椭圆知识点归纳总结和经典例题

椭圆的根本知识1．椭圆的定义：把平面内与两个定点的距离之和等于常数〔大于〕的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c).2.椭圆的标准方程：〔＞＞0〕〔＞＞0〕焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程3.求轨迹方程的方法:定义法、待定系数法、相关点法、直接法解:(相关点法)设点M(x,y),点P(x0,y0),那么x＝x0,y＝得x0＝x，y0＝2y.∵x02＋y02＝4,得x2＋(2y)2＝4,即所以点M的轨迹是一个椭圆.4.范围.x2≤a2，y2≤b2，∴|x|≤a，|y|≤b．椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成的矩形里．5.椭圆的对称性椭圆是关于y轴、x轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．6.顶点只须令x＝0，得y＝±b，点B1(0,－b)、B2(0,b)是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，得x＝±a，点A1(－a,0)、A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A1(－a,0)、A2(a,0)、B1(0,－b)、B2(0,b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.长轴的长等于2a.短轴的长等于2b.a叫做椭圆的长半轴长．b叫做椭圆的短半轴长．|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a．在Rt△OB2F2中，|OF2|2＝|B2F2|2－|OB2|2，即c2＝a2－b2．.椭圆典型例题例1椭圆的一个焦点为〔0，2〕求的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值．解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得．又，所以，适合．故．例2椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数和〔或和〕的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在轴上时，设其方程为．由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为．当焦点在轴上时，设其方程为．由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为．例3的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．分析：〔1〕由可得，再利用椭圆定义求解．〔2〕由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程．解：〔1〕以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，故其方程为．〔2〕设，，那么．①由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆〔除去轴上两点〕．例4点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即．从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，，可求出，，从而．∴所求椭圆方程为或．例5椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积〔用、、表示〕．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知：·．①由椭圆定义知：②，那么得．故．例6动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．解：如下图，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即．∴点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．说明：此题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．例7椭圆〔1〕求过点且被平分的弦所在直线的方程；〔2〕求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；〔3〕过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；〔4〕椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为，，线段的中点，那么①－②得．由题意知，那么上式两端同除以，有，将③④代入得．⑤〔1〕将，代入⑤，得，故所求直线方程为：．⑥将⑥代入椭圆方程得，符合题意，为所求．〔2〕将代入⑤得所求轨迹方程为：．〔椭圆内局部〕〔3〕将代入⑤得所求轨迹方程为：．〔椭圆内局部〕〔4〕由①＋②得：，⑦，将③④平方并整理得，⑧，，⑨将⑧⑨代入⑦得：，⑩再将代入⑩式得：，即．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．例8椭圆及直线．〔1〕当为何值时，直线与椭圆有公共点？〔2〕假设直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．解：〔1〕把直线方程代入椭圆方程得，即．，解得．〔2〕设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由〔1〕得，．根据弦长公式得：．解得．方程为．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，假设能合理运用韦达定理〔即根与系数的关系〕，可大大简化运算过程．例9以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程．分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，此题实际上就是要在直线上找一点，使该点到直线同侧的两点〔即两焦点〕的距离之和最小，只须利用对称就可解决．解：如下图，椭圆的焦点为，．点关于直线的对称点的坐标为〔－9，6〕，直线的方程为．解方程组得交点的坐标为〔－5，4〕．此时最小．所求椭圆的长轴：，∴，又，∴．因此，所求椭圆的方程为．方程表示椭圆，求的取值范围．解：由得，且．∴满足条件的的取值范围是，且．说明：此题易出现如下错解：由得，故的取值范围是．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆．表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．分析：依据条件确定的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出的取值范围．解：方程可化为．因为焦点在轴上，所以．因此且从而．说明：(1)由椭圆的标准方程知，，这是容易无视的地方．(2)由焦点在轴上，知，．(3)求的取值范围时，应注意题目中的条件．例12求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为(，)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．解：设所求椭圆方程为(，)．由和两点在椭圆上可得即所以，．故所求的椭圆方程为．例13长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．分析：可以利用弦长公式求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．．因为，，所以．因为焦点在轴上，所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为．由直线方程与椭圆方程联立得：．设，为方程两根，所以，，，从而．(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为，设，，那么，．在中，，即；所以．同理在中，用余弦定理得，所以．(法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根，，它们分别是，的横坐标．再根据焦半径，，从而求出．例14椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，那么〔为坐标原点〕的值为A．4B．2C．8D．解：如下图，设椭圆的另一个焦点为，由椭圆第一定义得，所以，又因为为的中位线，所以，故答案为A．说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数〔大于〕的点的轨迹叫做椭圆．(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．例15椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于该直线对称．分析：假设设椭圆上，两点关于直线对称，那么条件等价于：(1)直线；(2)弦的中点在上．利用上述条件建立的不等式即可求得的取值范围．解：(法1)设椭圆上，两点关于直线对称，直线与交于点．∵的斜率，∴设直线的方程为．由方程组消去得①。∴．于是，，即点的坐标为．∵点在直线上，∴．解得．②将式②代入式①得③∵，是椭圆上的两点，∴．解得．(法2)同解法1得出，∴，，即点坐标为．∵，为椭圆上的两点，∴点在椭圆的内部，∴．解得．(法3)设，是椭圆上关于对称的两点，直线与的交点的坐标为．∵，在椭圆上，∴，．两式相减得，即．∴．又∵直线，∴，∴，即①。又点在直线上，∴②。由①，②得点的坐标为．以下同解法2.说明：涉及椭圆上两点，关于直线恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：(1)利用直线与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式，建立参数方程．(2)利用弦的中点在椭圆内部，满足，将，利用参数表示，建立参数不等式．例17在面积为1的中，，，建立适当的坐标系，求出以、为焦点且过点的椭圆方程．解：以的中点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，设．那么∴即∴得∴所求椭圆方程为例18是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．分析：此题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去(或)，得到关于(或)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出，(或，)的值代入计算即得．并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．解：方法一：设所求直线方程为．代入椭圆方程，整理得①设直线与椭圆的交点为，，那么、是①的两根，∴∵为中