北师大版高中数学必修第一册对数的概念练习(一)（含答案解析）

对数的概念练习题

一、单选题

I.设dc均为小于1的正数，Klog2a=log3b=logsc,则（)

!!_!

D'>by>a2

21

2.若4"'=3"=左，且一+—=1,贝ijG=()

nm

A.18B.26C.36D.42

3.若。力＞0,则下列四个等式:

①lg(Q/?)=lga+lgZ?

®lg^=lga-lgZ?

叫g用।=4

1

④lg⑷

log而10

中正确等式的符号是（）

A.①②③④B.①②C.③④D.③

4.已知A为锐角,lg(l+sinA)=m,1g1-sinA=n，贝”g(cosA)的值为()

1111

A.m+—B.C.一m+—D.-in--

n2V2n2n

5.事函数/（x）=x"'的图象过点（2,4）,且a=/j,b=，c=-log,”3,则。、b、C的

大小关系是（）

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>h

6-设If,蛤4=2,则皿等于（）

A.VioB.10

C.20D.100

二、填空题

0,0<x<l

7.定义“正对数”：ln+x=<,,,现有四个命题:

Inx,%>1

①若a>0,0>0,贝iJln+(a")=Znn+a

②若a>0,方>0,则如+(ab)—In*a+In"

③若a>0,b>0,则In+(@)2In'a-In+b

b

④若a>(),。>(),则ln+(a+0)Wln+a+In，。+In2

其中的真命题有：(写出所有真命题的编号)

8.已知log”2=x,log,,3=y,则/*+，=.

9.已知正数a、8满足力"=4，且a+log2b=3,则a+b=

10.log35log46log57log681og79=.

三、解答题

11.计算

(1)0.25X(-1)~4-4-2-I+162；

32

(2)2/6>^32-log3—+log3S-log23-(log32+log92).

12.已知函数(4>0,。/1,。为常数,*右1^).

⑴若/(附=6,求/(一㈤的值;

(2)若/(1)=3,求的值.

试卷第2页，总2页

参考答案

1.B

【解析】

分析：先设log2a=log30=log5C=m,再求出，、，、J,再作商比较它们的大小关系.

详解：设log2a=log3b=log5c=m,

因为a,"c均为小于1的正数，所以m<0,

Im1m1m

所以。=2'"1=3'",c=5'",.・.a5=27/3=3\c5=55,

Im

所以同理1>%，

故答案为：B

点睛：（1）本题主要考查指数对数的换算，考查指数函数的性质，意在考查学生对这些基础知识的

掌握能力和分析推理能力.（2）解答本题的关键有二，其一是看到log2a=log3人=log5c要想到设

log2a=log3〃=log5c=m,再对指互化.其二是想到作商比较大小，并把他们化成指数相同的数比较

大小.

2.C

【解析】

【分析】

利用指数与对数的转换，将孙n表示成对数形式再求解即可.

【详解】

21

由4"'=3"=后有机=log4Z,〃=log3%,故一+―=1

nm

i2

2

w-------+-------=1=>logA.4+21ogt3=1^log^（3X4）=1=>/:=36

log4klog3k

故选C

【点睛】

本题主要考查指对数的转换与对数的运算方法等，属于基础题型.

3.D

答案第1页，总6页

【解析】

试题分析：Yab>。，，a>0力>0或a<02<0,所以①②不成立；

a1af1aa；…

•/ab>Q—>0.—lg(—)*=—x21g(—)=1g_<所以③正确；

b2b2b、、bj

当砧=1时，lg(/)=O,但log心10无意义所以④不成立；故选D.

考点：对数式的运算.

4.B

【解析】

【分析】

利用对数的运算性质可得，1g]一$：A=一恒0-sinA),由lga+lg/?=lg(a6)可得lg(l-sin?A)；

再由1一5也24=8$24可求出怆卜0524),进而求出电(以方4).

【详解】

1g(1+sinA)=/?!,1g(1-sinA)=—n,

所以lg(l-sin2A)=.-〃,

所以lg(cos2A^=m-n,

所以lg(cosA)=g(〃z-〃).

故选B

【点睛】

本题主要考查对数的运算性质和同角三角函数的基本关系;其中对数运算性质lga+lgb=lg(a〃)和

1-sin2A=cos2A的利用是求解本题关键.

5.C

【解析】

【分析】

根据f(x)过点(2,4),求出m值，然后根据函数值的特性分析a,b,c的大小关系

【详解】

基函数/(x)=x"’的图象过点(2,4),

答案第2页，总6页

・・.2W,=4,机=2；

J—

''a=m2=V2>1'

HY'1

b=-=-G(0,1).

⑶9

c=-log,”3=-to^23<0,

>一>—logzi>

9

:・a>b>c.

故选c..

【点睛】

主要考察利用函数值的特性，进行比较大小

6.A

【解析】

a=log2m,b=log5m,则一+?=；---+----=log^2+log^5=log^l0=2,/.m=,故选

ablog,mlog5m

A.

7.①③④

【解析】

试题分析：

,0?<x<

因为定义的“正对数“：ln+x={,,是一个分段函数，所以对命题的判断必须分情况讨

Inxx>1

论：

对于命题①(1)当0<。<1,b>0时，有0<。〃<1，从而ln+(a")=O,Rn+a=AxO=O,所

以ln+(a/7)=/?ln+a；(2)当a21,b>0时，有a"，从而ln+(a")=lna"=01na,bln+a=blna，

所以ln+(a")=01n+a；这样若a>0,b>0,则ln+(a〃)=Mn+a,即命题①正确.

对于命题②举反例：当。=1力=2时，ln+(皿)=ln+‘=o,

42

ln+a+ln+Z?=ln+-+ln+2=0+In2=In2

4

答案第3页，总6页

所以ln+(")wln+a+ln+6,即命题②不正确.

对于命题③，首先我们通过定义可知"正对数''有以下性质：ln+x20,且在+大辰了,(1)当0<。<1,

0<b<l时，ln+a—0=0—0=0,而h(”，所以1屋(令NIn，a-ln"；⑵当心1,

0<〃<1时，有£>1，111+々一111+〃=1110—0=111々，而由04=4yta-〃，因为ln〃<0,

bbb

所以ln+(0)21n+aTn+〃；⑶当0<a<l,bNl时,有0<@<l,

bh

ln+«—In"h=0—\nb=—\nb<0，而h()^-0=,所以In(JNin'a—ln-〃；(4)当aNl,

时，lrT"ln"=lna—ln〃=Inj而In+jcNlnx，KXln+(—)>ln+a-ln+b,综上即命题③

bb

正确.

对于命题④首先我们通过定义可知“正对数”还具有性质：若则ln+%〈ln+w，(1)当

0<«<1,0<〃<1时，有0<。+/?<2,从而ln+(a+。)vlrT2=ln2,

In+a+lrT力+ln2=0+0+ln2=ln2,所以ln+(a+0)〈ln+Q+ln+/?+ln2；(2)当

0<bvl时,有从而ln+(Q+0)=ln(a+A)vln(a+a)=ln(2〃)，

ln+Q+ln+b+ln2=lna+0+ln2=ln(2。)，所以1。+(。+〃)41晨。+111+。+1112；(3)当0<。<1,

821时，与(2)同理，所以lrT(Q+b)WlrTa+ln+b+ln2；(4)当。之1,/?21时，

ln+(a+b)=ln(a+b),ln+a+lrTb+ln2=lna+ln，+ln2=\n(2ab)，因为

2ab-{a+b)=ab-a+ab-b=a(b-Y)+b{a-V)>Q,所以从而

lrT(a+Z?)WlrTo+ln+b+ln2,综上即命题④正确.

通过以上分析可知：真命题有①③④.

考点：指数函数、对数函数及不等式知识的综合.

8.12

【解析】

解：因为log„2=x』og“3=y,则2x+y=2log„2+log”3=log„12,4"="%设=12

9.4或5

答案第4页，总6页

【解析】

【分析】

由〃"=4，得出a=log〃4=21og/,2,由4+1%/?=3得出21og〃2+log2人=3解出力的值，进而

得出。的值，从而得出a+方的值.

【详解】

Qb"=4，.,.a=log〃4=21og/,2,由a+log28=3得出2k>g%2+log2人=3,

12

由换底公式可得log/,2=——-+log/?=3,可得log,b=l或log"=2.

Tog2bTog2b2--

①当log28=l时，b-2,此时，«=21og22=2,则a+b=4；

②当log2人=2时，b=4,此时，a=log44=1,则a+b=5.

因此，a+0=4或5,故答案为：4或5.

【点睛】

本题考查对数换底公式的应用，同时也考查了指数式与对数式的互化，解题时要观察出两个对数之

间的关系，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.

10.3

【解析】

利用对数换底公式有：

log351og461og37log681og79

=lg5xlg6xlg7xlg8xlg9

lg3lg4lg5lg6lg7

Ig9jg8_21g3；；31g2

lg3lg4lg321g2

=3.

点睛：(1)在对数运算中，先利用累的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数累的形

式，使鼎的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指

数与对数互化.

(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常

用的技巧.

11.(1)0(2)-.

2

答案第5页，总6页

【解析】

【分析】

(1)利用指数运算性质即可得出;

(2