奥数讲义数论讲义：数字迷

华杯赛数论专题：数字迷

例1.如图是一个加法竖式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数

字。那么字母。代表的数字最大可能是多少？

COCK

+EGG

2005

【答案】6

【解答】

要点：

关注首位C=1(百位肯定进位)

关注十位G=8(个位肯定进位)

总结：解决数字谜问题最关键是要找好突破口，包括以下方面：

1)首位数字；

2)己知数字较多的数位；

例2.在如图所示的算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。如

果CHINA所代表的五位数能被24整除，那么这个五位数是多少？

HONG

+K0NG

CHINA

【答案】17208

【解答】

要点：

(1)关注首位：C=1

(2)关注包含重复数字的千位：K=9

(3)关注包含重复数字的十位：N=0

(4)由于三位数/0/能被8整除，且I是偶数，所以A=,

G—o

总结：往往重复数字较多的数位也是突破口。

例3.如图，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，并且已知三位

数劭〃不是3的倍数，四位数切办不是8的倍数，那么四位数/歌是多少？

BAD

+BAD

00D

【答案】3810

【解答】

G为1；

D为0；

1+/不能进位，所以0为偶数.

4+4=0

8+8=10+0

A—2,0=4,B—1不合题意；

4=3,0=6,8=8符合题意；

A—4,3=8,6=9不合题意.

1不能大于等于5.

例4.如图，算式中相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么

“玩中学”代表的三位数是.

数学

X玩数

乐学学

快乐啊

玩中学学

【答案】465

【解答】

从加法的十位运算可以看出“啊”=0。

因为显然“玩”和“学”都不能是0,所以其中一定有一个是5。

如果“玩”=5,根据千位特征可看出“快”=4,并且百位相加有

进位，因此“乐”》5。而“数学”与“玩”相乘大于450,说明“数”

=9。注意到“学”与“数”相乘的个位数字还是“学”，那么“学”

只能是0或5,必然与“啊”或“玩”相同，不符合条件。

因此“学”=5。因为只有95X9=855的末两位数字都是5,所以

“数”=9。

又因为“数学”X“玩”=“快乐啊”，即95X“玩”="快

80”，因此“玩”=4,进一步可得出整个算式就是95X49=4655。

总结：在乘法算式中，个位数字也往往作为突破口。

例5.如图，乘法竖式中给出了几个数字，并且已知被盖住的数字都是奇数，那么这个

竖式中最后一行的四位数是.

□□□

X□口

68口

4口口

-4~□□□

【答案】4795

【解答】

要点：

1）两位数乘数的十位数字

2）两位数乘数的个位数字和三位数乘数

总结：要注意根据已知的数字进行估算。

例6.如图，在竖式的每个方框中填入一个数字，要求所填的数字都是质数，使得竖式

成立。

□7□

X□□

□□□□

□□□□

□□□□□

【答案】775X33=25575

【解答】

要点：

首先思考：两个质数数字相乘，乘积的个位数字仍是质数数字，满

足要求的乘数有哪些？

第一种情况：三位数乘数的个位不是5。

第二种情况：三位数乘数的个位是5

总结：在解决数字谜问题中，我们可以先从以下角度进行分析：

1）首位数字；

2）已知数字较多的数位；

3）重复数字较多的数位；

4）个位数字。

在解决问题的过程中，还往往结合分类讨论和估算的方法。

例7.1塔湖图+3泉映月=5湖4海

在上面这个加法横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字.那

么四位数“5湖4海”最大是多少？

【答案】5547

【解答】

要点：

因为9+8=17,所以湖最大是7.

如果湖=7,则塔和泉分别为9和8.但是注意到十位相加肯定会进

位，矛盾！

如果湖=6,注意到十位仍然会进位，所以塔+泉=15,那么只能

是8+7.而根据十位，应该有6+映=14或13,说明映=8或7,肯定

会与塔、泉重复，矛盾！

如果湖=5,易分析得塔和泉是8+6.此时如果海是9,那么个位一

定不能进位，于是映等于9,与海相同，矛盾！所以海最大是7.

答案：5547（例如1853+3694=5547）

例&三义七=二一，九乂九=八一

在上面的等式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，并且每

个汉字表示的都不是原本相对应的数字（例如“三”一定不表示3）,“二”表示的数字

比2大.那么“三八七”表示的三位数是.

【答案】718

【解答】

要点：

从“九又九=八一”入手，两个相同的一位数相乘大于10,这个数

不小于4；而且乘积的个位数字与自身不等，所以这个数不能是5和6.

因此只可能是4X4=16,7X7=49,8X8=64.

如果是7X7=49,那么“二一”代表的两位数可能是39、59、69

或89,但是它们都不能表示成两个一位数的乘积，所以不符合条件；

如果是8X8=64,那么“二一”代表的两位数可能是34、54、

74、94,其中34、74、94都不能写成两个一位数的乘积，只有54=

6X9,但是数字6已经被第二个算式用过了，也不符合条件.

所以“九乂九=八一”只能是4X4=16.注意到76、86、96都不能

写成两个一位数的乘积，而36=4X9,其中数字4已经被第二个算式用

过了.于是只能是56=7X8,而且7不能给“七”，只能是“三”.

因此“三八七”表示的三位数是718.

例9.如图，这个除法算式中，已经知道了其中几个数字，请将它填成一个正确的算

式，那这个算式的商是多少？

□□口

□□y□□6oo

4□□

□□口

□□□

0

【答案】608

【解答】45600+75=608

例10.小明写好了一个由数字r5组成的六位数（且「5中每个数字至少出现一

次），他让小亮来猜.小亮先猜是123421,小明说：“6个数位中恰好有一位猜对了.”然

后小亮每次都把首位数字移到最后一位再猜，这样一共猜了6次，结果都是恰有一位猜对.

那么小明写好的六位数是（写出满足要求的一种可能即可）.

【答案】145253（可以轮转,即452531、525314、253145、53答52、

314525也可）

【解答】

要点：

由于所猜的每一个数字会转遍所有的数位，所以至少会有一次是猜

中的，那么6个数字就会至少猜对6次.但是已知告诉我们一共恰猜对6

次，说明1、2、3、4这四个数字在写好的六位数中各出现一次.所以只

有数字5出现了两次.

下面我们通过列表的方法来进行分析:

小明

第一次123421

第二次234211

第三次312112

第四次421123

第五次211234

第六次