上海市宝山区2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市宝山区2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分.）1.在复数范围内，的所有平方根为______.〖答案〗或〖解析〗设，则，由可得，，由可得，或，当时，有，解得，；当时，有，显然不成立，综上所述，.故〖答案〗为：或.2.若幂函数为奇函数，则该函数的表达式______.〖答案〗〖解析〗由为幂函数，得，解得或，当时，，函数是偶函数，不符合题意，当时，，函数是奇函数，符合题意，所以.故〖答案〗为：.3.无论为何值，函数的图象恒经过一个定点，该定点坐标为______.〖答案〗〖解析〗当，即时，无论为何值，恒有，此时，所以定点坐标为.故〖答案〗为：.4.若，则______（用含的式子表示）.〖答案〗〖解析〗由，得，即，所以.故〖答案〗为：.5.若向量、满足，，则______.〖答案〗〖解析〗由，，得，所以.故〖答案〗为：.6.已知集合，集合，若，则实数的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗不等式等价于，解得，所以；解可得，，所以，因为，所以，解得.故〖答案〗为：.7.在平面直角坐标系中，锐角的大小如图所示，则______.〖答案〗〖解析〗由，，则直线的方程为，设其倾斜角为，即，由，则，即，解得.故〖答案〗为：.8.已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为______.〖答案〗〖解析〗由，得，依题意，，即，解得，而，即，整理得，解得或，而，所以实数的值为.故〖答案〗为：.9.函数的部分图象如图所示，则______．〖答案〗〖解析〗由已知可得，，所以，所以，所以，又因为在处取得最大值，所以有，所以，又因为，所以，所以，所以.故〖答案〗为：.10.如图，为计算湖泊岸边两景点与之间的距离，在岸上选取和两点，现测得，，，，，据以上条件可求得两景点与之间的距离为______（精确到）.〖答案〗5.8〖解析〗在中，有，，，由余弦定理可得，，即，整理可得，解得或（舍去），在中，有，，，所以，，由正弦定理可得，(km).故〖答案〗为：.11.已知，点是平面上一个动点，则当由0连续变到时，线段扫过的面积是______.〖答案〗〖解析〗由，则，即，，由，则如图：点在劣弧上，即线段扫过的部分为图中的阴影部分，设其面积为，易知，，在四边形中对角线，则四边形的面积，在中，，解得，扇形的面积，故.故〖答案〗为：.12.已知函数，有以下命题：①函数的最小正周期为；②函数在上为增函数；③直线是函数图象的一条对称轴；④函数在上有三个零点；⑤函数的最小值为.请写出正确命题的全部序号______.〖答案〗①③⑤〖解析〗①：，当时，，则，根据函数在上单调递增，可得此时单调递减；当时，，则，根据函数在上单调递增，可得此时单调递增；故①正确；②：由①可知函数在上单调递减，在上单调递增，故②不正确；③：，，由，则直线是函数的对称轴，故③正确；④：当时，，则，根据函数在上单调递增，可得此时单调递增，由，则函数存在唯一零点；当时，，则，根据函数在上单调递减，可得此时单调递减，由，则函数存在唯一零点；易知，，，综上：函数在上有两个零点，故④不正确；⑤：由①可知函数在上单调递减，在上单调递增，则当时，函数的最小值为，因为由①可知，函数的最小正周期为，所以，故⑤正确.故〖答案〗为：①③⑤.二、选择题（本大题共4题，满分20分.）13.如果，那么下列式子中一定成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，故A错误；因为，所以，所以，故B错误；因为，所以，故C错误；因为，所以，故D正确.故选：D.14.欧拉公式（其中是自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位.当时，恒等式更是被数学家们称为“上帝创造的公式”.根据上述材料判断表示的复数在复平面对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由题意，，，，故，则其在复平面对应的点坐标为，即该点在第四象限.故选：D.15.在平行四边形中，，．若，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得，所以，，所以.故选：D.16.在中，，P为线段上的动点，且，则最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在中，设，，，，即，即，，，，，，，，即，又，，，则，所以，解得，，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、，为线段上的一点，则存在实数使得，，设，，则，，，，，消去得，，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分76分.）17.已知向量，.（1）求；（2）若向量，则当为何实数时，？平行时它们是同向还是反向？解：（1）向量，，则，而，所以.（2）依题意，，而，，因此，解得，所以，向量与同向.18.流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系现有三个函数模型：①（，），②（），③（）可供选择.（参考数据：，）（1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的〖解析〗式；（2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？（结果保留到整数）解：（1）因为（，）的增长速度越来越快，（）和（）的增长速度越来越慢，所以应选函数模型（，），由题意得，解得，所以该函数模型为（）.（2）由题意得，即，所以，又，所以至少经过培养基中菌落的覆盖面积能超过.19.已知复平面上有点、，向量与向量对应的复数分别为和.（1）求点的坐标；（2）设点对应的复数为，复数满足，，且为纯虚数，求复数.解：（1）依题意，，，则，所以点的坐标是.（2）依题意，，设，由，得，，而为纯虚数，则，由，得，解得，所以.20.已知向量，，令函数.（1）求函数表达式及其单调增区间；（2）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，且满足，当最小时，存在实数、使得，求的最小值.解：（1），由，，解得，，即的单调递增区间为，.（2）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，，满足，是偶函数，则，，，当时，最小，此时，此时，由，则，即，则只有，时方程有解，即，，，，解得，，，，故，，当时，最小，最小值为.21.在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）.（1）计算的值；（2）类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并