北京市通州区2024届高三下学期二模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市通州区2024届高三下学期二模数学试题第一部分（选择题）一、选择题1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知，，则.故选：B.2.在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可得，所以，故选：A.3.在的展开式中，常数项为（）A.60 B.120 C.180 D.240〖答案〗D〖解析〗展开式的通项为，令，所以，所以常数项为240.故选：D.4.下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗A：因为，所以不是奇函数，故A错误；B：因为的定义域为，又，所以是奇函数，又在恒成立，所以区间上单调递减，故B正确；C：由正切函数的定义域可得函数在上不连续，所以在区间上不单调，故C错误；D：因为，所以不是奇函数，故D错误；故选：B.5.在梯形ABCD中，，，，则（）A. B.8 C.12 D.〖答案〗C〖解析〗如图，取的中点，则，且，所以四边形为平行四边形，则，所以为正三角形，过作于，则，所以.故选：C.6.在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由三角函数的定义可得，所以.故选：B.7.已知圆心为C的圆与双曲线E：（）交于A，B两点，且，则双曲线E的渐近线方程为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可得的圆心，半径，显然适合和，即为圆与双曲线E：的一个交点，且为双曲线的左顶点，则轴；因为，所以，所以，解得或（舍），所以，代入双曲线方程可得，双曲线E的渐近线方程为，故选：A.8.某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S（单位：平方米）与时间t（单位：月）的关系式为（，且），图象如图所示．则下列结论正确的个数为（）①浮萍每个月增长的面积都相等；②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；③浮萍面积每个月的增长率均为50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是，，，则．A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗由已知可得，则.对于①，浮萍蔓延1月至2月份增长的面积为（平方米），浮萍蔓延2月至3月份增长的面积为（平方米），①错；对于②，浮萍蔓延4个月后的面积为（平方米），②对；对于③，浮萍蔓延第至个月的增长率为，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是，③错；对于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是，，，则，，，所以，④错.故选：B.9.已知等差数列的前项和为，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗设等差数列的公差为，由得：，，，，即，充分性成立；由得：，，即，，即，必要性成立；“”是“”的充分必要条件.故选：C.10.已知函数,,若关于x的方程恰有3个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为函数，其图象如下图，则因为，，令，解得：；令，解得：，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又因为关于x的方程恰有3个不同的实数根，即和共有3个不同的实数根，由的图象知，只有一个解为，所以有两个不同的解，且根中不含，即与有两个不同的交点，与的图象如下图所示：所以.故选：A.第二部分（非选择题）二、填空题11.已知函数的定义域为____________．〖答案〗〖解析〗根据题意可得,解得故定义域为.故〖答案〗为：12.已知点为抛物线上一点，则点P到抛物线C的焦点的距离为____________．〖答案〗3〖解析〗由题意得：，解得，所以抛物线，即焦点坐标是，即，故〖答案〗为：3.13.已知数列为等比数列，，，则____________；数列的前4项和为____________．〖答案〗8148〖解析〗等比数列中，由，得数列的公比，通项，所以；数列的前4项和为.故〖答案〗为：81；4814.已知的数（），若的最小正周期为，的图象向左平移个单位长度后，再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则____________；若在区间上有3个零点，则的一个取值为____________．〖答案〗或6（〖答案〗不唯一）〖解析〗因为的最小正周期为，所以，解得：，所以，的图象向左平移个单位长度后，可得：，再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，所以；因为，，在区间上有3个零点，所以，解得：，则的一个取值可以为6.故〖答案〗为：或；6（〖答案〗不唯一）.15.如图，几何体是以正方形ABCD的一边BC所在直线为旋转轴，其余三边旋转90°形成的面所围成的几何体，点G是圆弧的中点，点H是圆弧上的动点，，给出下列四个结论：①不存在点H，使得平面平面CEG；②存在点H，使得平面CEG；③不存在点H，使得点H到平面CEG的距离大于；④存在点H，使得直线DH与平而CEG所成角的正弦值为．其中所有正确结论的序号是____________．〖答案〗②③④〖解析〗由题意可将图形补全为一个正方体，如图所示：以点为坐标原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、、、，，设点，其中，对于①，，，设平面，则，即，取x=1，则，可得，设平面，，，则，即，取，则，可得，若平面平面CEG，则，解得：，所以存在使得平面平面CEG，故①错误；对于②，，若平面CEG，则，即，即，故，故存在点H，使得平面CEG，故②正确；对于③，，所以点H到平面CEG的距离为，，因为，所以，所以，，所以，所以不存在点H，使得点H到平面CEG的距离大于，故③正确；对于④，，，则直线与平面CEG的所成角为，所以，，整理可得，因为函数在时的图象是连续的，且，，所以，存在，使得，所以，存在点，使得直线与平面CEG所成角的余弦值为，④正确.故〖答案〗为：②③④.三、解答题16.如图，几何体ABCDE中，，四边形ABDE是矩形，，点F为CE的中点，，．（1）求证：平面ADF；（2）求平面BCD与平面ADF所成角的余弦值．（1）证明：连结BE交AD于G，连结FG．因为四边形ABDE是矩形，所以点G为BE的中点．因为点F为CE的中点，所以FG是的中位线．所以，又平面ADF，平面ADF，所以平面ADF．（2）解：因为四边形ABDE是矩形，所以．因为，，且平面，平面，所以平面ABC，因为，所以平面ABC．所以以点A为原点，分别以AC，AE所在直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz．所以，，，，，．所以，．设平面ADF的法向量为，所以，．所以，令，得，，所以．因为平面ABC，所以．因为，，平面BCD，所以平面BCD，所以为平面BCD的一个法向量．而．所以平面BCD与平面ADF所成角的余弦值为．17.在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，，为边上的一点，再从下面给出的条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．条件①；；条件②：．解：（1）因为，由正弦定理可得，即，所以，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以．（2）若选条件①：，所以为中点，所以，因为，，，所以由余弦定理，可得，即，解得或（舍去）．则，即，所以为直角三角形，所以．所以．所以的面积为．若选条件②：．所以，因为，，，所以由余弦定理，可得，即，解得或（舍去），则，即，所以为直角三角形，所以．所以，在中由余弦定理，即，解得，所以，所以的面积为．18.随着生活水平的不断提高，人们对于身体健康越来越重视．为了解人们的健康情况v某地区一体检机构统计了年岁到岁来体检的人数及年龄在，，，的体检人数的频率分布情况，如下表．该体检机构进一步分析体检数据发现：岁到岁（不含岁）体检人群随着年龄的增长，所需面对的健康问题越多，具体统计情况如图．组别年龄（岁）频率第一组第二组第三组第四组注：健康问题是指高血压、糖尿病、高血脂、肥胖、甲状腺结节等余种常见健康问题．（1）根据上表，求从年该体检机构岁到岁体检人群中随机抽取人，此人年龄不低于岁的频率；（2）用频率估计概率，从年该地区岁到岁体检人群中随机抽取人，其中不低于岁的人数记为，求的分布列及数学期望；（3）根据图的统计结果，有人认为“该体检机构年岁到岁（不含岁）体检人群健康问题个数平均值一定大于个，且小于个”．判断这种说法是否正确，并说明理由．解：（1）由表格数据知：从年该体检机构岁到岁体检人群中抽取人，此人年龄不低于岁的频率为：.（2）用频率估计概率，从年该地区岁到岁体检人群中随机抽取人，此人年龄不低于岁的概率为，则；所有可能的取值为，；；；；的分布列为：数学期望.（3）这种说法不正确，理由如下：假设在体检人群年龄岁到岁（不含岁）中，、、、体检人群所占频率分别为、、、，则岁到岁（不含岁）体检人群健康问题平均值为个，与该说法结论不同，该说法是不正确的．19.已知函数，．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求的单调区间；（3）在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围．解：（1）因为，所以．所以．所以，．所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）因为，定义域为，所以．因为，令，即，解得，，所以．当x变化时，，的变化情况如下表所示．x200单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以的单调递减区间为和，单调递增区间为．（3）在（2）的条件下，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．因为对于任意，不等式成立，所以，，．所以，得，，得；，得．因为，所以．所以a的取值范围是．20.已知椭圆：（）的长轴长为4，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于两点（不与左右顶点重合），点在轴正半轴上，直线交轴于点P，直线交轴于点，问是否存在，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由．解：（1）因为椭圆的长轴长为，离心率为，所以，．所以，．所以．所以椭圆的方程为．（2）若直线的斜率存在，设直线的方程为，．联立方程组，消去，化简得．则，即,设，，所以，．所以直线TM的方程为，直线的方程为．所以，．所以，，所以．所以当时，为定值，即（负值舍）时，有定值．当时，若直线l斜率不存在，不妨设，，所以，．所以．综上，当时，有定值．21.从数列中选取第项，第项，，第项（），若数列，，，是递增数列或递减数列（规定时，该数列既是递增数列，也是递减数列），称，，，为数列的长度为m的单调子列.已知有穷数列A：，，，（），任意两项均不相同，现以A的每一项为首项选取长度最大的递增的单调子列，设其共有项，则，，，构成一个新数列B.（1）当数列A分别为以下数列时，直接写出相应的数列B；（ⅰ）1，3，5，7；（ⅱ）4，1，2，6，3.（2）若数列A为等差数列，求证：数列B为等差数列；（3）若数列A共有（）项，求证：A必存在一个长度为的单调子列.（1）解：（ⅰ）根据题意：选，则有1，3，5，7，共有项；选，则有3，5，7，共有项；选，则有5，7，共有项；选，则有7，共有项；所以数列B为：4，3，2，1；（ⅱ）同理数列B为：2，3，2，1，1.（2）证明：设数列A的公差为d，因为，当时，数列A为单调递减数列，所以，所以B为等差数列.当时，数列A为单调递增数列，以数列A的任意项为首项选取长度最大的递增的单调子列为，，，，.所以（，2，3，，n）.所