河北省石家庄市2024届高三下学期4月高考模拟数学试题

河北省石家庄市2024届高三下学期4月高考模拟数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A={α∣α=−2024°+k⋅180°,k∈Z}中的最大负角A．−2024° B．−224° C．−44° D．−24°2．已知z=(1+i)41−iA．2i B．−2i C．−2 D．23．已知向量a在向量b上的投影向量为12b，且|aA．1 B．3 C．34 D．4．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且−a3，A．S2024=2aC．S2024=4a5．已知变量x和y的统计数据如表：x12345y66788根据上表可得回归直线方程y=0.6x+a，据此可以预测当A．8.5 B．9 C．9.5 D．106．现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三人，要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为()A．216 B．432 C．864 D．10807．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0A．13 B．22 C．128．已知函数f(x)=xx，A．f(x)有且只有一个极值点B．f(x)在(1C．存在实数a∈(0,+∞)D．f(x)有最小值1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法中，正确的是（）A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位数为12B．两组样本数据x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4的方差分别为sC．已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)D．已知一系列样本点(xi,yi)（i=1,2,3,⋅⋅⋅10．若关于x的不等式ex−2+x≥2ax2−xA．1e B．12 C．e11．已知定义在实数集R上的函数f(x)，其导函数为f'(x)，且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy，f(1)=0，A．f(x)的图像关于点（1，0）成中心对称B．fC．f(2024)=1012×2023D．k=1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知集合M={x|x2−2x−3<0}，N={x|x213．设F1，F2分别为双曲线x2a2−y2b14．如图，在梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=12AD=2，将△BAC沿直线AC翻折至△B1AC的位置，3AM=M四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数f(x)=eax−ex−b在x=0（1）求a，b的值；（2）求f(x)的单调区间．16．如图，三棱锥A−BCD中，AD⊥CD，AD=CD，∠ADB=∠BDC，E为线段AC的中点.（1）证明：平面BED⊥平面ACD；（2）设AB=BD=3，BF=2FD，17．有无穷多个首项均为1的等差数列，记第n(n∈N∗)个等差数列的第m(m∈N,m≥2)（1）若a2(2)−a（2）若m为给定的值，且对任意n有am(n+1)=2am(n)，证明：存在实数λ，μ（3）若{dn}18．设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）经过点P(2,−1)，且离心率e=22，直线m：x=3垂直x轴交x轴于T，过T的直线l（1）求椭圆E的方程：（2）设直线PA，PB的斜率分别为k1，k（ⅰ）求k1（ⅱ）如图：过P作x轴的垂线l，过A作PT的平行线分别交PB，l于M，N，求|MN||NA|19．在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式00型或∞∞型极限的一种重要方法，其含义为：若函数f(x)和①limx→af(x)=0且limx→ag(x)=0（或②在点a的附近区域内两者都可导，且g'③limx→af'(x)g则limx→a参考公式：limx→af(x)=f(lim（1）用洛必达法则求limx→0（2）函数f(x)=1+x+x22!+x3（3）已知g(2x)=g(x)⋅cosx，g(0)=1，x∈(−π

答案解析部分1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】B,C10．【答案】A,B11．【答案】B,C,D12．【答案】[313．【答案】314．【答案】3π15．【答案】（1）解：因为f(x)=eax−ex−b依题意f(0)=0且f'所以e0−b=0a（2）解：由（1）可得f(x)=e又f'令g(x)=f'(x)=eex+1−e，则又f'(0)=0，所以当x<0时f'(x)<0，当所以f(x)的单调递减区间为(−∞,0)，单调递增区间为16．【答案】（1）证明：因为DA=DC，E为线段AC的中点，所以DE⊥AC因为DA=DC，DB=DB，∠ADB=∠CDB，所以△ADB≌△CDB，故AB=CB.又E为线段AC的中点，所以BE⊥AC.又DE∩BE=E，DE，BE⊂平面BED.所以AC⊥平面BED又AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.（2）解：取DA的中点G，连接EG，BG，因为EG为中位线，所以EG//CD，又AD⊥CD，所以AD⊥EG.因为AB=BD，G为DA的中点，所以AD⊥BG.又EG∩BG=G，EG，BG⊂平面BEG，所以AD⊥平面BEG，BE⊂平面BEG，所以AD⊥BE，因为BA=BC，E为AC的中点，所以AC⊥BE，又AC∩AD=A，AC，AD⊂平面ACD，所以BE⊥平面ACD.以E为坐标原点，分别以EA，EB，ED所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系E−xyz，如图所示设A(a,0,则E(0,0,0)，D(0EF=(0,b由|AB|2=a所以CF=(又平面ABC的法向量n=(0设直线CF与平面ABC所成角为θ，则sinθ=|cos所以直线CF与平面ABC所成角为21517．【答案】（1）解：由题意得a2又a2所以d2（2）证明：因为am所以1+(m−1)dn+1=2[1+(m−1)所以dn+1因此d100所以d100又d2=2d因此d100所以存在实数λ=2−299，μ=299−1（3）证明：因为{d所以dn=d于是am当1≤i≤n时，a=(m−1)=−(m−1)d因为q>0，n−i≥0，i−1≥0因此(qm−i−1)(所以am因此i=1n即2[a所以am18．【答案】（1）由题意知：4即a=6，b=所以椭圆E的方程为x​​​​​​​（2）方法一：（ⅰ）易知T(3,0)，kPT=1，设直线l1的方程为m(x−2)+n(y+1)=1，由直线l1过T(3,联立方程x2得(2−4n)(y+1)变形得：(2−4n)(即k1（ⅱ）设直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，则k1=tan∠NMP=5π4−β，∠MPN=β−π在△PMN中，MN=在△PAN中，AN=所以MN由k1+k2=2知，方法二：（ⅰ）易知T(3,0)，kPT=1，设A(x1,y1)，则k1联立方程x26+∴y1将（1）式代入（*）得：k（ⅱ）由（ⅰ）知，2mlAM：y=x−x1lPB：y=y2联立（2），（3）得x−3+(1−m)y1∴x即N为AM的中点，故MN19．【答案】（1）解：lim（2）解：f(x)=1+x+x22所以f'(x)−f(x)=−x当x>0时，[f(x)