教师公开招聘考试中学数学（应用题）模拟试卷4

教师公开招聘考试中学数学（应用题）模拟试卷4一、应用题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、如图，为了测量楼AB的高度，小明在点C处测得楼AB的顶端A的仰角为30°，又向前走了20米后到达点D，点B、D、C在同一条直线上，并在点D测得楼AB的顶端A的仰角为60°，求楼AB的高．标准答案：由题意可知∠ACB=30°，∠ADB=60°，CD=20，在Rt△ABC中，AB=BC．tan30°=(BD+20)．．在Rt△ABD中，AB=BD．tan60°=．∴(BD+20)．．知识点解析：暂无解析2、某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区，已知AB⊥BC，OA／／BC，且AB=BC=4km，AO=2km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果要使矩形的相邻两边分别落在AB，BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问：应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大?并求出最大的用地面积(精确到0．1km2)．标准答案：以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系(如图)，依题意可设抛物线的方程为x2=2py，且C(2，4)．∴22=2p．4，∴p=．故曲线段OC的方程为y=x2(0≤x≤2)．设P(x，x2)(0≤x≤2)是曲线段OC上的任意一点，则｜PQ｜=2+x，｜PN｜=4－x2∴工业园区面积S=｜PQ｜．｜PN｜=(2+x)(4－x2)=8一x3一2x2+4x．∴S’=一3x2－4x+4，令S’=0，x2=一2，又∵0≤x＜2，∴x=．当x∈[0，)时，S’＞0，S是x的增函数；当x∈[，2)时，S’＜0，S是x的减函数．∴x=时，S取到极大值，此时｜PQ｜=2+x=，S=≈9．5(km2)，而当x=0时，S=8．所以当，矩形的面积最大为Smax=9．5(km2)．因此把工业园区规划成长为km时，工业园区的面积最大，最大面积为9．5(km2)．知识点解析：暂无解析一质点运动的方程为s=8—3t2．3、求质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度；标准答案：∵s=8—3t2，∴△s=8—3(1+△t)2一(8—3×12)=一6△t一3(△t)2，∴质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度为：．知识点解析：暂无解析4、求质点在t=1时的瞬时速度(用定义及求导两种方法)．标准答案：定义法：质点在t=1时的瞬时速度为v=(－6－3△t)=－6．求导法：质点在t时刻的瞬时速度v=s’(t)=(8—3t2)’=一6t．∴当t=1时，v=一6×1=一6．知识点解析：暂无解析一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比．5、将此枕木翻转90°(即宽度变为了厚度)，枕木的安全负荷变大吗?为什么?标准答案：由题可设安全负荷为：y1=(k为正常数)，则翻转90°后，安全负荷为：y2=，所以，当0＜d＜a时，y1＜y2，安全负荷变大；当0＜a＜d时，y1＞y2，安全负荷变小．知识点解析：暂无解析6、现有一根横断面为半圆(半圆的半径为R)的木材，用它来截取成长方体形的枕木，木材长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大?标准答案：如图，设截取的枕木宽为a，高为d，则根据垂径定理，得+d2=R2，即a2＋4d2=4R2．∵枕木长度不变，∴a=ad2最大时，安全负荷最大．知识点解析：暂无解析对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：1－为0．8，要求洗完后的清洁度为0．99，有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗，该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a(1≤a≤3)，设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是(x＞a一1)，用y质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中c(0．8＜c＜0．99)是该物体初次清洗后的清洁度．7、分别求出方案甲以及c=0．95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；标准答案：设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由题设有=0．99，解得x=19．由c=0．95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足方程：=0．99，解得y=4a，故z=4a＋3．即两种方案的用水量分别为19与4a+3．因为当1≤a≤3时，x—z=4(4－a)＞0，即x＞z．故方案乙的用水量较少．知识点解析：暂无解析8、若采用方案乙，当a为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少?并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响．标准答案：设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，得故c=时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为，最少总用水量是T(a)=一a＋－1．当1≤a≤3时，T’(a)=－1＞0，故T(a)是增函数(也可以用二次函数的单调性判断)．这说明，随着a的值的增大，最少总用水量增加．知识点解析：暂无解析9、某工厂生产某种产品，已知该产品的产量x(吨)与每吨产品的价格P(元／吨)之间的关系为P=24200一x2，且生产x吨的成本为R=50000+200x元．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入一成本)标准答案：设生产x吨的产品，利润为y元，则y=Px—R=(24200一x2)x一(50000＋200x)=x3＋24000x－50000(x＞0)，y’=x2＋24000，由y’=0，得x=200．∵0＜x＜200时，y’＞0，当x≥200时，y’＜0．∴当x=200时，利润最大．∴当x=200时，ymax=3150000(元)．因此该厂每月生产200吨产品才能使利润达到最大，最大利润是3150000(元)．知识点解析：暂无解析10、制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％，可能的最大亏损分别为30％和10％．投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1．8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大?标准答案：设投资人对甲、乙两个项目各投资x和y万元，则，设z=x+0．5y=0．25(x＋y)＋0．25(3x+y)≤0．25×10+0．25×18=7，当，z取最大值7万元．因此投资人对甲、乙两个项目分别投资4万元和6万元时，才能使可能的盈利最大．知识点解析：暂无解析已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除，当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10％建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．11、分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；标准答案：第1年末的住房面积－b=1．1a－b(m2)．第2年末的住房面积=1．21a－2．1b(m2)．知识点解析：暂无解析12、如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30％，则每年拆除的旧住房面积b是多少?(计算时取1．15=1．6)标准答案：第3年末的住房面积，第4年末的住房面积，第5年末的住房面积=1．6a－6b，依题意可知，1．6a一6b=1．3a，解得b=，所以每年拆除的旧房面积为(m2)．知识点解析：暂无解析假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8％，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，回答问题：13、到哪一年度该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?标准答案：设中低价房面积形成数列{an}，由题意可知｛an｝是等差数列，其中a1=250，d=50，则Sn=250n+×50=25n2＋225n，令25n2＋225n≥4750，即n2+9n－190≥0，而n是正整数，∴n≥10，∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．知识点解析：暂无解析14、当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85％?标准答案：设新建住房面积形成数列｛bn｝，由题意可知｛bn｝是等比数列，其中b1=400，q=1．08，则bn=400．(1．08)n－1，由题意可知an＞0．85bn，有250+(n一1)．50＞400．(1．08)n－1．0．85，由计算器解得满足上述不等式的最小正整数，n=6，到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85％．知识点解析：暂无解析15、如图，△ABC是某屋顶的断面，CD⊥AB，横梁AB的长是竖梁CD长的2倍，设计时应使y=tanA+2tanB保持最小，试确定D点的位置，并求y的最小值．标准答案：设CD=1，则AB=2，再设AD=x，得BD=2－x，(0＜x＜2)．知识点解析：暂无解析16、如图所示动点P、Q从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P、Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标、P、Q点各自走过的弧长．标准答案：设P、Q第一次相遇时所用的时间是t，则=2π．∴t=4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C，第一次相遇时P点已运动到终边在的位置，则xC=．P点走过的弧长为．知识点解析：暂无解析某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下两底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木，如图所示，AD／／BC，AC与BD相交于M．17、他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元／m2，当△AMD地带种满花后，共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用；标准答案：∵四边形ABCD是梯形，AD／／BC，∴．∵种满△AMD地带花费160(元)，∴S△AMD==20(m2)，∴S△CMB=80(m2)，∴种满△BMC地带的花费为80×8=640(元)．知识点解析：暂无解析18、在上问的条件下，若其余地带有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择地，单价分别为12元／m2和10元／m2，问应选择种哪种花可以刚好用完所筹集的资金?标准答案：设△AMD，△BMC的高分别为h1，h2，梯形ABCD的高为h，∵，∴h2=8(m)，h=h1+h2=12(m)，∴S梯形ABCD=×30×12=180(m2)，∴S△AMB+S△DMC=180—20—80=80(m2)，又∵160+640+80×10=1600(元)．∴应选择种植茉莉花可刚好用完所筹集的资金．知识点解析：暂无解析某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图(1)所示，墩的上半部分是正四棱锥P—EFGH，下半邵分是长方体ABCD—EFGH，图(2)、图(3)分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图．19、请画出该安全标识墩的侧(左)视图；标准答案：侧视图同正视图，如图：知识点解析：暂无解析20、求该安全标识墩的体积；标准答案：该安全标识墩的体积为V=VP-EFGH+VABCD-EFGH=×402×60+402×20=32000+32000=64000(cm3)．知识点解析：暂无解析21、证明：直线BD⊥平面PEG．标准答案：如图，连接EG、HF及BD，EG与HF相交于O点，连接PO，由正四棱锥的性质可知，PO⊥平面EFGH，∴PO⊥HF．又∵EG⊥HF，∴HF⊥平面PEG．又∵BD／／HF，∴BD⊥平面PEG．知识点解析：暂无解析22、已知地球半径约为6371千米，上海的位置约为东经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、北纬39°，里斯本的位置约为西经10°、北纬39°．若飞机以平均速度720千米／小时飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时(飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0．1小时)?标准答案：∵上海与大连在同一经线上，∴它们在地球的同一个大圆上．设地球的球心为O，上海、大连分别为点A、B．由上海、大连的经、纬度知∠AOB=8°，地球半径r≈6371千米．经计算得AB的弧长：6371×π×≈889．56(千米)，889．56÷720≈1．2(小时)．∴从上海到大连的最短飞行时间约为1．2(小时)．知识点解析：暂无解析23、降雨量是指水平地面单位面积上所降水的深度，现用上口直径为32cm，底面直径为24cm、深度为35cm的圆台形水桶来测量降雨量，如果在一次降雨过程中，此桶中的雨水深度为桶深的四分之一，求此次降雨量为多少?(圆台的体积公式V圆台=πh(r12＋r1r2+r22)标准答案：如图，水的高度O1O2=，所以A1B1=1，所以水面半径O1A1=12+1=13cm．故雨水的体积V=cm3，而水桶上口的面积S=256πcm3．每平方厘米的降雨量x=≈5．3(cm)，所以降雨量约为53mm．知识点解析：暂无解析24、某工厂计划用两种原材料A、B生产甲、乙两种产品，两种原材料的最高供应量依次为12和8个单位；每单位产品甲需用两种原材料依次为2、1个单位，产值为6(百元)．乙的需要量依次为2、2个单位，产值为12(百元)；又根据市场预测，产品甲的市场需求量最多为4个单位，产品乙的市场需求量最多为3个单位，试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：最优生产方案是否具有可选择余地?若有请至少给出两个，否则说明理由．标准答案：生产甲、乙两种产品分别为x1，x2个单位，总产值为z．易建立其线性规划模型如下：利用图解法(见上图)易于得到获利最大的生产方案为X=(2，3)，最大利润为4800元．最优方案有选择余