5.3 诱导公式（第2课时）（分层作业）（3种题型分类基础练+能力提升练）-高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）（解析版）

第第页5.3诱导公式（第2课时）（3种题型分类基础练+能力提升练）【夯实基础】题型一：利用诱导公式化简求值1.已知cos31°＝m，则sin239°tan149°的值是()A.eq\f(1－m2,m) B.eq\r(1－m2)C．－eq\f(1－m2,m) D．－eq\r(1－m2)【答案】B【解析】sin239°tan149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin59°(－tan31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝eq\r(1－cos231°)＝eq\r(1－m2).2.已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,2)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))的值为________．【答案】eq\f(1,2)【解析】coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,2).题型二：利用诱导公式证明恒等式3.(1)求证：eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝eq\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2π＋θ).(2)求证：eq\f(cos6π＋θsin－2π－θtan2π－θ,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ)))＝－tanθ.[证明](1)右边＝eq\f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))·－sinθ－1,1－2sin2θ)＝eq\f(2sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))))sinθ－1,1－2sin2θ)＝eq\f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))sinθ－1,1－2sin2θ)＝eq\f(－2cosθsinθ－1,cos2θ＋sin2θ－2sin2θ)＝eq\f(sinθ＋cosθ2,sin2θ－cos2θ)＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝左边，所以原等式成立．(2)左边＝eq\f(cosθsin－θtan－θ,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ)))＝eq\f(cosθsinθtanθ,－sinθcosθ)＝－tanθ＝右边，所以原等式成立．4．求证：eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋x)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5π,2)))tan6π－x)＝－1.[证明]因为eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋x)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5π,2)))tan6π－x)＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,2)＋x)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)－2π))tan－x)＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x)),－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))tanx)＝eq\f(－sinx,cosxtanx)＝－1＝右边，所以原等式成立．题型三：诱导公式的综合应用5.已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3,2)π))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)的值．[解]方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－eq\f(3,5)，x2＝2，因为－1≤sinα≤1，所以sinα＝－eq\f(3,5).又α是第三象限角，所以cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4)，所以eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3,2)π))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),sinαcosα)·tan2α＝eq\f(cosα－sinα,sinαcosα)·tan2α＝－tan2α＝－eq\f(9,16).6．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－α))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,2)－α))＝eq\f(60,169)，且eq\f(π,4)＜α＜eq\f(π,2)，求sinα与cosα的值．[解]sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－α))＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,2)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,2)＋α))＝－sinα，∴sinα·cosα＝eq\f(60,169)，即2sinα·cosα＝eq\f(120,169).①又∵sin2α＋cos2α＝1，②①＋②得(sinα＋cosα)2＝eq\f(289,169)，②－①得(sinα－cosα)2＝eq\f(49,169).又∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴sinα＞cosα＞0，即sinα＋cosα＞0，sinα－cosα＞0，∴sinα＋cosα＝eq\f(17,13)，③sinα－cosα＝eq\f(7,13)，④(③＋④)÷2得sinα＝eq\f(12,13)，(③－④)÷2得cosα＝eq\f(5,13).【能力提升】一、单选题1．若角的终边经过点，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，所以，所以.故选C.2．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角函数诱导公式求得，将进行弦化切，可得，将代入计算可得答案.【详解】因为，所以，所以,故选:A.3．已知f（x）是定义在R上的偶函数，在[0，+∞）上是增函数，若a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a【答案】B【详解】根据题意，sin=sin（2π﹣）=﹣sin，则a=f（sin）=f（﹣sin），cos=cos（π﹣）=﹣cos，b=f（﹣cos），又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，则a=f（sin）=f（﹣sin）=f（sin），b=f（﹣cos）=f（cos），又由＜＜，则有0＜cos＜sin＜1＜tan，又由函数在[0，+∞）上是增函数，则有c＞a＞b；故选B．二、多选题4．在平面直角坐标系中，点，，，则下列说法正确的是（

）A．线段与的长均为1 B．线段的长为1C．当时，点，关于轴对称 D．当时，点，关于轴对称【答案】ACD【分析】对于A，直接代入公式计算即可；对于B，由结合勾股定理即可求得的长；对于C，将代入坐标即可；对于D，将代入坐标即可.【详解】由勾股定理可得，同理可得，故A正确；由题意得，由勾股定理得，故B错误；当时，即，即，点，关于轴对称，故C正确；当时，，即，即，故点，关于轴对称，故D正确.故选:ACD.5．已知函数，则（

）A． B．C．， D．，【答案】AD【分析】根据函数的解析式逐项检验函数是否满足相应的性质，必要时可利用反例.【详解】对于A，，故A正确.对于B，，故，故B错误.对于C，，故，故C错误.对于D，当k为奇数时，；当k为偶数时，，所以.故D正确.故选：AD.6．定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”.已知，则下列角中，可能与角“广义互余”的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由条件结合诱导公式化简可得，根据“广义互余”的定义结合诱导公式同角关系判断各选项的对错.【详解】∵，∴，若，则，所以，故A符合条件；，故B不符合条件；，即，又，∴，故C符合条件；，即，又，∴，故D不符合条件.故选：AC.7．在平面直角坐标系xOy中，点，，，则下列说法正确的是（

）A．线段与的长均为1 B．线段的长为1C．当时，点，关于y轴对称 D．当时，点，关于x轴对称【答案】ACD【分析】根据点坐标及两点距离公式、同角三角函数关系求得，且，结合各项描述、诱导公式、特殊角函数值判断它们的正误.【详解】由勾股定理得，同理得，故A正确；由题意得，由A及勾股定理得，故B错误；当时，，即，，即，点，关于y轴对称，故C正确；当时，，即，，即，故点，关于x轴对称，故D正确.故选：ACD三、填空题8．________。【答案】【解析】．故答案为：．9．若是第四象限角，，则______.【答案】【解析】是第四象限角，则为第一、四象限角或终边位于轴上，则，且，因此，，故答案为：.四、解答题10．已知．（1）化简；（2）若，求的值．【答案】(1)；(2)或【解析】（1）（2）若，则当为第一象限角时，当为第二象限角时，.11．在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知点，的横坐标分别为.（1）求和的值；（2）求的值.【答案】(1)；(2)【解析】(1)由已知条件及三角函数的定义可知，，，因为为锐角，故，从而因为为锐角，故，从而；(2).12．已知α是第三象限角，且.(1)化简；(2)若，求；(3)若，求.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据诱导公式化简求解.（2）利用同角三角函数的基本关系以及余弦在各象限的符号进行求解.（3）利用诱导公式进行大角化小角，负角化正角，再利用特殊角的余弦值进行求解.（1）根据诱导公式有：（2）因为，α是第三象限角，所以所以（3）因为，所以.13．已知，为第二象限角.(1)若，求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用同角三角函数的关系化简，则由，可得，而，代值计算即可，（2）由已恬条件可得，然后利用诱导公式和同角三角函数的关系化简计算即可.（1）为第二象限角，则..∵，∴.∴.（2），则.∵为第二象限角，∴，，.∴.14．已知角的终边过点．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)答案见解析.【分析】（1）由终边上的点可得，根据商数关系及诱导公式化简求值即可；（2）讨论、，结合终边上的点分别求出、，进而求目标式的值.（1）由题意，，所以．（2）当时，，，所以．当时，，，所以．综上，当时，；当时，．15．已知函数.(1)化简；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用诱导公式将角全部化成，再约分化简即可.（2）由条件代入解析式得，利用诱导公式求解即可．（1）（2）因为，所以，，故.16．在平面直角坐标系中，的顶点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上，点在第二象限，且，记，满足．(1)求点的坐标；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得点的坐标．（2）由题意利用诱导公式即可计算求解．（1）因为在第二象限，，所以，所以，又点的坐标为，所以（2）．17．已知.(1)化简；(2)若是第四象限角，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角函数的诱导公式化简，可得答案；（2）由诱导公式结合是第四象限角可求得以及，由（1）的结果可得答案.(1)根据诱导公式可得：,所以.(2)由诱导公式可知,则由可得,

又是第四象限角,所以,

所以.18．已知，且函数．(1)化简；(2)若，求和的值．【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式直接化简即可，（2）对平方可求出，再由可得，然后求出，从而可求得的值(1)．(2)由，平方可得，即．∴．又，∴，，∴，∵，∴．19．（1）已知，求的值．（2）化简．【答案】（1）sin；；（2）．【分析】（1）化简已知得sin，再利用诱导公式化简即得解；（2）直接利用诱导公式化简即得解.【详解】（1）由sin，有sin，所以sin；.（2）.20.已知，(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)4.【分析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求出，即可求得的值；(2)利用诱导公式化简原式为，再化为正切即可得解.(1)∵，，∴∴(2)，.21．（2022·全国·高一课时练习）已知正弦三倍角公式：①（1）试用公式①推导余弦三倍角公式（仅用表示）；（2）若角满足，求的值.【答案】（1）；（2）【分析】（