人教版高中数学必修二第八章第3节《简单几何体的表面积与体积》解答题训练 (29)(有解析)

第八章第3节《简单几何体的表面积与体积》解答题训练(29)

一、解答题(本大题共20小题，共240.0分)

1.如图，AB为圆。的直径，点E,F在圆。上，矩形ABC。所在平面和圆。所在平

面互相垂直，已知48=2,EF=1,

C

AF

(1)求证：平面力DF1平面BCF

(2)若几何体F-BCE和几何体F-4BCD的体积分别为匕和彩，求匕:V2

2.已知在四棱锥P-4BCO中，PD1^ABCD,AD1DC,AB//DC,DC=2AB,Q为PC的中点.

AB

(1)求证;BQ〃平面PHD;

(2)若PO=3,BC=试在线段PC上确定一点S,使得三棱锥S-BCO的体积为|

3.如图，在长方体ABCD-4避传1。1中，AB=BC=痘,AAt=2.

(1)求证：直线〃平面AC/;

(2)已知三棱锥。［-BCD的所有顶点在同一个球面上，求该球的体积.

4.如图，在直三棱柱48。一4当6中，D,E分别是8C,当口的中点.

C,

(1)求证：平面4EB〃平面ADC1；

(2)若BC=4C=2,AD=6CCX=3,求三棱锥4一&CC的体积.

5.如图1,在直角梯形A8CC中，/.ADC=90°,CD//AB,AB=4,AD=CD=2,WAACDiQ

AC折起，使平面ACC，平面ABC,得到三棱锥D-ABC,如图2所示.

D

(1)求证：BCJL平面ACD;

(2)求点C到平面ABD的距离.

6.如图，在正方体ABCD-AiBiGA中，E,尸分别是CD的中点.

(1)证明：AD1DjF;

(2)证明：平面4ED，平面4/5；

(3)设=2,求三棱锥E-尸的体积.

7.如图，在圆锥中，A8、CQ为底面圆的两条直径,4BnC。=O,SLABLCD,

P为SB的中点，SO=PB=2.

(I)求证：SA〃平面PCD；

(II)求该圆锥的表面积.

8.如图1,在矩形ABCO中，AB=2,BC=3,点E在线段BC上，BE=2EC.把△B4E沿AE翻

折至的位置，为史平面AEC。，连结B】D,点尸在线段DB1上，DF=2FBi，如图2.

(1)当平面BiAE，平面AECC时，求三棱锥4-ADE的体积；

(2)证明：CF〃平面BiAE.

9.如图，在正四棱柱ABCO-4&6以中，点E是侧棱44］上一点且8E1EC「

(1)求证：平面BCE1平面&C1E;

(2)若E是棱力儿的中点，且4。=2,求四棱锥E-CGDiD的体积.

10.如图，已知点P为正方形A8CD所在平面外一点，△PAD是边长为2的等边三角形，点E是线

段尸。的中点，平面P40，平面ABCD.

(1)证明：〃平面AEC；

(2)求三棱锥P-AEC的体积.

11.如图，在所有棱长都为4的四棱柱4BC。一48也1。1中，底面ABC。是菱形，且外在底面ABC。

上的射影是BD的中点。，^BAD=60°.

AEC

(I)证明：&G_LBDi；

(即若后是加久的中点，求三棱锥B-4CE的体积.

12.正四棱台两底面边长分别为3和9.

(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45。，求棱台的侧面积;

(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.

13.已知三棱柱ABC-aB1G如图所示，其中平面平面以「直线力为与平面ABC所成角为

30°,NA41c=乙ACB=90°,AC=2BC,点何在线段上.

⑴求证：AA1LA1B-,

(2)若BC=2遮，三棱锥&-BCM的体积为6,求金生的值.

MB1

14.如图为一个健身哑铃，它是由两个全等的大圆柱和中间一个连杆圆柱构成的，已知大圆柱的底

面半径为6cm,高为2cm,连杆圆柱的底面半径为2cm,高为8cm.

(1)求该健身哑铃的体积;

(2)求该健身哑铃的表面积.

15.如图，在直角梯形ABC。中，AB//CD,BC1CD,CD=2AB=2A/3，^ADC=45°,梯形绕

着直线AB旋转一周.

⑴求所形成的封闭几何体的表面积;

(2)求所形成的封闭几何体的体积.

16.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD=2AD=4,PD1CD,PD1AD,底面ABC。为正方形，M.N

分别为4),PD的中点.

p

(1)证明：PA〃平面AWC；

(2)求三棱锥P-MNC的体积.

17.如图，在长方体4BCD-A/iGDi中，仞为BiQ中点.

(1)求证：平面BDiM；

(2)若441=4D=2,AB=2近,求点A到平面B&M的距离.

18.已知半径为R的球有一内接圆柱，求该圆柱的侧面积的最大值和表面积的最大值。

19.2022年北京冬奥会标志性场馆一一国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿

着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰

电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈

现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的

速度和激情.这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、

面积、体积等.对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如(f

九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计

算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式.直到200年以后数学家祖冲之、祖晒父子在(T

缀术》提出祖唾原理：“事势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公

式.原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体

的体积相等.

(1)利用祖晒原理推导半径为R的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体几何体例的

底面半径和高都为R,其底面和半球体的底面同在平面a内.设与平面a平行且距离为d的平面口截

两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证

明；

(2)现将椭圆捻+3=l(a>b>0)所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得到两个不同的

椭球A,B(如图)，类比(1)中的方法，探究椭球4的体积公式，并写出椭球A,B的体积之比.

B

20.如图1,在平行四边形ABCM中，AB=2BC=473./ABC=60。，。为C历的中点，沿将

△MAD翻折到△PAD的位置，如图2,点尸在平面ABC。内的正投影点F在AC上，〃在AO上，

HF〃平面PBD.

(1)证明：H为AQ的中点.

(2)求B到平面处。的距离.

【答案与解析】

1.答案：(1)证明：由己知得，平面ABCD_L平面43EF,

在矩形ABCQ中，CBLAB,又平面4BC0n平面4BEF=

AB,CBABCD,

CB，平面ABEF.

■：AFu平面ABEF,CBLAF.

又A8为圆。的直径，:4FJ.BF.

vCBCBF=B,CBu平面CBF,BFu平面CBF,

AF_L平面CBF.

而/Fu平面D4F,.•.平面4DF，平面BCF；

(2)解：过点F作FH1AB,垂足为H,

•••平面ABC。_L平面ABEF,且平面4BC0n平面4BEF=AB,

FHJ_平面ABCD,

二匕=VF-BCE=VC-BEF=*XEFXEHXBC=*HXBC.

14

V2=VF-ABCD=：XABxBCxFH=^xBCxFH.

二匕：V2=l：4.

解析：本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多

面体的体积，是中档题.

(1)由已知利用平面与平面垂直的性质可得CB1平面ABE凡得到CB1AF,再由48为圆。的直径，

得AF1BF,然后利用直线与平面垂直的判定可得4FJ■平面CB凡进一步得到平面ADF_L平面BCF；

（2）过点尸作FH1AB,可得FH1平面ABCD,分别写出几何体尸-BCE和几何体F-2BCD的体积,

则答案可求.

2.答案：证明：（1）取的中点为G,分别连接AG,QG,

又因为。为PC的中点，所以GQ〃0C,且GQ=：DC,

又因为AB〃DC,DC=2AB,

所以GQ//4B,GQ=AB,

所以四边形ABQG是平行四边形，

所以即〃4G,

又BQ/平面PAD,AGu平面PAD,

所以8Q〃平面PAD.

P

解：（2）因为在四边形ABC。中，AB//DC,AD1DC,DC=2AB,

所以点B在线段CD的垂直平分线上，

又因为=BCLBD,

所以BD=BC=&，

所以△BCD的面积S=1xV2xV2=1,

设点S到平面ABCD的距离为h,

所以：x1x无=|,

所以八=2,

又PD1平面ABCD,

所以点S在线段PC上靠近点P的三等分点处.

解析：本题主要考查了线面平行的判定，三棱锥体积公式，考查了空间想象能力与计算能力，属于

中档题.

(1)取尸。的中点为G,分别连接AG,QG,由题意，推导出BQ〃4G,则可得证明8Q〃平面PAQ；

(2)由题意，可得点8在线段的垂直平分线上，从而可求出△BCD的面积S,设点S到平面

的距离为力，根据(Sh=|,从而可求出，进而可得点S在线段PC上靠近点P的三等分点处.

3.答案：解：(1)在长方体48。。一公当口。1中，

因为Be//［。］,BC=A1D1,

所以四边形&BCD1是平行四边形，

所以又为BC平面AC%,CDru平面ACQ,

所以直线4$〃平面ACD「

(2)因为三棱锥久-BCO的所有顶点所在的球面与长方体4BCD-&B1GD］的八个顶点所在的球面

相同，

该球的直径2R=BDLy/AB2+BC2+AA1=,3+3+4=VlO-

所以半径/?=叵.

2

所以所求球的体积为1/=皿=皿亚.

33

解析：本题主要考查了球的体积公式，以及线面平行的判定定理，属于中档题.

(1)在长方体ABCD-&B1GD1中证明四边形AiBCDi为平行四边形，则有&B〃CDi即可证明；

(2)由题意可得三棱锥久的外接球与长方体外接球是同一个，则只需求长方体外接球即可.

4.答案：证明：(1)连接OE.

•••在直三棱柱48C-4B1G中，D,E分别是BC,aG的中点，

CD〃GE且CD=GE,.♦.四边形CDEG是平行四边形.

DE/fCC^DE=CCr.

.又A41//CC1且=CC、，：.DE//AAX&LDE=AAX,

四边形ADE&是平行四边形，.•.&E〃2D.

又ADu平面力DC1，C平面4DG，&E〃平面

同理可证，BE〃平面4DC］.

乂A1ECBE=E,&Eu平面4骸，BEu平面&E8,

二平面4EB〃平面

解：(2)在A/ICO中，CD=1,AC=2,AD=小,

222

cosZ-ACDAC+CD-AD,--——1

2AC-CD2

・・・Z,ACDG(O,TT),sin^ACD=y.

•••S^ACD=\AC-CDsin^ACD=y.

__1

"匕-CiCD=^Ct-ACD=§SAACD-CC]

解析：本题考查面面平行的判定，三棱锥的体积求法，等体积法的运用，涉及三角形面积公式，余

弦定理，线面平行的判定，属中档题.

(1)利用中位线定理结合线面平行的判定证明线面平行，再利用面面平行的判定方法证明面面平行即

可.

(2)利用余弦定理和同角三角关系，三角形面积公式求出三角形AC。的面积，再利用等体积法求出

答案.

5.答案：证明：(1)由题意，^\AC=BC=2V2.AC2+BC2=AB2,

:.AC1BC,

如图，取线段AC的中点。，连接。。，

vAD=CD,ADO1AC.

•.•平面ACD1平面ABC,平面ACD0平面ABC=AC,DOu平面ACD,

：.DO，平面ABC,DO1BC.

vACODO=0,：.BCJL平面ACD.

(2)设点C到平面ABD的距离为h.

由(1),可知BCJ■平面ACD,BC1AD.

由已知，得AD1CD,ADBCD,AD1.BD.

：.S—BD=1-AD-BD=^X2X>/AB2-AD2=V16-4=273.

由(1),可知DOJ■平面ABC,DO=V2,S^ABC=1­?1C-BC=X2A/2X2A/2=4.

^C-ABD=^D-ABC'"3'hABD.八=1'^hABC'。°，

A2y/3h=4XV2>解得/l=卷

•••点C到平面ABD的距离是壁.

3

解析：本题通过平面图形折叠后得立体图形，考查空间中的垂直关系，重点是“线线垂直，线面垂

直，面面垂直”的转化；等积法求体积，也是常用的数学方法，为中档题.

(1)由题中数量关系和勾股定理，得出4C1BC,再证BC垂直与平面4CD中的一条直线即可，△ADC

是等腰心△,底边上的中线0。垂直底边，由面面垂直的性质得_L平面ABC,所以OO_LBC,从

而证得BC_L平面ACD-,

(2)设点C到平面48。的距离为〃，由(1)得BC，平面ACO,从而得BCJ.力D,又4C1CD,得4。，

平面BCD,即力D1BD,从而算出SUB。，由(D得S-BC，利用％-ABD=%-ABC，即可求出九

6.答案：解：⑴•.TBCD-&B1C1D1是正方体，二力。1平面DCCiO「

又D[Fu平面。AD1DrF.

(2)如图，取A8的中点G,连接GF,&G,

1

c

贝ijAAArG=△BAE,/.AGAy=Z.BEA,

•••乙BAE+Z.AGAj=/-BAE+Z.BEA—90°,AE1ArG.

«DJ11A[G,DXF1AE.

又由(1)知D1F14D,♦.•AEu平面AEQ,ADAED,AEC\AD=A,

0/1平面AED.

又£\Fu平面A/D1，

.,•平面AEDJ•平面

(3"三棱曲-MF=V三棱锥F-AA、E，

•••FG，平面4BB1%即FG_L平面44百

.•.三棱锥尸-4&E的高为FG=AAr=2,

SA4A[£=-x22=2,

"V三棱锥E-AA、F=V三棱锥F-AA、E~3'FG'S^AA^E=3-

解析：本题考查证明线线垂直、线面垂直、面面垂直的方法，求棱锥的体积，证明aF1面是

解题的关键.

(1)由正方体的性质可得4。J_平面DCC15，故ADIDrF.

（2）取AB的中点G,连接GF,4G,得出AE_LD】F,再得出D/lAE,证得。1尸_L面AED,从而证

得面AEDJM4iFD「

VFG

(3)先得出三棱锥F-44E的高FG=AA1=2,由匕海姬-4&F=^^-AAiE=-=5

求得结果.

7.答案：解：（I）;P、。分别为SB、AB的中点,

APO//SA,

又”POu平面PCD,S4C平面PCD,

：.S4〃平面PCD.

（口）•••P为SB的中点，S0=PB=2,

SB=4,

二底面圆的半径r=V42-22=2V3.

S底面=nr2—12TT,S网施=nr-SB=nx2A/3x4=8V3TT.

;该圆锥的表面积S=12/r+8V3TT=（12+8V3）?r.

解析：（I）利用三角形的中位线的性质可证P0〃S4根据线面平行的判定定理即可证明SA〃平面

PCD.

（H）由已知可求SB=4,进而可求底面圆的半径r,求得s底而=e2,sfiJjg=nr-SB,即可得解该

圆锥的表面积.

本题主要考查了线面平行的判定，考查了圆锥的表面积的求法，考查了数形结合思想，属于中档题.

8.答案：解：（1）取AE的中点0,连结当0,依题意得B1014E,%工

•••平面/4E1平面AECD,平面Bi4En平面4ECD=AE,/\

B101AE,B10u平面BiAE,:.B1。_L平面AECD,

在RtAABiE中，ABy=BrE=2,得/。=e.

EC

*e•-AED=1S“EO,B]0=-x-x3x2xV2=V2；

证明：（2）依题意得，在矩形A8CQ中，AB=2,BC=3,BE=2EC,

：.AD=3,EC=1,在线段上取一点M,满足4M=2M/,公

又*DF=2FB1,笔=嚼,散FM//AD,A\Y\

又•••EC//AD,•••EC//FM,

•••FM=^AD=1,EC=FM,则四边形FMEC为平行四边形，得CF//EM,

又•••CFC平面&4E,EMu平面&4E,二CF〃平面&4E.

解析：(1)取AE的中点0,连结当0,得B10L4E,再由已知结合平面与平面垂直的性质可得当。_L

平面AECD,求解三角形求得B10,再由棱锥体积公式求三棱锥当-4DE的体积；

(2)由已知证明尸进一步得到EC〃FM,再证明EC=FM,得四边形FMEC为平行四边形，

则CF〃EM,然后利用直线与平面平行的判定可得CF〃平面&4E.

本题考查多面体体积的求法，考查线面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解

能力，是中档题.

9.答案：(1)证明：在正四棱柱ABCD-中，

易知BiG1侧面且BEu平面44道避，

可得BiQ1BE,

又BElECi，且BiGnEG=G，BG，Et^u平面8道出，

所以得BE，平面&GE,又因为BEu平面BCE,

故平面BCE_L平面≥

(2)解：如图，在正四棱柱4BC0-4iBiCiDi中，由于AB,AD,两两互相垂直，

又因为E是棱A①的中点，且4。=2,从而知正四棱柱的上、下底面是边长为2的正方形，

设4E=%=t,由(1)知5E1平面々GE,

则得BElEBi，且BE=EB[=Vt?+4,而BB】=2t,

2

由勾股定理得BE?+EBl=BBl，即得2«2+4)=(2t),解得t=2(取正)，即AE=EAr=2,

则侧棱长。。1=BB、=4.

过E作EHlZWi于H,贝ijEHJ"平面且EH=4D=2,

于是力-CCMM=30C•DD^EH=[x2x4x2=g,

即四棱锥E-”也0的体积为容

解析：本题考查立体几何中的线线垂直、线面垂直、面面垂直以及几何体的体积计算问题，涉及了

数形结合、化归与转化思想，属于中档题.

(1)通过证明BE1平面BiGE,得出平面8CE1平面&GE；

(2)依题意，知正四棱柱的上、下底面是边长为2的正方形，设4E=EAr=t,由(1)知BE_L平面当。止,

结合勾股定理，可得出f的值，从而得出AE,Ea的长，得出侧棱长。劣=BB]=4,过E作EH1DDr

于H,贝平面CC1AD,且EH=AD=2,再根据棱锥的体积公式，可得出结果.

10.答案：(1)证明：连接BQ,设8。n4C=。，连接。E,

因为底面ABCO是矩形,

所以。为8。的中点，

又因为E是尸。的中点，

所以0£为4P8D的中位线，

所以。E〃PB,

因为PBC平面AEC,OEu平面AEC,

所以PB〃平面4EC；

(2)解：在正方形A8CD中，CDLAD,

又因为平面PADD平面4BC。=AD,

且平面24。1平面ABCD,所以CO1平面PAD,

因为力。为等边三角形，且E为线段PO的中点，

所以S“4E="MAD=|x：x2x2x苧=争

所以%-4EC=^C-PAE=j^APAE-CD=§X,X2=f.

解析：本题考查线面平行的判定和棱锥的体积的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于

中档题.

(1)连接2D,设B。C4C=0,连接OE,由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；

(2)由面面垂直的性质定理，可得CD1平面PA。，再由等积法和棱锥的体积公式，计算可得所求值.

11.答案：解：(I)证明：如图，连接AC.

•••四边形ABC。是菱形，AC1BD于点0.

■:AO_L平面ABCD,ACu平面ABCD

AC1Z）i。.

又DpCBD=0,。1。，BOu平面BOOi

AC1平面Bg,

又BDiu平面BOD1

•••AC1BDr.

又在四棱柱4BCO-4/iCiDi中，AC//A^,^A^LBD1.

（口）：在四棱柱4BCD中，GA〃平面ABCD

又E是GDi的中点，必。1平面ABC。，

•••点F到平面ABCD的距离为JO.

又四棱柱的所有棱长为4,NBA。=60。,

BD=4,AC=4V3，-OD2=V42-22=2V3>

,1,VB-ACE=^E-ABC—扣1。,S0ABC=1X2V5X1x4V5x2=8.

解析：本题考查线面垂直的判定定理和性质、等体积法求体积，属于一般题.

(I)由已知条件证得AC_L平面BDD1，即可得到&G1BD1：

(H)根据题意和等体积法将所求三棱锥的体积转换为三棱锥E-4BC的体积，再把相应的棱长代入体

积公式求解即可.

12.答案：解：(1)如图,设0八。分别为上、下底面的中心,

过G作GEJ.4C于E,过E作EFJ.BC于尸，

连接C/,则GF为正四棱台的斜高,

由题意知NGC。=45。，CE=CO-EO=CO-C］。】=yx(9-3)=3症,

EF=CE-sin45°=3A/2X—=3.

又2

二斜高GF=〃国2+EF2=J(3际2+32=3显,

，S颇=gx(4x3+4x9)x3v5=72v5；

(2)由题意知，S上届+S榷=32+92=90,

***—x(3+9),ft斜x4=90,

-90-x-2=—15又EF=『=3,仁J唠-EF2.

12X44

解析：本题考查了多面体(棱柱、棱锥、棱台)及其结构特征和棱台的侧面积、表面积和体积.属于中

档题.

(1)利用正四棱台的结构特征，结合棱台的侧面积公式计算得结论；

(2)利用正四棱台的结构特征，求得斜高，进而得出结果.

13.答案：(1)证明：•••平面4BC_L平面ACG4,

平面4CG&n平面力BC=AC,BC1AC,BCu平面ABC,

BC，平面4CC1a,

AAru平面ACCiAi，

BC1AA1；

又•••=90。，AAi1ArC,而BCn4iC=C,BC,&Cu平面&BC；

AAy_L平面a/c；

又•••4/u平面4BC；

•••AAy1AXB\

(2)由(1)可知，/Mi，平面AiBC,BB、11AA「

BB11平面48C；

易知"i在底面ABC上的射影就是AC,所以就是直线44i与底面ABC所成的角，且乙4/C=

30°,

AC=4-73>

•••ArA=6.BB]=6,AtC—2V

则SA*C=；X2WX2W=6；

设点M到平面4BC的距离等于h,

则以1-BCM=^M-A^BC=孑X6X/l=6,

h=3,所以=

所以点M是棱的中点，

从而馈=1为所求.

解析：本题考查线面垂直的判定、直线与平面所成角以及棱锥的体积，属于中档题；

(1)先证441_L平面&BC,又u平面&BC；证得44114B；

(2)设点M到平面&BC的距离等于/?,利用以「BCM=九.ABC，即可求解；

14.答案：解：(1)设该健身哑铃的体积为匕V=如大圆柱+丫连杆，2々•倒柱=兀・6?•2•2=144兀，

V超存二71r.22x8=32兀，因此，该健身哑铃的体积为1/=144兀+32兀=176兀皿3；

(2)设该健身哑铃的表面积为S,S=2s大圆柱一2S连杆底面*S连杆侧面积,

2s大圆柱=7T-62-4+2;r-6-2•2,2s连杆底面=2-n-22,S连杆侧面积=2n-2-8,

则S=7T•62•4—2•兀•22+2兀•6•2•2+2兀•2•8=216ncm2.

解析：本题考查组合体表面积与体积的计算，解题关键就是要弄清组合体的构成，考查空间想象能

力，属于中档题.

(1)哑铃的体积等于两个大圆柱和一个连杆圆柱(位于中间部分)的体积之和，即可得出结果；

(2)哑铃的表面积等于两个大圆柱的表面积与连杆圆柱(位于中间部分)侧面积之和减去连杆圆柱两

个底面积，即可得出结果.

15.答案：解：依题意旋转后形成的几何体可以看作一个圆柱中挖去了一个圆锥后形成的，

(1)其表面积S=圆柱侧面积+圆锥侧面积+圆柱底面积

127r+3V27T+3亢=（15+3遮）〃•

(2)其体积V=圆柱体积-圆锥体积

=6V37T—V3TT=5V3TT.

解析：本题考查了圆柱、圆锥的表面积和体积，是基础题.

(1)依题意旋转后形成的几何体可以看作一个圆柱中挖去了一个圆锥后形成的，直接由表面积公式计

算即可；

(2)由体积了=圆柱体积-圆锥体积，计算可得.

16.答案：(1)证明：因为M,N分别为AD,尸£＞的中点，

所以24〃MN,

又因为PA仁平面MNC,MNu平面MNC,

所以P4〃平面MNC;

(2)•••四边形A8CD为正方形，

AD1CD,

又PDLCD,AD.PDcipffiPAD,ADnPD=D,

CD1平面PAD,

111111

■:S〉PMN=3sNDM=£x5xPD.DM=-x4xl=l,/.VP^MNC=VC-PMN=-S^PMN.CD=-x1x

2=-.

解析：本题考查了线面平行的判定、线面垂直的判定，考查利用空间向量求线面的夹角的正弦值,

属于中档题.

(1)根据线面平行判定定理即可求证；

(2)根据已知及线面垂直的判定定理可得CD，平面PAD,再利用等体积法及棱锥的体积公式求解.

17.答案：(1)证明：连接4G交BO】于点。，则。为AQ中点，连接0例，

又“为BiG中点，故0M为A/lBiCi的中位线，故0M〃/IB1，

又OMu平面BDi”,C平面BAM,

所以〃平面BAM.

(2)解：由(1)知，4/〃平面BDiM,则4到平面BDiM的距离与&到平面BDiM的距离相等，

连接D1B［故UDI-BBIM=

又AOiMB中，=3,BM=V5>BC1=4.

DM2+BD2-BM29+16-55

由余弦定理知:cosZ-MDB=11

12O1MBO12X3X46

2

则sin/MDiB=yjl-COS/LMDXB=华,

故SAB〃M=・|D】M|•sinzMDfi=VIL

故Bi到平面的距离d=罢辞=第=等,

即点A到平面的距离为誓.

解析：本题考查了线面平行的判定和空间中的距离，是基础题.

(1)连接4G交BDi于点O,则。为4G中点，连接0M,由中位线得〃/IB1，由线面平行的判定

即可得证；

（2）4当〃平面8D1M,则4到平面BDi"的距离与当到平面SQM的距离相等.由％广880=

利用等体积法可得点A到平面BAM的距离.

底面半径为r,侧面积为S,

则C）2+"=R2

即八=2JR2一产

vS=2nrh=4nr-yJR2-r2

—4兀〃2.（R2一/）

<4TTR+R^-R,=2n7?2,

当且仅当产=/?2一产时取等号,

此时内接圆柱底面半径衅R,高为血

解析：本题是基础题，考查球的内接圆柱的知识，球的表面积，圆柱的侧面积的最大值的求法，考

查计算能力，常考题型.

设圆柱的高为〃，底面半径为r,侧面积为S,则S=4zrjr2.（一一产）,利用基本不等式求最值即

可.

19.答案：解：（1）由图可知，图①几何体的为半径为R的半球,

图②几何体为底面半径和高都为R的圆柱中挖掉了一个圆锥，

与图①截面面积相等的图形是圆环（如阴影部分），

证明如下：

在图①中，设截面圆的圆心为。1，易得截面圆0