新人教A版高中数学必修一第三章 函数的应用学案

【三维设计】2015高中数学第三章函数的应用学案新人教A版必修1_3.1函数与方程3．1.1方程的根与函数的零点函数的零点[提出问题]如图为函数f(x)在[－4,4]上的图象：问题1：根据函数的图象，你能否得出方程f(x)＝0的根的个数？提示：方程f(x)＝0的根即为函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，由图可知，方程有3个根，即x＝－3，－1,2.问题2：你认为方程的根与对应函数的图象有什么关系？提示：方程的根是使函数值等于零的自变量值，也就是函数图象与x轴交点的横坐标．[导入新知]1．函数的零点对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．[化解疑难]函数零点的本质(1)函数的零点的本质是方程f(x)＝0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数．例如函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时，仅有一个实数根x＝－1，所以函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．(2)函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点．函数零点的判断[提出问题]函数f(x)＝x2－4x＋3图象如图．问题1：函数的零点是什么？提示：1,3.问题2：判断f(0)·f(2)与f(2)·f(4)的符号．提示：∵f(0)＝3，f(2)＝－1，f(4)＝3，∴f(0)·f(2)<0，f(2)·f(4)<0.[导入新知]函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[化解疑难]对函数零点存在性的探究(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y＝eq\f(1,x).(2)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)<0.则可判定函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(3)当函数y＝f(x)的图象在[a，b]上是连续的曲线，但是不满足f(a)·f(b)<0时，函数y＝f(x)在区间(a，b)内可能存在零点，也可能不存在零点．求函数的零点[例1](1)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝eq\f(x＋3,x)；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；(3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－log3x.[解](1)令eq\f(x＋3,x)＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝eq\f(x＋3,x)的零点是x＝－3.(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．(3)令2x－3＝0，解得x＝log23.所以函数f(x)＝2x－3的零点是x＝log23.(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x的零点是x＝3.[类题通法]函数零点的求法求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点．[活学活用]判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝－x2－4x－4；(2)f(x)＝eq\f(x－1x2－4x＋3,x－3)；(3)f(x)＝4x＋5；(4)f(x)＝log3(x＋1)．解：(1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，所以函数的零点为x＝－2.(2)令eq\f(x－1x2－4x＋3,x－3)＝0，解得x＝1，所以函数的零点为x＝1.(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5<0，即方程4x＋5＝0无实数根，所以函数不存在零点．(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数的零点为x＝0.eq\o(\s\up7(),\s\do5(\a\vs4\al(3.1函数与方程),))eq\o(\s\up7(),\s\do5(,\a\vs4\al(第三章函数的应用)))判断函数零点所在的区间[例2](1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x－3－2－101234y6m－4－6－6－4n6不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是()A．(－3，－1)和(2,4)B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2)D．(－∞，－3)和(4，＋∞)(2)函数f(x)＝lgx－eq\f(9,x)的零点所在的大致区间是()A．(6,7) B．(7,8)C．(8,9) D．(9,10)[解析](1)利用f(a)f(b)<0，则f(x)＝0在(a，b)内有根来判定．∵f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，∴在(－3，－1)内必有根，又由f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，∴在(2,4)内必有根．故选A.(2)∵f(6)＝lg6－eq\f(9,6)＝lg6－eq\f(3,2)<0，f(7)＝lg7－eq\f(9,7)<0，f(8)＝lg8－eq\f(9,8)<0，f(9)＝lg9－1<0，f(10)＝lg10－eq\f(9,10)>0，∴f(9)·f(10)<0.∴f(x)＝lgx－eq\f(9,x)的零点的大致区间为(9,10)．[答案](1)A(2)D[类题通法]确定函数零点所在区间的方法确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．[活学活用]若x0是方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＝xeq\f(1,3)的解，则x0属于区间()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))解析：选C构造函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－xeq\f(1,3)，则函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0－0>0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(1,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\f(1,3)>0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(1,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(1,3)<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(2,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\f(1,3)<0，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<0，故函数的零点所在区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))，即方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＝xeq\f(1,3)的解x0属于区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))).判断函数零点的个数[例3](1)函数f(x)＝lnx－eq\f(1,x－1)的零点的个数是()A．0 B．1C．2 D．3(2)判断函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．(1)在同一坐标系中画出y＝lnx与y＝eq\f(1,x－1)的图象，如图所示，函数y＝lnx与y＝eq\f(1,x－1)的图象有两个交点，所以函数f(x)＝lnx－eq\f(1,x－1)的零点个数为2.[答案]C(2)[解]法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋lg3－2>0，∴f(x)在(0,2)上必定存在零点，又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点．法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．[类题通法]判断函数零点个数的方法判断函数零点的个数主要有以下几种方法：法一：直接求出函数的零点进行判断；法二：结合函数图象进行判断；法三：借助函数的单调性进行判断．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点，如图所示．[活学活用]判断函数f(x)＝x－3＋lnx的零点个数．解：法一：令f(x)＝x－3＋lnx＝0，则lnx＝3－x，在同一平面直角坐标系内画出函数y＝lnx与y＝－x＋3的图象，如图所示：由图可知函数y＝lnx，y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋lnx只有一个零点．法二：因为f(3)＝ln3>0，f(2)＝－1＋ln2＝lneq\f(2,e)<0，所以f(3)·f(2)<0，说明函数f(x)＝x－3＋lnx在区间(2,3)内有零点．又f(x)＝x－3＋lnx在(0，＋∞)上是增函数，所以原函数只有一个零点．eq\a\vs4\al(,,10.因函数图象不连续造成判断失误)[典例]函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)的零点个数为()A．0 B．1C．2 D．3[解析]函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)<0，所以函数没有零点，故选A.[答案]A[易错防范]1．函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出定义域，通过作图，可知函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)的图象不是连续的．若忽视该特征，易由f(－1)<0，f(1)>0，得出错误的答案B.2．零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；二是f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理．[活学活用]函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0,－2＋lnx，x>0))的零点个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x>0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，所以函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0,－2＋lnx，x>0))有2个零点．[随堂即时演练]1．下列图象表示的函数中没有零点的是()解析：选A观察图象可知A中图象表示的函数没有零点．2．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析：选C因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(－2)＝e－2－4<0，f(－1)＝e－1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，f(2)＝e2>0，所以f(0)·f(1)<0，故函数的零点所在的一个区间是(0,1)．3．已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．解析：由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2、3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋3＝a，,2×3＝－b，))即a＝5，b＝－6，∴方程bx2－ax－1＝－6x2－5x－1＝0的根为－eq\f(1,2)、－eq\f(1,3)，即为函数g(x)的零点．答案：－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)4．方程lnx＝8－2x的实数根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.解析：令f(x)＝lnx＋2x－8，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增．∵f(3)＝ln3－2<0，f(4)＝ln4>0，∴零点在(3,4)上，∴k＝3.答案：35．求函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数．解：令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－2.令y1＝log2x，y2＝x－2.画出两个函数的大致图象，如图所示．有两个不同的交点．所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．[课时达标检测]一、选择题1．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表x1234567f(x)136.13615.552－3.9210.88－52.488－232.06411.238由表可知函数f(x)存在零点的区间有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：选D∵f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，f(6)f(7)<0，∴共有4个零点．2．方程0.9x－eq\f(2,21)x＝0的实数解的个数是()A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：选B设f(x)＝0.9x－eq\f(2,21)x，则f(x)为减函数，值域为R，故有1个．3．函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是()A．a>0 B．a≤0C．a≥0 D．a<0解析：选B函数y＝x2＋a存在零点，则x2＝－a有解，所以a≤0.4．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是()A．a<α<b<β B．a<α<β<bC．α<a<b<β D．α<a<β<b解析：选C∵α，β是函数f(x)的两个零点，∴f(α)＝f(β)＝0.又f(x)＝(x－a)(x－b)－2，∴f(a)＝f(b)＝－2<0.结合二次函数f(x)的图象，如图所示，可知，a，b必在α，β之间，只有C满足．5．已知x0是函数f(x)＝2x＋eq\f(1,1－x)的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则()A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)>0，f(x2)>0解析：选B在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x和函数y＝eq\f(1,x－1)的图象，如图所示，由图可知函数y＝2x和函数y＝eq\f(1,x－1)的图象只有一个交点，即函数f(x)＝2x＋eq\f(1,1－x)只有一个零点x0，且x0>1.因为x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，所以由函数图象可知，f(x1)<0，f(x2)>0.二、填空题6．函数f(x)＝lnx－x2＋2x＋5的零点个数为________．解析：令lnx－x2＋2x＋5＝0得lnx＝x2－2x－5，画图可得函数y＝lnx与函数y＝x2－2x－5的图象有2个交点，即函数f(x)的零点个数为2.答案：27．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________．解析：∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0<0，,f1>0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b<0，,1＋b>0.))∴－1<b<0.答案：(－1,0)8．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析：函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a>0且a≠1)与函数y＝x＋a的图象有两个交点，由图象可知当0<a<1时两函数的图象只有一个交点，不符合；当a>1时，因为函数y＝ax(a>1)的图象过点(0,1)，当直线y＝x＋a与y轴的交点(0，a)在(0,1)的上方时一定有两个交点．所以a>1.答案：(1，＋∞)三、解答题9．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什么？解：因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－eq\f(1,2)<0，f(0)＝20－02＝1>0，而函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有解．10．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围．(1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．解：(1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2a2－16≥0，,f1＝5－2a>0，,a>1，))解得2≤a＜eq\f(5,2).(2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)＝5－2a<0，解得a>eq\f(5,2).(3)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝4>0，,f1＝5－2a<0，,f6＝40－12a<0，,f8＝68－16a>0，))解得eq\f(10,3)<a<eq\f(17,4).3．1.2用二分法求方程的近似解二分法[提出问题]在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手．某次竞猜的物品为价格在1000元之内的一款手机，选手开始报价，选手说“800”，主持人说“高了”；选手说“400”，主持人说“低了”．问题1：如果是你，你知道接下来该如何竞猜吗？提示：应猜400与800的中间值600.问题2：通过这种方法能猜到具体价格吗？提示：能．[导入新知]1．二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)．2．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：第一步，确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε.第二步，求区间(a，b)的中点c.第三步，计算f(c)：(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二至四步．[化解疑难]利用二分法求方程近似解的过程图示二分法的概念[例1](1)下列函数中，必须用二分法求其零点的是()A．y＝x＋7 B．y＝5x－1C．y＝log3x D．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－x(2)以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是()[解析](1)A×解方程x＋7＝0，得x＝－7B×解方程5x－1＝0，得x＝0C×解方程log3x＝1，得x＝1D√无法通过方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－x＝0得到零点(2)根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，图象经过零点时函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点．[答案](1)D(2)C[类题通法]二分法的适用条件判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．[活学活用]已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A．4,4 B．3,4C．5,4 D．4,3解析：选D图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.用二分法求函数的零点[例2]求函数f(x)＝x2－5的负零点．(精确度0.1)[解]由于f(－2)＝－1<0，f(－3)＝4>0，故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数近似值(－3，－2)－2.51.25(－2.5，－2)－2.250.0625(－2.25，－2)－2.125－0.4844(－2.25，－2.125)－2.1875－0.2148(－2.25，－2.1875)－2.21875－0.0771由于|－2.25－(－2.1875)|＝0.0625<0.1，所以函数的一个近似负零点可取－2.25.[类题通法]利用二分法求函数零点应关注三点(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小．(2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间．(3)根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算．[活学活用]证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)．解：由于f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又函数f(x)在[1,2]内是增函数，所以函数在区间[1,2]内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈[1,2]．下面用二分法求解.(a，b)(a，b)的中点f(a)f(b)f(eq\f(a＋b,2))(1,2)1.5f(1)<0f(2)>0f(1.5)>0(1,1.5)1.25f(1)<0f(1.5)>0f(1.25)>0(1,1.25)1.125f(1)<0f(1.25)>0f(1.125)<0(1.125,1.25)1.1875f(1.125)<0f(1.25)>0f(1.1875)<0因为|1.1875－1.25|＝0.0625<0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25.用二分法求方程的近似解[例3]用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)．[解]令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：(a，b)中点cf(a)f(b)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))(0,1)0.5f(0)<0f(1)>0f(0.5)<0(0.5,1)0.75f(0.5)<0f(1)>0f(0.75)>0(0.5,0.75)0.625f(0.5)<0f(0.75)>0f(0.625)<0(0.625,0.75)0.6875f(0.625)<0f(0.75)>0f(0.6875)<0(0.6875,0.75)|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1由于|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．[类题通法]用二分法求方程的近似解应明确两点(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．(2)对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．[活学活用]求方程lgx＝3－x的近似解(精确度0.1)．解：分别画函数y＝lgx和y＝3－x的图象，如图所示，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程lgx＝3－x的解．由函数y＝lgx与y＝3－x的图象可以发现，方程lgx＝3－x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2,3)内．设f(x)＝lgx＋x－3，利用计算器计算得：f(2)<0，f(3)>0⇒x1∈(2,3)；f(2.5)<0，f(3)>0⇒x1∈(2.5,3)；f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x1∈(2.5,2.75)；f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x1∈(2.5,2.625)；f(2.5625)<0，f(2.625)>0⇒x1∈(2.5625,2.625)；因为2.625－2.5625＝0.0625<0.1，所以此方程的近似解可取为2.625.eq\a\vs4\al(,,11.对精确度的理解不正确导致错误)[典例]用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]内的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度0.1)．[解析]因为|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1，所以区间[0.6875,0.75]内的任何一个值都可作为方程的近似解．[答案]0.75(答案不唯一)[易错防范]1．由于f(0.625)<0，f(0.75)>0，故在区间(0.625,0.75)内也存在零点，但|0.75－0.625|>0.1，所以不符合精确度0.1的要求，解决本题时极易忽视此条件而导致解题错误．2．利用二分法求方程的根，在计算到第几步时，区间(an，bn)的长度应小于精确度．[活学活用]用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.6000)＝0.200f(1.5875)＝0.133f(1.5750)＝0.067f(1.5625)＝0.003f(1.5562)＝－0.029f(1.5500)＝－0.060根据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度0.1)为________．解析：由表中数据可知：f(1.5625)·f(1.5562)＜0.而|1.5625－1.5562|＝0.0063＜0.1.∴零点x0∈(1.5562,1.5625)可取零点为1.5562(或1.5625)．答案：1.5562或(1.5625)[随堂即时演练]1．下列函数不宜用二分法求零点的是()A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝lnx＋3C．f(x)＝x2＋2eq\r(2)x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1解析：选C因为f(x)＝x2＋2eq\r(2)x＋2＝(x＋eq\r(2))2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A．[－2,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2]解析：选A∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．A.3．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0，由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点，用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝________.解析：显然(1,4)的中点为2.5，则f(a)＝f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.答案：－2.254．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．解析：∵f(2)<0，f(2.5)>0，∴下一个有根区间是(2,2.5)．答案：(2,2.5)5．求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)．解：设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0.∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，∴2<x0<2.5；再取2与2.5的平均数2.25，∵f(2.25)＝－0.4375<0，∴2.25<x0<2.5；如此继续下去，有f(2.375)<0，f(2.5)>0⇒x0∈(2.375,2.5)；f(2.375)<0，f(2.4375)>0⇒x0∈(2.375,2.4375)．∵|2.375－2.4375|＝0.0625<0.1，∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375.[课时达标检测]一、选择题1．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是()A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解解析：选A使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．2．用二分法求图象是连续不断的函数f(x)在x∈(1,2)内零点近似值的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则函数的零点落在区间()A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不能确定解析：选B因为f(1.5)>0，f(1.25)<0，所以f(1.5)·f(1.25)<0，则函数的零点落在区间(1.25,1.5)．3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容分别为()A．(0,0.5)，f(0.25) B．(0.1)，f(0.25)C．(0.5,1)，f(0.25) D．(0,0.5)，f(0.125)解析：选A∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，故f(x)的一个零点x0∈(0,0.5)，利用二分法，则第二次应计算feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋0.5,2)))＝f(0.25)．4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)≈－0.984f(1.375)≈－0.260f(1.4375)≈0.162f(1.40625)≈－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度0.04)为()A．1.5 B．1.25C．1.375 D．1.4375解析：选D由参考数据知，f(1.40625)≈－0.054，f(1.4375)≈0.162，即f(1.40625)·f(1.4375)<0，且1.4375－1.40625＝0.03125<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.4375，故选D.5．已知曲线y＝(eq\f(1,10))x与y＝x的交点的横坐标是x0，则x0的取值范围是()A．(0，eq\f(1,2)) B.eq\f(1,2)C．(eq\f(1,2)，1) D．(1,2)解析：选A设f(x)＝(eq\f(1,10))x－x，则f(0)＝1>0，f(eq\f(1,2))＝(eq\f(1,10))eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝eq\r(0.1)－eq\r(0.25)<0，f(1)＝eq\f(1,10)－1<0，f(2)＝(eq\f(1,10))2－2<0，显然有f(0)·f(eq\f(1,2))<0.二、填空题6．某方程有一无理根在区间D＝(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，将D等分________次后，所得近似值可精确到0.1.解析：由eq\f(3－1,2n)<0.1，得2n－1>10，∴n－1≥4，即n≥5.答案：57．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．解析：将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．答案：48．某同学在借助计算器求“方程lgx＝2－x的近似解(精确到0.1)”时，设f(x)＝lgx＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________________．解析：第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.8125)．答案：1.5,1.75,1.875,1.8125三、解答题9．从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现某接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，一般最多需要检查多少个接点？解：先检查中间的1个接点，若正常，则可断定故障在其另一侧的7个接点中；然后检查这一段中间的1个接点，若仍正常，则可断定故障在其另一侧的3个接点中；最后只需检查这3个接点中间的1个，即可找出故障所在．故一般最多只需检查3个接点．10．判断函数f(x)＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值(精确度0.1)．解：f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，即f(0)·f(1)<0，f(x)在(0,1)内有零点，又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(x)只有一个零点x0∈(0,1)．取区间(0,1)的中点x1＝0.5，f(0.5)＝－0.75<0，∴f(0.5)·f(1)<0，即x0∈(0.5,1)．取区间(0.5,1)的中点x2＝0.75，f(0.75)＝－0.15625<0，∴f(0.75)·f(1)<0.即x0∈(0.75,1)．取区间(0.75,1)的中点x3＝0.875，f(0.875)≈0.34>0.∴f(0.75)·f(0.875)<0.即x0∈(0.75,0.875)．取区间(0.75,0.875)的中点x4＝0.8125，f(0.8125)＝0.073>0.∴f(0.75)·f(0.8125)<0，即x0∈(0.75,0.8125)，而|0.8125－0.75|<0.1.所以，f(x)的零点的近似值可取为0.75.3.2函数模型及其应用3．2.1几类不同增长的函数模型指数函数、对数函数、幂函数模型[提出问题]观察如表给出的函数值：x12345678910f(x)＝2x24816326412825651210242x＋1－2x2481632641282565121024g(x)＝x2149162536496481100(x＋1)2－x23579111315171921h(x)＝log2x011.585022.32192.58502.807433.16993.3219log2(x＋1)－log2x10.58500.41500.32190.26310.22240.19260.16990.15200.1375问题1：函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？提示：函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值增大．问题2：函数f(x)，g(x)，h(x)增长的速度有什么不同？提示：各函数增长的速度不同，其中f(x)＝2x增长的最快，其次是g(x)＝x2，最慢的是h(x)＝log2x.[导入新知]指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，就有logax<xn<ax(a>1，n>0)．[化解疑难]对比指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数增长的速度先慢后快先快后慢相对平稳图象的变化随着x的增大逐渐加快增大随着x的增大逐渐减慢增大随n值的不同而不同考查函数模型的增长差异[例1]四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是________．[解析]从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．故填y2.[答案]y2[类题通法]常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数模型幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．[活学活用]今有一组实验数据如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()A．v＝log2t B．v＝logeq\f(1,2)tC．v＝eq\f(t2－1,2) D．v＝2t－2解析：选C从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越快，排除A和D，选C.指数函数、对数函数与幂函数模型的比较[例2]函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2011)，g(2011)的大小．[解](1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，∴1<x1<2,9<x2<10，∴x1<6<x2,2011>x2.从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，∴f(6)<g(6)．当x>x2时，f(x)>g(x)，∴f(2011)>g(2011)．又g(2011)>g(6)，∴f(2011)>g(2011)>g(6)>f(6)．[类题通法]由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．[活学活用]函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x).函数模型的选取[例3]某汽车制造商在2013年初公告：公司计划2013年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份201020112012产量8(万)18(万)30(万)如果我们分别将2010、2011、2012、2013定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？[解]建立年销量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)．(1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点坐标代入，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝8，,4a＋2b＋c＝18，,9a＋3b＋c＝30，))解得a＝1，b＝7，c＝0，则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，将点坐标代入，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＋c＝8，,ab2＋c＝18，,ab3＋c＝30，))解得a＝eq\f(125,3)，b＝eq\f(6,5)，c＝－42，则g(x)＝eq\f(125,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))x－42，故g(4)＝eq\f(125,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))4－42＝44.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系．[类题通法]不同函数模型的选取标准不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律：(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．[活学活用]某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？解：借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5,100]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．eq\a\vs4\al(,,12.搞错函数的变化规律而致误)[典例]下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()A．y＝eq\f(1,100)ex B．y＝100lnxC．y＝x100 D．y＝100·2x[解析]指数爆炸式形如指数函数．又e>2，∴eq\f(1,100)ex比100·2x增大速度快．[答案]A[易错防范]1．影响指数型函数增长速度的量是指数函数的底数，而并非其系数，本题易发生误认为100>eq\f(1,100)，所以100·2x比eq\f(1,100)ex增大速度快的错误结论．2．函数y＝a·bx＋c(b>0，且b≠1，a≠0)图象的增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b>1，a>0)，常形象地称为指数爆炸．[活学活用]四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x解析：选D显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.[随堂即时演练]1．下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是()A．y＝50 B．y＝1000xC．y＝2x－1 D．y＝eq\f(1,1000)lnx解析：选C指数函数模型增长速度最快，故选C.2．三个变量y1，y2，y3，随着变量x的变化情况如下表：x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.9857.27.4则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为()A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2解析：选C通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律，故选C.3．若a>1，n>0，那么当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是________．解析：∵a>1，n>0，∴函数y1＝ax，y2＝xn，y3＝logax都是增函数．由指数函数、对数函数、幂函数的变化规律可知，当x足够大时，ax>xn>logeq\o\al(x,a).答案：ax>xn>logax4．函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．解析：当x变大时，x比lnx增长要快，∴x2要比xlnx增长的要快．答案：y＝x25．某地发生地震，各地纷纷捐款捐物，甲、乙、丙三个公司分别派代表到慈善总会捐款给灾区．甲公司的代表说：“在10天内，我们公司每天捐款5万元给灾区．”乙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款1万元，以后每天比前一天多捐款1万元．”丙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款0.1万元，以后每天捐款都比前一天翻一番．”你觉得哪个公司最慷慨？解：三个公司在10天内捐款情况如下表所示：捐款数量(万元)公司时间甲公司乙公司丙公司第1天510.1第2天520.2第3天530.4第4天540.8第5天551.6第6天563.2第7天576.4第8天5812.8第9天5925.6第10天51051.2总计5055102.3由上表可以看出，丙公司捐款最多为102.3万元，即丙公司最慷慨．[课时达标检测]一、选择题1．下面对函数f(x)＝logeq\f(1,2)x、g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，与h(x)＝x－eq\f(1,2)在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是()A．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢B．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快C．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢D．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快解析：选C观察函数f(x)＝logeq\f(1,2)x、g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x与h(x)＝x－eq\f(1,2)在区间(0，＋∞)上的图象如图可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢；同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢．故选C.2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有()A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1解析：选B在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.3．有一组实验数据如下表所示：t12345s1.55.913.424.137下列所给函数模型较适合的是()A．y＝logax(a>1)B．y＝ax＋b(a>1)C．y＝ax2＋b(a>0)D．y＝logax＋b(a>1)解析：选C通过所给数据可知s随t增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C.4．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是()A．2x>xeq\f(1,2)>lgx B．2x>lgx>xeq\f(1,2)C．xeq\f(1,2)>2x>lgx D．lgx>xeq\f(1,2)>2x解析：选A结合y＝2x，y＝xeq\f(1,2)及y＝lgx的图象易知，当x∈(0,1)时，2x>xeq\f(1,2)>lgx.5．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为()解析：选D设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.二、填空题6．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：x12345678…y1248163264128256…y21491625364964…y3011.58522.3222.5852.8073…其中，关于x呈指数函数变化的函数是________．解析：从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.答案：y17．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xα(0<α<1)，反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．答案：②③8．表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3h，晚到1h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样．其中，正确信息的序号是________．解析：看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确；④错误．答案：①②③三、解答题9．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝lnx＋1，h(x)＝xeq\f(1,2)的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．解：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝xeq\f(1,2)，曲线C3对应的函数是g(x)＝lnx＋1.由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；当1<x<e时，f(x)>g(x)>h(x)；当e<x<a时，g(x)>f(x)>h(x)；当a<x<b时，g(x)>h(x)>f(x)；当b<x<c时，h(x)>g(x)>f(x)；当c<x<d时，h(x)>f(x)>g(x)；当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．10．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这3个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数y＝a·bx＋c(a，b，c为常数)．已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好．并说明理由．解：设两个函数：y1＝f(x)＝px2＋qx＋r(p≠0)，y2＝g(x)＝a·bx＋c.依题意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝p＋q＋r＝1，,f2＝4p＋2q＋r＝1.2，,f3＝9p＋3q＋r＝1.3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝－0.05，,q＝0.35，,r＝0.7.))∴y1＝f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，∴f(4)＝1.3(万件)．依题意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1＝ab＋c＝1，,g2＝ab2＋c＝1.2，,g3＝ab3＋c＝1.3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－0.8，,b＝0.5，,c＝1.4.))∴y2＝g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4.∴g(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35(万件)．经比较，g(4)＝1.35万件比f(4)＝1.3万件更接近于4月份的产量1.37万件．∴选y2＝g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4作为模拟函数较好．3．2.2函数模型的应用实例常见函数模型及应用[导入新知]1．常见的函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝eq\f(k,x)(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝axx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．2．建立函数模型解决问题的框图表示[化解疑难]求解函数应用题的程序二次函数模型[例1]据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点．写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系．已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？[解](1)y＝a(x－15)2＋17.5，将x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5.解得a＝eq\f(1,10).所以y＝eq\f(1,10)(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)．(2)设最大利润为Q(x)，则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)x2－3x＋40))＝－eq\f(1,10)(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)．因为x＝23∈[10,25]，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元．[类题通法]利用二次函数模型解决问题的方法在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．[活学活用]渔场中鱼群的最大养殖量为m(m>0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值．解：(1)根据题意知，空闲率是eq\f(m－x,m)，故y关于x的函数关系式是y＝kx·eq\f(m－x,m)，0<x<m.(2)由(1)知，y＝kx·eq\f(m－x,m)＝－eq\f(k,m)x2＋kx＝－eq\f(k,m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(m,2)))2＋eq\f(mk,4)，0<x<m.则当x＝eq\f(m,2)时，ymax＝eq\f(mk,4).所以，鱼群年增长量的最大值为eq\f(mk,4).分段函数模型[例2]提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)[解](1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，再由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(200a＋b＝0，,20a＋b＝60，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,3)，,b＝\f(200,3).))故函数v(x)的表达式为v(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60，0≤x≤20，,\f(1,3)200－x，20＜x≤200.))(2)依题意并结合(1)可得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60x，0≤x≤20，,\f(1,3)x200－x，20＜x≤200.))当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20＜x≤200时，f(x)＝eq\f(1,3)x(200－x)＝－eq\f(1,3)(x－100)2＋eq\f(10000,3)≤eq\f(10000,3)，当且仅当x＝100时，等号成立．所以，当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值eq\f(10000,3).综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值eq\f(10000,3)≈3333.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．[类题通法]构建分段函数模型的关键点建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．[活学活用]某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的计量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4μg时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7∶00，问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？解：(1)依题意得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6t，0≤t≤1，,－\f(2,3)t＋\f(20,3)，1＜t≤10.))(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则－eq\f(2,3)t1＋eq\f(20,3)＝4，解得t1＝4，因而第二次服药应在11∶00.设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有－eq\f(2,3)t2＋eq\f(20,3)－eq\f(2,3)(t2－4)＋eq\f(20,3)＝4，解得t2＝9小时，故第三次服药应在16∶00.设第四次服药在第一次服药后t3小时(t3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和－eq\f(2,3)(t3－4)＋eq\f(20,3)－eq\f(2,3)(t3－9)＋eq\f(20,3)＝4，解得t3＝13.5小时，故第四次服药应在20∶30.指数、对数型函数模型[例3]目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(1)写出y关于x的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．[解](1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；……故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．(2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.故10年后该县约有112.7万人．(3)设x年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋1.2%)x＝120，解得x＝log1.012eq\f(120,100)≈16.故大约16年后该县的人口总数将达到120万．[类题通法]指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．[活学活用]20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量