第11讲 函数的奇偶性 2024-2025年新高一暑假自学课（教师版）

第11讲函数的奇偶性1.了解函数奇偶性的含义，了解奇函数、偶函数的图象的对称性；2.会用定义判断函数的奇偶性；3.会依据函数的奇偶性进行简单的应用.1函数奇偶性的概念(1)一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有−x∈I，且f(−x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.(2)一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有−x∈I，且f(−x)=−f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.2性质①偶函数关于y轴对称；②奇函数关于原点对称；③若奇函数f(x)定义域内含有0，则f(0)=0；④在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数．3判断函数奇偶性的方法①定义法先判断定义域是否关于原点对称，再求f(−x),看下与f(x)的关系：若f−x=f(x)，则y=fx是偶函数；若f②数形结合若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于y轴对称，则函数是偶函数.③取特殊值排除法(选择题)比如：若根据函数得到f(1)≠f(−1)，则排除f(x)是偶函数.④性质法偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；奇函数的和、差(分母不为0)仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数；一个奇函数与偶函数的积为奇函数.对于复合函数Fxg(x)f(x)F偶函数偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数偶函数

【题型一】定义法判断函数的奇偶性相关知识点讲解1函数奇偶性的概念(1)一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有−x∈I，且f(−x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.(2)一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有−x∈I，且f(−x)=−f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.由奇偶函数的概念可知道其定义域I是关于原点对称的.注①从定义可知，若x是函数定义域中的一个数值，则−x也必然在该定义域中．故判断函数的奇偶性的前提是：定义域关于原点对称．如fx②函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数．从定义可知，既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即f(x)=0，x2定义法判断函数的奇偶性先判断定义域是否关于原点对称，再求f(−x),看下与f(x)的关系：若f−x=f(x)，则y=fx是偶函数；若f【典题1】(2024·重庆·三模)设函数fx=2−x2+x，则下列函数中为奇函数的是(A．fx−2+1 C．fx+2+2 【答案】A【分析】首先推导出f−4−x+fx=−2，即函数fx的对称中心为−2,−1，再根据函数的平移只需将函数fx向右平移2个单位，向上平移【详解】因为fx=2−x则f−4−x+fx=−1+4−x−2−1+所以将函数fx向右平移2个单位，向上平移1个单位，得到函数y=f该函数的对称中心为0,0，故函数y=fx−2故选：A.变式练习1.下列函数是奇函数的是(

)A．fx=xC．fx=x【答案】C【分析】根据奇函数的定义判断即可.【详解】对于A，因为fx=x2+1的定义域为R对于B，因为fx=x3−1的定义域为R对于C，因为fx=x3+1x对于D，因为fx=x4+2x2故选：C.2.(多选)下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)单调递增的是(

)A．y=x2−1 B．y=x−2 C．y=【答案】AC【分析】利用函数式直接判断奇偶性排除BD，再判断单调性即可得解.【详解】函数y=x−2是非奇非偶函数，y=x+1x是显然函数y=x2−1、y=|x|都是故选：AC【题型二】函数奇偶性的性质相关知识点讲解①偶函数关于y轴对称；②奇函数关于原点对称；③若奇函数f(x)定义域内含有0，则f(0)=0；证明∵f(x)为奇函数，∴f−x令x=0，则f−0=−f(0)，即f0④在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数．【典题1】函数fx=xA．

B．

C．

D．【答案】A【分析】先运用奇偶性排除CD选项，然后再运用特殊值(范围)排除B选项，从而得出答案.【详解】解：函数fx=x因为f−x故函数为奇函数，关于原点对称，故排除C、D两个选项；又因为当0<x<1时，1−x故此时fx故排除B选项.故选：A.【典题2】若函数fx=x2x−1x+aA．12 B．23 C．3【答案】A【分析】根据奇函数的定义可得−x−2x−1−x+a=−【详解】由函数fx=x所以−x−2x−1所以−x2x−1x+a=−x所以2a−1=0，即a=1经验证fx=x2x−1x+故选:A．变式练习1.函数fx=xA．y轴对称 B．直线y=−x对称 C．坐标原点对称 D．直线y=x对称【答案】C【分析】判断函数的奇偶性，即可得解.【详解】因为fx=x且f−x所以fx故选：C2.fx是定义在R上的奇函数，下列结论中正确的是(

A．f−x+fxC．f−x⋅fx【答案】C【分析】根据奇函数的性质得到f−x=−fx【详解】因为fx是定义在R所以f−x=−fx则f−x又f−x因为当x=0时，f0=0，此时式子故选：C.3.函数f(x)=3xx2A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据函数的奇偶性即可排除AC，根据x>0时f(x)>0可排除D.【详解】f(−x)=3−x−x由于当x>0时，f(x)=3x故选：B4.已知函数f(x)=x3+ax+b为奇函数，则b=A．−1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根据奇函数性质知，f(0)=0，代入求得参数值.【详解】因为f(x)=x3+ax+b所以f(0)=0，所以b=0，经检验符合题意．故选：B．5.(2024·山东·二模)已知函数fx是偶函数，且该函数的图像经过点M2,−5，则下列等式恒成立的是(A．f−5=2 C．f−2=5 【答案】D【分析】根据函数为偶函数，得到f−2【详解】因为函数fx是偶函数，且该函数的图像经过点M所以f−2故选：D6.设函数fx=ax3−x−3+a，若函数A．−1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根据f(x−1)的图象关于点(1,0)对称可得f(x)为奇函数，进而求得a即可【详解】因为函数f(x−1)的图象关于点(1,0)对称，故函数f(x)的图象关于点(0,0)对称，即f(x)为奇函数，故f(−x)+f(x)=a(−x)所以a=0.故选：B.【题型三】利用奇偶性求解析式【典题1】已知fx是定义在R上的奇函数，且x≤0时，fx=3x2−2x+m，则A．1 B．8 C．−5 D．−16【答案】C【分析】根据题意可知f(0)＝0可求m的值，根据x≤0时的解析式，结合f(x)是奇函数可求x＞0时f(x)的解析式，判断f(x)在[1，2]上单调性即可求其最大值.【详解】∵fx是定义在R上的奇函数，∴f又∵x≤0，fx=3x2∴x≤0时，fx设x>0，则−x<0，则f−x则fx即当x＞0时，fx=−3x2−2x，∴f(x)在1,2上单调递减，∴f(x故选：C.变式练习1.已知偶函数fx，当x>0时，fx=x2+x，则当A．−x2+xC．x2+x 【答案】D【分析】设x<0，可得出−x>0，求出f−x的表达式，利用偶函数的性质可得出函数fx在【详解】当x<0，则−x>0，f−x又fx为偶函数，所以，当x<0时，f故选：D.2.已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx=ax+1，若f−3=8A．−∞，−5C．−∞，−5【答案】A【分析】根据题意，由条件可得a=−3，再由函数的奇偶性可得x<0时的解析式，然后分情况解出不等式即可.【详解】因为函数fx所以f−3=−f3则3a+1=−8，即a=−3，即当x>0时，fx设x<0，则−x>0，则fx则当x>0时，由fx>14可得当x<0时，由fx>14可得所以不等式得解集为−∞，故选：A3.已知fx,gx分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且fx−gA．1 B．3 C．−3 D．−1【答案】D【分析】利用两函数的奇偶性，根据已知等式，构造另一个等式，联立求出函数解析式，代入自变量的值计算即得.【详解】因fx,gx分别是定义在R由fx−gx=x3+x2由①②联立可求得：f(x)=x2,g(x)=−故选：D.4.已知函数y=fx在R上是奇函数，当x>0时，fx=2xA．−1,1 B．−1,0C．−∞,−1∪【答案】C【分析】由题意先得fx【详解】由题意已知函数y=fx在R上是奇函数，当x>0时，f所以当x=0时，fx当x<0时，−x>0，fx当x≥0时，若xfx>0，只需x>0，fx当x<0时，若xfx>0，只需fx综上所述，不等式xfx>0的解集是故选：C.5.已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx=x³−a+1x+a，则关于x【答案】(−【分析】根据给定条件，求出函数f(x)的解析式，再解不等式即得.【详解】由f(x)为定义在R上的奇函数，得f(0)=a=0，则当x≥0时，f(x)=x当x<0时，−x>0，f(x)=−f(−x)=−[(−x)当x≥0时，由f(x)<0，即x3−x<0，则x2当x<0时，由f(x)<0，即x3−x<0，则x2所以不等式f(x)<0的解集是(−∞故答案为：(−6.设函数fx=x+12+x2021【答案】2【分析】构造函数gx=2x+x2021【详解】fx设gx=2x+且g−x=−2x+∴gx则fx=gx+1，所以所以fx所以M+m=2.故答案为：2.【题型四】函数的奇偶性与单调性的综合【典题1】若定义在−∞,0∪0,+∞上的奇函数fx，对任意x1>xA．−2,0∪0,2 C．−∞,−2∪【答案】B【分析】根据题意，设g(x)=f(x)x，x≠0，分析【详解】根据题意，设g(x)=f(x)x，f(x)是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)故g(−x)=f(−x)−x=g(x)由题意当x1>x2>0时，有g(又由g(x)为偶函数，则g(x)在(−∞又由f2=4，则gf(x)<2x⇔g(x)=f(x)x必有−2<x<0或x>2，即x的取值范围为−2,0∪故选：B．【典题2】(2024·山东济南·二模)已知函数fx的定义域为R，若f−x=−fx,fA．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】利用奇偶性和对称性求得函数周期为4，然后由周期性和奇函数的性质可得.【详解】因为f1+x所以f1+1+x=f又f−x=−fx，函数f所以，fx是定义域为R的奇函数，所以f0=0所以，f2+x=−f4+x所以fx所以f2024故选：A【典题3】已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(1)求函数fx(2)若f2a−1+f4a−3【答案】(1)f(2)2【分析】(1)利用奇函数的性质可得出f0=0，利用奇函数的性质可求出函数fx在x<0时的解析式，即可求得函数f(2)分析函数fx在R上的单调性，将所求不等式变形为f4a−3>f【详解】(1)解：因为函数fx是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f当x=0时，f(0)=0；当x<0时，−x>0，则f−x=−x又f0=0满足fx(2)解：因为fx=−x2由奇函数的性质可知，函数fx在−又因为函数fx在R上连续，故函数fx在由f2a−1+f4a−3所以，4a−3>1−2a，解得a>23，因此，实数a的取值范围是变式练习1.如果奇函数fx在2,5上是减函数且最小值是4，那么fx在−5,−2上是(A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4【答案】B【分析】根据奇函数的对称性，在区间2,5上的性质，可得到函数在区间−5,−2上的性质，即可求解.【详解】由题意，奇函数fx在区间2,5上是减函数，根据奇函数的对称性，可得函数f区间−5,−2上也是减函数，又由奇函数fx在区间2,5即f5=4，所以f−5=−f5最大值为f−5故选：B.2.奇函数fx在3,7上是增函数，在3,6上的最大值是8，最小值为−1，则2f−6+fA．−5 B．−10 C．−15 D．5【答案】C【分析】根据函数奇偶性和单调性，得到f−3【详解】因为奇函数fx在3，7上是增函数，故f因为fx在3,6上的最大值是8，最小值为−1，所以fx在即f−3=1,f−6故选：C3.已知函数fx=x3+x−1A．a+b<0 B．a+b>0 C．a−b+1>0 D．a+b+2<0【答案】A【分析】设gx=fx+1，则条件即为ga【详解】设gx=fx+1，则从而条件fa+fb+2<0等价于ga+gb<0，即条件等价于a+b<0，取a=−1，b=0，此时B，C，D均不成立，故B，C，D错误.故选：A.4.(多选)已知fx是R上的奇函数，且当x∈0,+∞时，fA．fB．fx的递增区间为C．fx的递减区间为D．若fx在区间0,m上的值域为−1,0，则实数m的取值范围为【答案】ACD【分析】求出f5的值，再由奇函数的性质计算f−5，可判断A选项；求出fx在R上的解析式，由二次函数的性质可求出单调区间，由此可判断BC选项；分析函数f【详解】解：∵fx是奇函数，x∈0,+∴f−5令x<0则−x>0，由于函数fx为奇函数，故fx=−f所以函数fx的解析式为f(x)=当x∈−∞,0时，fx=−x2当x∈0,+∞时，fx=x且fx在x=0处有意义，所以fx的递增区间为−∞,−1,当x∈0,+∞时，fx=x∵f0=f2=0,f1故选：ACD.5.(多选)已知函数fx的定义域为R，fx+1为奇函数，fx+2为偶函数，且对任意的x1,x2A．fx是奇函数 B．C．fx的图象关于1,0对称 D．【答案】BC【分析】根据函数f(x)的奇偶性和题设条件，推得f(x)是周期为4的周期函数，结合周期函数的性质求值，利用单调性比较大小，逐项判定即可求解.【详解】因为f(x+1)为奇函数，所以f−x+1=−fx+1,即函数f由函数fx关于1,0对称可知f又因为fx+2f−x+2=fx+2，即函数f(x)则f−x所以fx+4=−fx+2所以fx+4=−fx+2所以f2023=f4×505+3所以f1=−f1,所以ff−x对任意的x1,x2∈1,2,且则fx1−fx2又由函数fx关于1,0对称，所以fx在又fπ=fπ所以f(4−π)<f4−故选：BC6.已知偶函数fx在0,+∞上单调递减，若fx−2>f3，则【答案】−1,5【详解】∵偶函数fx在0,+∞单调递减，∴不等式fx−2>f3等价为fx−2>f3，则x−2<3，即7.(2024·广东佛山·二模)已知定义在R上的偶函数fx在0,+∞上单调递减，且f1=2，则满足fx【答案】−1,1【分析】结合偶函数的性质可得fx【详解】由fx为偶函数且在0,+∞上单调递减，故fx又f1=2，故当fx又f−x=fx，故f故x的取值范围为−1,1.故答案为：−1,1.8.已知函数fx=x(1)判断并证明函数fx在0,+(2)令函数ℎx=x2+1x【答案】(1)函数fx在0,1上单调递减，在1,+(2)[−【分析】(1)根据题意，得到f−1=−2和f1(2)由函数ℎx=x2+1x2−2tx+1【详解】(1)解：由函数fx=x可得f1=2，则2−a+b=−22经检验，有解析式可知，定义域x|x≠0，关于原点对称，可得fx+f−x函数fx在0,1上单调递减，在1,+证明如下：任取x1,x则fx因为x1,x2∈0,1，且所以x1x2−1<0，所以所以函数fx在0,1上单调递减，同理可证明函数fx在(2)解：由题意，函数ℎx=x2+由(1)可知函数z=x+1x在12,1上单调递减，在因为函数y=z2−2tz−2所以函数y=z2−2tz−2当z=2时，y=z2−2tz−2当z=52时，y=z所以ℎxmin=−4t+2又因为对任意的∀x1,所以ℎxmax−ℎxmin又因为t<0，所以−32≤t<0，所以实数t9.已知函数fx=x(1)判断函数fx(2)用定义法证明：函数fx在−2,2(3)求不等式ft【答案】(1)fx(2)证明见解析(3)t【分析】(1)根据f−x(2)任取x1,x2∈(−2,2)(3)先得到f(x)=x4−x【详解】(1)由f−x+fx=−x(2)任取x1,xfx因为x1,x故x1−x2<0，x1x所以x1−x故函数f(x)在(−2,2)上单调递增；(3)由(1)(2)f(x)=x4−xf(t)+f(1−2t)>0变形为f(t)>−f(1−2t)=f2t−1则要满足−2<2t−1<2−2<t<2t>2t−1，解得：故不等式的解集为t【A组基础题】1.下列函数中，既是奇函数，又在区间0,+∞上是减函数的是(

A．y=x B．y=x3 C．y=【答案】D【分析】利用基本初等函数的奇偶性和单调性逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，设fx=x，该函数的定义域为R所以，函数y=x为偶函数，且当x>0时，y=x，即函数y=x在对于B选项，函数y=x3为奇函数，且该函数在对于C选项，函数y=x2为偶函数，且该函数在对于D选项，函数y=−3x为奇函数，且该函数在0,+∞故选：D.2.已知函数fx=a−12xA．12 B．−12 【答案】B【分析】利用奇函数的定义可得a−2x1−【详解】f−x得2a=12x故选：B.3.已知函数fx的定义域为R，且fx−f2−x=0，fA．−1 B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】根据给定条件，结合奇函数的定义探讨函数fx【详解】因为fx−f2−x所以函数fx关于x=1因为fx+2−2为奇函数，所以令x=0，则f2−2=−f2+2，所以所以fx=−fx+2所以fx+4所以函数fx是以4是以f2024故选：D.4.在R上定义的函数fx是偶函数，且fx=f2−x，若fx在区间1,2A．在区间0,1上是增函数﹐在区间3,4上是增函数B．在区间0,1上是增函数，在区间3,4上是减函数C．在区间0,1上是减函数，在区间3,4上是增函数D．在区间0,1上是减函数，在区间3,4上是减函数【答案】B【分析】根据函数关于y轴和x=1轴对称，利用已知区间的单调性求解.【详解】因为fx=f2−x，所以函数f(x)所以区间[0,1]与区间1,2，区间[−2,−1]与3,4关于x=1对称，由函数fx在区间1,2上是减函数，可知函数在[0,1]又函数fx是偶函数，所以函数fx在所以函数fx在3,4故选：B5.(多选)已知函数y=fx是定义在R上的奇函数，则下列说法正确的是(

A．fB．fC．若fx在−∞,0上有最小值−2，则fD．若fx在−∞,0上单调递增，则f【答案】BC【分析】由奇函数的定义和图象的对称性可依次判断各个选项.【详解】对于A，由奇函数定义可得f−2=−f2，若f对于B，由奇函数定义可得f0=−f0对于C，由奇函数图象关于原点对称，可知C正确；对于D，由奇函数图象关于原点对称，可知fx在0,+故选：BC.6.已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx=−x5【答案】4【分析】由奇函数性质可求得a的值，结合f−a【详解】由题得f0=a−1=0，解得所以当x≥0时，fx所以f−a故答案为：4.7.奇函数fx满足f4−x=fx【答案】−1【分析】直接由函数的对称性、奇函数的性质进行转换运算即可.【详解】由f4−x=fx可得fx的图象关于直线故答案为：−1.8.已知函数fx=x+a(1)求实数a和b；(2)判断并证明函数fx在(1,+【答案】(1)a=b=0(2)证明见解析【分析】(1)根据奇函数的性质由条件列方程求a和b；(2)根据单调性的定义证明即可.【详解】(1)因为fx所以f(−x)=−fx，即−x+a所以x−ax2+bx+1所以a=b=0，fx(2)fx=x证明：任取x1,x则f因为x2所以x2−x1>0所以fx1−f所以fx在(1,+9.已知fx为R上的奇函数，当x>0时，f(1)求f−1(2)求fx(3)写出解不等式xfx【答案】(1)1(2)f(3)−【分析】(1)利用奇函数的性质可求得f−1(2)设x<0，则−x>0，利用奇函数的性质可得出函数fx在x<0时的解析式，再由设f0=0(3)分x≥0、x<0两种情况解不等式xfx【详解】(1)解：因为函数fx为R上的奇函数，当x>0时，f则f−1(2)解：因为函数fx为R当x<0时，−x>0，则fx又因为f0=0满足fx(3)当x≥0时，xfx=xx2−2x≥0，可得此时，x=0或x≥2；当x<0时，xfx=x−x2−2x=−x此