辽宁省葫芦岛市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省葫芦岛市2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故选：D.2.在复平面内，对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗，故对应的点在第一象限.故选：A．3.在中，，则的形状为（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形〖答案〗D〖解析〗，正弦定理可得，即，，，∴或，∴或，∴为等腰三角形或直角三角形.故选：D.4.已知平面向量，，若向量与垂直，则实数的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗平面向量，，向量与垂直，则，即，故，解得．故选：D．5.欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A.复数为实数 B.对应的点位于第二象限C. D.的最大值为1〖答案〗C〖解析〗由，可得，是纯虚数，故A错误；，对应的点的坐标为，位于第一象限，故B错误；，，故C正确；，，的最大值为3，故错误．故选：C．6.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知角的终边经过点，得，，又由诱导公式得.故选：A.7.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上），且该圆锥的侧面积为，则此球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设直角圆锥底面半径为，则其母线长为，因此圆锥顶点到底面圆圆心的距离为：，于是圆锥底面圆的圆心为其外接球的球心，即圆锥外接球半径为，由圆锥的侧面积为，得，解得，所以球的表面积为.故选：D.8.已知函数，对于，，且在区上单调递增，则的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为对于，，可得在时取得最大值，即，可得，所以，又因为在上单调递增，所以且，解得，当时，，所以的最大值为.故选：C.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．）9.下列命题中，真命题有（）A.若复数，满足，则且B.若复数，则C.若复数，满足，则或D.若复数为实数，则为实数或纯虚数〖答案〗BD〖解析〗对于A：令，，则，故A错误；对于B：令，，则，所以，所以，故B正确；对于C：令，，则，，，满足，故C错误；对于D：令，，则，因为为实数，所以，所以或，当时为纯虚数，当时为实数，当时为实数，故D正确.故选：BD.10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法中正确的是（）A.函数的图象关于点对称B.函数的图象关于直线对称C.函数在上单调递增D.函数在的取值范围为〖答案〗AC〖解析〗观察图象得，函数的周期，则，由，得，而，则，因此，对于A，由于，则函数图象关于点对称，A正确；对于B，由于，则函数的图象关于直线不对称，B错误；对于C，当时，，则函数在上单调递增，C正确；对于D，当时，，则，因此，D错误.故选：AC.11.已知平面四边形，是所在平面内任意一点，则下列命题正确的是（）A.若，则四边形是正方形B.若，则四边形是矩形C.若，则为直角三角形D.若动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的重心〖答案〗CD〖解析〗对于A中，由，可得，但四边形不一定是正方形，所以A错误；对于B中，由，平方可得，即，但四边形不一定为矩形，所以B错误；对于C中，由，可得，即，平方可得，所以，所以为直角三角形，所以C正确；对于D中，作于点，又由，设的中点为，所以，即，故动点的轨迹在中线上，即动点的轨迹一定通过的重心.故选：CD.12.在长方体中，，分别为的中点，则下列选项中正确的是（）A.B.三棱锥的体积为C.三棱锥外接球的表面积为D.直线被三棱锥外接球截得的线段长为〖答案〗BCD〖解析〗对于A中，如图所示，取的中点，连接，因为为的中点，所以，在正方体中，平面，所以平面，又因为平面，所以，假设，因为，且平面，所以平面，因为平面，所以，在矩形中，与不垂直，所以A错误；对于B中，三棱锥的体积为，所以B正确；对于C中，取的中点，由于，所以，取的中点，连接，在直角中，，即，所以为的外接球的球心，且外接球的半径为，其表面积为，所以C正确；对于D中，在中，由余弦定理可得，所以，过点作于点，在直角中，可得，由球的截面圆的性质，可得，所以D正确.故选：BCD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.若，则_____________．〖答案〗〖解析〗原式.故〖答案〗为：.14.二面角的大小为，分别在两个面内且到棱的距离都为2，且，则与棱所成角的正弦值为________．〖答案〗〖解析〗如图所示，作，，其中，分别为垂足，则，，在面内过点作，且，连接，，则四边形为平行四边形，所以，所以为与棱所成的角，因为，所以，，所以为的平面角，即，所以为等边三角形，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，所以，即与棱所成角的正弦值为．故〖答案〗为：．15.将函数的图象向左平移1个单位长度后，再将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求出图象的一个对称中心的坐标________．〖答案〗，等（写出一个或一个以上就给分）〖解析〗由题可知，则函数图象的一个对称中心的横坐标满足，所以，则函数的对称中心为.故〖答案〗为：，（写出一个或一个以上就给分）.16.在中，有则的最大值是________．〖答案〗〖解析〗由，可得：，即，即，整理得：，，当且仅当即时等号成立，在中，为锐角，要使最大，则取最小值，，，的最大值为：．故〖答案〗为：.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.已知非零向量，满足，且．（1）求；（2）当时，求和向量与的夹角θ的值．解：（1）由已知得，即，.（2），，，，，所以．18.如图，在正三棱柱中，分别为棱，的中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面⊥平面．解：（1）证明：连接与交于点O，则O为的中点，连接EO，FO，因为E，F分别为棱，BC的中点，所以，，所以四边形AEOF为平行四边形，∴，又平面，平面，所以平面.（2）证明：因为平面ABC，平面ABC，所以，又，且两直线在平面内相交，所以平面，因为，所以平面，又平面，所以平面平面．19.已知，为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）.（2）由，得，因为，为锐角，所以，则，又因，所以，所以，则，所以．20.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．，．（1）求A；（2）若BC边上的中线AM为，求b．解：（1）由题意得，，即，由正弦定理可得：，则，即，可得，因为，则，可得，所以，又因，则，所以，所以．（2）因为AM为BC边上的中线，则，所以，可得，即，解得或（舍去），所以．21.如图，在多面体中，菱形的边长为2，，四边形是矩形，平面平面，．（1）在线段上确定一点，使得平面平面；（2）设是线段的中点，在（1）的条件下，求二面角——的大小．解：（1）为线段的中点，证明如下：在菱形中，连接与交于点，于是为中点，在中，为中位线，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为四边形是矩形，，因为平面，平面，所以平面，又，平面，且，所以平面平面．（2）分别取EF，HG，OC中点M，N，P，连接MO，MA，MC，NP，NO，NA，于是，N为线段MC中点，易知，在矩形BDEF中，菱形ABCD中，且，MO，平面AMC，所以平面AMC．又GH为的中位线，故，且，所以．所以平面AMC．又AN，平面AMC，所以，．所以∠ANO为二面角的平面角．由已知，平面平面ABCD，平面平面ABCD＝BD，平面BDEF，且，可得．又NP为的中位线，所以，且，所以平面ABCD，进而．在菱形ABCD中，，，．在直角中，，所以．在直角中，，所以，所以，．即二面角的大小为．22.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知AB⊥AD，，=．函数．（1）若，求的值域；（2）若对于任何有意义的边a，在上有解，求b的取值范围．解：（1）由题设知：，又a＝b＝1，故，即，∵令，∴，抛物线开口向上，对称轴，因为，所以当