2024年中考数学动点与图形面积问题金题精讲

动点与图形面积问题金题精讲(一)动点与图形面积的定值A.基础过关金题1.如下图所示，点P是双曲线y=kx第二象限上的点，且思路点拨首先求出双曲线的解析式，根据反比例函数y=k答案解析∵点P是双曲线y=kx第二象限上的点，且则把P(-2,3)代入y=k所以反比例函数解析式为y=−作PN⊥x轴于点N,QM⊥x轴于点M,如右图所示，∵点P、Q都在双曲线上，∴即S又∵SPNO△PQO的面积为8,∴设Q的坐标为t∴当123−6t×−2−t当123−6t∴Q点的坐标为(−61或举一反三如下图所示，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y=kx图象的两支上，且PB⊥x轴于点C，(1)k=;(2)当四边形ABCD的面积为214答案解析(1)把B(1,3)代入y=k(2)由(1)得反比例函数的解析式为y=3x,∵PB⊥x轴于点C,PA⊥y轴于点D,∴D点坐标为03a,P点坐标为∴PB=3−∵四边形ABCD的面积=∴整理得a+32=0,∴P点坐标为(1,-2).|总结升华|本例题及变式考查了反比例函数y=k金题2.如下图所示，已知A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度沿AB至BC移动，一直到点C为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动.问：P、Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积是33cm²?思路点拨首先设P、Q两点出发后x秒时，四边形PBCQ的面积为36cm²,，将动点定下来，然后根据题意用x表示相关线段，再根据梯形的面积公式可得方程，再解方程即可.

答案解析设P、Q两点出发后x秒时，四边形PBCQ的面积为36cm²,由题意得：PB=16−3x,CQ=2x,∴解得x=4.则P、Q两点出发后4秒时，四边形PBCQ的面积为36cm².举一反三如下图所示，在△ABC中，∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动.(1)如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟后，△PBQ的面积等于8cm²;(2)如果点P、Q分别从A、B同时出发,并且点P到B点后又继续在BC边上前进，点Q到点C后又继续在CA边上前进，则经过几秒钟后，△PCQ的面积等于12.6cm².答案解析(1)设经过x秒后,△PBQ的面积等于:8cm²,则BP=6-x,BQ=2x,∴解得x₁=2,x₂=4,即经过2秒或4秒以后，△PBQ的面积等于88cm².(2)设经过y秒后，△PCQ的面积等于12.6cm²,根据题意要分类讨论.①0<y≤4(Q在BC上,P在AB上)时,如图1所示,连接PC,则CQ=8-2y,PB=6-y,∵∴解得y1=5+2②4<y≤6(Q在CA上,P在AB上),如图2所示,过点P作PM⊥AC,,交AC于点M,由题意可知CQ=2y-8,AP=y,在Rt△ABC中,sin在Rt△APM中,sin即PMy∵∴解得y1=2+792③6<y≤9(Q在CA上,P在BC上),如图3所示,由题意知CP=14-y,CQ=2y-8,过点Q作QD⊥BC,交BC于点D,∵∠B=90°,∴QD∥AB,∴QDAB=∴QD=∵∴解得y₁=7,y₂=11(不合题意，舍去).∴当5−2855|总结升华此类题型应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，列方程求解；其中要注意因为动点引起的分类讨论是许多问题容易遗漏的.B.能力提升金题1.如下图所示，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABDC的边AB在x轴上，顶点C在y轴上，A−60,C08,抛物线y=ax²−10ax+c经过点C，且顶点M在直线BC上，则抛物线的解析式为思路点拨由菱形性质，可求得点B的坐标，进而求得直线BC的解析式，根据待定系数法可求出抛物线的函数表达式，再根据面积相等即可求得点P的坐标.答案解析(1)∵A(-6,0),C(0,8),∴OA=6,OC=8,则由勾股定理得AC=10，∵四边形ABCD为菱形,∴AC=AB=CD=10,∴B(4,0),D(10,8),设直线BC的解析式为y=kx+b,代入点B(4,0),C(0,8),∴0=4k+b8=b,∴y=-2x+8.∵y=ax²−10ax+c,∴对称轴为直线x=−设M的坐标为(5,n),∵点M在直线y=-2x+8上,∴n=-2×5+8=-2,即M(5,-2).又∵抛物线y=ax²−10ax+c经过点C和M,∴c=825a−50a+c=−2’解得∴抛物线的函数表达式为y=2∵∴由题意可知点P在抛物线y=2①当点P在AD所在的直线上时，∵A(-6,0),D(10,8),可得直线解析式为y=贝y=25x2−4x+8y=②当点P在过点D且与BC平行的直线上时，∵B(4,0),C(0,8),则BC所在直线的解析式为y=-2x+8,设过点D且与BC平行的直线解析式为y=-2x+h,代入点D(10,8),则解析式为y=-2x+28,联立y=25x2−4x+8y=−2x+28所以当△PBD与△PCD的面积相等时，点P的坐标为P1举一反三如下图所示，抛物线y=x(1)若点P是抛物线对称轴上的一动点，则△OCP的面积为；(2)若点P(1，a)是抛物线对称轴上的一动点，且满足△PBC的面积为2，则a的值为.答案解析(1)根据抛物线的对称轴，可得出△OCP的边OC上的高，继而可计算.△OCP的面积;∵抛物线解析式为y=∴抛物线对称轴为直线x=1，点C的坐标为03∴(2)令x2−2x+3故点A的坐标为(120,设对称轴与x轴交于点M，直线BC与抛物线的对称轴交于点D，如图所示，其解析式为y=kx+b,将点B、C的坐标代入可得3解得k=−故直线BC的解析式为y=−则点D的坐标为1则SPBC=解得a=3512或总结升华本例题及变式结合图象的性质考查二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求函数解析式、抛物线与x轴的交点及三角形的面积，难度中等.金题2.如下图所示，已知抛物线y=x²−ax+a²−4a−4与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点D(0，8)，直线DC平行于x轴，交抛物线于另一点C，动点P以每秒2个单位长度的速度从C点出发，沿C→D运动，同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B运动，连接PQ、CB，设点P运动的时间为t秒.(1)求a的值;(2)当四边形ODPQ为矩形时，求这个矩形的面积；(3)当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值.思路点拨(1)把点D(0,8)代入抛物线y=x²−ax+a²−4a−4中，解方程即可解答.(2)利用(1)中求得的抛物线，求得点A、B、C、D四点坐标，再利用矩形的判定与性质解得即可.(3)当面积为定值时，动点也就定了下来，再利用梯形的面积计算方法解决问题.答案解析(1)把点(0,8)代入抛物线y=x²−ax+a²−4a−4得a²−4a−4=8,解得a₁=6,a₂=−2(不合题意，舍去)，因此a=6.(2)由(1)可得抛物线的解析式为y=x²−6x+8,当y=0时,x²−6x+8=0,解得x₁=2,x₂=4,∴A点坐标为(2,0),B点坐标为(4,0),当y=8时,x²−6x+8=8,解得x=0或x=6,∴D点的坐标为(0,8),C点坐标为(6,8),DP=6-2t,OQ=2+t,当四边形OQPD为矩形时,DP=OQ,

2+t=6−2t,t=∴S=8×即矩形OQPD的面积为80(3)∵四边形PQBC的面积为12由题意知BQ=AB-AQ=2-t,PC=2t,∴12BQ+PC×8=14,当t=3举—反三如下图所示，抛物线y=ax²+bx+2与直线l交于A、B两点，且点A在y轴上，已知点B−2−4,，抛物线的对称轴是直线；x=2,，过点A作(1)求此抛物线的解析式；(2)求点D的坐标;(3)抛物线上是否存在动点K，使得以AC为边的平行四边形ACKL的面积等于△ABC的面积?若存在，请求出点K的横坐标；若不存在，请说明理由.答案解析(1)∵对称轴为直线.x=2,，抛物线经过点.B∴−b2a∴抛物线的解析式是y=−(2)提示:易求得点A的坐标,作BE⊥y轴于点E,如图1所示,易证△ABE∽△DAO,即可求得OD的值.∵点A在y轴上,令x=0,则y=2,∴点A(0,2),作BE⊥y轴于点E,又∵AC⊥AB,AO⊥OD,∴∠AOD=∠AEB,∠BAE=∠ADO,∴△ABE∽△DAO,∴BE∵A(0,2),B(-2,-4),∴OA=2,AE=6,BE=2,∴OD=6,∴D(6,0).3∴点K为距离AD所在直线12①∵点A(0,2),B(-2,-4),则线段AB的中点H为(−1又∵D(6,0),设解析式为y=kx+b,则直线AD为y=−∴过点H且平行AD的直线l'的解析式为y=−1则−解得x=7−1093②因为直线l'的解析式为y=−设直线l'与y轴的交点为点F，直线l"与y轴的交点为点G，∴F0−43∴G即直线l'的解析式为y=−则−即3x²−14x+20=0,∵Δ<0,∴直线l'与抛物线没有交点.∴存在K点，横坐标为7−1093.总结升华本例题和变式考查待定系数法求函数解析式、平行四边形、矩形的判定与性质、矩形的面积、梯形的面积以及相似三角形的判定和相似三角形对应边比例相等的性质等知识，题目的综合性很强，对知识点的准确掌握是关键.做这类的综合题，一定要准确作图，通过图形将动点定下来然后进行分析.巩固练习1.如下图所示，在直角坐标系中，抛物线y=x²−x−6与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，如果点M在y轴右侧的抛物线上，且S△AMO=23S△2.如图1所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1−2,,点B的坐标为(3,-1)，二次函数y=−x²的图象为(1)平移抛物线l₁,，使平移后的抛物线经过点A，但不经过点B.写出向下平移且经点A的解析式.(2)平移抛物线l₁,，使平移后的抛物线经过A、B两点，所得的抛物线为l₂,，如图2所

示，求抛物线l₂的函数解析式及顶点C的坐标，并求△ABC的面积.(3)在y轴上是否存在点P，使SABC答案解析1.解:∵抛物线y=x²−x−6与x轴交于点A、点B,∴x²−x−6=0,∴x₁=−2,x₂=3,∴A(-2,0),B(3,0),设M点的坐标为(a又∵C(0,-6),则OC=6,OA=2,OB=3,∵∴∴12×2×|a∵点M在y轴右侧的抛物线上，∴a>0,∴a=1或a=4,则ym=-6,或y∴M点的坐标为(1,-6)或(4,6),如右图所示.

2.解：(1)设平移以后的二次函数解析式是y=−x²+c,把1−2设平移以后的二次函数解析式是y=−x²+c,把A(1,-2)代入得-1+c=-2,解得c=-1,则函数的解析式是y=−x²−1.(2)利用待定系数法即可求得函数的解析式，过A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，如图1所示，可求得△ABC的面积，设l₂的解析式是y=−x²+bx+c,∵l₂经过点A(1,-2)和B(3,-1),根据题意得−2=−1+b+c解得b=则l₂的解析式是y=−顶点C的坐标是9过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则AD=2,CF=得S(3)分点P位于点G的下方和上方两种情况进行讨论.延长BA交y轴于点G，∵已知点A(1,-2)和B(3,-1),∴直线AB的解析式为y=则点G的坐标为0设点P的坐标为(0,h)①当点P位于点G的下方时，如图2所示，PG=−连接AP、BP,则SABP=S又∵S得ℎ=−5516,②当点P位于点G的上方时,如图3所示,PG=5同理得ℎ=−∴点P的坐标为0综上所述所求点P的坐标为0−5516(二)动点与图形面积的比值A.基础过关金题1.如下图所示，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直线l经过点M(2,3),且将多边形OABCDE分割成面积1：1的两部分，则下列各点在直线l上的是().A.(4,3)B.(5,2)C.(6,2)D.思路点拨首先要根据直线l平分多边形OABCDE的面积，确定直线解析式，然后把所给的点分别代入，即可求出答案.答案解析如右图所示，延长BC交x轴于点F，连接OB、AF、DF、CE、DF和CE相交于点N,∵O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0),四边形OABF、四边形CDEF为矩形,∴点M为矩形ABFO的中心,∴直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分，又∵DF和CE相交于点N,即点N(5,2),∴过点N(5，2)的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分，∴直线MN就是所求的直线l，设直线l的解析式为y=kx+b,把M(2,3),N(5,2)代入上式得:2k+b=3解得k=−∴所求直线l的函数表达式是y=−1举—反三如下图所示，在平面直角坐标系中，A(1，4)，B(3，2)，点C是直线y=−4x+20上的一动点，若OC恰好平分四边形OACB的面积，则C点坐标为.答案解析∵A(1,4),B(3,2),∴AB的中点D的坐标是1+32∵∴SAOC=则直线OD的解析式是y=3根据题意得y=解得x=则C的坐标是(40总结升华本例题及变式考查了一次函数及四边形的综合，涉及矩形性质及待定系数法求一次函数关系式；根据图形作出辅助线，掌握平分面积与线段中点的关系是解题关键.金题2.如下图所示，四边形OABC是正方形，点A在双曲线y=18x上,点P、Q同时从点A出发，都以每秒1个单位的速度分别沿折线AO→OC和AB→BC向终点C移动,设运动时间为t秒.若点P在OA上运动,当t=秒时,△PAQ的面积是正方形OABC的面积的1思路点拨先求出正方形OABC的面积，再根据条件建立关于t的方程，即可求出t.答案解析(1)连接AC,交OB于点H,如右图所示,∵四边形OABC是正方形,∴OA=AB=BC=OC,OH⊥AH,OH=AH.∵点A在反比例函数y=18∴即SOHA∴由题意可知:AP=AQ=t,∴∵t>0,∴