乘法公式-(二)代数式

第2讲代数式化简与求值

代数式是用基本运算符号，将数和表示数的字母连接而成的式子。代数式的变形、推

导、求值是整个初中数学代数部分的基本功。它综合了数学中的各种常见方法和技巧，既要

求我们对基本的公式及其变形要熟记，同时也要灵活掌握各种解题方法，学会分析代数式条

件，建立已知和求解之间的关系，为将来进一步的数学思维的培养打下基础。当然，这部分

内容也是初中竞赛常考的内容之一。

--基本概念和公式

a)代数式的概念

前面我们已经讲了代数式是用基本运算符号，将数和表示数的字母连接而成的式子。代数式

与小学我们研究的算式不同之处在于字母的出现，因此我们理解代数式的关键在于字母与参

数的区别。直接代入是一种题型，恒等式是一种题型。

b)乘法公式

①)(a+b')2-cr+2ab+b2

②)(a+Z?)3—a3+3a2b+Zab1+b3

③)(«+/7)(«-&)=a2-b~

④)/±/=(a土b)(/ab+b2)

⑤)(a+b+c)2-a2+b2+c2+lab+lac+2bc

⑥)(<2+Z?+c)(tz+白+c~—ab—ac—be)—+b+—3abe

nnYnn

©)(a—b)(优T+a"-2b+an-3b-+...+ab--+b-^^a-b

⑧)er+b2+c2±ab±ac+bc=^[(a+b)2+(a±c)2+(Z?±c)2]

二.典型例题

A)直接带入法

例1已知a为3的倒数，b为最小的正整数，求代数式(a+加2-2(a+b)+3的值

B)特殊值分析一一，恒等式

例2若不论x取什么值，代数式竺旦(分母不为零)的值都相同，试求a与b的关系

bx+8

3

解：令x=0带入，推出代数式的值为e，再将x=l代入，得3b=8a

8

例3已知

(3%-I),=%%7+4%6+……+,试求％+。6+〃5......+〃2+卬+%的值

解：x=l代入得128

C）整体求值

例4当％=3时，代数式ar5+法+8的值是12,求当x=3时，代数式av3+法一5的值

解：-1

例5已知代数式加+bx+c,当x=0时的值为2；当x=3时的值为1；求当％=-3时,

代数式的值？

解：3

D）从已知出发，消元

例6已知a+Z?=l,求代数式+3ab+Z?3的值

解：法1,将a=l-b或b=l-a代入，得到1

法2,将代数式转化为a+b的形式，得到1

法3,令a=l,b=0,代入a+b=l,满足已知条件，再代入代数式中得到1

例7已知a-b=2,Z?-c=1,求代数式。2+Z?2+。2一的值

解:法1,将a=2+b,c=b-l代入代数式得到7；

法2,利用乘法公式得到7；

E）从所求出发，构造已知条件代入

,.,11_4一3iz+4-cib+3b,,

例8己知-----=2,求--------------的值

abla-3ab-lb

解：法1,分子分母同除以ab,得到-W；

7

法2,将。代入，得到—"；

2+』7

b

法3,将a=l,b=-l代入,得到—W；

7

例9已知三个正数”,4c满足=1,求--—+—-—+—-—的值

ab+a+1be+b+lac+c+1

解：原式

aababc

---------1-----------1—-----------

ab+a+\abc+ab+aabe+abc-\-ab

ab+a+\\+ab+aa+\+ab

=1

例10已知12一%一1=0,证明犬3=2%+1,犬s=5%+3

解：%3=2%+1可以转化为MJ-x-1)=一九2+%+1

F)整式除法

例H已知3炉—%—1=0,求6%3+7%2—5%+1987的值

解：商为2x+3,余数为1990；所以答案为1990

G)连等一一设而不求

例12已知=。一=二一，求的值

y+zx+zx+yy+z

解：令=左，推出当x+y+z不等于0时，k=0.5；等于0时，得-1。

y+zx+zx+y

H)乘法公式的应用

例13若a、b、c都是有理数，且a+b+c=0,tz3+Z?3+c3=0,试求炉十犷十^的值

解：利用乘法公式：

(a+b+c)(a2+b2+C1-ab-ac-be)=a3+b3+c3-3abc得到3abc=0,因此。，瓦c中

至少有一个为0,不妨设a=0,则b=-c,代入a5+65+c5=0

例14已知%+1=2,求

x

21

a)x2

x

31

b)xT

X

解：利用乘法公式及xJ=1解题，a)2；b)2；

X

I)杂题

[2

例15已知f—=-,试求—的值

a+a+l6ci+〃+1

解：先分析倒数，再考虑乘法公式和a1=1；答案为工

a24

三.课后练习题

练习1若x为;的倒数，y为偶质数，求代数式(x—yy+3(x—y)4+(x—y)2—3的值

解：2

练习2如果不论x取什么值，代数式竺二(分母不为零)都得到同样的值，那么a与b

bx+4

应满足什么条件？

解:4a=3b

练习3把(A：?一元+1)6展开后得为2%12+〃]]%"+…+%%2+〃1%+%,贝口

42+%0+/++。4+a2+%的值为？

解：将x=l和x=l代入后两式相加，得到365

Z7b

练习4已知当x=7时，代数式公§+法一8的值为4,求当尤=7时，代数式上V+2x+3

22

的值？

解：9

练习5若a、b均为正数，且=试求一乙+―也的值？

a+1Z?+1

将。=工或6=工代入，得到1；

解：法1,

ba

■将a_而_1；

法2,

a+1ab+b1+b

法3,设a=2,b=0.5,代入ab=l,满足已知条件，代入代数式中得到1

练习6己知”+工=11+—=1,求c+1的值？

bca

解：由已知条件，解出a,c（都由b表示），代入得到1

,12〜44x+3xy+2y_

练习7已知一+—=2,求-------:-----的值

xy-4^+8xy-2y

解:7/4

练习8若a,"c,d是四个正数，且aZ?cd=l,求

abc+ab+a+1bed+be+b+ldac+cd+c+\dab+da+d+l

解：1

练习9若3f—%=1,求代数式6/+7/—5X+1999的值

解:2002

练习10若上=上=二，求x+y+z的值

a-bb-cc-a

解：0

练习11已知a?+步+。2=。人+匕且a=l,求(a+Z?—。甘毓

解：利用乘法公式：

«2+b2+c2+ab+ac+bc=-^[(a+b)2+(a±c)2+(Z?±c)2]得到a=/?=c=l,所以

(a+6—c