广西钦州市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西钦州市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.化简（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.2.已知扇形的半径为3，面积为则该扇形的圆心角的大小为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设扇形的圆心角为，因为扇形的半径为，面积为，可得，解得.故选：C．3.在中，，则（）A.4 B. C.3 D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，由正弦定理得，解得.故选：C.4.不等式的解集为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意，得，解得，所以不等式的解集为.故选：A.5.已知向量，则在上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以在上的投影向量的坐标为．故选：D．6.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由函数的图象，可得，则，所以，则，因为点在图象上，所以，则，即，又因为，则，所以，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到.故选：D．7.设的内角的对边分别为若的周长为则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可知，由正弦定理得即整理得由余弦定理得，又所以故选：A．8.已知内有一点满足，则向量与的夹角为（）A.锐角 B.直角 C.钝角 D.平角〖答案〗B〖解析〗由条件得，则，所以，所以，则，即，所以，则，所以向量与的夹角为．故选：．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.的最小正周期为 B.是偶函数C.的图象关于直线对称 D.在区间上单调递增〖答案〗BC〖解析〗对于A中，因为，可得，所以A错误；对于B中，由是偶函数，所以B正确；对于C中，由，所以C正确；对于D中，由，可得，因为在不单调，所以D错误．故选：BC．10.某校数学兴趣小组欲对当地一唐代古塔进行测量，如图是该古塔的示意图，其中与地面垂直，从地面上点看塔顶的仰角为沿直线向外前进米到点处，此时看塔顶的仰角为根据以上数据得到塔高为米，则（）A.米 B.米C.米 D.米〖答案〗BCD〖解析〗对于A，在中，由正弦定理得，所以米，故A错误；对于B，在中米，故B正确；对于C，在中，由正弦定理得，所以米，故C正确；对于D，在中，米，所以米，故D正确．故选：BCD．11.已知是平面内两两不共线的向量，且则（）A. B.C. D.当时，与夹角为锐角〖答案〗ACD〖解析〗A选项，由两边平方，得所以所以，A正确；B选项，由得，所以，所以，所以，B错误；C选项，由不共线可得，故，所以，C正确；D选项，因为是两个不共线的向量，所以不共线，要使与的夹角为锐角，则即所以D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则__________．〖答案〗〖解析〗因为，所以．故〖答案〗为：.13.在边长为2的菱形中，分别为的中点，，则__________.〖答案〗〖解析〗记与交于点O，，由题知，①，在中，由余弦定理有②，联立①②解得，所以，因为，所以，所以，以O为原点，所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则，所以，所以.故〖答案〗为：.14.在中，角所对的边分别为若且的外接圆的半径为则面积的最大值为______．〖答案〗〖解析〗在中，由正弦定理得由余弦定理得因为为的内角，则，所以，因为的外接圆的半径为由正弦定理得，所以由余弦定理得即因为所以当且仅当时取等号，故的面积所以面积的最大值为故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点.（1）求的值；（2）求值.解：（1）根据三角函数的定义，得，所以.（2）原式，又，故原式.16.已知向量．（1）若，求实数的值；（2）若向量满足且，求向量的坐标．解：（1）由，得，所以，由，得，解得．（2）设，所以，，由，得，所以，①由，得，所以，则，②由①②得，故．17.已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角的大小；（2）若的面积为，，求的周长.解：（1）中，由，得，由余弦定理得，即，由正弦定理得，，，得，，则.（2）若的面积为，则，得，，由余弦定理，得，解得，周长为.18.如图，在梯形中，，，，点分别为线段，上的三等分点，点是线段上的一点.（1）求的值；（2）求的值；（3）直线分别交线段于M，N两点，若B，N，D三点在同一直线上，求的值.解：（1）设，，，，即．（2），．（3）连接三点共线，，为的中点，，设，则，设，在中，，，解得，．19.对于分别定义在上的函数以及实数若存在使得则称函数与具有关系（1）若判断与是否具有关系并说明理由；（2）若与具有关系求实数的取值范围；（3）已知为定义在上的奇函数，且满足：①在上，当且仅当时，取得最大值1；②对任意有判断是否存在实数使得与具有关系若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：（1）函数与具有关系，理由如下：当时；当时，；当时，；当时，，此时，所以函数与具有关系.（2）由函数，且，因为，当时，，所以，所以，所以，即实数的取值范围为.（3）不具有关系，理由如下：