《二次函数y＝ax^2＋bx＋c的图象和性质（3）》名师教案

.1.4二次函数y＝ax＋bx＋c的图象和性质第三课时(卢文)一、教学目标（一）学习目标学会运用待定系数法求二次函数解析式，熟练应用已知图象上三个点能确定二次函数解析式．掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函数的解析式．（二）学习重点通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法．（三）学习难点能灵活根据条件恰当地选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化．在实际运用中确立二次函数表达式．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）二次函数表达式常见的三种形式是：一般式：；顶点式：；交点式：.求二次函数表达式的常用方法是待定系数法.预习自测（1）若抛物线经过（0，1），（-1，0），（1，0）三点，则此抛物线的解析式为（）A.y=x+1 B.y=x-1 C.y=-x+1 D.y=-x-1【知识点】待定系数法求解析式，解方程组【解题过程】解：设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，把（0，1），（-1，0），（1，0）分别代入，得：解得所求的函数的解析式为．故选C【思路点拨】已知三点，用待定系数法求抛物线的解析式【答案】C（2）某抛物线的顶点坐标为（1，-2），且经过（2，1），则抛物线的解析式为（）A.y=3x2-6x-5B．y=3x2-6x+1C．y=3x2+6x+1D．y=3x2+6x+5【知识点】待定系数法求解析式，解方程组【解题过程】解:∵抛物线的顶点坐标为（1，-2），且经过（2，1），∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-2，把（2，1）代入得：1=a（2-1）2-2，解得：a=3，∴y=3（x-1）2-2=3x2-6x+1，选B【思路点拨】已知顶点，用顶点式求抛物线的解析式。设抛物线的解析式为y=a（x-1)2-2，把（2，1）代入得出1=a（2-1）2-2，求出a.【答案】B（3）已知抛物线经过点A（0，6），且与x轴两交点的横坐标分别为-3，2，则此抛物线的解析式为（）A.y=-x2+x+6B．y=-x2-x+6C．y=-x2+5x+6D．y=-x2+x+5【知识点】待定系数法求解析式【解题过程】解:∵抛物线经过点A（0，6），且与x轴两交点的横坐标分别为-3，2，∴设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-2），把（0，6）代入得：a（0+3）（0-2）=6，解得：a=-1，∴y=-（x+3）（x-2），即y=-x2-x+6，故选B【思路点拨】已知图象与x轴交点的坐标，用交点式求抛物线的解析式。【答案】选B（4）二次函数的图象如图所示,则它的解析式正确的是()A.y=2x-4xB.y=-x(x-2)C.y=-(x-1)+2D.y=-2x+4x【知识点】待定系数法求解析式【数学思想】数形结合【解题过程】解:根据图象得:抛物线的顶点坐标为(1,2),设抛物线的解析式为y=a(x-1)+2,将(2,0)代入解析式,得0=a+2,解得a=-2,则抛物线解析式为y=-2(x-1)+2=-2x+4x.故选D.【思路点拨】由图象与x轴交点的横坐标，可求得对称轴方程，再用顶点式求抛物线的解析式。(二)课堂设计1.知识回顾（1）二次函数表达式常见的三种形式是：一般式：；顶点式：；交点式：.（2）抛物线的顶点坐标是（h,k）.2.问题探究探究一利用一般式求二次函数解析式★▲●活动①回顾旧知,引出新知问题1：一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？生答：2个问题2：求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？生答：待定系数法：(1)设：（表达式）；(2)代：（坐标代入）；(3)解：方程（组）；(4)还原：（写解析式）问题3：二次函数（a0）有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？生答：3个【设计意图】复习待定系数法求一次函数解析式的方法，引出同样可用待定系数法求二次函数（a0）的解析式。●活动②合作探究，已知抛物线上三个点确定二次函数解析式．问题：已知抛物线上三个点如何确定二次函数解析式？已知二次函数图象经过点（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的解析式.解析：设一般式y＝ax2＋bx＋c，再把已知三点坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可.解：设这个二次函数的表达式是y=ax+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax+bx+c得解得∴所求的二次函数的表达式是y=-x-4x-3.归纳总结：一般式法求二次函数解析式的方法：这种已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法.其步骤是：①设函数解析式为y=ax+bx+c；②代入后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a,b,c的值；④把待定系数用数字换掉，写出函数解析式.若题目给出了二次函数图象上三个点的坐标，则可采用一般式求解.【设计意图】让学生知道已知抛物线上三个点确定二次函数解析式的方法．探究二利用顶点式求二次函数解析式★▲活动合作探究，已知抛物线的顶点坐标确定二次函数解析式．问题：已知顶点坐标及图象上另一点坐标，能否求出二次函数解析式？如何进行？已知抛物线的顶点坐标为M(1，－2)，且经过点N(2，3)，求此二次函数的解析式．解析：因为抛物线的顶点坐标为M(1，－2)，所以设此二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－2，把点N(2，3)代入解析式解答．解：已知抛物线的顶点坐标为M(1，－2)，设此二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－2，把点N(2，3)代入解析式，得a－2＝3，即a＝5，∴此函数的解析式为y＝5(x－1)2－2.归纳总结顶点式法求二次函数解析式的方法：这种知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法.其步骤是：①设函数解析式是y=a(x-h)2+k；②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数解析式.若题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单．【设计意图】让学生知道已知抛物线的顶点坐标确定二次函数解析式的方法．探究三利用交点式求二次函数解析式★▲活动已知抛物线与x轴两交点坐标或一交点坐标和对称轴如何确定二次函数解析式？已知抛物线经过两点A(1，0)，B(0，－3)，且对称轴是直线x＝2，求此二次函数的解析式．解析：可设交点式y＝a(x－1)(x－3)，然后把B点坐标代入求出a即可；解：∵对称轴是直线x＝2，∴抛物线与x轴另一个交点坐标为(3，0)．设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－3)，把B(0，－3)代入得a(－1)×(－3)＝－3，解得a＝－1，∴抛物线解析式为y＝－(x－1)(x－3)＝－x2＋4x－3.归纳总结：交点式法求二次函数解析式的方法：这种知道抛物线与x轴的交点坐标，求解析式的方法叫做交点式法.其步骤是：①设函数解析式是y=a(x-x)(x-x)；②先把两交点的横坐标x,x代入到解析式中，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数解析式.已知抛物线与x轴两交点或一交点和对称轴，则采用交点式求解简单．【设计意图】让学生知道已知抛物线与x轴两交点坐标或一交点坐标和对称轴，确定二次函数解析式的方法．探究四用待定系数法求二次函数解析式的训练★▲●活动①基础型例题例1.已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1,且经过点(2,5)和(-2,13),求这个二次函数的表达式.【知识点】用待定系数法求二次函数解析式【解题过程】解:因为二次函数图象与y轴交点的纵坐标为1,所以c=1.设二次函数的表达式为y=ax+bx+1,将点(2,5)和(-2,13)代入y=ax+bx+1,得所以所求二次函数的表达式为y=2x-2x+1.【思路点拨】已知二次函数图象经过任意三点，可直接设表达式为一般式，代入可得三元一次方程组，解之即可求出待定系数.【答案】y=2x-2x+1.练习:已知二次函数的图象经过点A(3,0)，B(2，-3)，C(0，-3)，求函数的表达式和对称轴.【知识点】用待定系数法求二次函数解析式【解题过程】解:设函数表达式为y=ax2+bx+c，因为二次函数的图象经过点A(3,0)，B(2，-3)，C(0，-3)，则有解得∴函数的表达式为y=x2-2x-3，其对称轴为直线x=1.【思路点拨】已知图象上三点，用一般式求解.【答案】y=x2-2x-3，对称轴为直线x=1.例2.已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3)，求这个二次函数的表达式.【知识点】用待定系数法求二次函数解析式【解题过程】解:已知顶点坐标设顶点式y=a(x-h)+k∵顶点是（1，2）∴设y=a(x-1)+2，又过点（2，3）∴a(2-1)+2=3，∴a=1∴y=(x-1)+2，即y=x-2x+3【思路点拨】此题只告诉了两个点的坐标，但其中一点为顶点坐标，所以表达式可设顶点式：y=a(x-h)2+k，即可得到一个关于字母a的一元一次方程，再把另一点代入即可求出待定系数.在设表达式时注意h的符号.【答案】y=x-2x+3练习：已知一个二次函数的图象的顶点是(-1，2)，且过点（0，），求这个二次函数的表达式及与x轴交点的坐标.【知识点】用待定系数法求二次函数解析式【解题过程】解:已知顶点坐标设顶点式y=a(x-h)+k∵顶点是（-1，2）∴设y=a(x+1)+2，又过点（0，），∴a(0+1)+2=，∴a=-∴y=-(x+1)+2，即y=-x2-x+.令y=0，即-x2-x+=0，解得.∴与x轴交点坐标为(-3，0)、(1，0).【思路点拨】已知抛物线的顶点和图象上另外一点的坐标，采用顶点式求解．关于其图象与x的交点，即当y=0时，解关于x的一元二次方程.【答案】y=-x2-x+,与x轴交点坐标为(-3，0)、(1，0).【设计意图】让学生熟悉用待定系数法求二次函数解析式。●活动2提升型例题例3.已知抛物线经过三点（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.【知识点】用待定系数法求二次函数解析式【解题过程】解：∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x)(x-x).(其中x、x为交点的横坐标）因此得y=a(x+3)(x+1).再把点（0，-3）代入上式得∴a(0+3)(0+1)=-3，解得a=-1，∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x-4x-3.【思路点拨】因为已知点为抛物线与x轴的交点，表达式可设为交点式，再把第三点代入可得一元一次方程，较一般式所得的三元一次方程组简单.而顶点可根据顶点公式求出.【答案】y=-x-4x-3.练习：已知一抛物线经过三点A(-2，0)、B(1，0)、C(2，8).试求该抛物线的表达式及顶点坐标.【知识点】用待定系数法求二次函数解析式【解题过程】解:∵A(-2，0)、B(1，0)是抛物线与x轴两交点，∴设表达式为y=a(x+2)(x-1)，把C(2，8)代入上式，则有a(2+2)(2-1)=8,∴a=2.∴此函数的表达式为y=2x2+2x-4，其顶点坐标为（-，-）.【思路点拨】已知抛物线与x轴两交点，采用交点式求解．【答案】y=2x2+2x-4，其顶点坐标为（-，-）.例4.如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．（1）求点C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并化成一般形式．【知识点】待定系数法求二次函数解析式．【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），∴OC=AB=5，∴点C的坐标为（0，5）；（2）设二次函数解析式为：y=ax2+bx+5，把A（﹣1，0）、B（4，0）代入原函数解析式得出：a=﹣，b=；所以这个二次函数的解析式为：y=﹣x2+x+5．【思路点拨】（1）根据题目所给的信息可以知道OC=AB=5，点C在y轴上可以写出点C的坐标；（2）二次函数图象经过点A、B、C；这三个点的坐标已知，根据三点法确定这个二次函数解析式．【答案】（1）C（0，5）；（2）y=﹣x2+x+5．练习：已知在直角坐标平面内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C.（1）求抛物线的表达式；（2）求△ABC的面积．【知识点】待定系数法求二次函数解析式，求三角形面积．【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线y=x2+bx+6得0=9+3b+6，解得b=﹣5，所以抛物线的表达式y=x2﹣5x+6；（2）∵抛物线的表达式y=x2﹣5x+6；∴A（2，0），B（3，0），C（0，6），∴S△ABC=×1×6=3．【思路点拨】（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线y=x2+bx+6，即可得出抛物线的表达式y=x2﹣5x+6；（2）先求出A（2，0），B（3，0），C（0，6），再利用三角形面积公式求解．【答案】（1）y=x2﹣5x+6；（2）S△ABC=3．【设计意图】让学生掌握用待定系数法求解析式.●活动3探究型例题例5.一个二次函数的图象经过点A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能确定这个二次函数的表达式吗?你有几种方法?【知识点】二次函数的解析式的求法的综合运用【数学思想】分类讨论【解题过程】解法1：∵二次函数图象与y轴的交点的纵坐标为1,∴c=1.设二次函数的表达式为y=ax+bx+1,将点(1,2)和(2,1)分别代入y=ax+bx+1,∴二次函数的表达式为y=-x+2x+1.解法2：由A(0,1),B(1,2),C(2,1)三个点的特征以及二次函数图象的对称性,可得点B(1,2)是函数图象的顶点坐标.∴二次函数的表达式为y=a(x-1)+2,将点(0,1)代入y=a(x-1)+2,得a=-1.∴二次函数的表达式为y=-(x-1)+2,即y=-x+2x+1.解法3：设二次函数的表达式为y=ax+bx+c,将点(0,1),(1,2)和(2,1)分别代入y=ax+bx+c,得∴二次函数的表达式为y=-x+2x+1.【思路点拨】分别找出用三种方法求解析式的条件，分别求解。【答案】y=-x+2x+1；三种。练习：如图所示,这是一名学生推铅球时,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的图象，请求出其表达式。【知识点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质．【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵(4,3)是抛物线的顶点坐标,∴设二次函数表达式为y=a(x-4)+3,把点(10,0)代入y=a(x-4)2+3,解得a=,因此铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为y=(x-4)+3.即.【思路点拨】观察图象知，已知抛物线的顶点和另一点坐标，用顶点式求解。【答案】例6.如图，已知二次函数的图象经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．【知识点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质．【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入解得∴二次函数的表达式为． （2）对称轴为x=2；顶点坐标为（2，-10）．（3）将（m，m）代入，得，解得．∵m＞0，∴不合题意，舍去．∴

m=6． ∵点P与点Q关于对称轴x=2对称，∴点Q到x轴的距离为6． 【思路点拨】（1）用待定系数法求解析式；（2）用对称轴方程和顶点坐标公式写出，也可用配方法写出；（3）先将P（m，m）代入抛物线解析式求出m值，再求Q点坐标。【答案】（1）；（2）对称轴为x=2；顶点（2，-10）；（3）m=6，点Q到x轴的距离为6．练习：如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），∴将A与B坐标代入得：，解得：，则抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）点D为抛物线顶点，由顶点坐标（﹣，）得，D（1，4），∵对称轴与x轴交于点E，∴DE=4，OE=1，∵B（﹣1，0），∴BO=1，∴BE=2，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD=．【思路点拨】（1）将A与B代入抛物线解析式求出a与c的值，即可确定出抛物线解析式；（2）利用顶点坐标公式表示出D点坐标，进而确定出E点坐标，得到DE与OE的长，根据B点坐标求出BO的长，进而求出BE的长，在直角三角形BED中，利用勾股定理求出BD的长．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）BD=．【设计意图】在实际运用中确立二次函数解析式，并用二次函数解析式解决其它问题．3.课堂总结知识梳理待定系数法求解析式的一般步骤：①设：（表达式）；②代：（坐标代入）；③解：方程（组）；④还原：（写解析式）待定系数法求二次函数解析式的一般方法：已知条件所选方法①已知三点坐标用一般式法：②已知顶点坐标或用顶点法：对称轴或最值③已知抛物线与x轴用交点法：的两个交点（为交点的横坐标）重难点归纳在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴或最大（小）值，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．（三）课后作业基础型自主突破1.已知抛物线y=ax+bx+c经过点(-1,10)和(2,7),且3a+2b=0,则该抛物线的解析式为____________.

【知识点】用待定系数法求二次函数解析式【解题过程】解：根据题意,得解方程组,得所以该抛物线的解析式为y=2x-3x+5.故填y=2x-3x+5.【思路点拨】用待定系数法，列方程组求解。【答案】y=2x-3x+52.已知二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为______________.

【知识点】用待定系数法求二次函数解析式【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵抛物线过(0,-3),∴c=-3,设二次函数的表达式为y=ax+bx-3,把(-1,0),(3,0)分别代入上式,得解这个方程组,得∴这个二次函数的表达式为y=x-2x-3.故填y=x-2x-3.【思路点拨】用待定系数法，列方程组求解。【答案】y=x-2x-3.3.已知二次函数y=x+bx+c的图象经过点(3,0)和(4,0),则这个二次函数的表达式是_______________.

【知识点】用待定系数法求二次函数解析式【解题过程】解：设二次函数的解析式为y=a(x-3)(x-4),而a=1,所以二次函数的解析式y=(x-3)(x-4)=x-7x+12.故填y=x-7x+12.【思路点拨】已知抛物线与x轴两交点，采用交点式求解．【答案】y=x-7x+12.4.已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（）A.y=-6x+3x+4B.y=-2x+3x-4C.y=x+2x-4D.y=2x+3x-4【知识点】用待定系数法求二次函数解析式【解题过程】解：设函数表达式为y=ax+bx+c，把（-1，-5），（0，-4）和（1，1）分别代入上式，得：解得∴函数的表达式为y=2x+3x-4.故选D【思路点拨】已知图象上三点，用一般式求解.【答案】D5.已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A.y=-3(x-1)+3B.y=3(x-1)+3C.y=-3(x+1)+3D.y=3(x+1)+3【知识点】用待定系数法求二次函数解析式【数学思想】数形结合【解题过程】解:∵抛物线的顶点为（1，3）∴设抛物线的顶点式为y=a(x-1)+3，把（0，0）代入，得a=-3，∴该二次函数的解析式为y=-3(x-1)+3，故选A【思路点拨】已知抛物线的顶点和图象上另外一点的坐标，采用顶点式求解．【答案】A6.如果抛物线经过点A（2，0）和B（-1，0），且与y轴交于点C，若OC=2.则这条抛物线的解析式是（）A.y=x-x-2 B.y=-x-x-2或y=x+x+2C.y=-x+x+2 D.y=x-x-2或y=-x+x+2【知识点】用待定系数法求二次函数解析式【数学思想】数形结合【解题过程】解:∵A（2，0）和B（-1，0）是抛物线与x轴两交点，∴设表达式为y=a(x-2)(x+1)，∵OC=2.∴C点坐标为（0，2）或（0，-2）当C点坐标为（0，2）时，则有a(0-2)(0+1)=2，∴a=-1.∴抛物线的解析式为y=-(x-2)(x+1)，即y=-x+x+2当C点坐标为（0，-2）时，则有a(0-2)(0+1)=-2，∴a=1.∴抛物线的解析式为y=(x-2)(x+1)，即y=x-x-2故选D【思路点拨】已知抛物线与x轴两交点，采用交点式求解．注意分类讨论。【答案】D能力型师生共研7.若二次函数的与的部分对应值如下表：－7－6－5－4－3－2y－27－13﹣3353则当＝1时，的值为（） A、5 B、﹣3C、－13 D、－27【知识点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数性质。【解题过程】解法一：由表可知，抛物线的对称轴为＝－3，顶点为（﹣3，5），∴设二次函数的解析式为＝（＋3）2＋5，把（﹣2，3）代入得，＝－2.∴二次函数的解析式为＝－2（＋3）2＋5.当＝1时，＝－27.故选D.解法二：由表可知，抛物线的对称轴为＝－3，顶点为（﹣3，5），由抛物线的对称性知，x=1时y的值与x=－7时y的值相等，∵x=－7时y的值为－27，∴x=1时y的值也为－27，故选D【思路点拨】此题既可用待定系数法求，也可用抛物线的对称性求。【答案】D8.某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，在柱子上离地面1米的B处安装一个喷头向外喷水.李冰同学建立了如图所示的直角坐标系，得到该抛物线还经过(2,1),两点，请求出该喷泉喷出的最远距离，即地面点A距离点B所在的柱子的距离.【知识点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数性质。【数学思想】数形结合【解题过程】解：由题意，B（0，1），图象还过(2,1),两点，∴设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c，则有得：解得∴抛物线解析式为：.由，解得.∴OA=3,喷泉喷出的最远距离为3米.【思路点拨】先用待定系数法求出二次函数解析式，再令y=0，解一元二次方程求出。【答案】3米.探究型多维突破9.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．【知识点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数性质，三角形面积。【数学思想】数形结合【解题过程】解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，∴c－4b＝－19.∵对称轴是x＝－3，∴－eq\f(b,2)＝－3，∴b＝6，∴c＝5，∴抛物线的解析式是y＝x2＋6x＋5；∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，∴点C的横坐标为－7，∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B的坐标为(0，5)，∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，∴△BCD的面积＝eq\f(1,2)×8×7＝28.【思路点拨】(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，根据对称轴是x＝－3，求出b＝6，即可得出答案；(2)根据CD∥x轴，得出点C与点D关于x＝－3对称，根据点C在对称轴左侧，且CD＝8，求出点C的横坐标和纵坐标，再根据点B的坐标为(0，5)，求出△BCD中CD边上的高，即可求出△BCD的面积．【答案】（1）y＝x2＋6x＋5；（2）△BCD的面积＝28.10.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．【知识点】待定系数法求一次函数、二次函数解析式，二次函数性质，勾股定理。【数学思想】数形结合，分类讨论【解题过程】解：（1）∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）依题意得：，解之得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解之得：，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）设P（﹣1，t），又∵B（﹣3，0），C（0，3），∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18，解之得：t1=，t2=；综上所述，P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．【思路点拨】（1）待定系数法求一次函数、二次函数解析式；（2）利用对称求两线段之和的最小值问题；（3）根据三角形的每个角分别为直角，利用勾股定理列方程求解。【答案】（1）y=x+3，y=﹣x2﹣2x+3；（2）M（﹣1，2）；（3）P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．自助餐1.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为（-1，0），（3，0），其形状与抛物线y=-2x2相同，则y=ax2+bx+c的函数关系式为（）A．y=-2x2-x+3B．y=-2x2+4x+5C．y=-2x2+4x+8D．y=-2x2+4x+6【知识点】用待定系数法求二次函数解析式【解题过程】解:根据题意a=-2，所以设y=-2（x-x1）（x-x2），求出解析式y=-2（x+1）（x-3），即是y=-2x2+4x+6．选D【思路点拨】抛物线y=ax2+bx+c的形状与抛物线y=-2x2相同，a=-2．y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为（-1，0），（3，0），利用交点式求表达式【答案】D2.过A(-1,0),B(3,0),C(1,2)三点的抛物线的顶点坐标是()A.(1,2) B.C.(-1,5) D.【知识点】用待定系数法求二次函数解析式【解题过程】解：设这个二次函数的解析式是y=ax+bx+c,把(-1,0),(3,0),(1,2)分别代入,得解方程组,得所以该函数的解析式为y=x+x+，顶点坐标是(1,2).故选A.【思路点拨】先用待定系数法求二次函数解析式，再求顶点坐标。【答案】A3.二次函数图象过点（-3，0）、（1，0），且顶点的纵坐标为4，此函数关系式为_______【知识点】用待定系数法求二次函数解析式【解题过程】解：∵二次函数图象过点（-3，0）、（1，0），且顶点的纵坐标为4，∴顶点横坐标为-1，即顶点坐标为（-1，4），设抛物线解析式为y=a（x+1）2+4，将x=1，y=0代入得：a=-1，则抛物线解析式为y=-（x+1）2+4=-x2-2x+3．故填y=-x2-2x+3【思路点拨】由已知两点坐标得出顶点横坐标，进而确定出顶点坐标，设出抛物线的顶点形式，将已知一点代入求出a的值，即可确定出解析式【答案】y=-x2-2x+34.已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x=-1对称，且AB=6，顶点在函数y=2x的图象上，则这个二次函数的表达式为_________________.【知识点】用待定系数法求二次函数解析式【解题过程】解：∵对称轴为直线x=-1，且图象与x轴交于A、B两点，AB=6，∴直线与x轴交于（-4，0），（2，0），顶点的横坐标为-1，∵顶点在函数y=2x的图象上，∴y=2×（-1）=-2，∴顶点坐标为（-1，-2），设二次函数的解析式为y=a（x+1）2-2，把（2，0）代入得，0=9a-2，解得，a=∴y=（x+1）2-2=x2+x-∴这个二次函数的表达式为y=x2+x-故填y=x2+x