2024年中考数学一轮复习考点03 分式（精讲）（解析版）23

考点03.分式（精讲）【命题趋势】分式在各地中考中，每年考查2道题左右，分值为8分左右，其中分式的有意义（无意义）和分式值为零（负数、正数、整数等）、最简分式等概念，常以选择题、填空题为主；分式的基本性质和分式的运算（化简求值）考查常以选择题、填空题、计算题的形式命题。【知识清单】1：分式的相关概念（☆☆）（1）分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子QUOTEAB叫做分式，其中A为分子，B为分母。（2）对于分式来说：①若B≠0，则有意义；②若B=0，则无意义；③若A=0且B≠0，则=0；④当A=B≠0时，分式的值为1；⑤若>0，则A、B同号，若<0，则A、B异号。2：分式的性质（☆☆）（1）分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。用式子表示为或，其中A，B，C均为整式。（2）约分及约分法则1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分。（3）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式。（4）通分及通分法则1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分。2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；③若分母是多项式，则先分解因式，再通分。（5）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母。3：分式的运算（☆☆☆）（1）分式的加减①同分母法则：分母不变，分子相加减。用式子表示：。②异分母法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减。用式子表示为：。（2）分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。用式子表示：。（3.分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。用式子表示：。（4）分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示：为正整数，。（5）分式的混合运算含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算。混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的。【易错点归纳】1.判断是否为分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简后再判断。2.分式的值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义。3.约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式（即化为最简分式），而且约分前后分式的值相等。4.运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式；②隐含条件：分式的分母不等于0。5.当分式与整式相乘时，要把整式与分子相乘作为积的分子，分母不变。6.乘方时，一定要把分式加上括号，并且一定要把分子、分母分别乘方。【核心考点】核心考点1.分式的相关概念例1：（2023·江苏·校考模拟预测）若一个分式含有字母，且当时，它的值为12，则这个分式可以是．（写出一个即可）【答案】答案不唯一，如等.【详解】设这个分式为，将m=5代入得到=12，a=60，故这个分式是．变式1．（2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，据此依据逐个判断即可．【详解】分母中含有字母的是，，，∴分式有3个，故选：B．【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．变式2．（2022·浙江湖州·中考真题）当a＝1时，分式的值是______．【答案】2【分析】直接把a的值代入计算即可．【详解】解：当a=1时，．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了分式求值问题，在解题时要根据题意代入计算即可．变式3．（2024·湖北·校考模拟预测）给定一列分式：，，，，，其中，根据你发现的规律，试写出第2024个分式．【答案】【分析】先由前面几个代数式归纳可得第个代数式为：，从而可得答案.【详解】解：∵，，，，…∴第个代数式为：，当n=2023时，第2023个代数式为：，故选B【点睛】本题考查的是分式的规律题，掌握探究的方法并利用归纳得到的规律解题是关键.例2：（2023·河南·校联考模拟预测）下列说法错误的是（）A．当时，分式有意义 B．当时，分式无意义C．不论取何值，分式都有意义 D．当时，分式的值为0【答案】C【分析】分母不为0时，分式有意义，分母为0时，分式无意义，分子等于0，分母不为0时分式值为0，由此判断即可.【解析】解：A选项当，即时，分式有意义，故A正确；B选项当，即时，分式无意义，故B正确；C选项当，即时，分式有意义，故C错误；D选项当，且即时，分式的值为0，故D正确.故选C.【点睛】本题主要考查了分式有意义、无意义、值为0的条件，熟练掌握分式的分母不为0是确定分式有意义的关键.变式1．（2023·江苏镇江·统考中考真题）使分式有意义的x的取值范围是．【答案】【分析】如果要使分式有意义，则分母不能为零，即可求得答案．【详解】解：本题考查了分式有意义的条件，即，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义分母不为零是关键．变式2．（2023·四川凉山·统考中考真题）分式的值为0，则的值是（

）A．0 B． C．1 D．0或1【答案】A【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可．【详解】解：∵分式的值为0，∴，解得，故选A．【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键．变式3．（2020·贵州安顺·统考中考真题）当时，下列分式没有意义的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由分式有意义的条件分母不能为零判断即可.【详解】,当x=1时,分母为零,分式无意义.故选B.【点睛】本题考查分式有意义的条件,关键在于牢记有意义条件.例3：（2023·福建泉州·统考模拟预测）若分式的值为负数，则x的取值范围是．【答案】【分析】据题意可得，要使分式的值为负数，即分母且，然后解不等式即可．【详解】解：∵，∴分式的值为负数，即分母且，解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式的值，熟练掌握分式值的计算方法进行求解是解决本题的关键．变式1.（2023·四川南充·统考一模）若分式的值是负数，则x的取值范围是（）A．x＞ B．x＞ C．x＜ D．x＜【答案】B【分析】根据题意列出不等式即可求出x的取值范围．【详解】解：由题意可知：2﹣3x＜0，且x2+1＞0恒成立，∴x＞，故选：B．【点睛】本题考查分式的值，当分子和分母同号时，分式值为正数，当分子和分母异号时，分式值为负数．变式2．（2023·北京东城·统考二模）若分式的值为正，则实数的取值范围是.【答案】x＞0【详解】【分析】分式值为正，则分子与分母同号，据此进行讨论即可得.【详解】∵分式的值为正，∴x与x2+2的符号同号，∵x2+2>0，∴x>0，故答案为x>0.【点睛】本题考查了分式值为正的情况，熟知分式值为正时，分子分母同号是解题的关键.例4：（2023·福建福州·统考二模）若分式的值是正整数，则整数的值是．【答案】0，【分析】根据题意，分式的值是正整数，可知，分式的分母为1或-1，据此解得的值，最后验根即可．【详解】解：分式的值是正整数，，∴为小于2的整数，或或经检验，当或，分母，或故答案为：或．【点睛】本题考查分式的值，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．变式1．（2023·湖北·统考一模）下列关于分式的判断，正确的是（

）A．当时，的值为零 B．当x为任意实数时，的值总为正数C．无论x为何值，不可能得整数值 D．当时，有意义【答案】B【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0；分式的值为正数的条件是分式的分子、分母同号；分式值是0的条件是分子等于0，分母不为0即可得到结论．【详解】解：A、当时，无意义，故本选项不合题意；B、当x为任意实数时，的值总为正数，故本选项符合题意；C、当或2时，能得整数值，故本选项不合题意；D、当时，有意义，故本选项不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件．分式有意义的条件是分母不等于0．分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．变式2.（2023·广东广州·校考二模）已知：分式的值为整数，则整数a有．【答案】，1，2，4，5，7【分析】根据因式分解，可得最简分式，根据分式的值是整数，可得分母能被分子整除，可得答案．【详解】解：，∵分式的值为整数，∴或或，解得：，，，，，，故答案为，1，2，4，5，7．【点睛】本题主要考查了分式的化简，根据分式的值的情况求解参数等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．核心考点2.分式的性质例5：（2023·河北唐山·统考二模）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分式的基本性质分别计算后判断即可．【详解】A．分子分母同时加上同一个数，分式不一定成立，故原选项错误，不符合题意；B．，故原选项错误，不符合题意；C．，故原选项错误，不符合题意；D．，故原选项正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了分式的基本性质，属于基础题．变式1．（2023·广东茂名·统考一模）下列等式中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘或除以一个不为零的数，分式的值不变，逐个判断即可解答．【详解】解：，故A正确；与不一定相等，故B错误；与不一定相等，故C错误；当时，，故D错误，故选：A．【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟知该性质是解题的关键．变式2．（2023·河北石家庄·校考模拟预测）实数．则下列各式中比的值大的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根据分式的性质进行判断即可得到答案．【详解】解：因为，所以，，A．，故此选项不符合题意；B．，故此选项不符合题意；C．，故此选项不符合题意；D．，符合题意；故选D【点睛】本题主要考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解答本题的关键．例6：（2023·河北·一模）如果要使分式的值保持不变，那么分式应（

）A．a扩大2倍，b扩大3倍 B．a，b同时扩大3倍C．a扩大2倍，b缩小3倍 D．a缩小2倍，b缩小3倍【答案】B【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简，最后得出答案即可．【详解】A.a扩大2倍，b扩大3倍,，故该选项不正确，不符合题意；

B.a，b同时扩大3倍，，故该选项正确，符合题意；C.a扩大2倍，b缩小3倍，，故该选项不正确，不符合题意；D.a缩小2倍，b缩小3倍，故该选项不正确，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键．变式1．（2023·江苏盐城·模拟预测）如果把分式中、的值都变为原来的3倍，则分式的值（）A．变为原来的9倍 B．变为原来的3倍 C．不变 D．变为原来的【答案】B【分析】根据x，y都扩大3倍，即可得出分子扩大9倍，分母扩大3倍，由此即可得出结论．【详解】解：∵分式中的x与y都扩大为原来的3倍，∴分式中的分子扩大为原来的9倍，分母扩大为原来的3倍，∴分式的值扩大为原来的3倍．故选B．【点睛】此题考查分式的性质，解题关键在于掌握其性质进行化简．例7：（2023·山东·统考二模）下列分式中，最简分式是(

)A． B． C． D．【答案】C【详解】根据最简分式的概念，分子与分母不含有公因式的分式即为最简分式，化简后判断即可.详解：由题意可知：=，不是最简分式；=，不是最简分式；是最简分式；=，不是最简分式.故选C.点睛：此题考查了最简分式，先把分式的分子、分母因式分解，然后确定有无公因式，是解题关键.变式1．（2023·河北·校联考模拟预测）下列分式属于最简分式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可．【详解】A、，故此选项不符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、是最简分式，故此选项符合题意；D、，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．例8：（2023·甘肃兰州·统考中考真题）计算：（

）A． B． C．5 D．a【答案】D【分析】分子分解因式，再约分得到结果．【详解】解：，故选：D．【点睛】本题考查了约分，掌握提公因式法分解因式是解题的关键．变式1．（2023·上海奉贤·统考二模）化简分式的结果为．【答案】【分析】直接分子分母同时除以b即可得到答案．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式的约分，正确计算是解题的关键．变式2．（2023·云南昆明·统考二模）化简．【答案】【分析】先因式分解，约分变为最简分式，把分子变为和的形式．【详解】解：，，，．故答案为：．【点睛】本题考查分式化简，因式分解，最简分式，约分，解题的关键是掌握分式化简方法：先因式分解，约分，再化为最简分式．例9：（2023·河北唐山·统考一模）要把分式与通分，分式的最简公分母是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据最简公分母定义是各分母的最小公倍数即可求解．【详解】解：根据最简公分母是各分母的最小公倍数，∵系数2与1的公倍数是2，与的最高次幂是，与的最高次幂是，对于只在一个单项式中出现的字母c直接作公分母中的因式，∴公分母为：．故选择：A．【点睛】本题考查最简公分母，熟练掌握最简公分母是解题关键．变式1.（2023·内蒙古·统考二模）分式的最简公分母是，=。【答案】【分析】先把两个分式分解因式，然后通分，即可得到答案；然后进行计算求值即可.【详解】解：∵，∴，∴，的最简公分母为：∴故答案为：，【点睛】本题考查了因式分解和公分母，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.变式2．（2023·广西梧州·二模）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（）A．约分的结果是B．分式与的最简公分母是x﹣1C．约分的结果是1D．化简﹣的结果是1【答案】D【分析】根据分式的基本性质将分式约分，即可判断A与C；根据确定最简公分母的方法判断B；根据分式减法法则计算，即可判断D．【详解】解：A、＝，故本选项错误；B、分式与的最简公分母是x2﹣1，故本选项错误；C、＝，故本选项错误；D、﹣＝1，故本选项正确；故选D．【点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握.核心考点3.分式的运算例10：（2023·河北·统考二模）嘉琪在分式化简运算中每一步运算都在后面列出了依据，所列依据错误的是（

）化简：解：原式………………①通分……②合并同类项……③提公因式………………④约分A．① B．② C．③ D．④【答案】A【分析】根据分式的加减运算法则即可得出结论．【详解】①不是通分，而是同分母分式的加减法，故说法错误．故选：A．【点睛】本题主要考查分式的加减运算，分清楚同分母分式的加减法和通分的区别是解题的关键．变式1.（2023·天津·统考中考真题）计算的结果等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．【详解】解：；故选：C．【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算．变式2．（2023·山西大同·校联考模拟预测）若分式的值为正整数，则的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用分式的运算法则把原式进行化简，再根据分式的值为正整数求出的取值可以为多少．【详解】解：原式，，，，，要使分式有意义，则，，故选：．【点睛】本题考查了分式的值，根据分式运算法则进行化简是解答本题的关键．例11：（2023·河北沧州·模拟预测）观察分式变形过程：，其中“○”“□”“

”分别盖住了一个整数.（1）“○”“□”“

”表示的整数；（填“相同”或“不相同”）；（2）当时，的最小值为.【答案】相同【分析】（1）根据分式变形步骤分别求出各个符号盖住的值即可得出结果；（2）将分式按照题干方法变形求解即可．【详解】解：（1），∴，故答案为：相同；（2），∵，∴当时，取得最大值，∴的最小值为，故答案为：．【点睛】题目主要考查分式的化简变形，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．变式1．（2023下·浙江嘉兴·九年级校考阶段练习）比较与的大小（其中，且）．(1)尝试（用“<”，“=”或“>”填空）：①当，时，；②当，时，；(2)归纳：与有怎样的大小关系？试说明理由．【答案】(1)①；②；(2)，理由见解析．【分析】（1）将①，代入两式求解，进行比较大小；②将，代入两式求解，进行比较大小；（2）利用作差法比较大小即可．【详解】（1）解：①当，时，，∵∴故答案为：；②当，时，，∵∴故答案为：；（2），理由如下：∵，且∴，∴∴，即∴【点睛】此题考查了代数式求值，分式大小比较，涉及了完全平方公式，分式的混合运算，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．变式2．（2023·福建泉州·校考模拟预测）由浅入深是学习数学的重要方法．已知权方和不等式为，当且仅当时，等号成立．那么：若正整数数，，满足，求的最小值．【答案】7【分析】根据题意得出当且仅当时，取最小值，根据得出，根据得出，将其分别代入和，即可进行解答．【详解】解：∵∴，当且仅当时，等号成立，取最小值；即时，等号成立；∴，∵，∴，把②代入①得：，整理得：，则；把②代入得：，∴．即的最小值为7．【点睛】本题主要考查了整式混合运算，以及分式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，理解题中权方和不等式成立的条件．变式3．（2023·江苏涟水·中考模拟）阅读下列材料：分式和分数有着很多的相似点，例如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则．我们知道，分子比分母小的叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，这样的分式就是假分式，例如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式．类似地，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式），例如．解决下列问题：（1）分式是_____（填“真分式”或“假分式”）；（2）假分式可化为带分式_____形式；（3）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值；（4）若分式的值为，则的取值范围是______（直接写出答案）．【答案】（1）真分式；（2）；（3）4，2，5，1；（4）．【分析】（1）根据“真分式”的定义可得；（2）根据题意逆用分式加法的法则将假分式化为带分式；（3）先将分式化为带分式，再根据分式部分为整数求得的值；（4）将分式化为带分式，再判断的取值范围即可．【详解】（1）的分母次数大于分子次数，故分式是真分式；故答案为：真分式；（2）故答案为：；（3）分式的值为整数，，即是整数，则；解得或或或；的值为：4，2，5，1；（4），，故答案为：．【点睛】本题考查了分式的加减运算，不等式的应用，掌握计算法则，理解题意是解题的关键．例12：（2023·河北保定·统考一模）在计算时，嘉嘉和琪琪使用方法不同，但计算结果相同，则（

）嘉嘉：琪琪：A．嘉嘉正确 B．琪琪正确 C．都正确 D．都不正确【答案】D【分析】根据分式的混合运算，结合题意逐步检验即可得到答案．【详解】解：，嘉嘉第一步出错；琪琪第三步出错；两个人计算都不正确，故选：D．【点睛】本题考查分式化简，熟练掌握分式的混合运算是解决问题的关键．变式1．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）化简：．【答案】/【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解．【详解】解：；故答案为：．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．变式2．（2023·浙江·九年级专题练习）关于式子，下列说法正确的是（）A．当时，其值为2B．当时，其值为0C．当时，其值为正数D．当时，其值为正数【答案】D【分析】先根据分式的四则运算法则化简分式并确定x的取值范围，然后根据x的取值范围和分式的性质逐项排查即可解答．【详解】解：＝＝，∵，∴或，，∴A．由，故A说法错误，不符合题意；B．由，故B说法错误，不符合题意；C．当时，，故C说法错误，不符合题意；D．当时，，故D说法正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了分式的四则混合运算、分式有意义的条件、分式的意义等知识点，明确分式有意义的条件是解答本题的关键．例13：（2023·河北·统考中考真题）化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据分式的乘方和除法的运算法则进行计算即可．【详解】解：，故选：A．【点睛】本题考查分式的乘方，掌握公式准确计算是本题的解题关键．变式1.（2023·四川攀枝花·统考中考真题）计算，以下结果正确的是（

）A． B． C． D．无意义【答案】A【分析】根据零次幂可进行求解．【详解】解：；故选A．【点睛】本题主要考查零次幂，熟练掌握零次幂的意义是解题的关键．变式2.（2023·江苏·统考中考真题）计算：．【答案】【分析】根据零指数幂，负整数指数幂和有理数的加减混合运算进行计算即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的加减混合运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．例14：（2023·广东深圳·校考模拟预测）流感病毒的半径大约为米，它的半径用科学记数法表示为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．【详解】解：故选：B．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．变式1.（2023·四川遂宁·统考中考真题）纳米是表示微小距离的单位，1纳米毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小．中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳米管——直径纳米．纳米相当于