第14讲 空间点、线、面的位置关系 讲义-2021-2022学年高三数学二轮复习专题

第14讲空间点、线、面的位置关系一、学习目标1.掌握空间中的点、线、面的位置关系的判定；2.掌握平面与垂直关系的判定与证明.典例分析例1.（1）如图，在正方体中，P是线段上的动点，则（

）A．平面B．平面C．平面 D．平面（2）2．如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（

）A．直线与直线垂直，直线平面B．直线与直线平行，直线平面C．直线与直线相交，直线平面D．直线与直线异面，直线平面【答案】（1）B；（2）A变式：1．如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（）A． B．C． D．【答案】A2．如图，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（）A．与垂直B．与垂直C．与异面 D．与异面【答案】D例2．（1）设m，n是两条异面直线，则下列命题中正确的是（

）A．过m且与n垂直的平面有且只有一个B．过m且与n平行的平面有且只有一个C．过空间一点P与m，n都平行的平面有且只有一个D．过空间一点P与m，n都垂直的平面有且只有一个（2）如图，平面α与平面β相交于BC，AB⊂α，CD⊂β，点A∉BC，点D∉BC，则下列叙述错误的是（

）A．直线AD与BC异面B．过AD只有唯一平面与BC平行C．过点D只能作唯一平面与BC垂直D．过AD一定能作一平面与BC垂直【答案】（1）B；（2）D.变式：1.已知圆锥SO，AB是圆O的直径，P是圆O上一点（不与A，B重合），Q在平面SAB上，则（

）A．直线可能与平面垂直 B．直线可能与平面垂直C．直线可能与平面平行 D．直线可能与平面平行【答案】C2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（）A．不存在 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有无数条【答案】D例3．如图，在四棱锥中，平面，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面?说明理由.【答案】（Ⅰ）因为平面，所以．又因为，所以平面．（Ⅱ）因为，，所以．因为平面，所以．所以平面．所以平面平面．（Ⅲ）棱PB上存在点F，使得平面．证明如下：取PB中点F，连结EF，，．又因为E为的中点，所以．又因为平面，所以平面．变式：1．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.（1）求证:平面；（2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）因为平面平面，，所以平面.所以.又因为，所以平面.（Ⅲ）棱上存在点使得平面，此时.三、课外作业1．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，分别是，的中点，点在线段上，且，则（

）A．B．直线与直线相交C． D．平面【答案】D2．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，则（

）A．α∥β且∥αB．α⊥β且⊥βC．α与β相交，且交线垂直于 D．α与β相交，且交线平行于【答案】D3．已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A4．若为两条异面直线外的任意一点，则（）A．过点有且仅有一条直线与都平行B．过点有且仅有一条直线与都垂直C．过点有且仅有一条直线与都相交D．过点有且仅有一条直线与都异面【答案】B5．如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（）A．，且直线是相交直线B．，且直线是相交直线C．，且直线是异面直线D．，且直线是异面直线【答案】B6．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A7．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的所有序号是___________.①②．③．④．【答案】

②

③8．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：①3；

②4；

③5；

④6；

⑤7以上结论正确的为___________________．（写出所有正确结论的编号）【答案】①③④⑤9．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是______________.【答案】10.棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为棱CC1的中点，点P，Q分别为平面A1B1C1D1和线段B1C上的动点，则△PEQ周长的最小值为_________.【答案】eq\r(10)11．如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．【答案】（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连结OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP．MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．12．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．（Ⅰ）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；（Ⅱ）证明：平面PAB⊥平面PBD．【答案】（Ⅰ）取棱AD的中点M（M∈平面PAD），点M即为所求的一个点.理由如下：因为AD∥BC，BC=AD，所以BC∥AM，且BC=AM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB.又AB平面PAB,CM平面PAB,所以CM∥平面PAB.（Ⅱ）由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，因为AD∥BC，BC=AD，所以直线AB与CD相交，所以PA⊥平面ABCD.从而PA⊥BD.因为AD∥BC，BC=AD，所以BC∥MD，且BC=MD.所以四边形BCDM是平行四边形.所以BM=CD=AD，所以BD⊥AB.又AB∩AP=A，所以BD⊥平面PAB.又BD平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.13．如图1所示，在中，分别为的中