方程即为x±2y=0,F点到双曲线C的渐近线的距离为d=上力=1,C不正确,

6

丫21

由题意知A(-2,0),B(2,0),不妨设P(x,y),贝|亍一9产=；(/一书,

则有杨L壬,号r。正确•

X2-4

故选：AD

13.6

【分析】结合向量垂直以及椭圆的知识求得|PE『+|PK『，利用平方的方法求得,£+尸耳.

22

【详解】由椭圆的方程'+匕=1,得。2=/-62=9,

167

又PF「PF2=。,所以尸耳口耳，所以|「耳『+飓『=4,2=36,

所以归月+尸为『='司瑞1+22耳’工=‘用2+|尸工1=36,

所以回+叫=6.

故答案为：6

14.2

【分析】根据概率公式求得尸(A),P(B),P(C),P(ABC)后再计算可得.

1211

【详解】由题意^C=｛。｝,P(ABQ=~,又尸(A)=：=不同理P(B)=P(C)=7，

4422

1

•尸(HC)4=2

-

■,P(A)P(B)P(C)J_X1X1-，

222

故答案为：2.

15.5

3

【分析】根据题意结合抛物线的定义可求得M(8,8),再根据垂直关系求得上即=-：,由直

线方程求得N(-2,3)即可得结果.

【详解】由题意可得：抛物线CV=心的焦点为“2,0),准线/:》=-2,

不妨设点对(%,%)(%，%>0)，则|MF|=%+2=10,即x°=8,

可得尤=64,即％=8,故M(8,8),

答案第6页，共13页

则直线MF的斜率七/=泞8-0=34,

8—23

3

•：FM±FN,则直线NF的斜率kNF=

直线NF的方程'=一1尤-2),

4''

令x=—2,解得y=3,即N(—2,3),

故|N个］(一2-2)?+(3一0『二5.

故答案为：5.

16.—

3

【分析】根据给定条件探求出尸8,PC在平面加£出的射影尸区尸。的关系，再在平面A七E

内建立平面直角坐标系，探讨出动点尸在HDE内的轨迹即可作答.

【详解】因平面ADE_L平面BCDE1，平面ADEI^BCDE=DE,DESAB,于是得BE_L

平面MDE，而CD//AB,则CD_L平面A2>E，

从而得PE,P。分别是尸8,尸。在平面加内的射影，如图，NEPB=ZDPC,

——=tanZEPB=tanZDPC=——，而BE=4,CD=8,则2PE=P£),

在.A£>E所在平面内以点E为原点，射线ED、ET分别为x,y轴非负半轴建立平面直角坐

标系，如图,

整理得(x+2y+y2=i6,

从而得点尸的轨迹是以M(-2,0)为圆心，4为半径的圆，圆M交E4',E£>分别于0,N,

答案第7页，共13页

IT4万

显然NQME=],圆/在ADE内的部分是圆心角NQME所对的弧QV,弧QV长为

所以点尸的轨迹的长度为4三7r.

47r

故答案为：

17.(1)2x-y+3=0(2)(%+5)2+(j^+7)2=49^(x-1)2+(y-5)2=25

【分析】(1)根据直线的方程，分别求得直线在坐标轴上的截距，利用围成的三角形的面积，

列出方程，即可求解女得值，得到直线的方程；

(2)设所求圆的标准方程为(天-不+仃-4;，，根据题意列出方程组，求得2/的值,

即可得到圆的方程.

【详解】(1)在直线方程y=2%+3(%>0)中，令x=0,得y=3

令y=o,得兀=-；

k

913

i^S=-=-x3x--又女〉0故女=2

所求直线方程为：2尤-y+3=0

222

(2)设所求圆的标准方程为：(x-a)+(j；-6)=r(r>0)

2。—Z?+3=0

由题可知，

a=-5(2=1

联立求解得:0=_7或＜b=5

r=7r=5

故所求圆的标准方程为：(x+5/+(y+7)2=49ng(x-l)2+(y-5)2=25

【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，以及利用待定系数法求解圆的方程，其中解答中

合理根据题设条件，利用待定系数法，列出相应的方程(组)求解是解答的关键，着重考查

了推理与计算能力，属于基础题.

18.(l)x=2或x-y-l=0；

(2)证明见解析

答案第8页，共13页

【分析】（1）分别讨论直线斜率是否存在，利用判别式为。即可得直线方程；

（2）设出直线方程并利用韦达定理可得左2-6+〃=0,结合（勺-1）的-1）=4即可求出动

点尸在直线x-y+3=0上.

【详解】（1）当经过点尸的直线不存在斜率时，直线方程即为x=2,

与抛物线抛物线CV=4y有且只有一个公共点尸（2,1）,符合题意，

当经过点P的直线存在斜率时，不妨设直线方程为y-l=k（x-2）,

代入抛物线方程化简得：，一4日+8左一4=0,

A=（-4^）2-4（8A:-4）=0,即％=1,直线方程即为x-y_l=0

因此所求直线方程为x=2或x-y-l=0；

（2）证明：设过点P与抛物线C的相切的切线方程为/：y-〃=㈤，

由，2'k""L消去,整理得12—4点+4（加一〃）=0,

因为/与抛物线。相切，所以A=（TZ:）2—4xlx4（Am—〃）=0,

BPk2-kmJt-n=Q.

又因为勺，女2是方程严—加十九二0的两根，则有匕+左2=相,k#2=〃，

由（%]—1）（左2—1）=4,可得匕左2—（K+/2）-3=0，BPH—m—3=0

从而动点在直线％->+3=。上.

19.（1）。〃=2〃，bn=n

⑵北=（2"-1）.（/+力

【分析】（1）利用S”%的关系式可求得｛见｝的通项公式q,=2”，代入可得勿=〃；

（2）由数阵规律并利用分组求和代入等差等比求和公式可得（=（2"-l）-（n2+n）.

【详解】（1）因为S“=2M-2,当”=1时豆=22-2=2,即4=2,

当〃22时S“T=2"-2,所以S“-S“_=2向一2—（与一2）,即q=2",

经检验当"=1时。"=2”也成立，所以4=2",

答案第9页，共13页

z)

贝！J2=log2an=log22=??.

即数歹U{%},{2}的通项公式为4=2",bn=n.

(2)由数阵规律可知

T“=%(A+瓦++2)+%(4+伪++£)++%伍+伪++bn)

=(4+出++%)(4+4++2),

n(l+n)_n2+n

因为S〃=2〃+i—2,4+仇+，+a=1+2+—+〃=

22

2

n+n2

x-------=---(-2"-1)-(M+H).

2

2514

20.⑴尸(4)=§，尸(4)=3,尸(A)=药

(2)P(A,)=1xI1

+—

2

【分析】⑴根据条件得出尸(a)=g及p(4)=1，再利用全概率公式即可求出尸(4),尸(4)；

(2)根据题意得到P(A,)=P(4T)X|+P伍二)xg,从而利用构造法得到卜是等

比数列，从而得解.

【详解】(1)依题意，P(A)=|,则尸(4)=I-P(A)=；，

又尸(4)=尸(44+44)=*44)+川可&)

=P(4)尸(4I4)+P闾尸(4闻=+|+?g=g，

P(4)=P(A)X|+P(A)X|=|XP(4)+|=^.

⑵依题意，当”之3时，P(A„)=P(A„_1)X|+P(4Z)X|=|P(A„_I)+1,

进而可得尸(4)-；=；尸(47)-;，

又P(A)-：=[*4)一；=2,尸(&)一六，尸⑷一"

2OZloNZ_

所以是首项为，公比为(的等比数列，

从而有p(A.);XTf即尸⑷=9曰"+]

答案第10页，共13页

21.(1)证明见解析

A/15

（）V55

2cos0G而，丁

【分析】(1)先证明3CLAE,继而证明AELCE,根据线面垂直的判定定理证明平

面BCE,再根据面面垂直的判定定理，即可证明结论；

(2)建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面R1C和平面E4c的一个法向量,

根据空间角的向量求法，结合不等式性质，即可求得答案.

【详解】(1)因二面角C-A3—E为直二面角，即平面ABC1平面ABE,又AB_LBC,

平面ABCc平面ABE=AB,BCu平面ABC,则平面ABE,

又AEu平面ABE,即得BC_LAE,

四边形A3CD为矩形，ACD^^ACE,则NAEC=NADC=90,即AE_LCE,

BCcCE=C,BC,CEu平面BCE,于是A£J_平面3CE,AEu平面ACE,

所以平面ACE±平面BCE；

(2)过E作星，平面ME,由(1)知AE1，平面BCE,3Eu平面ACE,故AELBE,

以E为原点，射线EB,EA,Ez分别为x,y,z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，

•：AD=AE=1,EB=A,则A（0,l,0）,B（2,0,0）,C（A,O,1）,F^1,0,0

£4=（0,1,0）,E?=（2,0,1）,E4c

/、m-EA=0fy=0

设平面E4C的法向量为〃7=（x,y,l）,贝叶，即、，c，

m-EC=0l2-x+l=0

则机=L°'i

答案第11页，共13页

2c

n-FA=0一,.无i+M=0

设平面E4c的法向量为”=（%,%」），贝！J,，即

几FC=0--x+1=0

12

由图可知二面角E-AC-b为锐二面角,