高斯公式和斯托克斯公式

关于高斯公式和斯托克斯公式定理22.3

设空间闭区域V

由分片光滑的

在V

上有连续的一阶偏导数,则有

闭曲面S

所围成,S

的方向取外侧,函数P,Q,R

一、高斯公式首页×第2页,共29页，星期六，2024年，5月下面先证:证明设为XY型区域,则首页×第3页,共29页，星期六，2024年，5月首页×第4页,共29页，星期六，2024年，5月所以若

不是XY–型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个XY–型区域,

故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证三式相加,即得所证Gauss公式：首页×第5页,共29页，星期六，2024年，5月例1计算其中S

是由x=y=z=0,x=y=z=a

六个平面所围的正立方体表面并取外侧为正向.解首页×第6页,共29页，星期六，2024年，5月例计算所围的空间区域的表面，方向取外侧.解其中S

为锥面与平面首页×第7页,共29页，星期六，2024年，5月设S1

为上半球体的底面，例计算的外侧.解其中S

是上半球面取下侧.于是首页×第8页,共29页，星期六，2024年，5月斯托克斯公式建立了沿曲面S

的曲面积分与沿S

的边界曲线L

的曲线积分之间的联系.对曲面S

的侧与其边界曲线L

的方向作如下规定：设人站在曲面S

上的指定一侧，沿边界曲线L

行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线

L

的正向.这个规定方法也称为右手法则.首页×第9页,共29页，星期六，2024年，5月定理22.4

设光滑曲面S

的边界L

是按段光滑曲线,同L

）上具有连续一阶偏导数，则有

S

的侧与L

的正向符合右手法则,

在

S

（连首页×第10页,共29页，星期六，2024年，5月注意:

则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.如果S

是xoy

坐标平面上的一块平面区域,首页×第11页,共29页，星期六，2024年，5月为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:首页×第12页,共29页，星期六，2024年，5月证情形1

与平行z轴的直线只交于一点,设其方程为为确定起见,不妨设

取上侧(如图).则(利用格林公式)首页×第13页,共29页，星期六，2024年，5月首页×第14页,共29页，星期六，2024年，5月因此同理可证三式相加,即得斯托克斯公式;首页×第15页,共29页，星期六，2024年，5月情形2

曲面

与平行z轴的直线交点多于一个,则可通过作辅助线面把

分成与z轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.证毕首页×第16页,共29页，星期六，2024年，5月例2

利用斯托克斯公式计算积分

其中

L

为平面x+y+z=1与各坐标面的交线，解取逆时针方向为正向如图所示.记三角形ABC为S,取上侧,则首页×第17页,共29页，星期六，2024年，5月首页×第18页,共29页，星期六，2024年，5月例

利用斯托克斯公式计算积分

其中

L

为y2+z2

=1,x=y

所交的椭圆正向.解记以L

为边界的椭圆面为S,其方向按右手法则确定，于是有首页×第19页,共29页，星期六，2024年，5月首页×第20页,共29页，星期六，2024年，5月例

为柱面

与平面y=z

的交线,从

z

轴正向看为顺时针,计算解

设

为平面z=y

上被

所围椭圆域,

且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦首页×第21页,共29页，星期六，2024年，5月空间曲线积分与路径无关的条件定理22.5

设Ω

是空间单连通区域,函数P,Q,R

在Ω上具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:(1)对Ω

内任一按段光滑闭曲线L,有(2)对Ω

内任一按段光滑曲线L,与路径无关首页×第22页,共29页，星期六，2024年，5月(4)在Ω

内处处有(3)在Ω

内存在某一函数u,使首页×第23页,共29页，星期六，2024年，5月与路径无关,并求函数解

令

积分与路径无关,因此例3

验证曲线积分首页×第24页,共29页，星期六，2024年，5月内容小结1.高斯公式首页×第25页,共29页，星期六，2024年，5月2.斯托克斯公式首页×第26页,共29页，星期六，2024年，5月例计算其中S

为球面在第一卦限部分

例设S

与上例相同，取球面外侧，分别计算下列积分

首页×第27页,共29页，星期六，2024年，5月德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、曲面论和位势论等.他在学术上十分谨慎,原则: