高考数学数形思想学案

数形思想学案目录Ⅰ、数形结合思想在函数问题中的应用（高三）Ⅱ、MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h数形结合思想在解题中的应用Ⅲ、数形结合思想在解题中的应用（一）Ⅳ、数形结合思想在等差数列证明中的应用Ⅴ、高中数学复习专题讲座数形结合思想Ⅰ、数形结合思想在函数问题中的应用（高三）教学目标：1、知识目标1）理解数形结合的本质：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图像的性质．2）了解数形结合在解决函数问题中的作用，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决．2、能力目标1）掌握用初等函数的图像来处理函数问题，培养用函数图象解决问题的意识．掌握运用图像将代数问题转化为几何问题的技巧．2）通过运用数形结合解题，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数形结合转化问题的思想方法．3、情感目标通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的能力．培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神．渗透理论联系实际、从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想．教学重点：利用基本初等函数的图像将函数问题转化为几何问题．（以形助数）教学难点：利用图像转化函数问题，在代数与几何的结合上去找出解题思路．教学方法：启发式教学．教具：利用多媒体辅助教学，使学生更容易从直观上理解“数”和“形”之间的关系。教学过程新课引入复习高中所学的几种基本初等函数的图像．yy1111x1OyxyOOxyOxx1OyxyOOxyOx提问：上述四个函数图像分别对应于四个函数y=x2,y=2x,y=0.5x,y=log2x中的哪一个?说明上述四种函数及图像代表了几类常用函数的基本图像．强调：作出简图时要注意到函数的性质在其图像上的体现，比如特殊的点、线（对称轴、渐进线）。几种常见的图象变换（提问）平移变换、伸缩变换、对称变换．说明函数图像的作用：它直观地体现了函数的变化状况和函数的各种性质（奇偶性、单调性和周期性等）．许多函数问题大多可以从函数的图象中得到直观地解释或形象地提示解决问题的方法．基础训练题组函数的反函数的图像不经过第______象限．A．一 B．二 C．三 D．四分析：正确作出函数的图像是本题的关键所在．由于它不是基本初等函数，其图像需要由初等函数的图像作适当的变换得到．（提问学生：如何作出图像？本题有2种变换方法，可启发学生思考．）方法一：先求出反函数，再作其图像．y作关于直线y=x对称向左平移1个单位Oyy–1–1O–1xxxO1y作关于直线y=x对称向左平移1个单位Oyy–1–1O–1xxxO1方法二：利用函数图像和其反函数图形之间的对称关系作图．的反函数为。yOxyyOxyxOxO向下平移向下平移1个单位--1从中观察出：函数图像不经过第二象限．选B.解题回顾：本题的关键是正确作出图像，要注意常用的图象变换方法．结论：运用数形结合方法可确定图像趋向．已知方程|x2–4x+3|=m有4个根，则实数m的取值范围是______．分析：此题并不涉及方程根的具体值，只是根的个数，而求方程的根的问题可以转化为求两条曲线的交点．故利用函数图像是解本题的一种简便方法．借助于多媒体，学生可以很直观地求得．0<m<1.y=my=|x2–4x+3|xOyy=my=|x2–4x+3|xOy解题回顾：(1)本题给出问题的结论，去探求满足结论所需的条件．旨在深化能力立意，从不同角度考察学生的探索、反驳、否定能力，培养学生的创新意识．(2)数形结合可用于解方程准确合理地作出满足题意的图形是使用数形结合的前提．(3)变换题：将题中的4个根改成3个、2个、1个根、无实根，分别求出m的取值范围．yO由函数与函数y=2的图像围成一个封闭图形，yOy=2这个封闭图形的面积是_______．y=2分析：本题不能直接求解（高中阶段没有此类图形的面积公式），初看x好像是偏题、怪题，但如果借助于图形x的对称性并利用割补法，则可将之转化为一个等积矩形的面积问题．学生可直接看出答案。解题回顾：本题利用了数形结合方法计算面积．结论：图像的对称性可以使棘手的问题简单化，转化为常规的问题，体现了数学中把未知转化为已知的思想方法．设x1为方程2x=4–x的根，x2为方程log2x=4–x的根，则x1+x2=________．分析：本题等式两边为不同类型的函数组成的超越方程，直接求出x1，x2是很难的（对高中学生来说是解不出的）．是否就没办法呢？再次审题，注意到两个方程左边的两个函数互为反函数，其图像关于直线y=x对称，这时可启发学生用图像的对称性来求解．y=xyy=2xy=y=xyy=2xy=log2xy=f1(x)=2x，y=f2(x)=log2x，将x1，x2分别看作函数f(x)与Af1(x)、f2(x)的交点，再利用对称AC(2,2)性求解．C(2,2)By=4–xB解得C(2，2).y=xx1x2Ox所以xx1x2Ox解题回顾：（1）本题运用了图像的对称性，将本来难以入手的问题很简便的求出，体现了数形结合思想方法直观、清晰和快捷的优点．利用数形结合可进行数值估计．（2）变化题：设a>0，且a≠1，x1为方程ax=b–x的根，x2为方程logax=b–x的根，则x1+x2=________．(答案为b．同样利用图像的对称性)y=axy=axyBC(b,b)AOxx1BC(b,b)AOxx1x2y=y=logax三、能力训练题组设函数，其中a>0．解不等式f(x)≤1题目分析：解带参数的不等式，需要就参数的取值情况分类讨论．按常规解题方法此不等式等价于（一般来说，学生都会想到此种方法）由a>0，转化为(I)或(II)然后分别解(I)、(II)，此法运算过程较繁，容易出现错误．这时可以启发引导学生借助于函数的图像，对不等式的解集作出估计，从中找到解题的简便方法．原不等式等价于，把不等式的两边看成关于x的函数：原不等式的解集就是函数的图像在函数的图像下方部分的横坐标x的集合．的图像为双曲线的上支，表示过点(0,1)的一条直线．y=ax+1xyyy=ax+1xyyy=ax+1y=ax+1x0xOOx0xOO从图像中可以观察出：原不等式的解为当a1时，x0；当a<1时，为与图像的交点的横坐标．解题过程由学生完成．（学生上黑板完成）解题回顾：利用函数图像可以估计不等式的解的状况，大大减少了运算量，避免在解的过程中出现错误，并且可以检测结果正确与否．这种方法对于解带参数的不等式更为有利．（辅助解不等式）本题有机地渗透着数形结合思想与分类讨论的思想（教育部考试中心对此题的分析报告），有效地检测学生知识迁移的能力．四、课堂小结数形结合是数学中四种重要思想方法之一．它既具有数学学科的鲜明特点又是数学研究的常用方法．华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直觉，形少数时难入微．”数形结合就是对题目中的条件和结论既分析其代数意义又分析起几何含义．这是一个极富数学特色的信息转换．对于选择填空题型，数形结合可起到直接解题的作用，在解答题中，则可起到辅助解题作用。利用函数图象处理问题的关键在于转化和构造，转化和构造时要注意遵循可行性、简易性原则．一般地，可以把问题转化为一次函数、二次函数、圆锥曲线或三角函数的图像性质问题来加以解决．方程的解之类的问题可以转化为曲线的交点问题，从而把代数与几何有机地结合起来，使问题的解决得到简化．数形结合数形结合代数问题几何问题代数问题几何问题五．课后巩固1．不等式的解集是{x|0<x}，则实数a的取值范围是____A.a<0B.a0C.a>0D.a0y(y(oC)前5分钟温度增加的速度越来越快；前5分钟温度增加的速度越来越快；5分钟以后温度保持匀速增加；5分钟以后温度保持不便．O5t(分)你认为正确的说法有______．O5t(分)A．(1)和(4)B．(2)和(4)C．(2)和(3)D．(1)和(3)3．对于时，不等式____．4．ABCD是四边形，动点P沿折线BCDA由B点向A点运动．P点移动的路程为x，ΔABP的面积为S，SS函数S=f(x)的图像如图所示．SS20给出以下四个结论：20ABCD是等腰梯形；ABCD是平行四边形；O5914xO5914x那么ΔABP的面积为10；当9<x<14，函数S=f(x)的解析式是56–4x．其中正确命题的序号是_______．解关于x的不等式：．Ⅱ、MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h数形结合思想在解题中的应用高考要求数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养学生应用这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野以形助数常用的有借助数轴；借助函数图像；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法以数助形常用的有借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合复习建议1．加强对数学概念的复习，深刻理解定义以及数、式的几何意义，真正夯实双基；2．加强作图能力的训练，解题先想图，以图助解题，养成数形结合的习惯；3．注意知识间的联系、综合与交汇，提倡一题多问，一题多解，多题一解，培养发散思维和归纳概括的习惯，重视数学思想方法在解综合题中的指导作用课前检测：1方程sin(x–)=x的实数解的个数是()A2B3C4D以上均不对1解析在同一坐标系内作出y1=sin(x–)与y2=x的图象如图答案B2.解不等式3.（1987年高考题）在圆x＋y＝4上与直线4x＋3y－12=0距离最小的点的坐标是（）A．（，）B．(，－)C．(－，)D．(－，－)通过课前检测了解学生应用数形结合思想解题的意识． 例题分析：例1.ABCD分析：“数”中思“形”解：设点在圆上，圆心为,半径等于．如图，则是点与原点连线的斜率．当与⊙相切，且切点落在第一象限时，有最大值，即有最大值．因为=，=，所以==，所以==．例2设A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A}，若CB，求实数a的取值范围．命题意图本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目知识依托解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C进而将CB用不等式这一数学语言加以转化．错解分析考生在确定z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出错，不能分类而论巧妙观察图象将是上策不能漏掉a＜–2这一种特殊情形．技巧与方法解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决解∵y=2x+3在［–2,a］上是增函数∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3}作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下①当–2≤a≤0时，a2≤z≤4即C={z｜a2≤z≤4}要使CB,必须且只须2a+3≥4得a≥与–2≤a＜0矛盾②当0≤a≤2时，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使CB，由图可知必须且只需解得≤a≤2③当a＞2时，0≤z≤a2，即C={z｜0≤z≤a2}，要使CB必须且只需解得2＜a≤3．④当a＜–2时，A=此时B=C=，则CB成立综上所述，a的取值范围是(–∞,–2)∪［,3］例3.已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，求k的不同取值个数．分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为．所以过点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时取两个不同值，此外，过点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时取两个不同的值，故有四个不同取值．yx0yx0图4分析：利用三角函数的图像或三角函数线（如图4）求解,先求出一个周期上的解再写出全部．解答：由图得解集为：．点评：三角函数图像和三角函数线，是处理三角函数值大小问题的两个有力武器，用好它会使解题简捷、高效．例5曲线y=1+(–2≤x≤2)与直线y=r(x–2)+4有两个交点时，实数r的取值范围解析方程y=1+的曲线为半圆，y=r(x–2)+4为过（2，4）的直线答案（］例6设f(x)=x2–2ax+2,当x∈［–1,+∞)时，f(x)＞a恒成立，求a的取值范围解法一由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立x2–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恒成立考查函数g(x)=x2–2ax+2–a的图象在［–1,+∞］时位于x轴上方如图两种情况不等式的成立条件是(1)Δ=4a2–4(2–a)＜0a∈(–2,1)(2)a∈(–3,–2，综上所述a∈(–3,1)．解法二由f(x)＞ax2+2＞a(2x+1)．令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象如图满足条件的直线l位于l1与l2之间，而直线l1、l2对应的a值（即直线的斜率）分别为1，–3，故直线l对应的a∈(–3,1)．例7．求函数的值域．分析：本题需要去绝对值化为分段函数，再按直线x=a相对于两个抛物线的对称轴的位置分类讨论，借助于图象可有效帮助解题．解：_图8_图8Oyx_12_-12a（1）当时，如图8知a_a_-12_12xyO图9（2）当时，如图9知_图10Oy_图10Oyx_12-12a知，综上所述：当时，值域为当时，值域为．当时，值域为．点评：分段去绝对值，数形结合，分类讨论．课堂练习：1.求方程的解的个数--------．分析：此方程解的个数为的图象与的图象的交点个数．因为,所以在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图，形中觅数，可直观地看出两曲线有3个交点．2.已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，求k的不同取值个数。分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为．所以过点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时取两个不同值，此外，过点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时取两个不同的值，故有四个不同取值．3.A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或2个或3个出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）4．(2006湖南）若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是()A．[]B．[]C．[D．选B5.若关于x的方程有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为___________．画出的图象可知，有四个交点则；6.若对任意实数t，都有，则、由小到大依次为___________．作出的图像即可得f(1)<f(4)<f(-3)． 课后作业：1.函数的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D..D提示：画出的图象情形1：情形2：2.解：3已知集合A={x｜5–x≥},B={x｜x2–ax≤x–a}，当AB时，则a的取值范围是解析解得A={x｜x≥9或x≤3}，B={x｜(x–a)(x–1)≤0}，画数轴可得答案a＞34.．分析：以3为半径的圆在x轴上方的部分，（如图），而N则表示一条直线，其斜率k=1，纵截．5设关于x的方程sinx+cosx+a=0在（0,π）内有相异解α、β（1）求a的取值范围；（2）求tan(α+β)的值解①作出y=sin(x+)(x∈(0,π))及y=–的图象，知当｜–｜＜1且–≠时，曲线与直线有两个交点，故a∈(–2,–)∪(–,2)②把sinα+cosα=–a,sinβ+cosβ=–a相减得tan，故tan(α+β)=3．6.解法一（代数法）：，．解法二（几何法）：．7设A={(x,y)｜y=,a＞0}，B={(x,y)｜(x–1)2+(y–)2=a2,a＞0},且A∩B≠，求a的最大值与最小值解∵集合A中的元素构成的图形是以原点O为圆心，a为半径的半圆；集合B中的元素是以点O′(1,)为圆心，a为半径的圆如图所示：∵A∩B≠，∴半圆O和圆O′有公共点显然当半圆O和圆O′外切时，a最小a+a=｜OO′｜=2,∴amin=2–2当半圆O与圆O′内切时，半圆O的半径最大，即a最大此时a–a=｜OO′｜=2,∴amax=2+2．8已知A（1，1）为椭圆=1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点求｜PF1｜+｜PA｜的最大值和最小值．解由可知a=3,b=,c=2，左焦点F1(–2,0),右焦点F2(2,0)由椭圆定义，｜PF1｜=2a–｜PF2｜=6–｜PF2｜,∴｜PF1｜+｜PA｜=6–｜PF2｜+｜PA｜=6+｜PA｜–｜PF2｜如图由｜｜PA｜–｜PF2｜｜≤｜AF2｜=知–≤｜PA｜–｜PF2｜≤当P在AF2延长线上的P2处时，取右“=”号；当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“=”号即｜PA｜–｜PF2｜的最大、最小值分别为，–于是｜PF1｜+｜PA｜的最大值是6+,最小值是6–9.设f(x)=x2–2ax+2,当x∈［–1,+∞)时，f(x)＞a恒成立，求a的取值范围解法一由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立x2–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恒成立考查函数g(x)=x2–2ax+2–a的图象在［–1,+∞］时位于x轴上方如图两种情况不等式的成立条件是(1)Δ=4a2–4(2–a)＜0a∈(–2,1)(2)a∈(–3,–2，综上所述a∈(–3,1)．解法二由f(x)＞ax2+2＞a(2x+1)令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象如图满足条件的直线l位于l1与l2之间，而直线l1、l2对应的a值（即直线的斜率）分别为1，–3，故直线l对应的a∈(–3,1)．方法总结1．数形结合，数形转化常从以下几个方面：（1）集合的运算及文氏图；（2）函数图象，导数的几何意义；（3）解析几何中方程的曲线；（4）数形转化，以形助数的还有：数轴、函数图象、单位圆、三角函数线或数式的结构特征等．2．取值范围，最值问题，方程不等式解的讨论，有解与恒成立问题等等，许多问题还可以通过换元转化为具有明显几何意义的问题，借助图形求解．3.数形结合的思想是很重要的数学思想，也是分析问题、解决问题的有力工具．在今后的学习中，我们要逐步加深对它的理解，并且要学会这种解决问题的方法．它的好处是直观、形象、帮你找的解决问题的捷径．张素燕教师：杨如钢2007-4-23Ⅲ、数形结合思想在解题中的应用（一）教师：杨如钢2007-4-23教学目标：1．利用图形来处理方程及函数问题和不等式问题，求函数的值域，最值等问题时能运用数形结合思想，避免复杂的计算与推理，在解题时能提高效率。2．增养学生问题转化的意识。重点：“以形助数”，培养学生在解题过程中运用数形结合的意识。难点：问题的转化。利用多媒体形象地展示图形在解题中的应用，克服解题中的困难.数形结合作为一种重要的数学思想，历年来一直是高考考查的重点之一.这种思想体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决.本节课着重研究在函数与不等式问题中，在求函数的值域、最值问题时，运用数形结合的思想，使某些问题直观化、生动化、能够变抽象思维为形象思维，达到发现解题途径，避免复杂的计算和推理，简化解题过程的目的。一、基础训练：1．方程lgx=sinx的实根的个数为 []A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解：画出y=lgx和y=sinx在同一坐标系中的图象，两图象有3个交点，选C.2．函数y=a|x|与y=x+a的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是[]A．(1，+∞) B．(-1，1)C．(-∞，-1]∪[1，+∞) D．(-∞，-1)∪(1，+∞)解：画出y=a|x|与y=x+a的图象，两图象有两个交点的情形如下：情形1：eq\b\lc\{(\a\al(a>0,a>1))=> a>1 情形2：eq\b\lc\{(\a\al(a<0,a<-1))=>a<-1 选D3．不等式eq\r(x+2)>x的解集是______________.解法一：（常规解法）原不等式等价于（Ⅰ）eq\b\lc\{(\a\al(x≥0,x+2≥0,x+2>x2))，或（Ⅱ）eq\b\lc\{(\a\al(x<0,x+2≥0))，解（Ⅰ）得0≤x<2；解（Ⅱ）得-2≤x<0.综上可知，原不等式的解集为{x|-2≤x<0}∪{x|0≤x<2}={x|-2≤x<2}解法二：（数形结合解法） 令y1=eq\r(x+2)，y2=x，则不等式eq\r(x+2)>x的解就对应于： 函数y1=eq\r(x+2)的图象在y2=x上方的图象的部分在x轴上的射影.如图，不等式的解集为{x|xA<x<xB}，由eq\r(x+2)=x得xB=2，而xA=-2， ∴不等式的解集是{x|-2≤x<2}.变题：不等式eq\r(x+2)>kx的解集为M，且M{x|-2≤x<2}，则k∈____________.答案：[1，+∞）4．函数y=eq\f(sinx+2,cosx-2)的值域为_______________.解法一：（代数法）由y=eq\f(sinx+2,cosx-2)得ycosx–2y=sinx+2，∴sinx–ycosx=-2y–2，∴eq\r(y2+1)sin(x+φ)=-2y–2， ∴sin(x+φ)=eq\f(-2y–2,eq\r(y2+1))，而|sin(x+φ)|≤1， ∴|eq\f(-2y–2,eq\r(y2+1))|≤1，解不等式得eq\f(-4-\r(7),3)≤y≤eq\f(-4+\r(7),3)， ∴函数的值域为[eq\f(-4-\r(7),3)，eq\f(-4+\r(7),3)].解法二（几何法）：y=eq\f(sinx+2,cosx-2)的形式类似于斜率公式k=eq\f(y2-y1,x2-x1)，∴y=eq\f(sinx+2,cosx-2)表示过两点P0(2，-2)及P(cosx，sinx)的直线的斜率，由于点P在单位圆x2+y2=1上（如图），显然≤y≤，设过P0的圆的切线方程为y+2=k(x–2)， 则有eq\f(|2k+2|,\r(k2+1))=1，解得k=eq\f(-4±\r(7),3)， 即=eq\f(-4-\r(7),3)，=eq\f(-4+\r(7),3)∴eq\f(-4-\r(7),3)≤y≤eq\f(-4+\r(7),3)，∴函数的值域为[eq\f(-4-\r(7),3)，eq\f(-4+\r(7),3)]5．过圆M：(x-1)2＋(y-1)2=1外一点P向此圆作两条切线，当这两切线互相垂直时，动点P的轨迹方程是_____________．解：如图，设切点为A、B，连结MA、MB、PM，则MA⊥AP，MB⊥PB，又AP⊥PB，且|PA|=|PB|，那么MBPA是正方形，从而|PM|=eq\r(2)|MA|=eq\r(2).设动点P(x，y)，则(x－1)2+(y-1)2=2，这就是所求的轨迹方程．二、例题：例1．若关于x的方程x2+2kx+3k=0的两根都在-1和3之间，求k的取值范围.解：解法一：令f(x)=x2+2kx+3k，其图象与x轴交点的横坐标就是方程f(x)=0的解，由y=f(x)的图象可知，要使两根都在-1和3之间，只需eq\b\lc\{(\a\al(f(-1)>0,f(3)>0,-1<-k<3,4k2-12k≥0))，∴k∈(-1，0]. 解法二：设函数f(x)=x2，g(x)=-2k(x+eq\f(3,2))，问题转化为两函数图象的两个交点的横坐标必须在-1和3之间. 画出两函数图象（如图），而PA、PB的斜率相等，都是2，∴0≤-2k<2，即k∈(-1，0]例2．定圆C：(x–3)2+(y–3)2=(eq\f(5,2))2上有动点P，它关于定点A(7，0)的对称点为Q，点P绕圆心C依逆时针方向旋转120°后到达点R，求线段RQ长度的最大值和最小值．[分析]本题一般解法是，设点P(3+eq\f(5,2)cosα，2+eq\f(5,2)sinα)，然后求出点Q、R的坐标，最后用两点间距离公式，求出|RQ|的最值．但这种解法运算量较大，还易出错．观察图，在△PRQ中，欲求|RQ|，因A是PQ的中点，易想起三角形的中位线.解：取PR的中点B，连结BA，则|RQ|=2|AB|．又B是弦RP的中点，连CB，则CB⊥RP，∠BCP=eq\f(1,2)∠PCR=60°，∴|BC|=eq\f(1,2)|CP|=eq\f(5,4).∴点B的轨迹是以C为圆心，eq\f(5,4)为半径的圆.这时求|QR|的最值，转化为求点A与所作圆上点的距离的最值．过C、A作直线，交所作圆于B1、B2两点，则由平面几何知，|AB|的最大值为|AB2|=|AC|+|CB2|=eq\r((7-3)2+(0-3)2)+eq\f(5,4)=eq\f(25,4)，|AB|的最小值为|AB1|=|AC|-|CB1|=5-eq\f(5,4)=eq\f(15,4).故|QR|的最大值、最小值分别是eq\f(25,2)和eq\f(15,2).例3.求函数u=eq\r(2t+4)+eq\r(6-t)的最值.[分析]由于等式右端根号内同为t的一次式，故作简单换元，设eq\r(2t+4)=m，无法转化为一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。解：设x=eq\r(2t+4)，y=eq\r(6-t)，u=x=y，且x2+2y2=16(0≤x≤4，0≤y≤2eq\r(2))， 所给函数化为以u为参数的直线方程y=-x+u，它与椭圆x2+2y2=16在第一象限的部分(包括端点)有公共点(如图)时umin=2eq\r(2)； 当直线与椭圆相切于第一象限时，u取最大值. 由eq\b\lc\{(\a\al(y=-x+u,x2+2y2=16))得3x2–4ux+2u2–16=0， 解△=0得u=±2eq\r(6)，取u=2eq\r(6)，即umax=2eq\r(6).三、小结：实现数形结合，常与以下内容有关：1、实数与数轴上的点的对应关系；2、函数与图象的对应关系；3、曲线与方程的对应关系；4、以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如向量、三角函数等5、所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。数形结合思想是解答数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题时发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。数形结合的另一个方面：“以数助形”将在下节课中研究。四、练习：1．已知0<a<1，则方程a|x|=|logax|的实数根的个数为 []A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或2个或3个解：判断方程的根的个数就是判断函数y=a|x|与y=|logax|图象的交点个数，画出它们的图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。2．如果实数x、y满足(x–2)2+y2=3，则eq\f(y,x)的最大值为[]A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),3) C．eq\f(\r(3),2) D．eq\r(3)解：等式(x–2)2+y2=3有明显的几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为(2，0)，半径r=eq\r(3)（如图），而eq\f(y,x)=eq\f(y-0,x-0)则表示圆上的点(x，y)与坐标原点(0，0)连线的斜率. 问题转化为：动点A在以(2，0)为圆心，以eq\r(3)为半径的圆上移动，求直线OA斜率的最大值. 由图可知，当点A在第一象限，且OA与圆相切时，OA的斜率最大，这时|OM|=2，|AM|=eq\r(3)，|OA|=1，∴k=tan∠AOM=eq\r(3)，选D.3．函数y=eq\r(x2-2x+2)+eq\r(x2-6x+13)的最小值为___________.解：eq\r(x2-2x+2)=eq\r((x-1)2+1)=eq\r((x-1)2=(1-0)2)，联想到两点的距离公式，它表示点(x，1)到(1，0)的距离，eq\r(x2-6x+13)=eq\r((x-3)2+(1-3)2)表示点(x，1)到点(3，3)的距离，于是y=eq\r(x2-2x+2)+eq\r(x2-6x+13)表示动点(x，1)到两个定点(1，0)、(3，3)的距离之和，结合图形，易得ymin=eq\r(13).课后作业：一、选择题：1．若不等式eq\r(x+a)≥x(a>0)的解集为{x|m≤x≤n}，且|m–n|=2a，则a的值为[]A.1 B.2 C.3 D.4解：画出y=eq\r(x+a)及y=x的图象，依题意，m=-a，n=a，从而eq\r(x+a)=a=>a=0或a=2，选B.2．若x∈(1，2)时，不等式(x–1)2<logax恒成立，则a的取值范围为[]A.（0，1） B.（1，2） C.（1，2] D.[1，2]解：令y1=(x–1)2，y2=logax，若a>1，两函数图象如图所示，显然当x∈(1，2)时，要使y1<y2，只需使loga2≥(2–1)2，即a≤2，∴当1<a≤2时，不等式(x–1)2<logax对x∈(1，2)恒成立。若0<a<1，两函数图象如下图所示，显然当x∈(1，2)时，不等式(x–1)2<logax恒不成立，可见应选C.3．定义在R上的函数y=f(x)在(-∞，2)上为增函数，且函数y=f(x+2)的图象的对称轴为x=0，则 []A．f(-1)<f(3) B．f(0)>f(3) C．f(-1)=f(-3) D．f(2)<f(3)解：f(x+2)的图象是由f(x)的图象向左平移2个单位而得到的，又知f(x+2)的图象关于直线x=0（即y轴）对称，故可推知，f(x)的图象关于直线x=2对称，由f(x)在(-∞，2)上为增函数，可知，f(x)在(2，+∞)上为减函数，依此易比较函数值的大小，选A.二、填空题：4．若f(x)=x2+bx+c对任意实数t，都有f(2+t)=f(2–t)，则f(1)、f(-3)、f(4)由小到大依次为___________。解：由f(2+t)=f(2–t)知，f(x)的图象关于直线x=2对称，又f(x)=x2+bx+c为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，由f(x)的图象，易知f(1)<f(4)<f(-3).5．若关于x的方程x2–4|x|+5=m有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为____.解：设y1=x2–4|x|+5，y2=m，画出两函数图象示意图，要使方程x2–4|x|+5=m有四个不相等实根，只需使1<m<5.6．若直线y=x–m与曲线y=eq\r(1-x2)有两个不同的交点，则实数m的取值范围是_____.解：y=x－m表示倾角为45°，纵截距为－m的直线方程，而则表示以（0，0）为圆心，以1为半径的圆在x轴上方的部分（包括圆与x轴的交点），如下图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距，即.7．若集合M={(x，y)|eq\b\lc\{(\a\al(x=3cosθ,y=3sinθ))(0<θ<π)}，集合N={(x，y)|y=x+b}，且M∩N≠，则b的取值范围为__________.解：M={(x，y)|x2+y2=9，0<y≤1)}，显然，M表示以(0，0)为圆心，以3为半径的圆在x轴上方的部分(如图)，而N则表示一条直线，其斜率k=1，纵截距为b，由图形易知，欲使M∩N≠，即是使直线y=x+b与半圆有公共点，显然b的最小值逼近值为-3，最大值为3eq\r(2)，即-3<b≤3eq\r(2).三、解答题：8．若方程lg(-x2+3x–m)=lg(3–x)在[0，3]上有唯一解，求m的取值范围。解：原方程等价于：令f(x)=-x2+4x–3，g(x)=m，在同一坐标系内，画出它们的图象，其中注意，当且仅当两函数的图象在[0，3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由图可见，当m=1，或-3≤m≤0时，原方程有唯一解，因此m的取值范围为[－3，0]∪{1}。注：一般地，研究方程时，需先将其作等价变形，使之简化，再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况。9．点A（3，2）为定点，点F是抛物线y2=4x的焦点，点P在抛物线y2=4x上移动，若|PA|+|PF|取得最小值，求点P的坐标.解：抛物线y2=4x的准线方程是l：x=-1，过点A作l的垂线，垂足为B，交抛物线于点P1(如图). 若P与P1不重合，过P作PQ⊥直线l，垂足为Q，|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|>|AB|；当点P与点P1重合时，|PA|+|PF|=|P1A|+|P1F|=|P1A|+|P1B|=|AB|，∴当点P位于点P1(1，2)时|PA|+|PF|取得最小值4，即点P坐标为(1，2).10．设a>0且a≠1，试求下述方程有解时k的取值范围。解：将原方程化为：，∴令f(x)=x-ak，它表示倾角为45°的直线系，f(x)>0令g(x)=eq\r(x2-a2)，它表示焦点在x轴上，顶点为（－a，0）（a，0）的等轴双曲线在x轴上方的部分，g(x)>0∵原方程有解，∴两个函数的图象有交点，由下图，知，∴∴k的取值范围为Ⅳ、数形结合思想在等差数列证明中的应用教学目标：1．知识与技能目标：掌握等差数列前n项和公式。2．过程与方法目标：经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。3．情感、态度与价值观目标：获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导.教学难点：获得等差数列前n项和公式推导的思路.教学方法:讲授法、发现法教学过程：问题呈现:泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？探究发现:学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但是他们对这种方法的认识可能处于模仿、记忆的阶段。为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了下面问题。问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？问题2：如何求1到的正整数之和.公式应用：问题3：你能证明这个公式吗？公式推导:我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．证明（讲授）对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1＋2＋3＋4＋…＋n的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n＋1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n＋1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为，即1＋2＋3＋4＋…＋n＝．小组活动：仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n是正整数，你能找出几种方法（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）简解：（1）因为组成此平行四边形的小圆圈共有n行，每行有[（2n－1）＋1]个，即2n个，所以组成此平行四边形的小圆圈共有（n×2n）个，即2n2个．∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝＝n2．（2）因为组成此正方形的小圆圈共有n行，每行有n个，所以共有（n×n）个，即n2个．∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n×n＝n2．小组探究：利用数形结合的方法证明等差数列的求和公式（梯形法）知识回顾、小结:1.推导等差数列前项和公式的思路；2.数形结合的思想.Ⅴ、高中数学复习专题讲座数形结合思想高考要求数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征重难点归纳应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化（1）集合的运算及韦恩图（2）函数及其图像（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图像（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线以形助数常用的有借助数轴；借助函数图像；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法以数助形常用的有借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合典型题例示范讲解例1设A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A}，若CB，求实数a的取值范围命题意图本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目知识依托解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C进而将CB用不等式这一数学语言加以转化错解分析考生在确定z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出错，不能分类而论巧妙观察图像将是上策不能漏掉a＜–2这一种特殊情形技巧与方法解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决解∵y=2x+3在［–2,a］上是增函数∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3}作出z=x2的图像，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下①当–2≤a≤0时，a2≤z≤4即C={z｜a2≤z≤4}要使CB,必须且只须2a+3≥4得a≥与–2≤a＜0矛盾②当0≤a≤2时，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使CB，由图可知必须且只需解得≤a≤2③当a＞2时，0≤z≤a2，即C={z｜0≤z≤a2}，要使CB必须且只需解得2＜a≤3④当a＜–2时，A=此时B=C=，则CB成立综上所述，a的取值范围是(–∞,–2)∪［,3］例2已知acosα+bsinα=c,acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ,k∈Z)求证命题意图本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力知识依托解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上错解分析考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二技巧与方法善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题证明:在平面直角坐标系中，点A（cos