第13讲 指数及其运算 2024-2025年新高一暑假自学课（教师版）

第13讲指数及其运算1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义并掌握幂的运算；2.能准确掌握根式的运算性质及分数指数幂与根式的互化，熟练掌握幂的运算性质进行幂的运算.1n次方根一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0.注意：(1)(n(2)当n是奇数时，nan=a，当2分数指数幂的意义(1)正数的正分数指数幂的意义，规定：am巧记“子内母外”(根号内的m作分子，根号外的n作为分母)(2)正数的负分数指数幂的意义：a−(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.3无理数指数幂一般地，无理数指数幂ax(a>0，4实数指数幂的运算性质①as∙ar②as③(ab)r=

【题型一】根式的概念和性质相关知识点讲解n次方根一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0.(1)(na)n=a(2)当n是奇数时，Eg：2−π2=2−π=π−2【典题1】已知函数f(x−1)=5(x−π)5A．2π−3 B．−3 C．3 【答案】C【分析】根据函数的解析式的求法和根式的运算求解.【详解】f(x−1)=x−π+π所以f(2)=3，故选:C.变式练习1.已知x≠0且4xA．x<0 B．x>0 C．x≥0 D．x≤0【答案】A【分析】根据根式运算性质，得到2x【详解】因为4x2=2又因为x≠0，解得x<0.故选：A.2.当−x+1有意义时，化简x2−8x+16−A．2x−7 B．−2x+1 C．−1 D．7−2x【答案】C【分析】根据根式有意义求得x的范围，化简所求根式即可.【详解】因为−x+1有意义，所以−x+1≥0，则x≤1，则x=4−x−(5−x)=−1，故选：C.3.若ab<0，则化简a−baA．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】先化简得出a−【详解】a=aa−ab因为ab<0，所以a,b异号，ab所以aa所以，a−故选：B.4.(多选)若4a2−4a+1=3A．−1 B．−12 C．1【答案】ABC【分析】应用根式的运算即可.【详解】∵4a2−4a+1=故选：ABC【题型二】根式与分数指数幂的互化相关知识点讲解①正数的正分数指数幂的意义，规定：am巧记“子内母外”(根号内的m作分子，根号外的n作为分母)Eg：x=x12，3x②正数的负分数指数幂的意义：a−Eg：x−③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.【典题1】(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(

)A．3aa=C．x−12【答案】ACD【分析】利用根数与指数幂的运算可判断各选项的正确.【详解】对于A选项，3a对于B选项，x−对于C，x−对于D，3−x故选：ACD．变式练习1.481的运算结果是(

A．3 B．−3 C．±3 D．以上都不对【答案】A【分析】直接根据指数的运算即可得结果.【详解】481故选：A.2.将17a4A．a47 B．a−47 【答案】B【分析】根据根式与指数幂的互化即可求解.【详解】将17a4故选：B.3.若m−2n=1，则4n38A．1 B．22 C．12 【答案】C【分析】利用根式与分数指数幂的互化与运算法则即可得解.【详解】因为m−2n=1，则2n−m=−1，所以4n故选：C.4.已知a>0，b>0，则a85【答案】1【分析】借助指数幂的运算性质，计算即可.【详解】a故答案为：1.【题型三】利用指数幂的性质化简相关知识点讲解实数指数幂的运算性质①as∙②as③(ab)【典题1】(1)27(2)已知0<x<1，且x+x−1=3(3)已知x=12，y=2【答案】(1)8548(2)−1【分析】(1)根据指数的运算性质求解即可；(2)先求x12−x−【详解】(1)原式===53(2)∵x+x∴x又∵0<x<1，0<x1∴x12−x(3)∵x=12x+y=4xyx−y=41变式练习1.计算：(3A．3+2 B．3−2 C．−3【答案】A【详解】原式=[(3故选：A．2.若10x=2，则A．8 B．－8 C．18 D．【答案】C【详解】∵10x=2，则103.求值：(23A．1615 B．31730 C．【答案】A【详解】(23故选：A．4.计算(−64)13+A．−132 B．−112 C．【答案】C【分析】利用指数运算及根式运算计算即得.【详解】(−64)1故选：C5.设x∈R且x≠0，若x+x−1=3A．2 B．5 C．6 D．7【答案】D【详解】∵x∴当n=1时，x当n=2时，x当n=3时，x归纳x2n+故选：D．6.(多选)已知实数a满足a+a−1=4A．a−a−1=23C．a12+【答案】BCD【分析】运用幂的乘方公式，完全平方公式以及立方和公式建立a+a−1，a−a−1，a1【详解】因为a+a−1=4对于A选项，由a−a−12对于B选项，a2对于C选项，由a12+a−12对于D选项，因a3故选：BCD.7.设α，β为方程x2−12x+9=0的两个根，求【答案】5【分析】利用韦达定理及指数幂的性质化简求值即得.【详解】因为α3而α，β为方程x2−12x+9=0的两个根，所以α+β=12，所以α>0，β>0，且由(α可得(α+β所以原式=12+3【题型四】指数幂性质的应用【典题1】若实数x，y满足4x+4y=2A．12 B．1 C．32 【答案】C【分析】令2x+2y=t(t>0)，由条件用t【详解】因为4x+4所以2x设2x+2y=t(t>0)因为0<2×2即0<t2−2t≤t2解得2<t≤4，2x−1+2y−1故选：C.【典题2】解方程：(2−【答案】x=±2【分析】根据题意可知，2−3×2+3=1【详解】令(2−3)当(2−3)x=2−3时，故x=±2.变式练习1.(多选)已知实数a,b满足等式12a=14A．0<a<b B．0<b<a C．a<b<0 D．a=b【答案】BCD【分析】先由等式12a=14b，得出a=2b；对于选项A和B，分析【详解】因为12a=对于选项A和B，当a>0,b>0时，a=2b，只能0<b<a，选项A不成立，选项B正确；对于选项C，当a<0,b<0时，a=2b，只能a<b<0，选项C正确；对于选项D，当a=b时，且a=2b，只能a=b=0，等式12故选：BCD．2.已知函数fx=2x−12xA．12 B．−12 C．−17 D．17【答案】C【分析】令gx【详解】令gx=2g−x=2∴fx=gx−6，即∴f2故选：C3.已知3a−1+3A．120 B．210 C．336 D．504【答案】C【详解】∵3a−1∴9⋅3a+3⋅3a+3∴(a故选：C．4.德国大数学家高斯被誉为数学界的王子.在其年幼时，对1+2+3+⋅⋅⋅+99+100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，此方法也称为高斯算法.现有函数fx=4x4【答案】2023【分析】根据题意，求得fx【详解】由函数fx=4令S=fS=f2023两式相加，可得2S=2023，所以S=2023故答案为：202325.已知2a⋅【答案】证明见解析【分析】将题设中的等式化为2a−1⋅3【详解】证明：因为2a故2a−1所以2a−1所以2a−1故2a−1a−11−d故a−1d−1【A组基础题】1.下列各式正确的是(

)A．3−8=6C．nan=【答案】D【分析】利用根式的运算性质即可判断出正误.【详解】3−8=−2，(3−π∵n>1,n∈N∗，∴当n为奇数时，nan=a(n故选：D.2.若1−2x−34有意义，则xA．x∈R B．x≠12 C．x≤1【答案】D【分析】根据把分数指数幂化成根式，从而可得到x的取值范围，故可得正确的选项.【详解】因为1−2x−34=1故选：D.3.若x+x−1=3，则xA．12 B．513 C．45【答案】A【分析】将x+x−1=3【详解】将x+x−1=3两边平方，得x所以x2故选：A.4.已知2a=3A．a+b=ab B．a+b>4C．a−12【答案】C【详解】∵2a=∴2ab=∴2∴6∴ab=a∵a≠b∴a∴a∵a2+故选：C．5.(π−4)2【答案】1【分析】由根式的运算性质求解即可.【详解】(π故答案为：16.若2x=8y+1，且9y【答案】27【详解】∵2x=8又9y=3x联立x=3y故答案为277.已知fx=4ax【答案】198【分析】观察所求式子猜测fx+f1−x可能为定值，通过验算可知f【详解】因为f=4a又f0.50所以f=f故答案为：198.8.(1)已知10m=2,10(2)求值：4【答案】(1)89；(2)【分析】(1)(2)根据题意结合指数运算性质分析求解.【详解】(1)由题意可得：103m−2n(2)由题意可得：原式229.已知正实数a满足a1(1)求a+a(2)求a3【答案】(1)3(2)4【分析】(1)将a12−(2)根据平方关系可得a1【详解】(1)将a12−所以a+a(2)因为a是正实数，令a1则x2=a+a可得a3所以a3【B组提高题】1.正实数x1,x2及函数f(x)满足4xA．4 B．2 C．45 D．【答案】C【详解】由已知4x=1+由f于是可得：2(4所以得：4x1设4x