2024年中考数学一轮复习考点02 整式与因式分解（精练）（解析版）22

考点02.整式与因式分解（精练）限时检测1：最新各地模拟试题（40分钟）1.（2023·安徽宣城·校考模拟预测）某工厂一月份的产值为a，二月份的产值比一月份增长了，三月份的产值又比二月份的产值增长了，则三月份的产值比一月份增长了（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意得某工厂二月份的产值为，三月份的产值为，则三月份的产值比一月份增长．【详解】解：∵某工厂二月份的产值为，三月份的产值为，∴三月份的产值比一月份增长．故选D．【点睛】此题主要考查了列代数式，关键是正确理解题意，准确的表示二月份的产值，三月份的产值．2．（2023·山东·一模）下列说法正确的是（）A．的系数是－3 B．的次数是3C．的各项分别为2a，b，1 D．多项式是二次三项式【答案】A【分析】根据单项式的次数、系数以及多项式的系数、次数的定义解决此题．【详解】解：A．根据单项式的系数为数字因数，那么﹣3ab2的系数为﹣3，故A符合题意．B．根据单项式的次数为所有字母的指数的和，那么4a3b的次数为4，故B不符合题意．C．根据多项式的定义，2a+b﹣1的各项分别为2a、b、﹣1，故C不符合题意．D．x2﹣1包括x2、﹣1这两项，次数分别为2、0，那么x2﹣1为二次两项式，故D不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查单项式的系数，次数的定义以及多项式的项、项数以及次数的定义，熟练掌握单项式的系数，次数的定义以及多项式的项、项数以及次数的定义是解决本题的关键．3．（2023·江苏扬州·中考模拟）若，则括号内应填的单项式是（）A．a B． C． D．【答案】A【分析】将已知条件中的乘法运算可以转化为单项式除以单项式进行计算即可解答．【详解】解：∵，∴（

）．故选：A．【点睛】本题主要考查了整式除法的应用，弄清被除式、除式和商之间的关系是解题的关键．4．（2022·河北邯郸·校考三模）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片各4块（边长如图，）．嘉嘉准备从中挑选一些纸片紧密拼接成一个正方形，下列无法实现的方案是（

）A．2块甲、1块乙、4块丙 B．1块甲、4块乙、4块丙C．4块甲、1块乙、4块丙 D．1块甲、1块乙、2块丙【答案】A【分析】根据拼接前后面积相等，分别表示出每个选项的面积和，观察能否写出完全平方式即可得【详解】解．A、无法配方，故A无法实现，符合题意；B、，故B可以实现，不符合题意；C、，故C可以实现，不符合题意；D、，故D可以实现，不符合题意；故选：A．【点睛】考查因式分解的应用、完全平方公式、图形拼接前后的面积不变性，考查逻辑推理和数学运算．5．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）干支纪年是中国传统纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙……”等十个符号叫天干；“子、丑……”等十二个符号叫地支．把干支（天干＋地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅……）正好六十为一周期，周而复始，循环记录．有人总结出纪年算法的辅助表如下．十天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸4567890123十二地支子丑寅卯辰巳午未申酉戊亥45678910110123由上表很快算出1911年是辛亥年，1984年是甲子年，2000年是庚辰年，那么2023年是（

）A．癸卯 B．丁酉 C．壬卯 D．庚子【答案】A【分析】2023年为第23个数，天干表10个数为一个周期，地支表12个数为一个周期，2000年是庚辰年，从2000年开始算起，用23分别除以10和12，根据余数结合天干地支表即可得到答案．【详解】解：由表可知，从2000年开始算起，2023年为第23个数，天干表10个数为一个周期，地支表12个数为一个周期，，余数为3，则2023年对应的天干为癸，，余数为11，从2000年是庚辰年开始算，2023年对应的地支为卯，故2023年为癸卯年，故选：A．【点睛】本题考查了计数问题，是一个和生活非常接近的问题，读懂题目介绍的中国传统纪年方法是解题的关键．6．（2023·江苏盐城·校联考二模）化简所得的结果等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先计算积的乘方运算，再计算单项式乘以单项式即可．【详解】解：，故选A【点睛】本题考查的是单项式乘以单项式，积的乘方运算，熟记运算法则与运算顺序是解本题的关键．7．（2023上·河北保定·九年级校考开学考试）下列各数中，不能被整除的是（

）A．6 B．8 C．16 D．4【答案】C【分析】根据有理数乘方的运算法则可知原式等于，从而可选出正确答案．【详解】解：，，所以A能被整除；，所以B能被整除；为小数，所以C不能被整除，，所以D能被整除；故选：C【点睛】本题主要考查了因式分解的应用．本题的关键是结合法则将已知式子进行化简．8．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，抽象概括出相应的数字规律，n条直线将平面最多分成部分，进而得到，再进行求解即可．【详解】解：∵1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，∴n条直线将平面最多分成部分，∴，∴．故选B．【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是得到．9．（2023·重庆沙坪坝·校考二模）下列图形都是由同样大小的△按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个，第②个图形中一共有12个，第③个图形中一共有21个，……，按此规律排列，则第⑧个图形中的个数为（

）A．96 B．88 C．86 D．98【答案】A【分析】写出各图形中三角形的个数和，然后根据变化规律写出第个图形中的个数，再取进行计算即可得解．【详解】解：第①个图形中三角形有：（个），第②个图形中三角形有：（个），第③个图形中三角形有：（个），，依此类推，第个图形中三角形有（个），所以，第个图形中正三角形个数一共是：（个），所以，第⑧个图形中圆和正三角形个数一共是：（个）．故选：A．【点睛】本题考查了探究图形变化规律，找出图形变化的个数变化规律是解题的关键．10．（2023·浙江·统考一模）定义：如果代数式（，、、是常数）与（，、、是常数），满足，，，则称这两个代数式A与B互为“同心式”，下列四个结论：（1）代数式：的“同心式”为；（2）若与互为“同心式”，则的值为1；（3）当时，无论x取何值，“同心式”A与B的值始终互为相反数；（4）若A、B互为“同心式”，有两个相等的实数根，则．其中，正确的结论有（

）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据同心式的定义结合代数式和方程求解即可【详解】根据同心式的定义：（1）∵，∴代数式：的“同心式”不是；故（1）是错误的；（2）∵与互为“同心式”，∴，解得：，∴，故（2）是正确的；（3）当时，且，，∴，，即A与B的值始终互为相反数，故（3）是正确的；（4）∵A、B互为“同心式”，∴，，∵有两个相等的实数根，∴有两个相等的实数根，∴，即，故（4）是正确的；故选：C【点睛】本题根据新定义和题目的要求构建方程，考查了数学建模和数学运算的核心素养，解题的关键是理解题目中的新定义．11．（2023·安徽·校联考模拟预测）比较大小：；若正数，满足，则【答案】【分析】通过幂的乘方运算法则求解．【详解】解：，，；，，，，，，，是正数，，，故答案为：，．【点睛】本题考查了幂的乘方和乘方运算，掌握幂的运算法则是解题的关键．12．（2023·四川德阳·校考模拟预测）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则．1674【答案】39【分析】设第一列中间的数为，则三个数之和为，再一次把表格的每一个数据填好，从而可得答案．【详解】解：如图，设第一列中间的数为，则三个数之和为，可得：1674∴，故答案为：39【点睛】本题考查的是列代数式，整式的加减运算的应用，理解题意，设出合适的未知数是解本题关键．13．（2023·四川内江·统考模拟预测）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝_____．【答案】（a2+1）（a+2）（a﹣2）【分析】首先利用十字相乘法分解为，然后利用平方差公式进一步因式分解即可．【详解】解：a4﹣3a2﹣4＝（a2+1）（a2﹣4）＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．【点睛】本题考查利用因式分解，解决问题的关键是掌握解题步骤：一提二套三检查．14．（2023·陕西西安·校考二模）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图中的杨辉三角，又称贾宪三角，其中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下：按上述规律，则的展开式中，从左起第二项的系数为．

【答案】5【分析】由题干中的等式总结规律即可得出答案；【详解】解：由题干中代数式可得，的展开式中，从左到右各项的系数依次为则其展开式中从左起第二项的系数为5，故答案为：5．【点睛】本题考查数式规律问题，由题干中已知等式总结出规律是解题的关键．15．（2023上·广东·九年级校考期中）如果是一个完全平方公式，则．【答案】1或【分析】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式的结构特征是解本题的关键．本题根据积的2倍项的特点可得，再解方程可得答案．【详解】解：∵是一个完全平方式，∴，∴或，故答案为：1或．16．（2023下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）已知，则的值为．【答案】5【分析】将方程同除以，得到，进而求出，将进行化简，利用整体思想代入求值即可．【详解】解：∵，∴，，，∴，∴，∴∴．故答案为：．【点睛】本题考查分式求值，完全平方公式．熟练掌握完全平方公式，以及利用整体思想，进行求值，是解题的关键．17．（2023·广东珠海·统考二模）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1，．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解=．【答案】【分析】把图2可有两种计算方法：①三个长方体相加；②大正方体减去小正方体，按要求列出式子，即可解答．【详解】解：将图2看作三个长方体相加时，可得式子：；原式两边提取，可得原式．故答案为：；．【点睛】本题考查了整式的乘法，因式分解，观察图形的体积如何计算是解题的关键．18．（2022·浙江·九年级自主招生）n是整数，为一个整数的平方数，请写4个满足条件的n的值．【答案】0，9，11，12【分析】分两种情况：或，运用因式分解的知识和整数的平方数知识进行解答便可．【详解】解：①当时，，要使为一个整数的平方数，则为一个整数的完全平方数，若，则为一个整数的完全平方数，符合题意，若，则为一个整数的完全平方数，符合题意，若，则为一个整数的完全平方数，符合题意；②当时，，若，则，综上可知，是整数，，为一个整数的平方数，4个满足条件的的值分别为0，9，11，12．故答案为：0，9，11，12．【点睛】本题主要考查了整数的乘方运算，和因式分解的知识，关键是运用因式分解可以简便确定的值．19．（2023.重庆·统考模拟预测）已知，则．【答案】1【分析】先把m的分子分成，逆用积的乘方法则，把分子写成两个幂相乘，分母逆用同底数幂相乘法则，写成两个同底数幂相乘，然后化简，求出的值，最后将整理为代入求值即可．【详解】解：，，，，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了积的乘方、同底数幂的乘法、除法和零指数幂，解题关键是熟练掌握运算法则的逆用．20．（2023下·江苏南京·九年级校考阶段练习）已知实数a，b满足，则的最大值为．【答案】22【分析】将化简可得，将代入化简结果可得原式，将两边加上，得到，根据平方的非负性解出的取值范围，即可解答．【详解】解：将代入得：原式，将两边加上，得：，即，，，即，，原式的最大值为22．故答案为：22．【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，不等式的性质，根据完全平方公式得出的取值范围是解题的关键．21．（2023·安徽·校联考二模）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，……根据以上规律，解决下列问题：(1)写出第4个等式：___________；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】（1）根据给出的等式的特点，写出第4个等式即可；（2）根据给出的等式的特点，抽象概括出第个等式，再进行证明即可．【详解】（1）解：由题意，得：第4个等式为：，故答案为：；（2）∵第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，……∴第个等式为：；∵，，∴．【点睛】本题考查数字类规律探究，因式分解的应用，解题的关键是根据题干给出的等式，抽象概括出．22．（2023·河北保定·统考二模）已知整式的值为，的值为．(1)【发现】当时，，__________，__________（填“”“＝”或“＜”）；当时，__________，，__________Q．(2)【猜想与验证】无论为何值，__________始终成立，并证明该猜想的结论．【答案】(1)；；；(2)，见解析【分析】（1）将字母值代入代数式求值，判断；（2）用作差法，根据整式加减运算法则，配方法处理；【详解】（1）时，∴；时，∴；（2）证明：．，，．【点睛】本题考查整式的求值，整式的加减运算，配方法，能够根据完全平方公式，运用配方法确定代数值取值范围是解题的关键．23．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）对于“已知，求xy的最大值”这个问题，小明是这样求解的：∵，∴，∴∴，所以xy的最大值为．请你按照这种方法计算：当（，）时，的最小值．【答案】2【分析】由得出．将通分得，再将代入，结合完全平方公式可得出，结合二次函数的性质即可求出的最小值．【详解】解：∵，∴，∴．∵，∴，∴的最小值为2．【点睛】本题考查分式的加减混合运算，二次函数的最值等知识．理解题意，掌握其运算方法是解题关键．24．（2023·重庆黔江·校联考模拟预测）阅读以下材料：指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．对数的定义：一般地，若(且)，那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：，理由如下：设，，则，∴，由对数的定义得又∵，∴．请解决以下问题：(1)将指数式转化为对数式_______；(2)求证：；(3)拓展运用：计算______．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据指数与对数的关系求解．（2）根据指数与对数的关系求证．（3）利用（1）、（2）中的对数运算法则求解．【详解】（1）解：根据指数与对数关系得：．故答案为：．（2）解：设，则，∴．∴．∴．（3）解：原式．故答案为：．【点睛】本题考查了新定义的知识解题，理解新定义，找到指数和对数的关系是求解本题的关键．限时检测2：最新各地中考真题（40分钟）1．（2023年湖北省宜昌市中考数学真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（

）．日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031A．左上角的数字为 B．左下角的数字为C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数【答案】D【分析】根据日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，然后用含a的式子表示其余三个数，表达规律即可．【详解】日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则有：左上角的数字为，故选项A错误，不符合题意；左下角的数字为，故选项B错误，不符合题意；右下角的数字为，故选项C错误，不符合题意；把方框中4个位置的数相加，即：，结果是4的倍数，故选项D正确；故选：D．【点睛】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．2．（2023·江苏·统考中考真题）下列计算正确的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法则，逐一进行计算后判断即可．【详解】解：A、，故A错误；B、，故B错误；C、，故C错误；D、，故D正确；故选D．【点睛】本题考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．3．（2023·山东·统考中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项．【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意；B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意；C、，属于因式分解，故符合题意；D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键．4．（2023·陕西·统考中考真题）计算：（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可．【详解】解：．故选：B．【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．5．（2023上·江苏南通·七年级统考期中）若关于m的多项式的值是5，则代数式的值是（

）A． B．9 C． D．7【答案】C【分析】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是注意整体代入思想．将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可．【详解】解：∵多项式的值是5，∴，∴．故选：C．6．（2023年山东省济宁市中考数学真题）已知一列均不为1的数满足如下关系：，，若，则的值是（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】据题意可把代入求解，则可得，，……；由此可得规律求解．【详解】解：∵，∴，，，，…….；由此可得规律为按2、、、四个数字一循环，∵，∴；故选A．【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．7．（2023年重庆市中考数学真题（A卷））用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（

）

A．39 B．44 C．49 D．54【答案】B【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了根木棍，第②个图案用了根木棍，第③个图案用了根木棍，第④个图案用了根木棍，……，第⑧个图案用的木棍根数是根，故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．8．（2023年重庆市中考数学真题（B卷））在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．【详解】解：，故说法①正确．若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现，显然无论怎么添加绝对值，都无法使的符号为负，故说法②正确．当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是；；；．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是；；．共有7种情况；有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．9．（2023年四川省广安市中考数学真题）定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是．【答案】【分析】先根据可得一个关于的等式，再根据新运算的定义代入计算即可得．【详解】解：，，即，，故答案为：．【点睛】本题考查了新定义下的实数运算、代数式求值，理解新运算的定义是解题关键．10．（2022·江苏扬州·中考真题）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为（其中为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的________倍．【答案】1000【分析】分别求出震级为8级和震级为6级所释放的能量，然后根据同底数幂的除法即可得到答案．【详解】解：根据能量与震级的关系为（其中为大于0的常数）可得到，当震级为8级的地震所释放的能量为：，当震级为6级的地震所释放的能量为：，，震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的1000倍．故答案为：1000．【点睛】本题考查了利用同底数幂的除法底数不变指数相减的知识，充分理解题意并转化为所学数学知识是解题的关键．11．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，……丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有盏．【答案】10【分析】灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”，确定1-100中，各个数因数的个数，完全平方数的因数为奇数个，从而求解．【详解】所有灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”；因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数，1-100中，完全平方数为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100；有10个数，故有10盏灯被按奇数次，为“亮”的状态；故答案为：10．【点睛】本题考查因数分解，完全平方数，理解因数的意义，完全平方数的概念是解题的关键．12．（2023·四川雅安·统考中考真题）若，，则的值为．【答案】【分析】先将代数式根据平方差公式分解为：=，再分别代入求解．【详解】∵，，∴原式．故答案为：．【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键。12．（2023年黑龙江省绥化市中考数学真题）因式分解：．【答案】【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．13．（2023年山东省聊城市中考数学真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对：．

【答案】【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第个数对的第一个数为：，第个数对的第二个位：，即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：，，，，，…则第个数对的第一个数为：，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：；；；；…，则第个数对的第二个位：，∴第n个数对为：，故答案为：．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．14．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：，4，，16，，64，……①0，7，，21，，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】1024【分析】通过观察第一行数的规律为，第二行数的规律为，代入数据即可.【详解】第一行数的规律为，∴第①行数的第10个数为；第二行数的规律为，∴第①行数的第2023个数为，第②行数的第2023个数为，∴，故答案为：1024；．【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.15．（2023年四川省成都市数学中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．【答案】【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．【详解】解：依题意，当，，则第1个一个智慧优数为当，，则第2个智慧优数为当，，则第3个智慧优数为，当，，则第4个智慧优数为，当，，则第5个智慧优数为当，，则第6个智慧优数为当，，则第7个智慧优数为……时有4个智慧优数，同理时有个，时有6个，列表如下，观察表格可知当时，时，智慧数为，时，智慧数为，，时，智慧数为，，时，智慧数为，第1至第10个智慧优数分别为：，，，，，，，，，，第11至第20个智慧优数分别为：，，，，，，，，，，第21个智慧优数，第22个智慧优数为，第23个智慧优数为故答案为：，．【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．16．（2023年重庆市中考数学真题（B卷））对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为．【答案】62009313【分析】根据题中“天真数”可求得最小的“天真数”；先根据题中新定义得到，进而，若M最大，只需千位数字a取最大，即，再根据能被10整除求得，进而可求解．【详解】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200；根据题意，，，，，则，∴，∴，若M最大，只需千位数字a取最大，即，∴，∵能被10整除，∴，∴满足条件的M的最大值为9313，故答案为：6200，9313．【点睛】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键．17．（2023·山东淄博·统考中考真题）先化简，再求值：，其中，．【答案】；【分析】直接利用整式的混合运算法则化简进而合并得出答案．【详解】原式,当时,原式．【点睛】此题主要考查了整式的混合运算二次根式的运算，正确合并同类项是解题关键．18．（2023年浙江省嘉兴市中考数学真题）观察下面的等式：，，，，…．(1)尝试：___________．(2)归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）．(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．【答案】(1)6(2)n(3)见解析【分析】（1）根据题目中的例子，可以直接得到结果；（2）根据题目中给出的式子,可以直接得到答案；（3）将（2）中等号