第01讲 集合的概念 2024-2025年新高一暑假自学课（教师版）

第01讲集合的概念1.通过实例了解集合的定义，体会元素与集合间的属于关系；2.能通过自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，感受集合的意义和作用.1元素与集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员).2集合的元素特征①确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.

②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.

③无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.3元素与集合的关系若a是集合A的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；

若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A.

4常用数集

自然数集(或非负整数集)，记作N；正整数集，记作N∗有理数集，记作Q；实数集，记作R. 5集合的分类有限集，无限集，空集∅.6集合的表示方法①列举法

把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法.②描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.

方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

一般格式：{x

【题型一】集合的概念相关知识点讲解1元素与集合的概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a,b,c…表示；(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合，常用大写的拉丁字母A,B,C…表示.比如：四十个学生组成的高一(1)班中，班级就是个集合，每个学生就是其中的元素.2集合的元素特征①确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.

Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故“帅哥”不能组成集合.②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.

Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名"熊大""熊二"，以视区别.若集合A={1，2，a}，就意味a③无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，1，2，3={2，3，1}【典题1】(多选)下列说法正确的是(

)A．我校爱好足球的同学组成一个集合B．{1,2,3}是不大于3的正整数组成的集合C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合D．数1，0，5，12，32，64【答案】BC【分析】根据集合的元素的特征逐一判断即可.【详解】我校爱好足球的同学不能组成一个集合；{1,2,3}是不大于3的正整数组成的集合；集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合；由于32=64,12=1故选：BC变式练习1.下列对象中不能构成一个集合的是(

)A．某校比较出名的教师 B．方程x−2=0的根C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形【答案】A【分析】根据集合的性质判断各项描述是否能构成集合即可.【详解】A：比较出名的标准不清，故不能构成集合；B：x−2=0⇒x=2，方程根确定，可构成集合；C：不小于3的自然数可表示为{x∈ND：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合.故选：A2.(23-24高一上·天津南开·期中)下列给出的对象能构成集合的有(

)①某校2023年入学的全体高一年级新生；②2的所有近似值；③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式3x−10<0的所有正整数解A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据集合的定义判断即可.【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确；对于②：2的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误；对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误；对于④：不等式3x−10<0的所有正整数解有1、2、3，能构成集合，故④正确；故选：B3.若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是()A．矩形 B．平行四边形C．菱形 D．梯形【答案】D【详解】由于集合中的元素具有“互异性”，故a，b，c，d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等.选D.4.(23-24高一上·安徽蚌埠·阶段练习)下列各组对象能构成集合的是(

)A．充分接近5的所有实数 B．所有的正方形C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，4【答案】B【分析】根据构成集合元素的特征满足确定性、互异性判断各选项即可.【详解】对于A，充分接近5的所有实数不能满足集合元素的确定性，故A错误；对于B，所有的正方形可以构成一个集合，故B正确；对于C，著名的数学家不能满足集合元素的确定性，故C错误；对于D，元素有重复，不满足集合元素的互异性，故D错误.故选：B.【题型二】元素与集合间的关系相关知识点讲解1常用数集自然数集(或非负整数集)，记作N；正整数集，记作N∗或N+；整数集，记作有理数集，记作Q；实数集，记作R. 2元素与集合的关系若a是集合A的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；

若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A.

Eg：菱形【典题1】(多选)(23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习)已知x,y,z为非零实数，代数式xx+yy+A．−2∈A B．0∉A C．−4∈A D．4∈A【答案】CD【分析】对非零实数x,y,z的符号分情况进行讨论即可求得所有可能的取值为4,0,−4，即可得出结论.【详解】依题意，当x,y,z都为正数，代数值等于4；当x,y,z中只有一个负数两个正数，代数值为0；当x,y,z中只有一个正数两个负数，代数值为0；当x,y,z都为负数，代数值为−4.故选：CD【典题2】(23-24高一下·安徽安庆·开学考试)已知实数集A满足条件:若a∈A，则1+a1−a∈A，则集合A中所有元素的乘积为(A．1 B．−1 C．±1 D．与a的取值有关【答案】A【分析】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案．【详解】由题意，若a∈A，1+a1−a∴1+∴1+∴1+综上，集合A=a,−所以集合A中所有元素的乘积为a⋅−故选：A.变式练习1.(2022高一上·全国·专题练习)下列关系中，正确的个数为(

)①5∈R；②13∈Q；③0=∅；④0∉N；A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】根据元素与集合的关系逐个判断即可.【详解】由元素与集合的关系，得：在①中，5∈R，故在②中，13∈Q，故②正确；在③中，0=∅不正确，故③错误；在④中，0∈在⑤中，π∉Q，故⑤错误；在⑥中，−3∈Z故选：D.2.(2023·河南驻马店·一模)已知集合A=xxx+1A．0∈A B．1∈AC．−1∉A D．0∉A【答案】A【分析】根据题意，求得A={0,1}，结合元素与集合的关系，逐项判定，即可求解.【详解】由方程x(x+1)=0，解得x=0或x=−1，所以A={0,1}，所以0∈A，1∉A，−1∈A.故选：A.3.已知集合A=4,x,2y，B=−2,x2,1−y，若A=BA．{−1,0,2} B．{−2,2} C．−1,0,2 D．{−2,1,2}【答案】B【分析】根据集合元素的唯一性分类讨论即可.【详解】因为A=B，所以−2∈A.当x=−2时，2y=1−y，得y=1当2y=−2时，则x=2.故实数x的取值集合为−2,2.故选：B4.(多选)(2024·全国·模拟预测)非空集合A具有如下性质：①若x,y∈A，则xy∈A；②若x,y∈A，则x+y∈A下列判断中，正确的有(A．−1∉A B．2022C．若x,y∈A，则xy∈A D．若x,y∈A，则x−y∈A【答案】ABC【分析】根据元素与集合的关系进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A，假设−1∈A，则令x=y=−1，则xy令x=−1,y=1，则x+y=0∈A，令x=1,y=0，不存在xy，即y≠0∴−1∉A，故A对；对于B，由题，1∈A，则1+1=2∈A,2+1=3∈A,⋯,2022∈A,2023∈A,∴20222023对于C，∵1∈A，x∈A，∴1∵y∈A,1对于D，∵1∈A，2∈A，若x=1,y=2，则x−y=−1∉A，故D错误．故选：ABC．5.设关于x的不等式ax2−2x+a≤0的解集为S，若 0∈S 且 【答案】−1<a≤0【分析】根据已知条件列不等式组，由此求得a的取值范围.【详解】依题意a×0解得−1<a≤0.故答案为：−1<a≤0【题型三】集合互异性的应用相关知识点讲解互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.

Eg：若集合A={1，2，a}，就意味a【典题1】(多选)已知集合A=a−2,2a2+5a,A．−1 B．−32 C．1 【答案】BD【分析】由题意可得−3=a−2或−3=2a2+5a或1+2a=−3【详解】−3∈A，集合A=a−2得−3=a−2或−3=2a2+5a解得a=−1或a=−32或当a=−1时，a−2=−3，2a2+5a=−3，不符合集合中元素的互异性，故当a=−32时，a−2=−72，当a=−2时，a−2=−4，2a2+5a=−2故选：BD.变式练习1.(23-24高三下·山东青岛·开学考试)已知x∈1,2,x2，则xA．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2【答案】C【分析】根据条件，利用元素与集合的关系及集合的性质即可求解.【详解】由元素和集合关系可知：x=1或x=2或x=x解的x=0或1或2，由集合的性质可知，当x=1时，1,2,1不满足互异性，所以x的取值为0或2.故选：C.2.(23-24高一上·江西萍乡·期末)已知集合A=−1,a2−2a+1,a−4，若4∈A，则A．−1，3 B．−1 C．−1，3，8 D．−1，8【答案】D【分析】由集合与元素的关系分类讨论即可求解.【详解】由题意若a2−2a+1=4，解得a=3或a=−1，若a−4=4，解得当a=−1时，A=−1,4,−5当a=3时，A=−1,4,−1当a=8时，A=−1,4,49综上所述，a的值可能为−1，8.故选：D.3.(2024高三·全国·专题练习)已知集合A=0,m,m2−3m+2，且2∈A，则实数A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3【答案】B【分析】由题意可得m=2或m2【详解】因为A=0,m,m2所以m=2或m2①若m=2，此时m2②若m2−3m+2=2，解得当m=0时不满足元素的互异性，当m=3时，A={0,3,2}符合题意.综上所述，m=3.故选：B【题型四】集合的表示方法角度1列举法相关知识点讲解把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法.Eg：11以内偶数的集合为{2,4,6,8,10}；一次函数y=2x与y=【典题1】用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；(4)由所有正整数构成的集合．【答案】(1){0，2，4，6，8，10}；(2){0，2}；(3){(0，1)}；(4){1，2，3，…}．【分析】根据题意求得集合的元素，然后用列举法表示集合.【详解】解(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}．(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}．(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}．(4)正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}．变式练习1.用列举法表示下列集合：(1)一年中有31天的月份的全体；(2)大于−3.5小于12.8的整数的全体；(3)方程2x−1+(4)方程x−1x−2【答案】(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}(2)−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12(3){((4)1,2【详解】(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．(2)−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12．(3)方程2x−1+|2y+1|=0的解集为{((4)1,2.角度2描述法相关知识点讲解用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.

方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

一般格式：{x∈A|p(x)}.

用符号描述法表示集合时应注意：

集合元素化简结果{x|方程x2{−1,2}{x|不等式x2{x|−1<x<2}{x|y=函数y=x2−x−2R{y|y=函数y=x2−x−2{y|y>−{(x,y)|y=函数y=x看集合先看元素类型.【典题1】(多选)已知集合A=x∈Zmx∈Z,−9≤m≤9，则满足AA．6 B．−6 C．9 D．−9【答案】AB【分析】根据题意依次讨论当m为6，−6，9，−9时，集合A中的元素个数．【详解】当m=6时，满足mx∈Z的x有6，3，2，1，−1，−2，−3，−6当m=−6时，满足mx∈Z的x有6，3，2，1，−1，−2，−3，−6当m=9时，满足mx∈Z的x有9，3，1，−1，−3，−9当m=−9时，满足mx∈Z的x有9，3，1，−1，−3，−9故选：AB．【典题2】(多选)已知集合A=xx=3k−1,k∈Z，B=xx=3k+1,k∈Z，C=xx=3k,k∈Z，且a∈A，A．2a∈B B．2b∈AC．b+c∈A D．a+b∈C【答案】ABD【分析】由描述法得各集合中元素的共同特征，由a∈A，b∈B，c∈C，分别设出a,b,c的特征表达式，通过运算及变形整理找到新元素的特征归属即可.【详解】因为a∈A,b∈B,c∈C，可设a=3k−1,k∈Z，b=3k1+1,选项A，2a=2(3k−1)=6k−2=6k−3+1=3(2k−1)+1,2则2a∈B，故A正确；所以2b=2(3k则2b∈A，故B正确；所以b+c=3k1+1+3则b+c∈B，故C错误；所以a+b=3k−1+3k1+1=3(k+则a+b∈C，故D正确.故选：ABD.变式练习1.设集合A={−1,1,2}，集合B={x|x∈A且2−x∉A}，则B=(

)A．{1} B．{2} C．{−1,2} D．{1,2}【答案】C【解析】对A中元素进行讨论，若满足x∈A且2−x∉A则此元素是B集合中的元素.【详解】集合B={x|x∈A且2−x∉A]，集合A={−1,1,2}，当x=−1时，可得2−(−1)=3∉A；当x=1时，可得2−1=1∈A；当x=2时，可得2−2=0∉A.综上B={−1,2}.故选：C2.若集合A=−2,1,4,8，B=x−y2∣x∈A,y∈AA．4 B．5 C．7 D．10【答案】C【分析】根据B中元素的特征，只需满足xmax【详解】由题意，x−y故选：C3.(22-23高一下·江苏苏州·开学考试)集合x,y2x+y≤6,x,y∈A．1 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】根据x，y∈N【详解】x,y2x+y≤6,x,y∈故选：D．4.(2024高一上·全国·专题练习)已知集合A=x|ax2−3x+2=0,x∈R，若集合A中至多有一个元素，则实数A．a=0 B．a≥98 C．a=0或a≥【答案】C【分析】根据给定条件，按方程是一元一次方程和一元二次方程分类求解即得.【详解】因为集合A=x|a①当a=0时，A=x|−3x+2=0②当a≠0时，方程ax于是Δ≤0，即9−8a≤0，解得a≥所以实数a应满足a=0或a≥9故选：C5.(多选)已知集合A=xx=2m−1,m∈Z，B=xx=2n,n∈Z，且x1A．x1x2∈A B．x2x【答案】ABC【分析】利用元素的特征及元素与集合的关系一一判定选项即可.【详解】由题知：集合A为奇数集，集合B为偶数集，所以x1,x所以x1x2是奇数，x2x即x1x2∈A，x2故选：ABC．6.(多选)对于集合M=aa=xA．如果a1∈M，aB．如果a1∈M，aC．如果B=bb=2n+1,n∈ND．若C=cc=2n,n∈N.对于∀c∈C【答案】AC【分析】对于A：设a1=x12−y12,a2=x22−y2【详解】对于选项A：因为a1∈M，a2则a1因为x1,x所以a1对于选项B：因为a=x2−若x=y，则若x=y+1若x≥y+2综上可知：2∉M.显然12−02=1∈M对于选项C：令x=n+1，y=n,n∈Z，则b=x即对任意b∈B，均有b∈M，所以B⊆M，故C正确；对于选项D：由选项B可知：2∈C,2∉M，故D错误.故选：AC.【A组基础题】1.下列说法正确的是(

)A．0与0的意义相同B．某市文明市民可以组成一个集合C．集合A=x,yD．方程x2【答案】C【分析】根据元素与集合的定义逐一判断即可.【详解】A：0是集合0的一个元素，因此本选项不正确；B：因为文明市民的标准不确定，所以组成不了集合，因此本选项不正确；C：由3x+y=2⇒y=2−3x，显然给x一个自然数的值，y都有唯一的一个实数与之对应，而自然数集是无限集，因此集合A是无限集，因此本选项正确；D：x2方程x2故选：C2.由a2,2−a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值不可以是(A．−1 B．2 C．3 D．6【答案】B【分析】根据集合元素互异性求解即可.【详解】由题意知，a2≠42−a≠4a2所以实数a的取值可以是−1，3,6故选：B3.(23-24高一上·上海·期末)数集A={x|x=2k−1,k∈Z}，B={x|x=2k,k∈Z}，C={x|x=4k−1,k∈Z}，若a∈A，b∈B，则a+b∈(A．A B．B C．C D．A，B，C都有可能【答案】B【分析】根据可知：集合A为奇数集，结合B为偶数集，结合元素与集合之间的关系分析判断.【详解】由题意可知：集合A为奇数集，集合B为偶数集，即a为奇数，b为偶数，则a+b为奇数，所以AD错误，B正确；例如a=1,b=0，令a+b=4k−1，即1=4k−1，解得k=12∉Z故选：B.4.集合A=63−x【答案】−6,−3,−2,−1,3,6【分析】利用A中元素x满足的条件可知，3−x可以取−6,−3,−2,−1,1,2,3,6，分别对其进行验证看是否符合题意即可.【详解】根据集合A中的63−x∈Z可知3−x当3−x=−6时，x=9∈N当3−x=−3时，x=6∈N当3−x=−2时，x=5∈N当3−x=−1时，x=4∈N当3−x=1时，x=2∈N当3−x=2时，x=1∈N当3−x=3时，x=0∉N当3−x=6时，x=−3∈N即符合题意的3−x的值可以取−6,−3,−2,−1,1,2，对应63−x的值依次是−1,−2,−3,−6,6,3所以可得集合A列举法可以表示为−6,−3,−2,−1,3,6.故答案为：−6,−3,−2,−1,3,65.已知集合A={0,1,2},【答案】6【分析】由题意分类讨论x的取值，确定y的值，即可求得答案.【详解】因为x−y∈A，所以x≥y．当x=0时，当x=1时，y=0或当x=2时，故集合B={(0,故答案为：66.设数集A由实数构成，且满足：若x∈A(x≠1且x≠0)，则(1)若2∈A，试证明A中还有另外两个元素；(2)集合A是否为双元素集合，并说明理由；(3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A【答案】(1)证明见解析；(2)不是，理由见解析；(3)A={−1,1【分析】(1)利用集合与元素之间的关系证明即可；(2)根据条件求出元素间的规律即可；(3)先利用x1【详解】(1)由题意得若2∈A，则11−2又因为−1∈A，所以11−即集合A中还有另外两个元素−1和12(2)由题意，若x∈A(x≠1且x≠0)，则11−x∈A，则11−所以集合A中应包含x,11−x,1−(3)由(2)得集合A中的元素个数应为3或6，因为x11−x1−所以A中应有6个元素，且其中一个元素为−1，由−1∈A结合条件可得12又因为−1+12+2=32解得x=−1故A={−1,17.已知n元有限集A=a1,a2,a3,⋯,(1)写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)；(2)若正数集A=a1,a2(3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由.【答案】(1)3,(2)证明过程见解析(3)存在1个，1,2,3，理由见解析【分析】(1)令A=3,(2)利用反证法进行证明或者构造一元二次方程利用判别式法证明；(3)设A=a1,a2,a3满足要求，则【详解】(1)不妨令A=3,32(2)法一：假设命题不成立，即元素a1，a因为a1>0,aa1+a2=因为a2a1>1，所以故假设不成立，元素a1，a法二；集合A=a1,则a1,a则Δ=t2−4t>0，解得：t<0(舍)或所以至少有一个大于2.(3)设正整数集A=a则a1不妨设a1<a2<因为a1,a综上，A=1,2,3存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即A=1,2,3【B组提高题】1.若M=x