第09讲 函数的概念及其表示 2024-2025年新高一暑假自学课（学生版）

第09讲函数的概念及其表示1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素；2.能正确使用区间表示数集，会求简单函数的定义域、函数值和值域；3.掌握函数的三种表示方法—解析法、图象法、列表法；4.了解两个函数相等的意义，会判断给定两个函数是否为同一个函数；5.会求函数的解析式，并正确画出函数的图象.一函数的概念1概念设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x),x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合2定义域①概念：函数自变量x的取值范围.②求函数的定义域主要应考虑以下几点(1)若f(x)为整式，则其定义域为实数集R．(2)若f(x)是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合．(3)若f(x)为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合．(4)若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．[(5)实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．3值域 ①概念：函数值y的取值范围②求值域的方法(1)配方法(2)数形结合(3)换元法(4)函数单调性法(5)分离常数法(6)基本不等式法4函数的表示方法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.5分段函数有些函数在其定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数．

【题型一】函数概念的理解相关知识点讲解函数的概念设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x),x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合比如(1)贵哥西藏骑旅中，以15km/ℎ的速度从大理去相距180km的丽江，出发t小时后行驶的路程是skm，则s是t的函数，记为s=12t，定义域是{t|0≤t≤12}，值域为{s|0≤s≤180}．对集合{t|0≤t≤2}中的任意一个实数，在集合{s|0≤s≤180}中都有唯一的数s=12t和它对应．(2)①“A,B是非空的数集”，一方面强调了A,B只能是数集，即A,B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集．②函数中，集合A,B间元素的对应可以是一对一、一对多，不能多对一，集合B中的元素可以在集合A没元素对应.③函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．【典题1】下列式子中y是x的函数的是()A．x2+y2=2B．x−1【典题2】若函数y=fx的定义域为x|0≤x≤1，值域为y|0≤y≤1，那么函数y=fx的图象可能是(A．

B．C．

D．变式练习1.(多选)集合A，B与对应关系f如图所示，则f:A→B是从集合A到集合B的函数的是(

)A．

B．

C．

D．

2.下列变量x与y的关系式中，不能构成y是x的函数关系的是()A．x−y=1 B．x2−y=1 C．x−2y3.下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是(

)A． B．C． D．4.已知A=0,1,2，B=0,1,2,2,4，下列对应关系不能作为从A到A．f:x→y=x B．C．f:x→y=1x 【题型二】求函数的定义域相关知识点讲解定义域①概念：函数自变量x的取值范围.②求函数的定义域主要应考虑以下几点(1)若f(x)(2)若f(x)(3)若f(x)(4)若f(【典题1】函数fx=−A．−1,4B．−1,0∪0,4C．−4,1 【典题2】函数y=fx+2的定义域为0,2，则函数y=f2x的定义域为(A．−4,0 B．−1,0 C．1,2 D．4,8变式练习1.函数y=x−1+3A．1,+∞ B．2,+∞ C．1,2∪2.fx=4−A．−2,+∞ B．−2,2 C．−2,2 D．3.已知函数f(x)的定义域为[−1,2]，则f(3−2x)的定义域为(

)A．[12,2] B．[−1,2] C．[−1,5]【题型三】判断两个函数是否同一函数相关知识点讲解两个函数的定义域和解析式均相同，则该两个函数为同一函数.【典题1】下列函数中表示同一函数的是(

)A．f(x)=x4,g(x)=C．f(x)=x2+x变式练习1.下列各组函数相等的是(

)A．fx=x2，gxC．fx=1，gx=x2.(多选)下列四组函数中，表示同一函数的是(

)A．fx=x2+1，gC．fx=x，gx=【题型四】求函数的值域相关知识点讲解①概念：函数值的集合fx②求值域的方法(1)配方法(2)数形结合(3)换元法(4)函数单调性法(5)分离常数法(6)基本不等式法【典题1】下列函数的定义域与值域相同的是(

)A．y=x+1 B．y=2C．y=x2−6x+7【典题2】函数fx=x−42x+5在【典题3】函数f(x)=2x−x−1的值域为()A．(－∞,2] B．[58,2] C．[2,+∞)变式练习1.函数f(x)=1A．(0,1)B．(0,1]C．[0,1)D．[0,1]2.函数fx=xA．−1,0 B．0,8 C．1,8 D．−1,83.已知y=3x+1x−1则y的取值范围是(A．y>3B．y<3C．y≠3 D．y≥34.函数f(x)=(x2A．(−∞,−1] B．[−1,+∞) C．[24,+∞) D．(24,+∞)5.函数fx=−xA．0,2 B．0,+∞ C．2,+∞ 6.函数y=2x+1−2x的值域是.【题型五】求函数的解析式【典题1】求下列函数的解析式(1)若fx+1=x+(2)已知fx是一次函数，且ff变式练习1.已知f(x)是二次函数且f(0)=2，f(x+1)−f(x)=x−1，求f(x).2.已知函数f(x+1)=2x−1，求函数3.已知一次函数f(x)满足f(f(x))=x+3.(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)=xf(x)−14.已知定义在R上的函数fx，满足f(1)求fx(2)若点Pa,b在y=fx图像上自由运动，求【题型六】与分段函数有关的问题相关知识点讲解定义：有些函数在其定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数．Egf(x)=|x|=&x,   x≥0&−x, x<0，【典题1】已知函数fx=2x2A．4 B．3 C．2 D．1【典题2】已知函数fx=3a−1x+4a,x<2x+1,x≥2的值域为RA．13,12 B．13,+变式练习1.已知函数fx=fx−2,x≥0A．14 B．5 C．1 D．−12.设函数fx=x+1,x≤0x−1,x>0A．4 B．3 C．2 D．13.函数fx=xA．−1,3 B．−1,4 C．−2,4 D．−2,24.已知函数fx=3x+1，x≤1x2−1，x>1，若A．1912 B．5−1 C．17125.已知函数f(x)=x2−6x+6,x≥03x+4,x<0，若互不相等的实数x1,A．(113,6) B．(−13,【A组基础题】1.已知集合A=x|y=x+1，B=y|y=x2A．0,1 B．(−∞,1) C．−1,1 2.若函数f(x)满足f(3x+2)=9x+8，则f(x)是()A．f(x)=9x+8B．f(x)=3x+2 C．f(x)=﹣3x﹣4 D．f(x)=3x+2或f(x)=﹣3x﹣43.已知函数f(x)=x2−2x−2,x∈[−2,2]，函数f(x)A．[−3,6] B．[−2,6] C．[2,10] D．[1,10]4.已知函数fx=x2−4x+6,x≥0A．−3,1∪3,+∞C．−1,1∪3,+∞5.函数fx=xA．−1,+∞ B．3,+∞ C．−1,0 6.函数y=x−4|x|−5的定义域为7.给出下列4个函数：①y=3−x；②y=x2+2x；③y=−2x﹔④y=8.已知函数f(x)是一次函数，且满足f(x−1)+f(x)=2x−1.求f(x)的解析式.9.某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为42万元，且每生产1百台的生产成本为15万元(总成本固定成本生产成本)．销售收入R(x)(万元)满足R(x)=&−6x2(1)写出利润函数y=f(x)的解析式(利润销售收入总成本)；(