21.1 一元二次方程 教学设计

21.1一元二次方程教学内容解析教学流程图地位与作用现实生活中，许多问题中的数量关系可以抽象为一元二次方程.本章主要学习一元二次方程的概念、解法、应用．从实际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，求出它的解进而解决实际问题，是本章学习的一条主线.本节课学习一元二次方程的概念，通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，通过观察，引出一元二次方程的概念，归纳出一元二次方程的一般形式，给出一元二次方程根的概念，并指出一元二次方程根的不唯一．一元二次方程是今后学习二次函数、可化为一元二次方程的其它方程、一元二次不等式等知识的基础.概念解析本节课的主要概念是一元二次方程的概念、一般形式和根．方程的两边都是整式，方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.它的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解（根），一元二次方程解具有不唯一性.思想方法从两个实际问题，通过建立方程，归纳具体方程的共同特点抽象出一元二次方程的概念，体现研究代数的一般方法：从具体到抽象．通过类比一元一次方程、二元一次方程（组）、三元一次方程（组）及其解的概念，引导学生得出一元二次方程的概念及其解的概念.知识类型一元二次方程是概念性知识．教学重点本节课的教学重点：理解一元二次方程的概念，掌握它的一般形式.教学目标解析教学目标1．能分析简单实际问题中的数量关系，并列出一元二次方程．2．能说出一元二次方程的一般形式及其结构特征（元、次数、系数等）．3．会判断某个数是否为数字系数一元二次方程的根．目标解析达成目标1的标志是：能够通过实际问题，进一步引出一元二次方程的具体例子，然后再引导学生观察列出的这三个具体方程，并发现它们在形式上的共同点，得出一元二次方程的定义．达成目标2的标志是：会将一元二次方程整理成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项；能在具体例子中识别各项系数的值．能注意到二次项系数不为0．达成目标3的标志是：能根据一元二次方程的解的定义，通过代入求值，判断某个未知数的值是否为一元二次方程的根，初步感受一元二次方程的解不唯一．教学问题诊断分析具备的基础学生已经学习一元一次方程的概念、解法和实际应用.学生还学习了二元一次方程组以及三元一次方程组的概念、解法和应用.学生知道概括方程的概念可以从“元”的个数和未知数的最高次数两方面等角度进行归纳，进而抽象出一元二次方程的概念及其表示.与本课目标的差距分析本节课探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数,需要学生有一定的抽象归纳能力，只有精准掌握一元二次方程及其相关概念，才能正确辨别一元二次方程，才能正确确识别一般形式中的项和系数，体会确识别一般形式中的项和系数．存在的问题通过实际问题列出一元二次方程，用数学语言归纳共性、抽象概念，再用于解决问题，对学生来说会存在困难.同时一元二次方程的解具有不唯一性，这是之前所学方程没有的特性.应对策略通过不同类型的实际问题的分析，从中归纳共性，抽象出一元二次方程的概念；教学时应注意控制问题背景的难度，将教学重心着眼于一元二次方程概念归纳的过程．教学时注意联系一元一次方程等已有方程知识，让学生有充分的“悟”的时间，并要让学生表达.教学难点本节课的教学难点：正确识别一般式中的项及系数.教学支持条件分析教学过程中可用ppt自定义动画等技术显示多个一元二次方程.学生通过观察、猜想、归纳，抽象一元二次方程的概念；利用信息技术中的图表功能进行填空、赋值等体会一元二次方程解的概念，初步感受一元二次方程解的不唯一性；课后可用常用统计软件统计显示测评结果；根据测评结果，对没有达标的部分内容、没有达标的部分同学，用点对点技术推送相应的训练资源．教学过程设计课前检测1．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，若设x名工人生产螺母，则可列方程为_________.2．方程2xm+1+3y2n=5是二元一次方程，则m+n=_________．3．小刚用41元钱买了甲、乙两种笔记本，甲种笔记本每本5元，乙种笔记本每本8元，且甲种笔记本比乙种笔记本多买了3本，求甲、乙两种笔记本各买了多少本？设小刚买了甲种笔记本x本，乙种笔记本y本，则可列方程组为__________.设计意图：回顾一元一次方程、二元一次方程（组）概念及其获得过程，引导学生从未知数的个数、未知数的最高次数等方面定义整式方程，为本节课通过具体情境归纳出一元二次方程的概念做铺垫．课堂引入请同学们阅读本章的章前问题---雕像设计问题，并回答：问题一：这个方程属于我们学过的某一类方程吗？师生互动设计：学生回顾已经学过的方程类型，复习方程的概念，元与次的概念，观察新方程，分析此方程的元与次，尝试为新方程命名．设计意图：使学生认识到一元二次方程是刻画某些实际问题的模型，体会学习的必要性，在学生已有的知识的体系中合理构建一元二次方程这一新知识．合作学习这样的方程在其他实际问题中是否还存在呢？我们继续看：问题二：如图21.1-1，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm．在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？图21.1-1问题三：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，你说组织者应邀请多少个队参赛？师生互动设计：通过多媒体播放图片，引入问题．通过教师引导，学生独立思考列出方程，解决问题．设计意图：这两个问题都是通过列方程来解的应用题.这样设计既可以使学生认识引入一元二次方程概念的现实必要性，也可以分散列方程这一难点.问题四：x2+2x-4=0,x2-75x+350=0,x2-x-56=0.1.观察这三个方程的结构特点，它们的未知数的个数和最高次数各是多少？它们有什么共同点？2.观察上面三个方程，它们与一元一次方程有什么共同点?有什么不同点？3.根据这个特征，你能给这些方程下个定义吗？师生互动设计：引导学生观察、归纳一元二次方程的概念．类比一元一次方程的定义，归纳得出：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程．设计意图：在学生列出方程后，对所列方程进行整理，并引导学生分析所列方程的特征，同时与一元一次方程相比较，找出两者的区别与联系，并类比一元一次方程的概念来得出一元二次方程的概念.巩固练习，了解概念【例题1】辨别下列各式是否为一元二次方程．(1)3x2+4x-2=0；(2)x2-2x+3=6x-1；(3)7-x3=x+x2；(4)x2-2xy-4=0；设计意图：引导学生根据一元二次方程的定义判定，抓住3个共同特征：①整式；②一元；③2次【测评1】判断下列方程是否为一元二次方程.（1）10x2=9（2）2（x-1）=3x（3）2x2-3x-1=0（4）设计意图：检测目标1是否达成．若测评不合格，则讲解测评1，完成后再测（测评2）．【测评2】判断下列方程是否为一元二次方程.(1)3x2=5-；(2)2-x2+y2=x+m；(3)6x2+3x=-3x(3-2x)；(4)3(x+1)+3=3x(2x+5).问题五：我们知道一元一次方程的一般形式是ax+b=0（a≠0）,那么一元二次方程的一般形式是什么呢？（师引导生回答出一元二次方程的一般形式并板书.）设计意图：因为任何一个一元一次方程都可以化为“ax+b=c（a≠0）”的形式，由此类比得出一元二次方程的一般形式为“ax2+bx+c=0（a≠0）”；并由一元一次方程项及系数的概念联想得出一元二次方程的项及系数的概念.问题六：（1）在一元二次方程的一般形式中，为什么要将a限定为a≠0？（2）假如给你一个一元二次方程，该怎样确定它的系数及常数项呢？【例题2】将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项．师生互动设计：学生尝试完成，教师引导学生得出化为一元二次方程一般形式的一般步骤．设计意图：加深学生对一般形式的理解．【测评3】将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）5x2-1=4x（2）4x2=81（3）4x（x+2）=25（4）（3x-2）（x+1）=8x-3设计意图：检测目标2是否达成．若测评不合格，则讲解测评3，完成后再测（测评3）．【测评4】将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）3x2+1=6x（2）4x2+5x=81（3）x（x+5）=0（4）（2x-2）（x-1）=0综合运用，深化理解（可以类比一元一次方程的解的定义来理解和掌握.）师：我们如何验证一个数是否为一元二次方程的根呢?(多媒体展示例3，并引导生完成例3的解答)【例题3】下面哪些数是方程x2+x-12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．师生互动设计：教师引导学生自主探索，多种途径寻找方程的解，在此基础上让学生进行总结：一元二次方程解不唯一.设计意图：类比一元一次方程解的概念，得出一元二次方程解的概念.学会判断某个未知数的值是否为该一元二次方程解.初步感受一元二次方程解的不唯一性.【测评5】判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根.（1）x2-3x+2=0（x1=1，x2=2，x3=3）.（2）2y2-5y+2=0（y1=0.5，y2=1，y3=2）.设计意图：检测目标3是否达成．若测评不合格，则讲解测评5，完成后再测（测评6）．【测评6】判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根.（1）（x1=-1，x2=1，x3=）.（2）（x1=，x2=0，x3=1）.课堂小结你能总结一下本节课研究的内容吗？1.一元二次方程的概念；（①整式；②一元；③2次）2.一元二次方程的一般形式和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．3.一元二次方程的解的概念，一元二次的解的不唯一性.设计意图：梳理本课所学内容，形成对一元二次方程的概念、一般形式、解的完整认识，特别要强调二次项系数不为0的重要性以及解的不唯一性．目标检测设计1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x2+=1B．ax2+bx+c=0C．（x+1）（x+2）=1D．3x2﹣2xy﹣5y=02．方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．6，2，9B．2，﹣6，9C．2，﹣6，﹣9D．﹣2，6，93．关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．34．关于x的方程（a﹣1）x|a|+1﹣3x+2=0是一元二次方程，则（