2023-2024学年浙江省宁波市鄞州区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年浙江省宁波市鄞州区七年级（下）期中数学试卷一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分。1.下列方程是二元一次方程的是(

)A.x+y=2 B.x+2y C.1x+y=0 2.下列运算中，正确的是(

)A.3a2−a2=2 B.(23.某种细胞的直径是0.000000244米，用科学记数法表示0.00000024为(

)A.2.4×10−7 B.2.4×10−8 C.4.下列从左到右的变形属于因式分解的是(

)A.a(x+y)=ax+ay B.x2+2x+1=x(x+2)+1

C.x25.下列各组数是方程x+2y=4的解是(

)A.x=−1y=3 B.x=2y=−1 C.x=0y=26.如图，∠1=80°，∠2=80°，∠3=84°，则∠4=(

)A.84°

B.94°

C.86°

D.96°7.如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB/​/CD的是(

)A.∠1=∠2

B.∠3=∠4

C.∠D=∠DCE

D.∠D+∠ACD=180°8.金山银山不如绿水青山，某地准备购买一些松树和梭梭树苗.已知购买4棵松树苗和3棵梭梭树苗需要180元，购买1棵梭梭树苗比1棵松树苗少花费10元.设每棵松树苗x元，每棵梭梭树苗y元，则列出的方程组正确的是

(

)A.4x+3y=180y−x=10 B.3x+4y=180y−x=10

C.3x+4y=180x−y=109.我们知道：若am=an(a>0且a≠1)，则m=n.设5m=3，5n=15，5p=75.现给出m，n，A.①② B.①③ C.②③ D.①②③10.已知关于x，y的方程组x+2y=6−3ax−y=6a，给出下列说法：

①当a=1时，方程组的解也是x+y=a+3的解；

②若2x+y=3，则a=−1；

③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；

④x，y都为自然数的解有5对．

以上说法中正确的个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。11.在2x+y=7中，用含y的代数式表示x：

．12.分解因式：x2y−y13.若a+b=1，ab=−3，则(a+1)(b+1)的值为______．14.若关于x，y的二次三项式9x2+mxy+4y2是一个完全平方式，则15.若x=my=n是方程x−3y=−5的一组解，则2m−6n+2024=______．16.已知：|2x+y−3|+(x−3y−5)2=0，则y17.若n满足(n−2023)2+(2024−n)218.将长方形ABCD沿EF按图中那样折叠后，点A，B分别落在点G，H处，若∠2=3∠1，则∠2的度数是______．

19.如图所示的是一块矩形ABCD的场地，AB=102m，AD=51m，从A，B两地入口的路宽都为1m，两小路汇合处的路宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为______m2．20.如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为310和215，则正方形A与B的面积之和为______．

三、解答题：本题共6小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。21.(本小题6分)

(1)计算：−12023+(−12)−2+(3.14−π22.(本小题6分)

如图，在三角形ABC中，点D在AB上，DE/​/AC交BC于点E，点F在AC，∠AFD=∠BED．

(1)试说明：DF/​/BC；

(2)若∠A+∠B=120°，求∠FDE的度数．23.(本小题6分)

(1)已知x2y=2，x−2y=5，求x3y−2x2y2的值．

(2)化简求值：24.(本小题6分)

我们规定：对于数对(a,b)，如果满足a+b=ab，那么就称数对(a,b)是“和积等数对”；如果满足a−b=ab，那么就称数对(a,b)是“差积等数对”，例如：32+3=32×3，2−23=2×23.所以数对(32,3)为“和积等数对”，数对(2,23)为“差积等数对”．

(1)下列数对中，“和积等数对”的是______；“差积等数对”的是______．

①(−23,−2)，②(23,−2)，③(−225.(本小题8分)

某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：牛奶(箱)咖啡(箱)金额(元)方案一20101100方案二3015(1)采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是______元；

(2)若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元；

①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？

②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的14，则此次按原价采购的咖啡有______箱．(直接写出答案)26.(本小题8分)

用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式.例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是(a+b)2；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2，由此得到(a+b)2=a2+2ab+b2．

(1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为(a+b+c)的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______；

(2)利用(1)中的结论解决以下问题：已知a+b+c=10，ab+ac+bc=38，求a2+b2+c2的值；

(3)如图3，由正方形ABCD边长为a，正方形

答案和解析1.【答案】A

解：A、x+y=2是二元一次方程，符合题意；

B、x+2y是整式，不是方程，不符合题意；

C、1x+y=0是分式方程，不符合题意；

D、x2+2y=1是二元二次方程，不符合题意．

故选：A．

根据含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是2.【答案】D

解：A、3a2−a2=2a2，故此选项错误；

B、(2a2)2=4a4，故此选项错误；

C、a3.【答案】A

解：用科学记数法表示0.00000024为2.4×10−7．

故选：A．

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中4.【答案】C

解：A、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；

B、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；

C、从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；

D、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；

故选：C．

根据因式分解的定义逐个判断即可．

本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．5.【答案】C

解：把A，B，C，D的数据代入x+2y=4，

只有x=0y=2成立．

故选：C．

把各选项的数据代入方程看是否成立．

6.【答案】D

解：

∵∠1=80°，∠2=80°，

∴∠1=∠2，

∴AB/​/CD，

∴∠3+∠4=180°，

∵∠3=84°，

∴∠4=96°，

故选：D．

根据平行线的判定得出AB/​/CD，再根据平行线的性质得出∠3+∠4=180°，代入求出即可．

本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：①内错角相等，两直线平行，②两直线平行，同旁内角互补．7.【答案】A

解：A.根据内错角相等，两直线平行即可证得AB/​/BC；

B.根据内错角相等，两直线平行即可证得BD/​/AC，不能证AB/​/CD；

C.根据内错角相等，两直线平行即可证得BD/​/AC，不能证AB/​/CD；

D.根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得BD/​/AC，不能证AB/​/CD．

故选：A．

根据平行线的判定定理即可直接作出判断．

本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．8.【答案】D

解：∵购买4棵松树苗和3棵梭梭树苗需要180元，

∴4x+3y=180；

∵购买1棵梭梭树苗比1棵松树苗少花费10元，

∴x−y=10．

∴所列方程组为4x+3y=180x−y=10．

故选：D．

根据“购买4棵松树苗和3棵梭梭树苗需要180元，购买1棵梭梭树苗比1棵松树苗少花费10元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

9.【答案】B

解：∵5m=3，

∴5n=15=5×3=5×5m=51+m，

∴n=1+m，

∵5p=75=52×3=52+m，

∴p=2+m，

∴p=n+1，

①m+p=n−1+n+1=2n，故此结论正确；

②m+n=p−2+p−1=2p−3，故此结论错误；

③n2−mp=(1+m)10.【答案】D

解：将a=1代入原方程组得x+2y=3x−y=6，

解得x=5y=−1，

将x=5y=−1代入方程x+y=a+3左右两边，

左边=5−1=4，右边1+3=4，

∴当a=1时，方程组的解也是x+y=a+3的解，故①正确；

方程组x+2y=6−3a①x−y=6a②①+②得2x+y=6+3a，

若2x+y=3，则6+3a=3，解得a=−1，故②正确；

∵x+2y=6−3a，2x+y=6+3a，

∴两方程相加得3x+3y=12，

∴x+y=4，

∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确；

∵x+y=4，

∴x，y都为自然数的解有x=0y=4,x=1y=3,x=2y=2,x=3y=1,x=4y=0共5对，

故④正确．

故选：D．

将a=1代入原方程组得x+2y=3x−y=6，解得x=5y=−1，经检验得是x+y=a+3的解，故①正确；方程组x+2y=6−3a①x−y=6a②两方程相加得2x+y=6+3a，根据2x+y=3，得到6+3a=3，解得a=−1，故②正确；根据x+2y=6−3a，2x+y=6+3a，得到3x+3y=12，得到x+y=4，从而得到无论a11.【答案】x=7−y解：方程2x+y=7，

2x=7−y，

解得：x=7−y2，

故答案为：x=7−y2．

把y看作已知数求出x即可．

此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将12.【答案】y(x+y)(x−y)

解：x2y−y3

=y(x2−y2)

=y(x+y)(x−y)．13.【答案】−1

解：∵a+b=1，ab=−3，

∴(a+1)(b+1)

=ab+a+b+1

=−3+1+1

=−1．

故答案为：−1．

根据多项式乘多项式运算法则将所求代数式展开，再将a+b=1，ab=−3代入计算即可．

本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是关键．14.【答案】±12

解：由题意得9x2+mxy+4y2=(3x±2y)2=9x2+±12xy+415.【答案】2014

解：∵x=my=n是方程x−3y=−5的一组解，

∴m−3n=−5，

∴2m−6n+2024=2(m−3n)+2024=2×(−5)+2024=2014，

故答案为：2014．

将x=my=n代入x−3y=−5可得m−3n=−5，从而利用2m−6n=2(m−3n)16.【答案】1

解：∵|2x+y−3|+(x−3y−5)2=0

∴2x+y=3x−3y=5，

解得：x=2y=−1，

则原式=1，

故答案为：1

利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到17.【答案】0

解：∵n满足(n−2023)2+(2024−n)2=1，

∴(2024−n)(n−2023)

=[(2024−n)+(n−2023)]2−[(n−2023)2+(2024−n18.【答案】108°

解：由折叠可得：∠BFE=∠HFE，

因为∠BFE+∠HFE+∠1=180°，

所以∠BFE=90°−12∠1，

因为四边形ABCD是长方形，

所以AD//BC，

所以∠2+∠BFE=180°，

所以∠2+90°−12∠1=180°，

因为∠2=3∠1，

所以3∠1+90°−12∠1=180°，

解得：∠1=36°，

所以∠2=108°．

故答案为：108°．

19.【答案】5000

解：由图可知：矩形ABCD中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，且它的长为：102−2=100，宽为51−1=50.所以草坪的面积应该是长×宽=100×50=5000．

故选：5000．

本题主要利用矩形的性质求出长和宽，再进行解答．

本题考查矩形的性质及空间想象能力，有一定的思维容量．20.【答案】4.5

解：设A、B正方形的面积分别为a2，b2，则边长分别为a、b，

由图甲得：(a−b)2=310，

由图乙得：(a+b)2−a2−b2=215，

即：2ab=215，

∴a2+b221.【答案】解：(1)原式=−1+4+1

=4；

(2)原方程组可化为4x−3y=123x−4y=2，

将这两个方程的左边与左边相加、右边与右边相加，得x−y=2；

将这两个方程的左边与左边相减、右边与右边相减，得x+y=10；

这两个方程组方程组，得x−y=2①x+y=10②．

①+②，得2x=12，解得x=6；

②−①，得2y=8，解得x=4；

∴原方程组的解为x=6【解析】(1)根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算即可；

(2)采用适当的方法解方程组即可．

本题考查负整数指数幂、零指数幂、解二元一次方程组，掌握负整数指数幂、零指数幂的运算法则和二元一次方程组的解法是本题的关键．22.【答案】解：(1)∵DE/​/AC，

∴∠BED=∠C，

∵∠AFD=∠BED，

∴∠C=∠AFD，

∴DF//BC；

(2)∵∠A+∠B=120°，

∴∠C=60°，

∵AC/​/ED，

∴∠DEB=∠C=60°，

∵DF/​/BC，

∴∠FDE=∠DEB，

∴∠FDE=60°．

【解析】(1)先根据平行线的性质得到∠BED=∠C，再根据∠AFD=∠BED证得∠C=∠AFD，根据同位角相等，两直线平行证得结论；

(2)已知∠A+∠B=120°，可求得∠C=60°，进而求得∠DEB，再利用DF/​/BC证得结论．

本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．23.【答案】解：(1)∵x2y=2，x−2y=5，

∴原式=x3y−2x2y2

=x2y(x−2y)

=2×5

=10；

(2)原式=(a2b【解析】(1)根据提公因式法将原式进行变形，再代入计算即可；

(2)根据整式的混合运算法则进行化简，再代入求值即可．

本题考查的是因式分解的应用和整式的混合运算，熟练掌握上述知识点是解题的关键．24.【答案】(1)②

①;

(2)由题意得：x−12−(−2)=x−12×(−2)．

∴x−1+42=1−x，

∴x+3=2−2x，

∴x=−13．

(3)假设存在，由题意得：2m+n=2mn2n−m=2mn．

解得：m=0n=0(解：(1)①∵−23−2=−83，−23×(−2)=43，−23−(−2)=43，

∴−23−(−2)=−23×(−2)=43．

∵①是“差积等数对”．

②∵23+(−2)=−43，23−(−2)=83，23×(−2)=−43．

∴23+(−2)=225.【答案】(1)1650

(2)解：①设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，

由题意得：20x+10y=110025x