高考数学一轮复习常考热点拔高提分学案《正弦定理和余弦定理》

第七节正弦定理和余弦定理[知识能否忆起]1．正弦定理分类内容定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R是△ABC外接圆的半径)变形公式①a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C，②sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c，③sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)解决的问题①已知两角和任一边，求其他两边和另一角，②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角2．余弦定理分类内容定理在△ABC中，有a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝a2＋c2－2accos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C变形公式cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)解决的问题①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求x边和其他两个角3．三角形中常用的面积公式(1)S＝eq\f(1,2)ah(h表示边a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)absinC；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．[小题能否全取]1．(x·广东高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3eq\r(2)，则AC＝()A．4eq\r(3) B．2eq\r(3)C.eq\r(3) D.eq\f(\r(3),2)解析：选B由正弦定理得：eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，即eq\f(3\r(2),sin60°)＝eq\f(AC,sin45°)，所以AC＝eq\f(3\r(2),\f(\r(3),2))×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(3).2．在△ABC中，a＝eq\r(3)，b＝1，c＝2，则A等于()A．30° B．45°C．60° D．75°解析：选C∵cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1＋4－3,2×1×2)＝eq\f(1,2)，又∵0°<A<180°，∴A＝60°.3．(教材习题改编)在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()A．无解 B．两解C．一解 D．解的个数不确定解析：选B∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinB＝eq\f(b,a)sinA＝eq\f(24,18)sin45°，∴sinB＝eq\f(2\r(2),3).又∵a<b，∴B有两个．4．(x·x高考)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝eq\f(π,6)，c＝2eq\r(3)，则b＝________.解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋x－2×2×2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝4，所以b＝2.答案：25．△ABC中，B＝x0°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．解析：设BC＝x，由余弦定理得49＝25＋x2－10xcosx0°，整理得x2＋5x－24＝0，即x＝3.因此S△ABC＝eq\f(1,2)AB×BC×sinB＝eq\f(1,2)×3×5×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),4).答案：eq\f(15\r(3),4)(1)在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB.(2)在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解 利用正弦、余弦定理解三角形典题导入[例1](x·x高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝eq\r(3)acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．[自主解答](1)由bsinA＝eq\r(3)acosB及正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\r(3)cosB，所以tanB＝eq\r(3)，所以B＝eq\f(π,3).(2)由sinC＝2sinA及eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac.所以a＝eq\r(3)，c＝2eq\r(3).在本例(2)的条件下，试求角A的大小．解：∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(3)·sin\f(π,3),3)＝eq\f(1,2).∴A＝eq\f(π,6).由题悟法1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．2．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．以题试法1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a.(1)求eq\f(b,a)；(2)若c2＝b2＋eq\r(3)a2，求B.解：(1)由正弦定理得，sin2AsinB＋sinBcos2A＝eq\r(2)sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝eq\r(2)sinA.故sinB＝eq\r(2)sinA，所以eq\f(b,a)＝eq\r(2).(2)由余弦定理和c2＝b2＋eq\r(3)a2，得cosB＝eq\f(1＋\r(3)a,2c).由(1)知b2＝2a2故c2＝(2＋eq\r(3))a2.可得cos2B＝eq\f(1,2)，又cosB>0，故cosB＝eq\f(\r(2),2)，所以B＝45°.利用正弦、余弦定理判定三角形的形状典题导入[例2]在△ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．[自主解答](1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)·b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－eq\f(1,2)，∵0<A<180°，∴A＝x0°.(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC＝eq\f(3,4).又sinB＋sinC＝1，解得sinB＝sinC＝eq\f(1,2).∵0°<B<60°，0°<C<60°，故B＝C，∴△ABC是等腰的钝角三角形．由题悟法依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．[注意]在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．以题试法2．(x·x名校模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(4，－1)，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(A,2)，cos2A))，且m·n＝eq\f(7,2).(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝2a＝2eq\r(3)，试判断△ABC的形状．解：(1)∵m＝(4，－1)，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(A,2)，cos2A))，∴m·n＝4cos2eq\f(A,2)－cos2A＝4·eq\f(1＋cosA,2)－(2cos2A－1)＝－2cos2A＋2cosA＋3.又∵m·n＝eq\f(7,2)，∴－2cos2A＋2cosA＋3＝eq\f(7,2)，解得cosA＝eq\f(1,2).∵0<A<π，∴A＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，且a＝eq\r(3)，∴(eq\r(3))2＝b2＋c2－2bc·eq\f(1,2)＝b2＋c2－bc.①又∵b＋c＝2eq\r(3)，∴b＝2eq\r(3)－c，代入①式整理得c2－2eq\r(3)c＋3＝0，解得c＝eq\r(3)，∴b＝eq\r(3)，于是a＝b＝c＝eq\r(3)，即△ABC为等边三角形．与三角形面积有关的问题典题导入[例3](x·新课标全国卷)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋eq\r(3)asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为eq\r(3)，求b，c.[自主解答](1)由acosC＋eq\r(3)asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋eq\r(3)sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，所以eq\r(3)sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))＝eq\f(1,2).又0＜A＜π，故A＝eq\f(π,3).(2)△ABC的面积S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(3)，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.由题悟法1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的．解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用．2．在解决三角形问题中，面积公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用．以题试法3．(x·江西重点中学联考)在△ABC中，eq\f(1,2)cos2A＝cos2A－cosA.(1)求角A的大小；(2)若a＝3，sinB＝2sinC，求S△ABC.解：(1)由已知得eq\f(1,2)(2cos2A－1)＝cos2A－cosA，则cosA＝eq\f(1,2).因为0<A<π，所以A＝eq\f(π,3).(2)由eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，可得eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(b,c)＝2，即b＝2c所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(4c2＋c2－9,4c2)＝eq\f(1,2)，解得c＝eq\r(3)，b＝2eq\r(3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).1．在△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，条件“a<b”是使“cosA>cosB”成立的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选Ca<b⇔A<B⇔cosA>cosB.2．(x·泉州模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝eq\f(π,3)，b＝1，△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)，则a的值为()A．1 B．2C.eq\f(\r(3),2) D.eq\r(3)解析：选D由已知得eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×1×c×sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，解得c＝2，则由余弦定理可得a2＝4＋1－2×2×1×coseq\f(π,3)＝3⇒a＝eq\r(3).3．(x·“江南十校”联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2eq\r(3)，c＝2eq\r(2)，1＋eq\f(tanA,tanB)＝eq\f(2c,b)，则C＝()A．30° B．45°C．45°或135° D．60°解析：选B由1＋eq\f(tanA,tanB)＝eq\f(2c,b)和正弦定理得cosAsinB＋sinAcosB＝2sinCcosA，即sinC＝2sinCcosA，所以cosA＝eq\f(1,2)，则A＝60°.由正弦定理得eq\f(2\r(3),sinA)＝eq\f(2\r(2),sinC)，则sinC＝eq\f(\r(2),2)，又c<a，则C<60°，故C＝45°.4．(x·x高考)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosCA.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)解析：选C由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC，又c2＝eq\f(1,2)(a2＋b2)，得2abcosC＝eq\f(1,2)(a2＋b2)，即cosC＝eq\f(a2＋b2,4ab)≥eq\f(2ab,4ab)＝eq\f(1,2).5．(x·上海高考)在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，则A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不能确定解析：选C由正弦定理得a2＋b2<c2，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形．6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b＝2asinB，则角A的大小为________．解析：由正弦定理得sinB＝2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA＝eq\f(1,2)，∴A＝30°或A＝150°.答案：30°或150°7．在△ABC中，若a＝3，b＝eq\r(3)，A＝eq\f(π,3)，则C的大小为________．解析：由正弦定理可知sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(3)sin\f(π,3),3)＝eq\f(1,2)，所以B＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)(舍去)，所以C＝π－A－B＝π－eq\f(π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2).答案：eq\f(π,2)8．(x·北京西城期末)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝2eq\r(5)，B＝eq\f(π,4)，sinC＝eq\f(\r(5),5)，则c＝________；a＝________.解析：根据正弦定理得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，则c＝eq\f(bsinC,sinB)＝2eq\r(2)，再由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即a2－4a－x＝0，(a＋2)(a－6)＝0，解得a＝6或a＝－2(舍去)．答案：2eq\r(2)69．(x·北京高考)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－eq\f(1,4)，则b＝________.解析：根据余弦定理代入b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))，解得b＝4.答案：410．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA＋csinC－eq\r(2)asinC＝bsinB.(1)求B；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.解：(1)由正弦定理得a2＋c2－eq\r(2)ac＝b2.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.故cosB＝eq\f(\r(2),2)，因此B＝45°.(2)sinA＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4).故a＝b×eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(\r(2)＋\r(6),\r(2))＝1＋eq\r(3)，c＝b×eq\f(sinC,sinB)＝2×eq\f(sin60°,sin45°)＝eq\r(6).x．(x·北京朝阳统考)在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足eq\r(3)a－2bsinA＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝5，且a>c，b＝eq\r(7)，求·的值．解：(1)因为eq\r(3)a－2bsinA＝0，所以eq\r(3)sinA－2sinBsinA＝0，因为sinA≠0，所以sinB＝eq\f(\r(3),2).又B为锐角，所以B＝eq\f(π,3).(2)由(1)可知，B＝eq\f(π,3).因为b＝eq\r(7).根据余弦定理，得7＝a2＋c2－2accoseq\f(π,3)，整理，得(a＋c)2－3ac由已知a＋c＝5，得ac＝6.又a>c，故a＝3，c＝2.于是cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(7＋4－9,4\r(7))＝eq\f(\r(7),14)，所以·＝||·||cosA＝cbcosA＝2×eq\r(7)×eq\f(\r(7),14)＝1.x．(x·山东高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.解：(1)证明：在△ABC中，由于sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC，所以sinBeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinA,cosA)＋\f(sinC,cosC)))＝eq\f(sinA,cosA)·eq\f(sinC,cosC)，因此sinB(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAsinC，所以sinBsin(A＋C)＝sinAsinC.又A＋B＋C＝π，所以sin(A＋C)＝sinB，因此sin2B＝sinAsinC.由正弦定理得b2＝ac，即a，b，c成等比数列．(2)因为a＝1，c＝2，所以b＝eq\r(2)，由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(12＋22－2,2×1×2)＝eq\f(3,4)，因为0<B<π，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(\r(7),4)，故△ABC的面积S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×1×2×eq\f(\r(7),4)＝eq\f(\r(7),4).1．(x·x高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C，3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为()A．4∶3∶2 B．5∶6∶7C．5∶4∶3 D．6∶5∶4解析：选D由题意可得a>b>c，且为连续正整数，设c＝n，b＝n＋1，a＝n＋2(n>1，且n∈N*)，则由余弦定理可得3(n＋1)＝20(n＋2)·eq\f(n＋12＋n2－n＋22,2nn＋1)，化简得7n2－13n－60＝0，n∈N*，解得n＝4，由正弦定理可得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4.2．(x·长春调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2eq\f(A＋B,2)－cos2C＝eq\f(7,2)，且a＋b＝5，c＝eq\r(7)，则△ABC的面积为________．解析：因为4sin2eq\f(A＋B,2)－cos2C＝eq\f(7,2)，所以2[1－cos(A＋B)]－2cos2C＋1＝eq\f(7,2)，2＋2cosC－2cos2C＋1＝eq\f(7,2)，cos2C－cosC＋eq\f(1,4)＝0，解得cosC＝eq\f(1,2).根据余弦定理有cosC＝eq\f(1,2)＝eq\f(a2＋b2－7,2ab)，ab＝a2＋b2－7,3ab＝a2＋b2＋2ab－7＝(a＋b)2－7＝25－7＝18，ab＝6，所以△ABC的面积S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×6×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).答案：eq\f(3\r(3),2)3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cosA－acosC＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝eq\r(3)，S△ABC＝eq\f(3\r(3),4)，试判断△ABC的形状，并说明理由．解：(1)法一：由(2b－c)cosA－acosC＝0及正弦定理，得(2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0，∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，sinB(2cosA－1)＝0.∵0<B<π，∴sinB≠0，∴cosA＝eq\f(1,2).∵0<A<π，∴A＝eq\f(π,3).法二：由(2b－c)cosA－acosC＝0，及余弦定理，得(2b－c)·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)－a·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝0，整理，得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，∵0<A<π，∴A＝eq\f(π,3).(2)∵S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(3\r(3),4)，即eq\f(1,2)bcsineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),4)，∴bc＝3，①∵a2＝b2＋c2－2bccosA，a＝eq\r(3)，A＝eq\f(π,3)，∴b2＋c2＝6，②由①②得b＝c＝eq\r(3)，∴△ABC为等边三角形．1．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝eq\r(3)，A＋C＝2B，则sinC＝________.解析：在△ABC中，A＋C＝2B，∴B＝60°.又∵sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(1,2)，∴A＝30°或150°(舍)，∴C＝90°，∴sinC＝1.答案：12．在△ABC中，a＝2bcosC，则这个三角形一定是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形解析：选A法一：(化边为角)由正弦定理知：sinA＝2sinBcosC，又A＝π－(B＋C)，∴sinA＝sin(B＋C)＝2sinBcosC.∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sinBcosC－cosBsinC＝0，∴sin(B－C)＝0.又∵B、C为三角形内角，∴B＝C.法二：(化角为边)由余弦定理知cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，∴a＝2b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－c2,a)，∴a2＝a2＋b2－c2，∴b2＝c2，∴b＝c.3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－eq\f(1,4).(1)求sinC的值；(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．解：(1)因为cos2C＝1－2sin2C＝－eq\f(1,4)，且0<C<π，所以sinC＝eq\f(\r(10),4).(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得c＝4.由cos2C＝2cos2C－1＝－eq\f(1,4)，及0<C<π得cosC＝±eq\f(\r(6),4).由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得b2±eq\r(6)b－x＝0，解得b＝eq\r(6)或2eq\r(6)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\r(6)，,c＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2\r(6)，,c＝4.))4．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB＝eq\f(4,5)，b＝2.(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．解：(1)因为cosB＝eq\f(4,5)，所以sinB＝eq\f(3,5).由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可得eq\f(a,sin30°)＝eq\f(10,3)，所以a＝eq\f(5,3).(2)因为△ABC的面积S＝eq\f(1,2)ac·sinB，sinB＝eq\f(3,5)，所以eq\f(3,10)ac＝3，ac＝10.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，得4＝a2＋c2－eq\f(8,5)ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20.所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2所以a＋c＝2eq\r(10).第八节正弦定理和余弦定理的应用[知识能否忆起]1．实际问题中的有关概念(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)．(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)．(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．③南偏西等其他方向角类似．(4)坡度：①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)．②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)．2．解三角形应用题的一般步骤(1)审题，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型；(3)选择正弦定理或余弦定理求解；(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求．[小题能否全取]1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是()A．α>β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°答案：B2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15° B．北偏西15°C．北偏东10° D．北偏西10°解析：选B如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.3.(教材习题改编)如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A、B两点的距离为()A．50eq\r(2)m B．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)m D.eq\f(25\r(2),2)m解析：选A由正弦定理得AB＝eq\f(AC·sin∠ACB,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．4．(x·上海高考)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米．解析：如图所示，由题意知∠C＝45°，由正弦定理得eq\f(AC,sin60°)＝eq\f(2,sin45°)，∴AC＝eq\f(2,\f(\r(2),2))·eq\f(\r(3),2)＝eq\r(6).答案：eq\r(6)5．(x·泰州模拟)一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上．继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60°，另一灯塔在船的南偏东75°，则这艘船每小时航行________海里．解析：如图，由题意知在△ABC中，∠ACB＝75°－60°＝15°，B＝15°，∴AC＝AB＝8.在Rt△AOC中，OC＝AC·sin30°＝4.∴这艘船每小时航行eq\f(4,\f(1,2))＝8海里．答案：8解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．测量距离问题典题导入[例1]郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.(1)求AB的长度；(2)若不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)．[自主解答](1)在△ABC中，由余弦定理得cosC＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)＝eq\f(82＋52－AB2,2×8×5)，①在△ABD中，由余弦定理得cosD＝eq\f(AD2＋BD2－AB2,2AD·BD)＝eq\f(72＋72－AB2,2×7×7)，②由∠C＝∠D得cosC＝cosD.解得AB＝7，所以AB的长度为7米．(2)小李的设计使建造费用最低．理由如下：易知S△ABD＝eq\f(1,2)AD·BDsinD，S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BCsinC，因为AD·BD>AC·BC，且∠C＝∠D，所以S△ABD>S△ABC.故选择△ABC的形状建造环境标志费用较低．若环境标志的底座每平方米造价为5000元，试求最低造价为多少？解：因为AD＝BD＝AB＝7，所以△ABD是等边三角形，∠D＝60°，∠C＝60°.故S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BCsinC＝10eq\r(3)，所以所求的最低造价为5000×10eq\r(3)＝50000eq\r(3)≈86600元．由题悟法求距离问题要注意：(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．以题试法1.如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝105°，∠CBA＝45°，且AB＝100m.(1)求sin∠CAB的值；(2)求该河段的宽度．解：(1)sin∠CAB＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).(2)因为∠CAB＝105°，∠CBA＝45°，所以∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝30°.由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠CAB)，则BC＝eq\f(AB·sin105°,sin30°)＝50(eq\r(6)＋eq\r(2))(m)．如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD的长就是该河段的宽度．在Rt△BDC中，CD＝BC·sin45°＝50(eq\r(6)＋eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝50(eq\r(3)＋1)(m)．所以该河段的宽度为50(eq\r(3)＋1)m.测量高度问题典题导入[例2](x·九江模拟)如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD(CD所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为α，从A处向山顶前进l米到达B后，又测得CD对于山坡的斜度为β，山坡对于地平面的坡角为θ.(1)求BC的长；(2)若l＝24，α＝15°，β＝45°，θ＝30°，求建筑物CD的高度．[自主解答](1)在△ABC中，∠ACB＝β－α，根据正弦定理得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以BC＝eq\f(lsinα,sinβ－α).(2)由(1)知BC＝eq\f(lsinα,sinβ－α)＝eq\f(24×sin15°,sin30°)＝x(eq\r(6)－eq\r(2))米．在△BCD中，∠BDC＝eq\f(π,2)＋eq\f(π,6)＝eq\f(2π,3)，sin∠BDC＝eq\f(\r(3),2)，根据正弦定理得eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，所以CD＝24－8eq\由题悟法求解高度问题应注意：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．以题试法2．(x·西宁模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝x0°，CD＝40m，求电视塔的高度．解：如图，设电视塔AB高为xm，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，则BD＝eq\r(3)x.在△BDC中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cosx0°，即(eq\r(3)x)2＝x2＋402－2·x·40·cosx0°，解得x＝40，所以电视塔高为40米．测量角度问题典题导入[例3](x·太原模拟)在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距xnmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．[自主解答]如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝x0°.根据余弦定理得(14x)2＝x2＋(10x)2－240xcosx0°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.根据正弦定理得eq\f(BC,sinα)＝eq\f(AC,sin120°)，解得sinα＝eq\f(20sin120°,28)＝eq\f(5\r(3),14).所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为eq\f(5\r(3),14).由题悟法1．测量角度，首先应明确方位角，方向角的含义．2．在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理综合使用的特点．以题试法3.(x·无锡模拟)如图，两座相距60m的建筑物AB、CD的高度分别为20m、50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是________．解析：∵AD2＝602＋202＝4000，AC2＝602＋302＝4500.在△CAD中，由余弦定理得cos∠CAD＝eq\f(AD2＋AC2－CD2,2AD·AC)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠CAD＝45°.答案：45°1．在同一平面内中，在A处测得的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为()A.eq\r(16) B.eq\r(17)C.eq\r(18) D.eq\r(19)解析：选D∵∠BAC＝x0°，AB＝2，AC＝3.∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝4＋9－2×2×3×cosx0°＝19.∴BC＝eq\r(19).2．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50m B．100mC．x0m D．150m解析：选A设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3)h，根据余弦定理得，(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.3．(x·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cosCA.eq\f(7,25) B．－eq\f(7,25)C．±eq\f(7,25) D.eq\f(24,25)解析：选A由C＝2B得sinC＝sin2B＝2sinBcosB，由正弦定理及8b＝5c得cosB＝eq\f(sinC,2sinB)＝eq\f(c,2b)＝eq\f(4,5)，所以cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2－1＝eq\f(7,25).4．(x·厦门模拟)在不等边三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)<sin2B＋sin2C，则角AA.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))解析：选D由题意得sin2A<sin2B＋sin2再由正弦定理得a2<b2＋c2，即b2＋c2－a2>0.则cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)>0，∵0<A<π，∴0<A<eq\f(π,2).又a为最大边，∴A>eq\f(π,3).因此得角A的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).5．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是()A．10eq\r(2)海里 B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(2)海里 D．20eq\r(3)海里解析：选A如图所示，由已知条件可得，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，∴∠BCA＝45°.又AB＝40×eq\f(1,2)＝20(海里)，∴由正弦定理可得eq\f(20,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°).∴BC＝eq\f(20×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝10eq\r(2)(海里)．6．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km)()A．x.4 B．6.6C．6.5 D．5.6解析：选B∵AB＝1000×1000×eq\f(1,60)＝eq\f(50000,3)m，∴BC＝eq\f(AB,sin45°)·sin30°＝eq\f(50000,3\r(2))m.∴航线离山顶h＝eq\f(50000,3\r(2))×sin75°≈x.4km.∴山高为18－x.4＝6.6km.7.(x·南通调研)“温馨花园”为了美化小区，给居民提供更好的生活环境，在小区内的一块三角形空地上(如图，单位：m)种植草皮，已知这种草皮的价格是x0元/m2，则购买这种草皮需要________元．解析：三角形空地的面积S＝eq\f(1,2)×xeq\r(3)×25×sinx0°＝225，故共需225×x0＝27000元．答案：270008.(x·潍坊模拟)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，且与它相距8eq\r(2)nmile.此船的航速是________nmile/h.解析：设航速为vnmile/h，在△ABS中AB＝eq\f(1,2)v，BS＝8eq\r(2)，∠BSA＝45°，由正弦定理得eq\f(8\r(2),sin30°)＝eq\f(\f(1,2)v,sin45°)，则v＝32.答案：329．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析：如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝eq\f(\r(3),3)×30＝10eq\r(3)(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝eq\r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\r(300)＝10eq\r(3)(m)．答案：10eq\r(3)10.如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．解：在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝eq\f(AD2＋DC2－AC2,2AD·DC)＝eq\f(100＋36－196,2×10×6)＝－eq\f(1,2)，∴∠ADC＝x0°，∴∠ADB＝60°.在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(AD,sinB)，∴AB＝eq\f(AD·sin∠ADB,sinB)＝eq\f(10sin60°,sin45°)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝5eq\r(6).x.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚eq\f(2,17)秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)解：由题意，设AC＝x，则BC＝x－eq\f(2,17)×340＝x－40，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10000－100x，解得x＝420.在△ACH中，AC＝420，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°，所以CH＝AC·tan∠CAH＝140eq\r(3).答：该仪器的垂直弹射高度CH为140eq\x.(x·兰州模拟)某单位在抗雪救灾中，需要在A，B两地之间架设高压电线，测量人员在相距6km的C，D两地测得∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BDC＝15°，∠BCD＝30°(如图，其中A，B，C，D在同一平面上)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是A，B之间距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？解：在△ACD中，∠ACD＝45°，CD＝6，∠ADC＝75°，所以∠CAD＝60°.因为eq\f(CD,sin∠CAD)＝eq\f(AD,sin∠ACD)，所以AD＝eq\f(CD×sin∠ACD,sin∠CAD)＝eq\f(6×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝2eq\r(6).在△BCD中，∠BCD＝30°，CD＝6，∠BDC＝15°，所以∠CBD＝135°.因为eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BD,sin∠BCD)，所以BD＝eq\f(CD×sin∠BCD,sin∠CBD)＝eq\f(6×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝3eq\r(2).又因为在△ABD中，∠BDA＝∠BDC＋∠ADC＝90°，所以△ABD是直角三角形．所以AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝eq\r(2\r(6)2＋3\r(2)2)＝eq\r(42).所以电线长度至少为l＝1.2×AB＝eq\f(6\r(42),5)(单位：km)答：施工单位至少应该准备长度为eq\f(6\r(42),5)km的电线．1.某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上，小山的高BC为35m，在地面上有一点A，测得A，C间的距离为91m，从A观测电视发射塔CD的视角(∠CAD)为45°，则这座电视发射塔的高度CD为________米．解析：AB＝eq\r(912－352)＝84，tan∠CAB＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(35,84)＝eq\f(5,12).由eq\f(CD＋35,84)＝tan(45°＋∠CAB)＝eq\f(1＋\f(5,12),1－\f(5,12))＝eq\f(17,7)，得CD＝169.答案：1692.x年10月29日，超级风暴“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进xm到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________.解析：∵由题知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴eq\f(x,sin45°)＝eq\f(10,sin60°).∴x＝eq\f(10\r(6),3)m.答案：eq\f(10\r(6),3)m3.(x·泉州模拟)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C处的乙船．(1)求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；(2)设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向与CA→成θ角，求f(x)＝sin2θsinx＋eq\f(\r(3),4)cos2θcosx(x∈R)的值域．解：(1)连接BC，由余弦定理得BC2＝202＋102－2×20×10cosx0°＝700.∴BC＝10eq\r(7)，即所求距离为10eq\r(7)海里．(2)∵eq\f(sinθ,20)＝eq\f(sin120°,10\r(7))，∴sinθ＝eq\r(\f(3,7)).∵θ是锐角，∴cosθ＝eq\r(\f(4,7)).f(x)＝sin2θsinx＋eq\f(\r(3),4)cos2θcosx＝eq\f(3,7)sinx＋eq\f(\r(3),7)cosx＝eq\f(2\r(3),7)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，∴f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),7)，\f(2\r(3),7))).1.如图，甲船以每小时30eq\r(2)海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西x0°方向的B2处，此时两船相距10eq\r(2)海里．问：乙船每小时航行多少海里？解：如图，连接A1B2由已知A2B2＝10eq\r(2)，A1A2＝30eq\r(2)×eq\f(20,60)＝10eq\r(2)，∴A1A2＝A2B2.又∠A1A2B2∴△A1A2B2是等边三角形∴A1B2＝A1A2＝10eq\r(2).由已知，A1B1＝20，∴∠B1A1B2在△A1B2B1中，由余弦定理得B1Beq\o\al(2,2)＝A1Beq\o\al(2,1)＋A1Beq\o\al(2,2)－2A1B1·A1B2·cos45°＝202＋(10eq\r(2))2－2×20×10eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝200，∴B1B2＝10eq\r(2).因此，乙船的速度为eq\f(10\r(2),20)×60＝30eq\r(2)(海里/时)．2.如图，扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中圆心角∠AOB为eq\f(2π,3)，半径OA为1km.为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由弧AC、线段CD及线段DB组成，其中D在线段OB上，且CD∥AO.设∠AOC＝θ.(1)用θ表示CD的长度，并写出θ的取值范围；(2)当θ为何值时，观光道路最长？解：(1)在△OCD中，由正弦定理，得eq\f(CD,sin∠COD)＝eq\f(OD,sin∠DCO)＝eq\f(CO,sin∠CDO)＝eq\f(2,\r(3))，所以CD＝eq\f(2,\r(3))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝cosθ＋eq\f(1,\r(3))sinθ，OD＝eq\f(2,\r(3))sinθ，因为OD<OB，即eq\f(2,\r(3))sinθ<1，所以sinθ<eq\f(\r(3),2)，所以0<θ<eq\f(π,3)，所以CD＝cosθ＋eq\f(\r(3),3)sinθ，θ的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))).(2)设观光道路长度为L(θ)，则L(θ)＝BD＋CD＋弧CA的长＝1－eq\f(2,\r(3))sinθ＋cosθ＋eq\f(1,\r(3))sinθ＋θ＝cosθ－eq\f(1,\r(3))sinθ＋θ＋1，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，L′(θ)＝－sinθ－eq\f(\r(3),3)cosθ＋1，由L′(θ)＝0，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)，又θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，所以θ＝eq\f(π,6)，列表：θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))eq\f(π,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))L′(θ)＋0－L(θ)增函数极大值减函数所以当θ＝eq\f(π,6)时，L(θ)达到最大值，即当θ＝eq\f(π,6)时，观光道路最长．用样本估计总体[知识能否忆起]一、作频率分布直方图的步骤1．求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．2．确定组距与组数．3．将数据分组．4．列频率分布表．5．画频率分布直方图．二、频率分布折线图和总体密度曲线1．频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得频率分布折线图．2．总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．三、样本的数字特征数字特征定义众数eq\a\vs4\al(在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数)中位数eq\a\vs4\al()将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据或最中间两个数据的平均数叫做这组数据的中位数,在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等平均数样本数据的算术平均数．即eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)方差s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，其中s为标准差四、茎叶图茎叶图的优点是可以保留原始数据，而且可以随时记录，方便记录与表示．[小题能否全取]1242035630114121.(教材习题改编)在如图所示的茎叶图表示的数据中，众数和中位数分别是()A．23与26 B．31与26C．24与30 D．26与30解析：选B观察茎叶图可知，这组数据的众数是31，中位数是26.2．(教材习题改编)把样本容量为20的数据分组，分组区间与频数如下：[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，4；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70]，2，则在区间[10,50)上的数据的频率是()A．0.05 B．0.25C．0.5 D．0.7解析：选D由题知，在区间[10,50)上的数据的频数是2＋3＋4＋5＝14，故其频率为eq\f(14,20)＝0.7.3．(x·长春模拟)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在[x0,130]内的学生人数为()A．20 B．25C．30 D．35解析：选C由题意知a×10＋0.35＋0.2＋0.1＋0.05＝1，则a＝0.03，故学生人数为0.3×100＝30.4．(教材习题改编)甲、乙两人比赛射击，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为5，乙所得环数如下：5、6、9、10、5，那么这两人中成绩较稳定的是________．解析：eq\x\to(x)＝7，seq\o\al(2,乙)＝4.4，则seq\o\al(2,甲)＞seq\o\al(2,乙)，故乙的成绩较稳定．答案：乙5．(x·x大同)将容量为n的样本中的数据分为6组，绘制频率分布直方图，若第一组至x组的数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和为27，则n＝________.解析：依题意得，前三组的频率总和为eq\f(2＋3＋4,2＋3＋4＋6＋4＋1)＝eq\f(9,20)，因此有eq\f(27,n)＝eq\f(9,20)，即n＝60.答案：601.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，而平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和，众数是最高的矩形的中点的横坐标．2．注意区分直方图与条形图，条形图中的纵坐标刻度为频数或频率，直方图中的纵坐标刻度为频率/组距．3．方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．用样本的频率分布估计总体分布典题导入[例1](x·广东高考)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x∶y1∶12∶13∶44∶5[自主解答](1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×eq\f(1,2)＝20,30×eq\f(4,3)＝40,20×eq\f(5,4)＝25.故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.在本例条件下估计样本数据的众数．解：众数应为最高矩形的中点对应的横坐标，故约为65.由题悟法解决频率分布直方图问题时要抓住(1)直方图中各小长方形的面积之和为1.(2)直方图中纵轴表示eq\f(频率,组距)，故每组样本的频率为组距×eq\f(频率,组距)，即矩形的面积．(3)直方图中每组样本的频数为频率×总体数．以题试法1．(x·深圳调研)某中学组织了“迎新杯”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出若干名学生，并将其成绩绘制成频率分布直方图(如图)，其中成绩的范围是[50,100]，样本数据分组为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，已知样本中成绩小于70分的个数是36，则样本中成绩在[60,90)内的学生人数为________．解析：依题意得，样本中成绩小于70分的频率是(0.010＋0.020)×10＝0.3；样本中成绩在[60,90)内的频率是(0.020＋0.030＋0.025)×10＝0.75，因此样本中成绩在[60,90)内的学生人数为eq\f(36×0.75,0.3)＝90.答案：90茎叶图的应用典题导入[例2](x·x高考)从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲、乙两组数据的平均数分别为eq\x\to(x)甲、eq\x\to(x)乙，中位数分别为m甲、m乙，则()A.eq\x\to(x)甲<eq\x\to(x)乙，m甲>m乙 B.eq\x\to(x)甲<eq\x\to(x)乙，m甲<m乙C.eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙，m甲>m乙 D.eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙，m甲<m乙[自主解答]eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,16)(41＋43＋30＋30＋38＋22＋25＋27＋10＋10＋14＋18＋18＋5＋6＋8)＝eq\f(345,16)，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,16)(42＋43＋48＋31＋32＋34＋34＋38＋20＋22＋23＋23＋27＋10＋x＋18)＝eq\f(457,16).∴eq\x\to(x)甲＜eq\x\to(x)乙．又∵m甲＝20，m乙＝29，∴m甲＜m乙．[答案]B由题悟法由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似．它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失；x点是茎叶图便于记录和表示．其缺点是当样本容量较大时，作图较繁．以题试法2．(x·x模考)如图所示的茎叶图记录了一组数据，关于这组数据，其中说法正确的序号是________.078999101223①众数是9；②平均数是10；③中位数是9或10；④标准差是3.4.解析：由茎叶图知，该组数据为7,8,9,9,9,10,x,x,x,13，∴众数为9，①正确；中位数是eq\f(9＋10,2)＝9.5，③错；平均数是eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)(7＋8＋9＋9＋9＋10＋x＋x＋x＋13)＝10，②正确；方差是s2＝eq\f(1,10)[(7－10)2＋(8－10)2＋(9－10)2＋(9－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(x－10)2＋(x－10)2＋(x－10)2＋(13－10)2]＝3.4，标准差s＝eq\r(3.4)，④错．答案：①②样本的数字特征典题导入[例3](1)(x·江西高考)样本(x1，x2，…，xn)的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，样本(y1，y2，…，ym)的平均数为eq\o(y,\s\up6(－))(eq\o(x,\s\up6(－))≠eq\o(y,\s\up6(－)))．若样本(x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym)的平均数eq\o(z,\s\up6(－))＝αeq\o(x,\s\up6(－))＋(1－α)eq\o(y,\s\up6(－))，其中0<α<eq\f(1,2)，则n，m的大小关系为()A．n<m B．n>mC．n＝m D．不能确定(2)(x·山东高考)在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是()A．众数 B．平均数C．中位数 D．标准差[自主解答](1)eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)，eq\x\to(y)＝eq\f(y1＋y2＋…＋ym,m)，eq\x\to(z)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn＋y1＋y2＋…＋ym,m＋n)，则eq\x\to(z)＝eq\f(n\x\to(x)＋m\x\to(y),m＋n)＝eq\f(n,m＋n)eq\x\to(x)＋eq\f(m,m＋n)eq\x\to(y).由题意知0＜eq\f(n,m＋n)＜eq\f(1,2)，∴n＜m.(2)对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变．[答案](1)A(2)D由题悟法(1)众数体现了样本数据的最大集中点，但无法客观地反映总体特征．(2)中位数是样本数据居中的数．(3)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据越分散，标准差、方差越小，数据越集中．以题试法3．(x·淄博一检)一农场在同一块稻田中种植一种水稻，其连续8年的产量(单位：kg)如下：450,430,460,440,450,440,470,460，则该组数据的方差为()A．x0 B．80C．15 D．150解析：选D根据题意知，该组数据的平均数为eq\f(450＋430＋460＋440＋450＋440＋470＋460,8)＝450，所以该组数据的方差为eq\f(1,8)×(02＋202＋102＋102＋02＋102＋202＋102)＝150.1．(x·豫西五校联考)某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为8,x,10,x,9，估计此人每次上班途中平均花费的时间为()A．8分钟 B．9分钟C．x分钟 D．10分钟解析：选D依题意，估计此人每次上班途中平均花费的时间为eq\f(8＋12＋10＋11＋9,5)＝10分钟．2．(x·x高考)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组[10,20)