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文档简介
上海市上外附中2024届高考数学全真模拟密押卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线的左、右焦点分别为、,抛物线与双曲线有相同的焦点.设为抛物线与双曲线的一个交点,且,则双曲线的离心率为()A.或 B.或 C.或 D.或2.若复数满足,则()A. B. C. D.3.设i是虚数单位,若复数是纯虚数,则a的值为()A. B.3 C.1 D.4.世纪产生了著名的“”猜想:任给一个正整数,如果是偶数,就将它减半;如果是奇数,则将它乘加,不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到.如图是验证“”猜想的一个程序框图,若输入正整数的值为,则输出的的值是()A. B. C. D.5.已知,,且是的充分不必要条件,则的取值范围是()A. B. C. D.6.中,点在边上,平分,若,,,,则()A. B. C. D.7.的展开式中的系数为()A. B. C. D.8.△ABC中,AB=3,,AC=4,则△ABC的面积是()A. B. C.3 D.9.集合的真子集的个数为()A.7 B.8 C.31 D.3210.已知为非零向量,“”为“”的()A.充分不必要条件 B.充分必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件11.若不相等的非零实数,,成等差数列,且,,成等比数列,则()A. B. C.2 D.12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知关于空间两条不同直线m、n,两个不同平面、,有下列四个命题:①若且,则;②若且,则;③若且,则;④若,且,则.其中正确命题的序号为______.14.已知函数,若,则实数的取值范围为__________.15.在平面直角坐标系中,点P在直线上,过点P作圆C:的一条切线,切点为T.若,则的长是______.16.函数的最大值与最小正周期相同,则在上的单调递增区间为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱锥中,是等边三角形,,,.(1)若,求证:平面;(2)若,求二面角的正弦值.18.(12分)眼保健操是一种眼睛的保健体操,主要是通过按摩眼部穴位,调整眼及头部的血液循环,调节肌肉,改善眼的疲劳,达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果,在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查,并得到如图的频率分布直方图.(1)若直方图中后三组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以上的人数;(2)为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系,对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查,得到下表中数据,根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系?(3)在(2)中调查的100名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人,进一步调查他们良好的护眼习惯,在这8人中任取2人,记坚持做眼保健操的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.附:0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.87919.(12分)已知,,分别为内角,,的对边,且.(1)证明:;(2)若的面积,,求角.20.(12分)已知函数.(1)当(为自然对数的底数)时,求函数的极值;(2)为的导函数,当,时,求证:.21.(12分)已知函数.(1)证明:当时,;(2)若函数有三个零点,求实数的取值范围.22.(10分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)若点在曲线上,点在曲线上,求的最小值及此时点的坐标.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
设,,根据和抛物线性质得出,再根据双曲线性质得出,,最后根据余弦定理列方程得出、间的关系,从而可得出离心率.【详解】过分别向轴和抛物线的准线作垂线,垂足分别为、,不妨设,,则,为双曲线上的点,则,即,得,,又,在中,由余弦定理可得,整理得,即,,解得或.故选:D.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解,涉及双曲线和抛物线的简单性质,考查运算求解能力,属于中档题.2、C【解析】
把已知等式变形,利用复数代数形式的除法运算化简,再由复数模的计算公式求解.【详解】解:由,得,∴.故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题.3、D【解析】
整理复数为的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解.【详解】由题,,因为纯虚数,所以,则,故选:D【点睛】本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算.4、C【解析】
列出循环的每一步,可得出输出的的值.【详解】,输入,,不成立,是偶数成立,则;,不成立,是偶数成立,则;,不成立,是偶数成立,则;,不成立,是偶数不成立,则;,不成立,是偶数成立,则;,不成立,是偶数成立,则;,不成立,是偶数成立,则;,不成立,是偶数成立,则;,成立,跳出循环,输出的值为.故选:C.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果,考查计算能力,属于基础题.5、D【解析】
“是的充分不必要条件”等价于“是的充分不必要条件”,即中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集.【详解】由题意知:可化简为,,所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集,所以.【点睛】利用原命题与其逆否命题的等价性,对是的充分不必要条件进行命题转换,使问题易于求解.6、B【解析】
由平分,根据三角形内角平分线定理可得,再根据平面向量的加减法运算即得答案.【详解】平分,根据三角形内角平分线定理可得,又,,,,..故选:.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算,属于基础题.7、C【解析】由题意,根据二项式定理展开式的通项公式,得展开式的通项为,则展开式的通项为,由,得,所以所求的系数为.故选C.点睛:此题主要考查二项式定理的通项公式的应用,以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能,属于中低档题,也是常考知识点.在二项式定理的应用中,注意区分二项式系数与系数,先求出通项公式,再根据所求问题,通过确定未知的次数,求出,将的值代入通项公式进行计算,从而问题可得解.8、A【解析】
由余弦定理求出角,再由三角形面积公式计算即可.【详解】由余弦定理得:,又,所以得,故△ABC的面积.故选:A【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用,三角形的面积公式,考查了学生的运算求解能力.9、A【解析】
计算,再计算真子集个数得到答案.【详解】,故真子集个数为:.故选:.【点睛】本题考查了集合的真子集个数,意在考查学生的计算能力.10、B【解析】
由数量积的定义可得,为实数,则由可得,根据共线的性质,可判断;再根据判断,由等价法即可判断两命题的关系.【详解】若成立,则,则向量与的方向相同,且,从而,所以;若,则向量与的方向相同,且,从而,所以.所以“”为“”的充分必要条件.故选:B【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、数量积的应用.11、A【解析】
由题意,可得,,消去得,可得,继而得到,代入即得解【详解】由,,成等差数列,所以,又,,成等比数列,所以,消去得,所以,解得或,因为,,是不相等的非零实数,所以,此时,所以.故选:A【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用,考查了学生概念理解,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.12、C【解析】
画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体的表面积即可.【详解】解:几何体的直观图如图,是正方体的一部分,P−ABC,正方体的棱长为2,
该几何体的表面积:.故选C.【点睛】本题考查三视图求解几何体的直观图的表面积,判断几何体的形状是解题的关键.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、③④【解析】
由直线与直线的位置关系,直线与平面的位置关系,面面垂直的判定定理和线面垂直的定义判断.【详解】①若且,的位置关系是平行、相交或异面,①错;②若且,则或者,②错;③若,设过的平面与交于直线,则,又,则,∴,③正确;④若,且,由线面垂直的定义知,④正确.故答案为:③④.【点睛】本题考查直线与直线的位置关系,直线与平面的位置关系,面面垂直的判定定理和线面垂直的定义,考查空间线面间的位置关系,掌握空间线线、线面、面面位置关系是解题基础.14、【解析】
画图分析可得函数是偶函数,且在上单调递减,利用偶函数性质和单调性可解.【详解】作出函数的图如下所示,观察可知,函数为偶函数,且在上单调递增,在上单调递减,故,故实数的取值范围为.故答案为:【点睛】本题考查利用函数奇偶性及单调性解不等式.函数奇偶性的常用结论:(1)如果函数是偶函数,那么.(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.15、【解析】
作出图像,设点,根据已知可得,,且,可解出,计算即得.【详解】如图,设,圆心坐标为,可得,,,,,解得,,即的长是.故答案为:【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,以及求平面两点间的距离,运用了数形结合的思想.16、【解析】
利用三角函数的辅助角公式进行化简,求出函数的解析式,结合三角函数的单调性进行求解即可.【详解】∵,则函数的最大值为2,周期,的最大值与最小正周期相同,,得,则,当时,,则当时,得,即函数在,上的单调递增区间为,故答案为:.【点睛】本题考查三角函数的性质、单调区间,利用辅助角公式求出函数的解析式是解决本题的关键,同时要注意单调区间为定义域的一个子区间.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)详见解析(2)【解析】
(1)如图,作,交于,连接.因为,所以是的三等分点,可得.因为,,,所以,因为,所以,因为,所以,所以,因为,所以,所以,因为平面,平面,所以平面.又,平面,平面,所以平面.因为,、平面,所以平面平面,所以平面.(2)因为是等边三角形,,所以.又因为,,所以,所以.又,平面,,所以平面.因为平面,所以平面平面.在平面内作平面.以B点为坐标原点,分别以所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,所以,,,.设为平面的法向量,则,即,令,可得.设为平面的法向量,则,即,令,可得.所以,则,所以二面角的正弦值为.18、(1)(2)能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系(3)详见解析【解析】
(1)由题意可计算后三组的频数的总数,由其成等差数列可得后三组频数,可得视力在5.0以上的频率,可得全年级视力在5.0以上的的人数;(2)由题中数据计算的值,对照临界值表可得答案;(3)由题意可计算出这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人,可得X可取0,1,2,分别计算出其概率,列出分布列,可得其数学期望.【详解】解:(1)由图可知,第一组有3人,第二组7人,第三组27人,因为后三组的频数成等差数列,共有(人)所以后三组频数依次为24,21,18,所以视力在5.0以上的频率为0.18,故全年级视力在5.0以上的的人数约为人(2),因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系.(3)调查的100名学生中不近视的共有24人,从中抽取8人,抽样比为,这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人,X可取0,1,2,,X的分布列X012PX的数学期望.【点睛】本题主要考查频率分布直方图,独立性检测及离散型随机变量的期望与方差等相关知识,考查学生分析数据与处理数据的能力,属于中档题.19、(1)见解析;(2)【解析】
(1)利用余弦定理化简已知条件,由此证得(2)利用正弦定理化简(1)的结论,得到,利用三角形的面积公式列方程,由此求得,进而求得的值,从而求得角.【详解】(1)由已知得,由余弦定理得,∴.(2)由(1)及正弦定理得,即,∴,∴,∴.,∴,,.【点睛】本小题主要考查余弦定理、正弦定理解三角形,考查三角形的面积公式,考查化归与转化的数学思想方法,考查运算求解能力,属于中档题.20、(1)极大值,极小值;(2)详见解析.【解析】
首先确定函数的定义域和;(1)当时,根据的正负可确定单调性,进而确定极值点,代入可求得极值;(2)通过分析法可将问题转化为证明,设,令,利用导数可证得,进而得到结论.【详解】由题意得:定义域为,,(1)当时,,当和时,;当时,,在,上单调递增,在上单调递减,极大值为,极小值为.(2)要证:,即证:,即证:,化简可得:.,,即证:,设,令,则,在上单调递增
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